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  • 2021-05-10 发布

2018中考四边形综合题集压轴题

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四边形综合题集 ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:‎ ‎①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.‎ 其中正确的结论个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎2.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中结论正确的个数为(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎3.如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论:‎ ‎①FH=2BH;②AC⊥FH;③S△ACF=1;④CE=AF;⑤EG2=FG•DG,‎ 其中正确结论的个数为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎4.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是(  )‎ ‎①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎5.如图,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:‎ ‎(1)∠AEB=∠AEH (2)DH=2EH ‎(3)OH=AE (4)BC﹣BF=EH 其中正确命题的序号(  )‎ A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)‎ ‎6.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PM∥‎ CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,则下列结论:‎ ‎①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PE•BF;⑤线段MN的最小值为.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎7.如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H.在下列结论中:‎ ‎①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤S△HCF=S△ADH,‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎8.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列四个结论:‎ ‎①△AEF∽△CAB; ②CF=2AF; ③DF=DC; ④S四边形CDEF=S△AEF,‎ 其中正确的结论有(  )个.‎ A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④‎ ‎9.如图,正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于H,连接OH、FH、EG与FH交于M,对于下面四个结论:‎ ‎①GH⊥BE;②HOBG;③点H不在正方形CGFE的外接圆上;④△GBE∽△GMF.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题(共7小题)‎ ‎10.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE的距离为;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是   .‎ ‎11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法:①AG>GE;②AE=BF;③点G运动的路径长为π;④CG的最小值为﹣1.其中正确的说法是   .(把你认为正确的说法的序号都填上)‎ ‎12.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论:①△ABF≌△CBF;②点E到AB的距离是2;③tan∠DCF=;④△ABF的面积为.其中一定成立的是   (把所有正确结论的序号都填在横线上).‎ ‎13.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠AEC.若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.给出以下五个结论:‎ ‎①点B平分线段AF;②PF=DE;③∠BEF=∠FEC;④S矩形ABCD=4S△BPF;⑤△AEB是正三角形.‎ 其中正确结论的序号是   .‎ ‎14.如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:‎ ‎①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,‎ 其中正确的有   .‎ ‎15.如图所示,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连结AE,CE.延长CE到F,连结BF,使得BC=BF.若AB=1,则下列结论:①AE=CE;②F到BC的距离为;③BE+EC=EF;④;⑤.其中正确的是   .‎ ‎16.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm.点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动,到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回;点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PC﹣CB﹣BQ于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0),则当t=   秒时,四边形BQDE为直角梯形.‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题(共34小题)‎ ‎17.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.‎ ‎(1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;‎ ‎(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.‎ ‎18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作▱PADE.设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<x≤6).‎ ‎(1)求线段PE的长(用含x的代数式表示).‎ ‎(2)当点E落在边BC上时,求x的值.‎ ‎(3)求y与x之间的函数关系式.‎ ‎(4)直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值.‎ ‎19.问题探究 ‎(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;‎ 问题解决 ‎(3)如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.‎ ‎20.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.‎ ‎(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;‎ ‎(2)求点P到直线CD距离的最大值;‎ ‎(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时AE、AF的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.如图①‎ ‎,正方形ABCD边长为1,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'(0°<α<90°),C'D'与直线CD相交于点E,C'B'与直线CD相交于点F.‎ 问题发现:(1)试猜想∠EAF=   ;三角形EC'F的周长   .‎ 问题探究:如图②,连接B'D'分别交AE,AF于P,Q两点.‎ ‎(2)在旋转过程中,若D'P=a,QB'=b,试用a,b来表示PQ,并说明理由.‎ ‎(3)在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值,若存在,请求出这个值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.如图,在矩形ABCD中,AB=CD=4cm,AD=BC=6cm,AE=DE=3cm,点P从点E出发,沿EB方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ⊥CD?‎ ‎(2)设四边形PBCQ的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PBCQ:S四边形PQDE=22:5?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(4)是否存在某一时刻t,使A,P,Q三点在同一直线上?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎23.已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠‎ A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射线BC任取一点M,联结DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一边DN交直线BC于点N(点N在点M的左侧).‎ ‎(1)当BM的长为10时,求证:BD⊥DM;‎ ‎(2)如图(1),当点N在线段BC上时,设BN=x,BM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;‎ ‎(3)如果△DMN是等腰三角形,求BN的长.‎ ‎24.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是边AD上的动点(点P不与点A、点D重合),点Q是边CD上一点,联结PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.‎ ‎(1)当QD=QC时,求∠ABP的正切值;‎ ‎(2)设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式;‎ ‎(3)联结BQ,在△PBQ中是否存在度数不变的角?若存在,指出这个角,并求出它的度数;若不存在,请说明理由.‎ ‎25.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点(点P不与点B、D重合),过点P作PF⊥BD,交射线BC于点F.联结AP,画∠FPE=∠BAP,PE交BF于点E.设PD=x,EF=y.‎ ‎(1)当点A、P、F在一条直线上时,求△ABF的面积;‎ ‎(2)如图1,当点F在边BC上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;‎ ‎(3)联结PC,若∠FPC=∠BPE,请直接写出PD的长.‎ ‎26.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.‎ ‎(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;‎ ‎(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;‎ ‎(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.‎ ‎27.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?‎ ‎(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.‎ ‎28.如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t=   时,△PQR的边QR经过点B;‎ ‎(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;‎ ‎(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.‎ ‎29.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.‎ ‎(1)观察猜想 如图1,当点D在线段BC上时,‎ ‎①BC与CF的位置关系为:   .‎ ‎②BC,CD,CF之间的数量关系为:   ;(将结论直接写在横线上)‎ ‎(2)数学思考 如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.‎ ‎(3)拓展延伸 如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.‎ ‎30.已知:四边形ABCD中,对角线的交点为O,E是OC上的一点,过点A作AG⊥BE于点G,AG、BD交于点F.‎ ‎(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,求证:OE=OF;‎ ‎(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°.探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)如图3,若四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=α,且AC⊥BD.结合上面的活动经验,探究线段OE与OF的数量关系为   (直接写出答案).‎ ‎31.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于点G.