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  • 2021-05-10 发布

2017中考数学压轴专题最值问题系列一

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‎ 专题 最值问题—— 1(几何模型)‎ 一、归于几何模型,这类模型又分为以下情况: ‎ ‎1. 归于“两点之间的连线中,线段最短”。‎ ‎ 凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。 ‎ 2. 归于“三角形两边之差小于第三边”。‎ ‎ 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。 ‎ 3. 利用轴对称知识(结合平移)。‎ ‎4. 应用“点到直线的距离,垂线段最短。”性质。‎ ‎5. 定圆中的所有弦中,直径最长;以及直线与圆相切的临界位置等等。‎ 二、基础知识模型 (一) ‎“将军饮马”问题 1. 如图1,将军骑马从A出发,先到河边a喝水,再回驻地B,问将军怎样走路程最短?‎ 2. 如图,一位将军骑马从驻地M出发,先牵马去草地OA吃草,再牵马去河边OB喝水,最后回到驻地M,问:这位将军怎样走路程最短? ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎ ‎ ‎3. 如图,A为马厩,B为帐篷,将军某一天要从马厩牵马,先到草地一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮助确定这一天的最短路线。‎ ‎ ‎ ‎(二)“造桥选址”问题(选自人教版七年级下册)‎ ‎1. 如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直)‎ ‎ ‎ 练习:‎ ‎1. 如图,在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,‎ ‎ 连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值). ‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 2题图 2. 已知点A是半圆上的一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,‎ ‎ 若⊙O的半径长为1,则AP+BP的最小值为__________.‎ ‎ ‎ 3. 如图3,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),请在x轴上找到一点P,使PA+PB最小,并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。‎ ‎ ‎ 变式1: ‎ ‎ 如图,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),点C的坐标为(-2,0).把点A和点B向左平移 ‎ m个单位,得到点和点,使最短,求m的值.‎ ‎ ‎ 变式2: ‎ 如图,已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),点C的坐标为(-2,0),点D的坐标为(-4,0).‎ 把点A和点B向左或向右平移m个单位,得到点和点,使四边形CD的周长最短,求m的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.‎ 中考真题练习 ‎ ‎ ‎2.如图(1),抛物线和y轴的交点为A,M为OA的中点,若有一动点P,自M点处出发,沿直线运动到x轴上的某点(设为点E),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F),最后又沿直线运动到点A,求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长。‎ ‎ ‎ ‎3.‎ ‎ ‎ ‎4.(广州 2014 24题)已知平面直角坐标系中两定点A(﹣1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)过点A,B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点. ‎ (1) 求抛物线的解析式和顶点C的坐标; ‎ (2) 当∠APB为钝角时,求m的取值范围; ‎ (3) 若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.‎ ‎(三)垂线段最短问题 ‎1.如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为( )‎ A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,)‎ 变式 ‎1. 已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),在y轴上找一点M,使点M到点C(-2,0)的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值。‎ ‎  ‎ ‎2. 已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2)已知点的坐标为(2,0),在y轴上找一点N,使点N到点的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 中考真题训练 ‎1. 如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上,点C坐标为(-2,0). ‎ ‎(1) 求a的值; ‎ ‎(2) 在x轴上找一点Q,使得△QAB的周长最小,求出点Q的坐标;‎ ‎(3) 已知点D的坐标为(2,0),在y轴上找一点Q,使点Q到点D的距离和到直线AB的距离之和最小,请求出最小值.‎ ‎ ‎ ‎2.对于平面直角坐标系x0y中的点平P(a,b),点的坐标为(其中k为常数,且k≠0),则称点为点P的“k属派生点”.‎ 例如:P(1,4)的“2属派生点”为(1+,2×1+4),即(3,6).‎ ‎(1)①点P(-1,-2)的“2属派生点” 的坐标为 ____________; ‎ ‎ ②若点P的“k属派生点”的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标____________;‎ ‎(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为点,且△OP为等腰直角三角形,则k的值为________;‎ ‎(3)如图, 点Q的坐标为(0,),点A在函数的图象上,且点A是点B的“属派生点”,当线段B Q最短时,求B点坐标.‎ ‎ ‎ ‎(四)“三角形两边之差小于第三边” (线段差最大问题)‎ 1. 已知点A的坐标为(-4,8),点B的坐标为(2,2),‎ (1) 如图(1)请在x轴上找到一点P,使最大,并求出此时P点的坐标。‎ ‎(2)如图(2)请在y轴上找到一点P,使最大,并求出此时P点的坐标。‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ 中考真题练习 ‎1.(2014年广东深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD. ‎ ‎(1)求⊙M的半径; ‎ ‎(2)证明:BD为⊙M的切线; ‎ ‎(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (五) 与圆有关的最值问题 (1) 利用“相切”解决最值问题 (2) 利用“直径是最长的弦”求最值 ‎(3)利用“对角互补存隐圆” 、“定弦定角存隐圆”、“定点定长存隐圆” 求最值 ‎1.(2013•枣庄)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(  )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 2题图 3题图 2. ‎(2016 广州天河一模)如图,AB为⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动 点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是AB,BC的中点, 则线段MN长的最大值是 . ‎ ‎3.