‎ ‎(1)若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形;‎ ‎(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;‎ ‎(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值.‎ ‎32.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF ‎(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;‎ ‎(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;‎ ‎(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;‎ ‎①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.‎ ‎33.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?‎ ‎(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;‎ ‎(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎34.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.‎ ‎(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.‎ ‎①求证:△AGE≌△AFE;‎ ‎②若BE=2,DF=3,求AH的长.‎ ‎(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.‎ ‎35.给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.‎ ‎(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;‎ ‎(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.‎ ‎①求证:△BCE是等边三角形;‎ ‎②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.‎ ‎36.如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)AM=   ,AP=   .(用含t的代数式表示)‎ ‎(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值 ‎(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,‎ ‎①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由 ‎②使四边形AQMK为正方形,则AC=   .‎ ‎37.已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△DCF; ‎ ‎(2)求CF的长;‎ ‎(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎38.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,E点F点分别为AB,AC的中点.‎ ‎(1)求证:四边形AEDF是菱形;‎ ‎(2)求菱形AEDF的面积;‎ ‎(3)若H从F点出发,在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动,点P从B点出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动,问当t为何值时,四边形BPHE是平行四边形?当t取何值时,四边形PCFH是平行四边形?‎ ‎39.如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.‎ ‎(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).‎ ‎(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.‎ ‎(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.‎ ‎40.如图(1),E是正方形ABCD的边BC上的一个点(E与B、C两点不重合),过点E作射线EP⊥AE,在射线EP上截取线段EF,使得EF=AE;过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:FG=BE;‎ ‎(2)连接CF,如图(2),求证:CF平分∠DCG;‎ ‎(3)当=时,求sin∠CFE的值.‎ ‎41.如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE.设点E移动的时间为t(秒).‎ ‎(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;‎ ‎(2)求当t为何值时,EC是∠BED的平分线;‎ ‎(3)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ ‎(4)求当t为何值时,△EFC是等腰三角形.(直接写出答案)‎ ‎42.如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处,连结BE.‎ ‎(1)求证:∠BAE=2∠CBE;‎ ‎(2)如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)若AB=5,BC=3,直接写出BG的长   .‎ ‎43.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.‎ ‎(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;‎ ‎(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,过D′作D′G∥AO交E′F于T点,交OC于G点,求证:TG=AE′;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设T(x,y).①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.‎ ‎44.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形.‎ ‎(2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?‎ ‎(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形(不考虑QD=PD)?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎45.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,其中点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),点D为对角线OB上一个动点(不包括端点),∠BCD的平分线交OB于点E.‎ ‎(1)求线段OB所在直线的函数表达式,并写出CD的取值范围.‎ ‎(2)当∠BCD的平分线经过点A时,求点D的坐标.‎ ‎(3)点P是线段BC上的一个动点,求CD十DP的最小值.‎ ‎46.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E为AB的中点,连接CE,BD,过点E作FE⊥CE于点E,交AD于点F,连接CF,已知2AD=AB=BC.‎ ‎(1)求证:CE=BD;‎ ‎(2)若AB=4,求AF的长度;‎ ‎(3)求sin∠EFC的值.‎ ‎47.如图①,在长方形ABCD中,AB=DC=3cm,BC=5cm,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts.‎ ‎(1)PC=   cm.(用含t的代数式表示);‎ ‎(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP,请说明理由;‎ ‎(3)如图②,当点P从点B开始运动时,点Q从点C出发,以acm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样a的值,使得△ABP与△PCQ全等?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎48.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB.‎ ‎(1)求OA、OB的长.‎ ‎(2)若点E为x轴上的点,且S△AOE=,试判断△AOE与△AOD是否相似?并说明理由.‎ ‎(3)在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,请直接写出点F的坐标.‎ ‎49.如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=l0cm.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是矩形;‎ ‎(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;‎ ‎(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.‎ ‎50.如图,点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点,连接AE,过点C作CF⊥AE于F,连接BF.‎ ‎(1)如图1,当点E在CB的延长线上,且AC=EC时,求证:BF=;‎ ‎(2)如图2,当点E在线段BC上,且AE平分∠BAC时,求证:AB+BE=AC;‎ ‎(3)如图3,当点E继续往右运动到BC中点时,过点D作DH⊥AE于H,连接BH.求证:∠BHF=45°.‎ ‎ ‎ 四边形综合题集 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:‎ ‎①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF;④CG与BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小为定值.‎ 其中正确的结论个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;‎ ‎②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG=S四边形CMGN,易求后者的面积;‎ ‎③过点F作FP∥AE于P点,根据题意有FP:AE=DF:DA=1:3,则FP:BE=1:6=FG:BG,即BG=6GF;‎ ‎④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,当点E,F分别是AB,AD中点时,CG⊥BD;‎ ‎⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°.‎ ‎【解答】解:①∵ABCD为菱形,∴AB=AD,‎ ‎∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形,‎ ‎∴∠A=∠BDF=60°,‎ 又∵AE=DF,AD=BD,‎ ‎∴△AED≌△DFB,故本选项正确;‎ ‎②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,‎ 即∠BGD+∠BCD=180°,‎ ‎∴点B、C、D、G四点共圆,‎ ‎∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°,‎ ‎∴∠BGC=∠DGC=60°,‎ 过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N(如图1),‎ 则△CBM≌△CDN(AAS),‎ ‎∴S四边形BCDG=S四边形CMGN,‎ S四边形CMGN=2S△CMG,‎ ‎∵∠CGM=60°,‎ ‎∴GM=CG,CM=CG,‎ ‎∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2,故本选项错误;‎ ‎③过点F作FP∥AE交DE于P点(如图2),‎ ‎∵AF=2FD,‎ ‎∴FP:AE=DF:DA=1:3,‎ ‎∵AE=DF,AB=AD,‎ ‎∴BE=2AE,‎ ‎∴FP:BE=FP:2AE=1:6,‎ ‎∵FP∥AE,‎ ‎∴PF∥BE,‎ ‎∴FG:BG=FP:BE=1:6,‎ 即BG=6GF,故本选项正确;‎ ‎④当点E,F分别是AB,AD中点时(如图3),‎ 由(1)知,△ABD,△BDC为等边三角形,‎ ‎∵点E,F分别是AB,AD中点,‎ ‎∴∠BDE=∠DBG=30°,‎ ‎∴DG=BG,‎ 在△GDC与△BGC中,‎ ‎,‎ ‎∴△GDC≌△BGC,‎ ‎∴∠DCG=∠BCG,‎ ‎∴CH⊥BD,即CG⊥BD,故本选项错误;‎ ‎⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°,为定值,‎ 故本选项正确;‎ 综上所述,正确的结论有①③⑤,共3个,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】‎ 此题综合考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定和性质,作出辅助线构造出全等三角形,把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE,其中结论正确的个数为(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,得到CE=CF;由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°;设EC=x,由勾股定理得到EF,表示出BE,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE,再通过比较大小就可以得出结论.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.‎ ‎∵△AEF等边三角形,‎ ‎∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=30°.‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中,‎ ‎,‎ Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),‎ ‎∴BE=DF,‎ ‎∴CE=CF,故①正确;‎ ‎∵∠BAE=∠DAF,‎ ‎∴∠DAF+∠DAF=30°,‎ 即∠DAF=15°,‎ ‎∴∠AEB=75°,故②正确;‎ 设EC=x,由勾股定理,得 EF=x,CG=x,‎ AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x,‎ ‎∴AG≠2GC,③错误;‎ ‎∵CG=x,AG=x,‎ ‎∴AC=x ‎∴AB=AC•=x,‎ ‎∴BE=x﹣x=x,‎ ‎∴BE+DF=(﹣1)x,‎ ‎∴BE+DF≠EF,故④错误;‎ ‎∵S△CEF=x2,‎ S△ABE=×BE×AB=x×x=x2,‎ ‎∴2S△ABE═S△CEF,故⑤正确.‎ 综上所述,正确的有3个,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.‎ ‎ ‎ ‎3.如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论:‎ ‎①FH=2BH;②AC⊥FH;③S△ACF=1;④CE=AF;⑤EG2=FG•DG,‎ 其中正确结论的个数为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】①②、证明△ABH≌△ADF,得AF=AH,再得AC平分∠FAH,则AM既是中线,又是高线,得AC⊥FH,证明BH=HM=MF=FD,则FH=2BH;所以①②都正确;‎ ‎③可以直接求出FC的长,计算S△ACF≠1,错误;‎ ‎④根据正方形边长为2,分别计算CE和AF的长得结论正确;还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得:CN=AF,由CE=CN=AF;‎ ‎⑤利用相似先得出EG2=FG•CG,再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1,则DG=CG,所以⑤也正确.‎ ‎【解答】解:①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,‎ ‎∵AE平分∠DAC,‎ ‎∴∠FAD=∠CAF=22.5°,‎ ‎∵BH=DF,‎ ‎∴△ABH≌△ADF,‎ ‎∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,‎ ‎∴∠HAC=∠FAC,‎ ‎∴HM=FM,AC⊥FH,‎ ‎∵AE平分∠DAC,‎ ‎∴DF=FM,‎ ‎∴FH=2DF=2BH,‎ 故选项①②正确;‎ ‎③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,‎ ‎∴△FMC是等腰直角三角形,‎ ‎∵正方形的边长为2,‎ ‎∴AC=2,MC=DF=2﹣2,‎ ‎∴FC=2﹣DF=2﹣(2﹣2)=4﹣2,‎ S△AFC=CF•AD≠1,‎ 所以选项③不正确;‎ ‎④AF===2,‎ ‎∵△ADF∽△CEF,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=,‎ ‎∴CE=AF,‎ 故选项④正确;‎ ‎⑤延长CE和AD交于N,如图2,‎ ‎∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,‎ ‎∴CE=EN,‎ ‎∵EG∥DN,‎ ‎∴CG=DG,‎ 在Rt△FEC中,EG⊥FC,‎ ‎∴EG2=FG•CG,‎ ‎∴EG2=FG•DG,‎ 故选项⑤正确;‎ 本题正确的结论有4个,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题是四边形的综合题,综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定;求边时可以利用三角形相似列比例式,也可以直接利用同角三角函数列式计算;同时运用了勾股定理求线段的长,勾股定理在正方形中运用得比较多.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE,BF交于点G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交BA延长线于点Q,下列结论正确的个数是(  )‎ ‎①AE=BF;②AE⊥BF;③sin∠BQP=;④S四边形ECFG=2S△BGE.‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可得到①AE=BF;②AE⊥BF;△BCF沿BF对折,得到△BPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据正弦的定义即可求解;根据AA可证△BGE与△‎ BCF相似,进一步得到相似比,再根据相似三角形的性质即可求解.‎ ‎【解答】解:∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,‎ ‎∴CF=BE,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故①正确;‎ 又∵∠BAE+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠CBF+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠BGE=90°,‎ ‎∴AE⊥BF,故②正确;‎ 根据题意得,FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90°‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠CFB=∠ABF,‎ ‎∴∠ABF=∠PFB,‎ ‎∴QF=QB,‎ 令PF=k(k>0),则PB=2k 在Rt△BPQ中,设QB=x,‎ ‎∴x2=(x﹣k)2+4k2,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴sin=∠BQP==,故③正确;‎ ‎∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,‎ ‎∴△BGE∽△BCF,‎ ‎∵BE=BC,BF=BC,‎ ‎∴BE:BF=1:,‎ ‎∴△BGE的面积:△BCF的面积=1:5,‎ ‎∴S四边形ECFG=4S△BGE,故④错误.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题,涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点,解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变,找准对应边,角的关系求解.‎ ‎ ‎ ‎5.如图,在矩形ABCD中,BC=AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:‎ ‎(1)∠AEB=∠AEH (2)DH=2EH ‎(3)OH=AE (4)BC﹣BF=EH 其中正确命题的序号(  )‎ A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)‎ ‎【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE=CD,得到等腰三角形求出∠AED=67.5°,∠AEB=67.5°,得到(1)正确;‎ ‎(2)设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,求出HE=﹣1,得到2HE≠1,所以(2)不正确;‎ ‎(3)通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形,从而得到(3)正确;‎ ‎(4)由△AFH≌△CHE,到AF=EH,由△ABE≌△AHE,得到BE=EH,于是得到BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,从而得到(4)不正确.‎ ‎【解答】解:(1)在矩形ABCD中,AD=BC=AB=CD,∠ADC=∠BCD=90°,‎ ‎∵DE平分∠ADC,‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=45°,‎ ‎∵AH⊥DE,‎ ‎∴△ADH是等腰直角三角形,‎ ‎∴AD=AH,‎ ‎∴AH=AB=CD,‎ ‎∵△DEC是等腰直角三角形,‎ ‎∴DE=CD,‎ ‎∴AD=DE,‎ ‎∴∠AED=67.5°,‎ ‎∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,‎ ‎∴∠AEH=∠AEB,‎ 所以(1)结论正确;‎ ‎(2)设DH=1,‎ 则AH=DH=1,AD=DE=,‎ ‎∴HE=DE﹣DH=﹣1,‎ ‎∴2HE=2(﹣1)=4﹣2≠1,‎ 所以(2)结论不正确;‎ ‎(3)∵∠AEH=67.5°,‎ ‎∴∠EAH=22.5°,‎ ‎∵DH=CD,∠EDC=45°,‎ ‎∴∠DHC=67.5°,‎ ‎∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,‎ ‎∴∠OAH=∠OHA=22.5°,‎ ‎∴OA=OH,‎ ‎∴∠AEH=∠OHE=67.5°,‎ ‎∴OH=OE=OA,‎ ‎∴OH=AE,‎ 所以(3)正确;‎ ‎(4)∵AH=DH,CD=CE,‎ 在△AFH与△CHE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AFH≌△CHE,‎ ‎∴AF=EH,‎ 在Rt△ABE与Rt△AHE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△AHE,‎ ‎∴BE=EH,‎ ‎∴BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,‎ 所以(2)不正确,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件,根据相等的度数求出相等的角,从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键,也是本题的难点.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PM∥CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,则下列结论:‎ ‎①△ABE≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PE•BF;⑤线段MN的最小值为.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【分析】由正方形的性质及条件可判断出①△ABE≌△BCF,即可判断出②AE=BF,∠BAE=∠CBF,再根据∠BAE+∠BEA=90°,可得∠CBF+∠BEA=90°,可得出∠APB=90°,即可判断③,由△BPE∽△BCF,利用相似三角形的性质,结合CF=BE可判断④;然后根据点P在运动中保持∠APB=90°,可得点P的路径是一段以AB为直径的弧,设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,最后在Rt△BCG中,根据勾股定理,求出CG的长度,再求出PG的长度,即可求出线段CP的最小值,可判断⑤.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎∵动点F,E的速度相同,‎ ‎∴DF=CE,‎ 又∵CD=BC,‎ ‎∴CF=BE,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(SAS),故①正确;‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,故②正确;‎ ‎∵∠BAE+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠CBF+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠APB=90°,故③正确;‎ 在△BPE和△BCF中,‎ ‎∵∠BPE=∠BCF,∠PBE=∠CBF,‎ ‎∴△BPE∽△BCF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴CF•BE=PE•BF,‎ ‎∵CF=BE,‎ ‎∴CF2=PE•BF,故④正确;‎ ‎∵点P在运动中保持∠APB=90°,‎ ‎∴点P的路径是一段以AB为直径的弧,‎ 设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,‎ 在Rt△BCG中,CG===,‎ ‎∵PG=AB=,‎ ‎∴CP=CG﹣PG=﹣=,‎ 即线段CP的最小值为,故⑤正确;‎ 综上可知正确的有5个,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题为四边形的综合应用,涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,证明△ABE≌△BCF是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H.在下列结论中:‎ ‎①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤S△HCF=S△ADH,‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【分析】首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°,由此可以判定③正确,②错误,再证明AC∥DF,推出S△DFA=S△FDC,由此判断⑤正确,根据ASA可以判断①正确,在△EAF中,由∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,推出CE=CK<CF,由此判断④错误.‎ ‎【解答】解:如图,连接AC、以D为圆心DA为半径画圆.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴DA=DC=AB=BC,∠ADC=∠B=∠DCB=90°,∠ACD=∠DAC=45°‎ ‎∵△DEF是由△DEA翻折得到,‎ ‎∴DA=DF=DC,EA=EF,∠AED=∠DEF,‎ ‎∴∠AFC=∠ADC=45°‎ ‎∴∠EFA=∠EAF=45°,‎ ‎∴∠AEF=90°,‎ ‎∴∠DEF=∠DEA=45°,‎ ‎∵EA=ED=EF,‎ ‎∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°,‎ ‎∴∠DAF=∠DFA=22.5°,‎ ‎∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°,‎ ‎∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°,‎ ‎∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°,‎ ‎∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°,‎ ‎∴∠HCF=∠FHC,‎ ‎∴△CFH是等腰三角形,故③正确.②错误,‎ ‎∵∠ACD=∠CDF,‎ ‎∴AC∥DF,‎ ‎∴S△DFA=S△FDC,‎ ‎∴S△ADH=S△CHF,故⑤正确,‎ ‎∵EA=ED,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA,‎ ‎∴∠BAM=∠CDN,‎ 在△ABM和△DCN中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABM≌△DCN,故①正确,‎ 在△EAF中,∵∠CAE=∠CAF,∠AEC=90°,作CK⊥AF于K,‎ ‎∴CE=CK<CF,‎ ‎∴CE≠CF故④错误.‎ ‎∴①③⑤正确,‎ 选B.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造圆利用圆的有关性质解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,分析下列四个结论:‎ ‎①△AEF∽△CAB; ②CF=2AF; ③DF=DC; ④S四边形CDEF=S△AEF,‎ 其中正确的结论有(  )个.‎ A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④‎ ‎【分析】①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确;‎ ‎②由AE=AD=BC,又AD∥BC,所以 ==,故②正确;‎ ‎③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故③正确;‎ ‎④根据△AEF∽△CBF得到 ==,求出S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCDS四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,即可得到S四边形CDEF=5S△AEF=,故④错误.‎ ‎【解答】解:过D作DM∥BE交AC于N,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,‎ ‎∵BE⊥AC于点F,‎ ‎∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,‎ ‎∴△AEF∽△CAB,故①正确;‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△AEF∽△CBF,‎ ‎∴==,‎ ‎∵AE=AD=BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴CF=2AF,故②正确,‎ ‎∵DE∥BM,BE∥DM,‎ ‎∴四边形BMDE是平行四边形,‎ ‎∴BM=DE=BC,‎ ‎∴BM=CM,‎ ‎∴CN=NF,‎ ‎∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,‎ ‎∴DN⊥CF,‎ ‎∴DF=DC,故③正确;‎ ‎∵△AEF∽△CBF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD ‎∴S△AEF=S矩形ABCD,‎ 又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF=S矩形ABCD﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD,‎ ‎∴S四边形CDEF=5S△AEF故④错误;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于H,连接OH、FH、EG与FH交于M,对于下面四个结论:‎ ‎①GH⊥BE;②HOBG;③点H不在正方形CGFE的外接圆上;④△GBE∽△GMF.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【分析】(1)由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+∠HDE=90°,从而得GH⊥BE;‎ ‎(2)由GH是∠EGC的平分线,得出△BGH≌△EGH,再由O是EG的中点,利用中位线定理,得HOBG;‎ ‎(3)△EHG是直角三角形,因为O为EG的中点,所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上;‎ ‎(4)连接CF,由点H在正方形CGFE的外接圆上,得到∠HFC=∠CGH,由∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,得出∠FMG=∠GBE,所以△GBE∽△GMF.‎ ‎【解答】解:(1)如图,∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,‎ ‎∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG,‎ 在△BCE和△DCG中,‎ ‎∴△BCE≌△DCG(SAS),‎ ‎∴∠BEC=∠BGH,‎ ‎∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE,‎ ‎∴∠BEC+∠HDE=90°,‎ ‎∴GH⊥BE.‎ 故①正确;‎ ‎(2)∵GH是∠EGC的平分线,‎ ‎∴∠BGH=∠EGH,‎ 在△BGH和△EGH中 ‎∴△BGH≌△EGH(ASA),‎ ‎∴BH=EH,‎ 又∵O是EG的中点,‎ ‎∴HO是△EBG的中位线,‎ ‎∴HOBG,‎ 故②正确;‎ ‎(3)由(1)得△EHG是直角三角形,‎ ‎∵O为EG的中点,‎ ‎∴OH=OG=OE,‎ ‎∴点H在正方形CGFE的外接圆上,‎ 故③错误;‎ ‎(4)如图2,连接CF,‎ 由(3)可得点H在正方形CGFE的外接圆上,‎ ‎∴∠HFC=∠CGH,‎ ‎∵∠HFC+∠FMG=90°,∠CGH+∠GBE=90°,‎ ‎∴∠FMG=∠GBE,‎ 又∵∠EGB=∠FGM=45°,‎ ‎∴△GBE∽△GMF.‎ 故④正确,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共7小题)‎ ‎10.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到直线AE的距离为;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是 ①②⑤ .‎ ‎【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB;‎ ‎②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于M,由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°,可以得出∠PEB=90°就可以得出②正确,‎ ‎③所以△EMB是等腰Rt△,故B到直线AE距离为BF=,故③是错误的;‎ ‎④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定;‎ ‎⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,由此即可判定.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°.‎ ‎∵AP⊥AE,‎ ‎∴∠EAP=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠EAP,‎ ‎∴∠BAD﹣∠BAP=∠EAP﹣∠BAP,‎ 即∠DAP=∠BAE.‎ ‎∵在△APD和△AEB中,‎ ‎,‎ ‎∴△APD≌△AEB(SAS),故①正确;‎ ‎∴∠AEB=∠APD,‎ ‎∵∠AEP=∠APE=45°,‎ ‎∴∠APD=∠AEB=135°,‎ ‎∴∠BEP=90°,‎ ‎∴EB⊥ED,故②正确.‎ 过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,‎ 在Rt△AEP中,由勾股定理得PE=,‎ 在Rt△BEP中,PB=,PE=,由勾股定理得:BE=,‎ ‎∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,‎ ‎∴∠AEP=45°,‎ ‎∴∠BEF=180°﹣45°﹣90°=45°,‎ ‎∴∠EBF=45°,‎ ‎∴EF=BF,‎ 在Rt△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=,故③是错误的;‎ ‎∵△APD≌△AEB,‎ ‎∴PD=BE=,‎ ‎∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+,因此④是错误的;‎ 连接BD,则S△BPD=PD×BE=,‎ 所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,‎ 所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+.故⑤正确;‎ 综上可知,正确的有①②⑤.‎ 故答案为:①②⑤.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理的运用,综合性比较强,解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法:①AG>GE;②AE=BF;③点G运动的路径长为π;④CG的最小值为﹣1.其中正确的说法是 ②④ .(把你认为正确的说法的序号都填上)‎ ‎【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,故①错误;求得∠BAE=∠CBF,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等,根据全等三角形对应角相等可得AE=BF,判断出②正确;根据题意,G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,然后求出弧的长度,判断出③错误;由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,根据勾股定理求出最小CG长度.‎ ‎【解答】解:∵在正方形ABCD中,BF⊥AE,‎ ‎∴∠AGB保持90°不变,‎ ‎∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心,AO为半径的圆弧,‎ ‎∴当E移动到与C重合时,F点和D点重合,此时G点为AC中点,‎ ‎∴AG=GE,故①错误;‎ ‎∵BF⊥AE,‎ ‎∴∠AEB+∠CBF=90°,‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(AAS),‎ ‎∴故②正确;‎ ‎∵当E点运动到C点时停止,‎ ‎∴点G运动的轨迹为圆,‎ 圆弧的长=×2=,故③错误;‎ 由于OC和OG的长度是一定的,因此当O、G、C在同一条直线上时,CG取最小值,‎ OC==,‎ CG的最小值为OC﹣OG=﹣1,故④正确;‎ 综上所述,正确的结论有②④.‎ 故答案为②④.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,弧长的计算,勾股定理的应用,熟记性质并求出△ABE和△‎ BCF全等是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论:①△ABF≌△CBF;②点E到AB的距离是2;③tan∠DCF=;④△ABF的面积为.其中一定成立的是 ①②③ (把所有正确结论的序号都填在横线上).‎ ‎【分析】利用SAS证明△ABF与△CBF全等,得出①正确,根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2,得出②正确,同时得出;△ABF的面积为得出④错误,得出tan∠DCF=,得出③正确.‎ ‎【解答】解:∵菱形ABCD,‎ ‎∴AB=BC=6,‎ ‎∵∠DAB=60°,‎ ‎∴AB=AD=DB,∠ABD=∠DBC=60°,‎ 在△ABF与△CBF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABF≌△CBF(SAS),‎ ‎∴①正确;‎ 过点E作EG⊥AB,过点F作MH⊥CD,MH⊥AB,如图:‎ ‎∵CE=2,BC=6,∠ABC=120°,‎ ‎∴BE=6﹣2=4,‎ ‎∵EG⊥AB,‎ ‎∴EG=,‎ ‎∴点E到AB的距离是2,‎ 故②正确;‎ ‎∵BE=4,EC=2,‎ ‎∴S△BFE:S△FEC=4:2=2:1,‎ ‎∴S△ABF:S△FBE=3:2,‎ ‎∴△ABF的面积为=,‎ 故④错误;‎ ‎∵,‎ ‎∴=,‎ ‎∵,‎ ‎∴FM=,‎ ‎∴DM=,‎ ‎∴CM=DC﹣DM=6﹣,‎ ‎∴tan∠DCF=,‎ 故③正确;‎ 故答案为:①②③‎ ‎【点评】此题考查了四边形综合题,关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠‎ AEC.若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.给出以下五个结论:‎ ‎①点B平分线段AF;②PF=DE;③∠BEF=∠FEC;④S矩形ABCD=4S△BPF;⑤△AEB是正三角形.‎ 其中正确结论的序号是 ①②③⑤ .