(2014•武汉模拟)如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=,则弦BC的最大值为(  )‎ ‎ A.2 B.3 C. D.3‎ ‎4. (2014春•兴化市月考)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C为第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是(  )‎ ‎ A.m≥0 B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ 4题图 5题图 6题图 ‎ ‎5.(2015 花都一模)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是      .‎ ‎6.(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于 ‎ B、C两点,则弦BC的长的最小值为      .‎ 7. ‎(2015•泰兴市二模)如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,PM=l,则l的最大值是      .‎ ‎ ‎ ‎ 7题图 8题图 9题图 ‎8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是 .‎ ‎9. 正方形ABCD中,BC=4,E,F分别为射线BC,CD上两个动点,且满足BE=CF,设AE,BF交于G,则DG的最小值为 . ‎ ‎10.如图, 边长为3的等边△ABC, D、E分别为边BC、AC上的点, 且BD=CE, AD、BE交于P点, 则CP的最小值为 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 10题图 ‎11.(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.‎ ‎(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;‎ ‎(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.‎ ‎ ‎ 12. ‎(2016 合肥模拟)如图,直角△ABC内接于⊙O,∠C=90°,点P在弧AB上移动,P,C分别位于AB的异侧(P不与A,B重合),△PCD也为直角三角形,∠PCD=90°,且直角△PCD的斜边PD也经过点B,BA,PC相交于点E.‎ (1) 当BA平分∠PBC时,求的值;‎ (2) 已知:AC=1,BC=2,求△PCD面积的最大值。‎ ‎ ‎ 13. 在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.‎ ‎ 若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE’D’F’,若直线AE’与直线BF’相交于点P.‎ ‎(1)求∠PAO的最大值;‎ ‎(2)点P运动的路径长.‎ ‎ ‎ 巩固练习 1. 如图1,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是     m.(结果不取近似值) ‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 2题图 3题图 ‎ ‎ ‎ 2. 如图2,有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm, AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是      cm.‎ ‎(结果用带π和根号的式子表示)‎ 3. ‎(深圳 福田模拟)如图,∠MON=20°,A为射线OM上一点,OA=4,D为射线ON上一点,OD=8,C为射线AM上任意一点,B是线段OD上任意一点,那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是 ______.‎ ‎4. (2010•苏州)如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是(  )‎ ‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎ ‎ ‎ 4题图 5题图 6题图 ‎5.(2014春•兴化市校级月考)如图所示,已知A(1,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是      .‎ ‎6. (2013•武汉模拟)如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为(  )‎ ‎ A.3 B.6 C. D.‎ ‎7.(2015年武汉中考)如图,△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是 .‎ ‎8.(2013•日照)问题背景:‎ 如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.‎ ‎(1)实践运用:‎ 如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为      .‎ ‎(2)知识拓展:‎ 如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.‎ ‎9. 如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上. ‎ ‎(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标; ‎ ‎(2)平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点. ‎ ‎① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式; ‎ ‎② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 备用图 ‎10. 已知:如图,AB是⊙O的直径,在AB的两侧有定点C和动点P,AB=5,AC=3.点P在上运动(点P不与A,B重合),CP交AB于点D,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.‎ ‎(1)求∠P的正切值;‎ ‎(2)当CP⊥AB时,求CD和CQ的长;‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.‎ ‎11.先阅读材料,再解答问题:‎ ‎ 小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均为⊙O上的点,则有∠C=∠D.小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,则有∠D>∠E.‎ ‎ ‎ 请你参考小明得出的结论,解答下列问题:‎ ‎(1) 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),‎ ‎ 点C的坐标为(3,0) .‎ ‎ ①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);‎ ‎②若在轴的正半轴上有一点D,且∠ACB =∠ADB,则点D的坐标为 ;‎ ‎ (2) 如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),‎ 其中m>n>0.点P为轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.‎ ‎12. (8分)(2016•北京)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为 ,点Q的坐标为 ,且 ,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.‎ ‎ (1)已知点A的坐标为(1,0),‎ ‎ ①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;‎ ‎ ②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;‎ ‎ (2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