‎ ‎【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB=∠ABE,可求得AE=AB=2,在Rt△ADE中可求得DE=1,则EC=1,又可证明△PEC∽△PBF,可求得BF=2,可判定①;在Rt△PBF中可求得PF,可判定②;在Rt△BCE中可求得BE=2,可得∠BEF=∠F,可判定③;容易计算出S矩形ABCD和S△BPF;可判定④;由AE=AB=BE可判定⑤;可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠CEB=∠ABE,‎ 又∵BE平分∠AEC,‎ ‎∴∠AEB=∠CEB,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE,‎ ‎∴AE=AB=2,‎ 在Rt△ADE中,AD=,AE=2,由勾股定理可求得DE=1,‎ ‎∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1,‎ ‎∵DC∥AB,‎ ‎∴△PCE∽△PBF,‎ ‎∴=,即==,‎ ‎∴BF=2,‎ ‎∴AB=BF,‎ ‎∴点B平分线段AF,‎ 故①正确;‎ ‎∵BC=AD=,‎ ‎∴BP=,‎ 在Rt△BPF中,BF=2,由勾股定理可求得PF===,‎ ‎∵DE=1,‎ ‎∴PF=DE,‎ 故②正确;‎ 在Rt△BCE中,EC=1,BC=,由勾股定理可求得BE=2,‎ ‎∴BE=BF,‎ ‎∴∠BEF=∠F,‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎∴∠FEC=∠F,‎ ‎∴∠BEF=∠FEC,‎ 故③正确;‎ ‎∵AB=2,AD=,‎ ‎∴S矩形ABCD=AB•AD=2×=2,‎ ‎∵BF=2,BP=,‎ ‎∴S△BPF=BF•BP=×2×=,‎ ‎∴4S△BPF=,‎ ‎∴S矩形ABCD=≠4S△BPF,‎ 故④不正确;‎ 由上可知AB=AE=BE=2,‎ ‎∴△AEB为正三角形,‎ 故⑤正确;‎ 综上可知正确的结论为:①②③⑤.‎ 故答案为:①②③⑤.‎ ‎【点评】本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定等知识点的综合应用.根据条件求得AE=AB,求得DE的长是解题的关键,从而可求得BF、PF、BE等线段的长容易判断②③④⑤.本题知识点较多,综合性较强,难度较大.在解题时注意勾股定理的灵活运用.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:‎ ‎①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,‎ 其中正确的有 ①②③④ .‎ ‎【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根据平角等于180°求出∠CED=67.5°,从而判断出①正确;‎ ‎②求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断出②正确;‎ ‎③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确;‎ ‎④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD,BC﹣CF=BC﹣(CD﹣DF)=2HE,判断出④正确;‎ ‎⑤判断出△ABH不是等边三角形,从而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到⑤错误.‎ ‎【解答】解:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAE=∠DAE=45°,‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=AB,‎ ‎∵AD=AB,‎ ‎∴AE=AD,‎ 在△ABE和△AHD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△AHD(AAS),‎ ‎∴BE=DH,‎ ‎∴AB=BE=AH=HD,‎ ‎∴∠ADE=∠AED=(180°﹣45°)=67.5°,‎ ‎∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,‎ ‎∴∠AED=∠CED,故①正确;‎ ‎∵∠AHB=(180°﹣45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),‎ ‎∴∠OHE=∠AED,‎ ‎∴OE=OH,‎ ‎∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,‎ ‎∴∠DOH=∠ODH,‎ ‎∴OH=OD,‎ ‎∴OE=OD=OH,故②正确;‎ ‎∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,‎ ‎∴∠EBH=∠OHD,‎ 又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°‎ 在△BEH和△HDF中 ‎∴△BEH≌△HDF(ASA),‎ ‎∴BH=HF,HE=DF,故③正确;‎ 由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD﹣DF,‎ ‎∴BC﹣CF=(CD+HE)﹣(CD﹣HE)=2HE,所以④正确;‎ ‎∵AB=AH,∠BAE=45°,‎ ‎∴△ABH不是等边三角形,‎ ‎∴AB≠BH,‎ ‎∴即AB≠HF,故⑤错误;‎ 综上所述,结论正确的是①②③④.‎ 故答案为:①②③④.‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件,根据相等的度数求出相等的角,从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键,也是本题的难点.‎ ‎ ‎ ‎15.如图所示,在正方形ABCD的对角线上取点E,使得∠BAE=15°,连结AE,CE.延长CE到F,连结BF,使得BC=BF.若AB=1,则下列结论:①AE=CE;②F到BC的距离为;③BE+EC=EF;④;⑤.其中正确的是 ①③⑤ .‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AB=BC,∠ABD=∠CBD=45,利用SAS证明△ABE≌△CBE,即可判断①正确;过F作FH⊥BC于H,先求出∠FBH=30°,再根据直角三角形的性质求出FH,即可判断②错误;在EF上取一点N,使BN=BE,由∠BEN=60°,得出△NBE为等边三角形,再利用ASA证明△FBN≌△CBE,得出NF=EC,从而判断③正确;过A作AM⊥BD交于M,根据勾股定理求出BD,解直角△‎ ADM与直角△AEM,求出AM、DM与EM的值,根据三角形的面积公式求出S△AED=DE×AM=+,即可判断④错误;根据S△EBF=S△FBC﹣S△EBC及S△CBE=S△ABE=S△ABM﹣S△AEM,求出S△EBF=,进而判断⑤正确.‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,‎ ‎∵BE=BE,‎ ‎∴△ABE≌△CBE,‎ ‎∴AE=CE,‎ ‎∴①正确;‎ ‎②过F作FH⊥BC于H.‎ ‎∵△ABE≌△CBE,‎ ‎∴∠BAE=∠BCE=15°.‎ ‎∵BF=BC=1,‎ ‎∴∠BFC=∠FCB=15°,‎ ‎∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°,‎ ‎∴FH=BF=,‎ ‎∴②错误;‎ ‎③在EF上取一点N,使BN=BE,‎ 又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°,‎ ‎∴△NBE为等边三角形,‎ ‎∴∠ENB=60°,‎ 又∵∠NFB=15°,‎ ‎∴∠NBF=45°,‎ 又∵∠EBC=45°,‎ ‎∴∠NBF=∠EBC,‎ 又∵BF=BC,∠NFB=∠ECB=15°,‎ ‎∴△FBN≌△CBE,‎ ‎∴NF=EC,‎ 故BE+EC=EN+NF=EF,‎ ‎∴③正确;‎ ‎④过A作AM⊥BD交于M.‎ 在直角△ABM中,∵∠BAD=90°,AB=AD=1,‎ ‎∴BD=,‎ 在直角△ADM中,∵∠AMD=90°,∠ADM=45°,AD=1,‎ ‎∴DM=AM=,‎ 在直角△AEM中,∵∠AME=90°,∠AEM=60°,AM=,‎ ‎∴EM==,‎ ‎∴S△AED=DE×AM=(+)×=+,‎ ‎∴④错误;‎ ‎⑤∵BD=,AM=DM=,EM=,‎ ‎∴BM=BD﹣DM=﹣=,BM﹣EM=﹣,‎ ‎∴S△ABE=S△ABM﹣S△AEM=BM•AM﹣EM•AM=AM(BM﹣EM)=××(﹣)=﹣.‎ ‎∵△ABE≌△CBE,‎ ‎∴S△ABE=S△CBE=﹣,‎ ‎∴S△EBF=S△FBC﹣S△EBC=×1×﹣(﹣)=,‎ ‎∴⑤正确.‎ 故答案为①③⑤.‎ ‎【点评】‎ 本题是四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积,解直角三角形等知识,综合性较强,有一定难度.准确作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AB=5cm.点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动,到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回;点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线PC﹣CB﹣BQ于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0),则当t= 或 秒时,四边形BQDE为直角梯形.‎ ‎【分析】由四边形QBED为直角梯形,分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况,得出三角形相似,利用相似比求出相应t的值即可.‎ ‎【解答】解:在Rt△ABC中,BC=3cm,AB=5cm,‎ 根据勾股定理得:AC==4cm,‎ 设P、Q运动t秒时,四边形QBED为直角梯形,‎ ‎①当∠PQB=90°时,得DE∥QB,‎ 则四边形QBED是直角梯形(如图1),‎ 此时△APQ∽△ABC,‎ 则=,即=,‎ 解得:t=;‎ ‎②当∠CPQ=90°时,得PQ∥BC,‎ 则四边形QBED是直角梯形(如图2),‎ 此时△APQ∽△ACB,‎ 则=,即=,‎ 解得:t=,‎ 综上,当点P、Q运动或秒时,四边形QBED是直角梯形.‎ 故答案为:或 ‎【点评】此题考查了四边形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,直角梯形的性质,利用了分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是由直角梯形的直角的可能情况,利用平行线得相似三角形,分类求解.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共34小题)‎ ‎17.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.‎ ‎(1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;‎ ‎(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.‎ ‎【分析】(1)根据正方形的性质得出AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,求出DE=CF,根据SAS推出△ADE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出AE=DF,∠DAE=∠FDC即可;‎ ‎(2)有两种情况:①当AC=CE时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC=CE=a即可;②当AE=AC时,设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理求出AC=AE=a,根据正方形的性质∠ADC=90°,根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可;‎ ‎(3)根据(1)(2)知:点P在运动中保持∠APD=90°,得出点P的路径是以AD为直径的圆,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆弧于点P,此时CP的长度最大,求出QC即可.‎ ‎【解答】解:(1)AE=DF,AE⊥DF,‎ 理由是:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,‎ ‎∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,‎ ‎∴DE=CF,‎ 在△ADE和△DCF中 ‎,‎ ‎∴△ADE≌△DCF,‎ ‎∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,‎ ‎∵∠ADE=90°,‎ ‎∴∠ADP+○CDF=90°,‎ ‎∴∠ADP+∠DAE=90°,‎ ‎∴∠APD=180°﹣90°=90°,‎ ‎∴AE⊥DF;‎ ‎(2)‎ ‎(1)中的结论还成立,CE:CD=或2,‎ 理由是:有两种情况:‎ ‎①如图1,当AC=CE时,‎ 设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=CE==a,‎ 则CE:CD=a:a=;‎ ‎②如图2,当AE=AC时,‎ 设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=AE==a,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,‎ ‎∴DE=CD=a,‎ ‎∴CE:CD=2a:a=2;‎ 即CE:CD=或2;‎ ‎(3)∵点P在运动中保持∠APD=90°,‎ ‎∴点P的路径是以AD为直径的圆,‎ 如图3,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆弧于点P,此时CP的长度最大,‎ ‎∵在Rt△QDC中,QC===,‎ ‎∴CP=QC+QP=+1,‎ 即线段CP的最大值是+1.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,用了分类讨论思想,难度偏大.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.点P在边AC上运动,过点P作PD⊥AB于点D,以AP、AD为邻边作▱PADE.设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y,线段AP的长为x(0<x≤6).‎ ‎(1)求线段PE的长(用含x的代数式表示).‎ ‎(2)当点E落在边BC上时,求x的值.‎ ‎(3)求y与x之间的函数关系式.‎ ‎(4)直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值.‎ ‎【分析】(1)先由∠C=90°,AC=BC,得出∠A=45°,再解等腰直角△‎ APD,得出AD=AP•cos∠A=x=PD,然后根据平行四边形对边相等得出PE=AD=x;‎ ‎(2)当点E落在边BC上时,先由平行线的性质得出∠CPE=∠A=45°,再解等腰直角△CPE,得出PC=PE•cos∠CPE=x•=x,再根据AP+PC=AC列出方程x+x=6,解方程即可;‎ ‎(3)分两种情况进行讨论:①当0<x≤4时,y=S▱PADE,根据平行四边形面积公式求解即可;②当4<x≤6时,设DE与BC交于G,PE与BC交于F.求出GE=DE﹣DG=x﹣(6﹣x)=x﹣6,再根据y=S▱PADE﹣S△GFE计算即可;‎ ‎(4)由(2)知,x=4时,点E落在边BC上,此时点E到△ABC任意两边所在直线距离均不相等,所以分两种情况进行讨论:①当E在△ABC内部时,0<x<4.过E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延长DE交BC于N,则EN⊥BC.求出EL=x,EM=x,EN=6﹣x.由于x≠x,即EL≠EM.所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程,求解即可;②当E在△ABC外部时,4<x≤6,过E作EL⊥AC交AC延长线于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC.求出EL=x,EM=x,EG=x﹣6.由于x≠x,即EL≠EM.所以分EL=EN与EM=EN分别列出方程,求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,‎ ‎∴∠A=45°,‎ ‎∵PD⊥AB,‎ ‎∴AD=AP•cos∠A=x=PD,‎ ‎∵四边形PADE是平行四边形,‎ ‎∴PE=AD=x;‎ ‎(2)当点E落在边BC上时,如图1.‎ ‎∵PE∥AD,‎ ‎∴∠CPE=∠A=45°,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴PC=PE•cos∠CPE=x•=x.‎ ‎∵AP+PC=AC,‎ ‎∴x+x=6,‎ ‎∴x=4;‎ ‎(3)①当0<x≤4时,如图2.‎ y=S▱PADE=AD•PD=x•x=x2,即y=x2;‎ ‎②当4<x≤6时,如图3,设DE与BC交于G,PE与BC交于F.‎ ‎∵AD=x,AB=AC=6,‎ ‎∴DB=AB﹣AD=6﹣x,‎ ‎∴DG=DB•sin∠B=(6﹣x)•=6﹣x,‎ ‎∴GE=DE﹣DG=x﹣(6﹣x)=x﹣6,‎ ‎∴y=S▱PADE﹣S△GFE=x2﹣(x﹣6)2=﹣x2+9x﹣18;‎ ‎(4)①当E在△ABC内部时,0<x<4,如图4,过E作EL⊥AC于L,EM⊥AB于M,延长DE交BC于N,则EN⊥BC.‎ EL=PE•sin∠LPE=x•=x,‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x,‎ EN=DN﹣DE=DB•sin∠B﹣AP=(6﹣x)•﹣x=6﹣x﹣x=6﹣x.‎ ‎∵0<x<4,‎ ‎∴x≠x,即EL≠EM.‎ 当EL=EN时,E在∠ACB的平分线上,‎ 有x=6﹣x,解得x=3,符合题意;‎ 当EM=EN时,E在∠ABC的平分线上,‎ 有x=6﹣x,解得x=,符合题意;‎ ‎②当E在△ABC外部时,4<x≤6,过E作EL⊥AC交AC延长线于L,EM⊥AB于M,易知EG⊥BC.‎ EL=GC=AD•sin∠A=x•=x,‎ EM=DE•sin∠EDM=x•=x,‎ EG=DE﹣DG=AP﹣DB•sin∠B=x﹣(6﹣x)•=x﹣(6﹣x)=x﹣6.‎ ‎∵4<x≤6,‎ ‎∴x≠x,即EL≠EM.‎ 当EL=EG时,E在∠ACB的外角的角平分线上,‎ 有x=x﹣6,解得x=6,符合题意;‎ 当EM=EG时,E在∠ABC的外角的角平分线上,‎ 有x=x﹣6,解得x=>6,不合题意舍去.‎ 综上所述,点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值为3,6,.‎ ‎【点评】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,解直角三角形,平行线的性质,三角形、四边形的面积等知识,综合性较强,有一定难度.利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.问题探究 ‎(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM=CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;‎ 问题解决 ‎(3)如图③,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.‎ ‎【分析】(1)结论:AM⊥BN.只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题;‎ ‎(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP.首先证明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可解决问题;‎ ‎(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB.首先证明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)结论:AM⊥BN.‎ 理由:如图①中,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,‎ ‎∵BM=CN,‎ ‎∴△ABM≌△BCN,‎ ‎∴∠BAM=∠CBN,‎ ‎∵∠CBN+∠ABN=90°,‎ ‎∴∠ABN+∠BAM=90°,‎ ‎∴∠APB=90°,‎ ‎∴AM⊥BN.‎ ‎(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP.‎ ‎∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,‎ ‎∴四边形EFPG是矩形,‎ ‎∴∠FEG=∠AEB=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠BEG,‎ ‎∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,‎ ‎∴△AEF≌△BEG,‎ ‎∴EF=EG,AF=BG,‎ ‎∴四边形EFPG是正方形,‎ ‎∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF,‎ ‎∵EF≤AE,‎ ‎∴EF的最大值=AE=2,‎ ‎∴△APB周长的最大值=4+4.‎ ‎(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB.‎ ‎∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,‎ ‎∴△ABM≌△BCN,‎ ‎∴∠BAM=∠CBN,‎ ‎∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,‎ ‎∴∠APB=120°,‎ ‎∵∠AKB=60°,‎ ‎∴∠AKB+∠APB=180°,‎ ‎∴A、K、B、P四点共圆,‎ ‎∴∠BPH=∠KAB=60°,‎ ‎∵PH=PB,‎ ‎∴△PBH是等边三角形,‎ ‎∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,‎ ‎∴∠KBH=∠ABP,∵BK=BA,‎ ‎∴△KBH≌△ABP,‎ ‎∴HK=AP,‎ ‎∴PA+PB=KH+PH=PK,‎ ‎∴PK的值最大时,△APB的周长最大,‎ ‎∴当PK是△ABK外接圆的直径时,PK的值最大,最大值为4,‎ ‎∴△PAB的周长最大值=2+4.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质,四点共圆等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎20.如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.‎ ‎(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;‎ ‎(2)求点P到直线CD距离的最大值;‎ ‎(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时AE、AF的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)△AMN是等边三角形,AM⊥BC时面积最小.只要证明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=∠CAN即可解决问题.‎ ‎(2)如图2中,当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.‎ ‎(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.首先求出AM、AG的长,再证明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ ‎∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,‎ ‎∴△ABC为等边三角形 在△AMB和△ANC中,‎ AB=AC ‎∠B=∠ACN=60°‎ BM=NC ‎∴△AMB≌△ANC ‎∴AM=AN,∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°,‎ ‎∴∠MAN=60°,‎ ‎∴△AMN为等边三角形,‎ 当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,面积最小,‎ 此时AM=MN=AN=2,S△AMN=•(2)2=3‎ ‎(2)如图2中,‎ 当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.‎ 理由:由(1)可知△AMN是等边三角形,‎ 当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,此时PA长最小,PC的长最大,点P到直线CD距离的最大,‎ ‎∵BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,‎ ‎∴PC=MC=1,‎ 在Rt△PCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,‎ ‎∴EC=PC=,‎ ‎∴PE==.‎ ‎∴点P到直线CD距离的最大值为;‎ ‎(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,由于对称,PF=KF,EF为垂线段(垂线段最短).‎ 连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.‎ 在Rt△BMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,‎ ‎∴BH=,HM=,‎ ‎∴AH=,AM==,‎ ‎∵△AMN是等边三角形,‎ ‎∴AG=.‎ ‎∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC,‎ ‎∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°,∠NAP+∠ANP+∠APN=180°,∠ANP=∠PCM=60°,∠APN=∠CPM,‎ ‎∴∠CMP=∠NAP=∠NAK,‎ ‎∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK,‎ ‎∴∠APG=∠EAK,‎ ‎∵∠AGP=∠AEK=90°,AP=AK,‎ ‎∴△AGP≌△KEA,‎ ‎∴KE=AG=.‎ ‎∴EF+PF的最小值为,‎ ‎∵∠PCN=∠PCM,‎ ‎∴====,‎ ‎∴PN=,‎ ‎∴AE=PG=GN﹣PN=,‎ ‎∵在Rt△AFE中,∠AFE=30°,∴AF=2AE,‎ ‎∴AF=.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎21.如图①,正方形ABCD边长为1,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'(0°<α<90°),C'D'与直线CD相交于点E,C'B'与直线CD相交于点F.‎ 问题发现:(1)试猜想∠EAF= 45° ;三角形EC'F的周长 2 .‎ 问题探究:如图②,连接B'D'分别交AE,AF于P,Q两点.‎ ‎(2)在旋转过程中,若D'P=a,QB'=b,试用a,b来表示PQ,并说明理由.‎ ‎(3)在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值,若存在,请求出这个值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)首先证明Rt△AD'E≌Rt△ADE(HL),推出D'E=DE,∠D'AE=∠DAE,同理:B'F=DF,∠B'AF=∠DAF,推出∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠B'AD'=45°,推出△EC′F的周长为C'E+EF+C'F=C'E+DE+DF+C'F=C'E+D'E+B'F+C'F=C'D+B'C'=2.‎ ‎(2)求出B′D′的长即可解决问题.‎ ‎(3)首先证明△APQ∽△AFE,推出=,推出EF最小时,△AEF的面积最小,此时△APQ的面积最小,由(1)可知,△C′EF的周长=EC′+C′F+EF=C′E+ED′+FB′=C′D′+C′B′=2=定值,可以证明当EC′=C′F时,斜边EF定值最小.求出△AEF的最小值即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°,后得到正方形AB′C′D′,‎ ‎∴∠D'AB'=∠D'=∠ADE=90°,AD'=AD=C'D'=B'C'=1‎ 在Rt△AD'E和Rt△ADE中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△AD'E≌Rt△ADE(HL),‎ ‎∴D'E=DE,∠D'AE=∠DAE,‎ 同理:B'F=DF,∠B'AF=∠DAF,‎ ‎∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=∠B'AD'=45°,‎ ‎△EC′F的周长为C'E+EF+C'F=C'E+DE+DF+C'F=C'E+D'E+B'F+C'F=C'D+B'C'=2,‎ 故答案为:45°,2;‎ ‎(2)∵B'D'是正方形AB'C'D'的对角线,‎ ‎∴B'D'=,‎ ‎∵D′P=a,QB′=b ‎∴PQ=B'D'﹣D'P﹣B'Q=﹣a﹣b;‎ ‎(3)如图②中,连接EQ.‎ ‎∵∠ED′P=∠PAQ=45°,∠EPD′=∠APQ,‎ ‎∴△EPD′∽△QPA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,∵∠APD′=∠EPQ,‎ ‎∴△PAD′∽△PQE,‎ ‎∴∠AD′P=∠PEQ=45°,‎ ‎∴∠QAE=∠QEA=45°,‎ ‎∴△AEQ是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=AQ,同理,AF=AP,‎ ‎∴=,∵∠PAQ=∠EAF,‎ ‎∴△PAQ∽△FAE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵EF最小时,△AEF的面积最小,此时△APQ的面积最小,‎ 由(1)可知,△C′EF的周长=EC′+C′F+EF=C′E+ED′+FB′=C′D′+C′B′=2=定值,‎ 可以证明当EC′=C′F时,斜边EF定值最小.设C′E=x,C′F=y,EF=z,则x+y+z=2,x2+y2=z2,x+y=2﹣z,xy=2﹣2z,‎ ‎∴x,y是方程M的两根,M2﹣(2﹣z)M+2﹣2z=0,∵△≥0,‎ ‎∴(2﹣z)2﹣4(2﹣2z)≥0,‎ ‎∴(z+2)2≥8,‎ ‎∴z+2≥2,‎ ‎∴z﹣2,‎ ‎∴斜边EF的最小值为2﹣2,此时△AEF的面积=×1×(2﹣2)=﹣1,△APQ的面积=•S△AEF=,‎ ‎∴△APQ的面积的最小值为.‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的根的判别式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,本题的难点是构建一元二次方程,应用故的判别式,确定EF的最小值,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在矩形ABCD中,AB=CD=4cm,AD=BC=6cm,AE=DE=3cm,点P从点E出发,沿EB方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ⊥CD?‎ ‎(2)设四边形PBCQ的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PBCQ:S四边形PQDE=22:5?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(4)是否存在某一时刻t,使A,P,Q三点在同一直线上?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)先根据勾股定理求出BE=5,再用平行线分线段成比例定理得出,建立方程即可得出结论;‎ ‎(2)先利用相似三角形的性质得出BF,PF,再利用面积的和即可得出结论;‎ ‎(3)先求出梯形BCDE的面积,进而得出四边形BCQP的面积,建立方程,即可得出结论;‎ ‎(4)先判断出△PEG∽△BEA,得出PG=t,EG=t,再判断出△APG∽△AQD得出比例式建立方程求解即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠C=∠D=90°,‎ ‎∴BC⊥CD,AD⊥CD,‎ 在Rt△ABE中,AE=DE=AD=3,AB=4,根据勾股定理得,BE=5,‎ 由运动知,PE=t,CQ=2t,‎ ‎∴BP=5﹣t,DQ=4﹣2t,‎ ‎∵PQ⊥CD,AD⊥CD,BC⊥CD,‎ ‎∴DE∥QP∥CB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t=;‎ ‎(2)如图2,过点P作PF⊥BC于F,‎ ‎∴PF∥AB,‎ ‎∴∠BPF=∠EBA,‎ ‎∵∠BFP=∠EAB=90°,‎ ‎∴△BFP∽△EAB,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴BF=(5﹣t),PF=(5﹣t),‎ ‎∴CF=BC﹣BF=6﹣(5﹣t)=(5+t),‎ ‎∴y=S△BFP+S梯形CQPF=PF•BF+(CQ+PF)×CF=×(5﹣t)×(5﹣t)+[2t+(5﹣t)]×(5+t)‎ ‎=﹣t2﹣t,‎ ‎(3)不存在,‎ 理由:假设存在,‎ ‎∵S梯形BCDE=(DE+BC)×CD=18,‎ ‎∵S四边形PBCQ:S四边形PQDE=22:5,‎ ‎∴S四边形PBCQ:S梯形BCDE=22:27,‎ ‎∴S四边形PBCQ=S梯形BCDE=,‎ ‎∴y=,‎ 由(2)知,y=﹣t2﹣t,‎ ‎∴﹣t2﹣t=,‎ 即:t2+t+=0,‎ 而△=()2﹣4××=﹣<0,‎ ‎∴此方程无解,‎ 即:不存在某一时刻t,使S四边形PBCQ:S四边形PQDE=22:5.‎ ‎(4)存在,理由:假设存在,‎ 如图3,过点P作PG⊥AD于G,‎ ‎∴PG∥AB∥CD,‎ ‎∴△PEG∽△BEA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴PG=t,EG=t,‎ ‎∴AG=AE﹣EG=3﹣t ‎∵PG∥CD.‎ ‎∴△APG∽△AQD,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴t2﹣11t+10=0,‎ ‎∴t=1或t=10(舍),‎ 即:存在t=1时,使A,P,Q三点在同一直线上.‎ ‎【点评】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,几何图形面积的求法,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射线BC任取一点M,联结DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一边DN交直线BC于点N(点N在点M的左侧).‎ ‎(1)当BM的长为10时,求证:BD⊥DM;‎ ‎(2)如图(1),当点N在线段BC上时,设BN=x,BM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;‎ ‎(3)如果△DMN是等腰三角形,求BN的长.‎ ‎【分析】(1)先求出BG=2,DG=4,再用勾股定理求出CD=5=BC,即可判断出△BDM是直角三角形,即可得出结论;‎ ‎(2)先判断出∠DBC=∠MDN,得出△MDN∽△MBD,得出DM2=BM×MN,再用勾股定理得DM2=16+(y﹣2)2,代入即可得出结论;‎ ‎(3)分三种情况讨论计算即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,‎ 过点D作DG⊥BC于G,‎ ‎∴易知,四边形ABGD是矩形,BG=AD=2,DG=AB=4,‎ ‎∵BC=5,‎ ‎∴CG=BC﹣BG=3,‎ 在Rt△CDG中,根据勾股定理得,CD=5,‎ ‎∵BM=10,‎ ‎∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD,‎ ‎∴△BDM是直角三角形,‎ ‎∴BD⊥DM;‎ ‎(2)由(1)知,CD=5=BC,‎ ‎∴∠BDC=∠DBC,‎ ‎∵∠MDN=∠BDC,‎ ‎∴∠DBC=∠MDN,‎ ‎∵∠BMD=∠DMN,‎ ‎∴△MDN∽△MBD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DM2=BM×MN 在Rt△DMG中,根据勾股定理得,DM2=DG2+MG2=16+(y﹣2)2,‎ ‎∵MN=BM﹣BN=y﹣x,‎ ‎∴16+(y﹣2)2=y(y﹣x),‎ ‎∴y=,‎ ‎∵∠MDN=∠BDC,‎ ‎∴∠BDN=∠CDM,‎ ‎∵tan∠ADB=tan∠BDG==,tan∠CDG==,‎ ‎∴∠CDG>∠BDG=∠ADB.‎ ‎∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90°,‎ 当点N到点G时,∠CDG+∠CDM>∠ADB+∠BDN>90°,‎ ‎∵点M在BC上,‎ ‎∴x<2,‎ ‎∴0≤x<2,‎ ‎(3)∵△DMN是等腰三角形,‎ ‎∴Ⅰ、当DN=DM时,如图1,NG=MG,‎ ‎∵NG=2﹣x,MG=y﹣2,‎ ‎∴2﹣x=y﹣2,‎ ‎∴x+y=4②,‎ 由(2)知,y=,‎ ‎∴y(4﹣x)=20①‎ 联立①②,解得x=﹣2﹣4(舍)或x=2﹣4,‎ 即:BN=2﹣4,‎ Ⅱ、当DM=MN时,‎ ‎∴∠MDN=∠DNM,‎ ‎∵∠CBD=∠MDN,‎ ‎∴∠CBD=∠DNM,‎ ‎∴点N与点B重合,‎ ‎∴BN=0,‎ Ⅲ、当MN=DN时,‎ ‎∴∠MDN=∠DMN,‎ ‎∵∠DBC=∠MDN,‎ ‎∴∠DBC=∠DMN,‎ ‎∴DM=BD,‎ 在Rt△ABD中,根据勾股定理得,BD2=AD2+AB2=20,‎ ‎∵DM2=16+(BM﹣2)2,‎ ‎∴20=16+(BM﹣2)2,‎ ‎∴BM=0(舍去)或BM=4,‎ ‎∴如图2,‎ 点M在线段BC上,‎ 同(2)的方法得,16+(BM﹣2)2=BM(BM﹣BN)③,‎ ‎∵MN=BN+BM④,‎ 联立③④解得,BN=1.‎ 即:BN=0或1或2﹣4.‎ ‎【点评】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解(1)的关键是判断出CD=BC=CM,解(2)的关键是判断出△MDN∽△MBD,解(3)的关键是分三种情况讨论.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点P是边AD上的动点(点P不与点A、点D重合),点Q是边CD上一点,联结PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.‎ ‎(1)当QD=QC时,求∠ABP的正切值;‎ ‎(2)设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式;‎ ‎(3)联结BQ,在△PBQ中是否存在度数不变的角?若存在,指出这个角,并求出它的度数;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)先判断出△PDQ≌△ECQ(AAS)得出PD=CE,PQ=QE. 进而得出BE=EP=a+2,即:QP=a+1,再用勾股定理求出a的值,即可求出AP,即可得出结论;‎ ‎(2)先判断出△PAB≌△PHB(AAS),得出AP=PH=x.AB=BH,进而得出BH=BC,再判断出Rt△BHQ≌Rt△BCQ(HL),得出QH=QC=y,最后用勾股定理即可得出结论;‎ ‎(3)借助(2)得出的两个全等三角形即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,‎ 延长PQ交BC延长线于点E.设PD=a.‎ ‎∵∠PBC=∠BPQ,‎ ‎∴EB=EP.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠DPQ=∠E,‎ 在△PDQ和△ECQ中,,‎ ‎∴△PDQ≌△ECQ(AAS)‎ ‎∴PD=CE,PQ=QE. ‎ ‎∴BE=EP=a+2,‎ ‎∴QP=a+1‎ 在Rt△PDQ中,∵PD2+QD2=PQ2,‎ ‎∴a2+1=(a+1)2,解得a=‎ ‎∴AP=AD﹣PD=‎ 在Rt△ABP中,tan∠ABP==.‎ ‎(2)如图2,‎ 过点B作BH⊥PQ,垂足为点H,联结BQ.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠CBP=∠APB,‎ ‎∵∠PBC=∠BPQ,‎ ‎∴∠APB=∠HPB,‎ ‎∵∠A=∠PHB=90°,‎ 在△ABP和△HBP中,,‎ ‎∴△PAB≌△PHB(AAS),‎ ‎∴AP=PH=x.AB=BH,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴BH=BC,‎ 在Rt△BHQ和Rt△BCQ中,‎ ‎∴Rt△BHQ≌Rt△BCQ(HL),‎ ‎∴QH=QC=y,‎ 在Rt△PDQ中,∵PD2+QD2=PQ2,‎ ‎∴(2﹣x)2+(2﹣y)2=(x+y)2,‎ ‎∴(0<x<2).‎ ‎(3)存在,∠PBQ=45°.‎ 由(2)知,△PAB≌△PHB,‎ ‎∴∠ABP=∠HBP,‎ ‎∴∠PBH=∠ABH 由(2)知,Rt△BHQ≌Rt△BCQ,‎ ‎∴∠HBQ=∠CBQ,‎ ‎∴∠HBQ=∠HBC,‎ ‎∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=(∠ABH+∠HBC)=∠ABC=45°.‎ ‎【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解本题的关键是整除辅助线构造全等三角形.‎ ‎ ‎ ‎25.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点(点P不与点B、D重合),过点P作PF⊥BD,交射线BC于点F.联结AP,画∠FPE=∠BAP,PE交BF于点E.设PD=x,EF=y.‎ ‎(1)当点A、P、F在一条直线上时,求△ABF的面积;‎ ‎(2)如图1,当点F在边BC上时,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;‎ ‎(3)联结PC,若∠FPC=∠BPE,请直接写出PD的长.‎ ‎【分析】(1)首先证明∠ADB=∠BAF,由tan∠ADB===,推出tan∠BAF==,可得BF=1,根据S△ABF=•AB•BF计算即可;‎ ‎(2)首先证明△BAP∽△BAP,可得=,由AD∥BC,推出∠ADB=∠PBF,tan∠PBF=tan∠ADB=,即=,由BP=2﹣x,可得PF=(2﹣x),代入比例式即可解决问题;‎ ‎(3)分两种情形分别求解:①当点F在线段BC上时,如图1﹣1中;②如图2中,当点F在线段BC的延长线上时,作PH⊥AD于H,连接DF.寻找相似三角形,构建方程即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图,‎ ‎∵矩形ABCD,‎ ‎∴∠BAD=∠ABF=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠ADB=90°,‎ ‎∵A、P、F在一条直线上,且PF⊥BD,‎ ‎∴∠BPA=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠BAF=90°,‎ ‎∴∠ADB=∠BAF,‎ ‎∵tan∠ADB===,‎ ‎∴tan∠BAF==,‎ ‎∴BF=1,‎ ‎∴S△ABF=•AB•BF=×2×1=1.‎ ‎(2)如图1中,‎ ‎∵PF⊥BP,‎ ‎∴∠BPF=90°,‎ ‎∴∠PFB+∠PBF=90°,‎ ‎∵∠ABF=90°,‎ ‎∴∠PBF+∠ABP=90°,‎ ‎∴∠ABP=∠PFB,‎ 又∵∠BAP=∠FPE ‎∴△BAP∽△FPE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠PBF,‎ ‎∴tan∠PBF=tan∠ADB=,即=,‎ ‎∵BP=2﹣x,‎ ‎∴PF=(2﹣x),‎ ‎∴=,‎ ‎∴y=(≤x<2).‎ ‎(3)①当点F在线段BC上时,如图1﹣1中,‎ ‎∵∠FPB=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∵∠4=∠5,∠4+∠7=90°,∠5+∠6=90°,‎ ‎∴∠6=∠7,‎ ‎∴△PEF∽△PCD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ 整理得:x2﹣2x+4=0,‎ 解得x=±1.‎ ‎②如图2中,当点F在线段BC的延长线上时,作PH⊥AD于H,连接DF.‎ 由△APH∽△DFC,可得=,‎ ‎∴=,‎ 解得x=或(舍弃),‎ 综上所述,PD的长为±1或.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题.相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎26.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.‎ ‎(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;‎ ‎(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;‎ ‎(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.‎ ‎【分析】(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;‎ ‎(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;‎ ‎(3)延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,结合勾股定理以及相等线段可得(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,所以2(DF2+BE2)=EF2.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,‎ ‎∴AF=AG,∠FAG=90°,‎ ‎∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠GAE=45°,‎ 在△AGE与△AFE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AGE≌△AFE(SAS);‎ ‎(2)证明:设正方形ABCD的边长为a.‎ 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.‎ 则△ADF≌△ABG,DF=BG.‎ 由(1)知△AEG≌△AEF,‎ ‎∴EG=EF.‎ ‎∵∠CEF=45°,‎ ‎∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,‎ ‎∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,‎ ‎∴a﹣BE=a﹣DF,‎ ‎∴BE=DF,‎ ‎∴BE=BM=DF=BG,‎ ‎∴∠BMG=45°,‎ ‎∴∠GME=45°+45°=90°,‎ ‎∴EG2=ME2+MG2,‎ ‎∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,‎ ‎∴EF2=ME2+NF2;‎ ‎(3)解:EF2=2BE2+2DF2.‎ 如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,‎ 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.‎ 由(1)知△AEH≌△AEF,‎ 则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,‎ 即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2‎ 又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,‎ 即2(DF2+BE2)=EF2‎ ‎【点评】本题是四边形综合题,其中涉及到正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理.准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎27.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?‎ ‎(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)由四边形ABCD是菱形,OA=AC,OB=BD.在Rt△AOB中,运用勾股定理求出AB=10.再由△DFQ∽△DCO.得出=.求出DF.由AP=DF.求出t.‎ ‎(2)过点C作CG⊥AB于点G,由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,求出CG.据S梯形APFD=(AP+DF)•CG.S△EFD=EF•QD.得出y与t之间的函数关系式;‎ ‎(3)过点C作CG⊥AB于点G,由S菱形ABCD=AB•CG,求出CG,由S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40,求出t,再由△PBN∽△ABO,求得PN,BN,据线段关系求出EM,PM再由勾股定理求出PE.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB∥CD,AC⊥BD,OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=8.‎ 在Rt△AOB中,AB==10.‎ ‎∵EF⊥BD,‎ ‎∴∠FQD=∠COD=90°.‎ 又∵∠FDQ=∠CDO,‎ ‎∴△DFQ∽△DCO.‎ ‎∴=.‎ 即=,‎ ‎∴DF=t.‎ ‎∵四边形APFD是平行四边形,‎ ‎∴AP=DF.‎ 即10﹣t=t,‎ 解这个方程,得t=.‎ ‎∴当t=s时,四边形APFD是平行四边形.‎ ‎(2)如图,过点C作CG⊥AB于点G,‎ ‎∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD,‎ 即10•CG=×12×16,‎ ‎∴CG=.‎ ‎∴S梯形APFD=(AP+DF)•CG ‎=(10﹣t+t)•=t+48.‎ ‎∵△DFQ∽△DCO,‎ ‎∴=.‎ 即=,‎ ‎∴QF=t.‎ 同理,EQ=t.‎ ‎∴EF=QF+EQ=t.‎ ‎∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2.‎ ‎∴y=(t+48)﹣t2=﹣t2+t+48.‎ ‎(3)如图,过点P作PM⊥EF于点M,PN⊥BD于点N,‎ 若S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40,‎ 则﹣t2+t+48=×96,‎ 即5t2﹣8t﹣48=0,‎ 解这个方程,得t1=4,t2=﹣(舍去)‎ 过点P作PM⊥EF于点M,PN⊥BD于点N,‎ 当t=4时,‎ ‎∵△PBN∽△ABO,‎ ‎∴==,即==.‎ ‎∴PN=,BN=.‎ ‎∴EM=EQ﹣MQ==.‎ PM=BD﹣BN﹣DQ==.‎ 在Rt△PME中,‎ PE===(cm).‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合知识,解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段.‎ ‎ ‎ ‎28.如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)当t= 1秒 时,△PQR的边QR经过点B;‎ ‎(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;‎ ‎(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.‎ ‎【分析】(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值;‎ ‎(2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解;‎ ‎(3)首先判定ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值.‎ ‎【解答】解:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,‎ ‎∴AB=AQ,即3=4﹣t,‎ ‎∴t=1.‎ 即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.‎ ‎(2)①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示.‎ 设PR交BC于点G,‎ 过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.‎ S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC ‎=8×3﹣(2t+2t+3)×3‎ ‎=﹣6t;‎ ‎②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示.‎ 设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T.‎ 过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.‎ QD=t,则AQ=AT=4﹣t,‎ ‎∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.‎ S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST ‎=8×3﹣(2t+2t+3)×3﹣(t﹣1)2‎ ‎=﹣t2﹣5t+19;‎ ‎③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示.‎ 设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t.‎ PQ=12﹣3t,∴PR=RQ=(12﹣3t).‎ S=S△PQR﹣S△AQT ‎=PR2﹣AQ2‎ ‎=(12﹣3t)2﹣(4﹣t)2‎ ‎=t2﹣14t+28.‎ 综上所述,S关于t的函数关系式为:‎ S=.‎ ‎(3)∵E(5,0),∴AE=AB=3,‎ ‎∴四边形ABFE是正方形.‎ 如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合.‎ ‎∵∠MAN=45°,‎ ‎∴∠EAM+∠NAB=45°,‎ ‎∴∠BAM′+∠NAB=45°,‎ ‎∴∠MAN=∠M′AN.‎ 连接MN.在△MAN与△M′AN中,‎ ‎∴△MAN≌△M′AN(SAS).‎ ‎∴MN=M′N=M′B+BN ‎∴MN=EM+BN.‎ 设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n.‎ 在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2,‎ 整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ①‎ 延长NR交x轴于点S,则m=EM=RS=PQ=(12﹣3t),‎ ‎∵QS=PQ=(12﹣3t),AQ=4﹣t,‎ ‎∴n=BN=AS=QS﹣AQ=(12﹣3t)﹣(4﹣t)=2﹣t.‎ ‎∴m=3n,‎ 代入①式,化简得:n2+4n﹣3=0,‎ 解得n=﹣2+或n=﹣2﹣(舍去)‎ ‎∴2﹣t=﹣2+‎ 解得:t=8﹣2.‎ ‎∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2)秒.‎ ‎【点评】‎ 本题是运动型综合题,涉及动点与动线,复杂度较高,难度较大.第(2)问中,注意分类讨论周全,不要遗漏;第(3)问中,善于利用全等三角形及勾股定理,求得线段之间的关系式,最后列出方程求解.题中运算量较大,需要认真计算.‎ ‎ ‎ ‎29.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.‎ ‎(1)观察猜想 如图1,当点D在线段BC上时,‎ ‎①BC与CF的位置关系为: 垂直 .‎ ‎②BC,CD,CF之间的数量关系为: BC=CD+CF ;(将结论直接写在横线上)‎ ‎(2)数学思考 如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.‎ ‎(3)拓展延伸 如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.‎ ‎【分析】(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根据余角的性质即可得到结论;‎ ‎(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.‎ ‎(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4,AH=BC=2,求得DH=3,根据正方形的性质得到AD=DE,∠‎ ADE=90°,根据矩形的性质得到NE=CM,EM=CN,由角的性质得到∠ADH=∠DEM,根据全等三角形的性质得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代换得到CN=EM=3,EN=CM=3,根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠CAF,‎ 在△DAB与△FAC中,,‎ ‎∴△DAB≌△FAC,‎ ‎∴∠B=∠ACF,‎ ‎∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;‎ 故答案为:垂直;‎ ‎②△DAB≌△FAC,‎ ‎∴CF=BD,‎ ‎∵BC=BD+CD,‎ ‎∴BC=CF+CD;‎ 故答案为:BC=CF+CD;‎ ‎(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.‎ ‎∵正方形ADEF中,AD=AF,‎ ‎∵∠BAC=∠DAF=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠CAF,‎ 在△DAB与△FAC中,,‎ ‎∴△DAB≌△FAC,‎ ‎∴∠ABD=∠ACF,‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°.‎ ‎∴∠ABD=180°﹣45°=135°,‎ ‎∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,‎ ‎∴CF⊥BC.‎ ‎∵CD=DB+BC,DB=CF,‎ ‎∴CD=CF+BC.‎ ‎(3)解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC,‎ ‎∴BC=AB=4,AH=BC=2,‎ ‎∴CD=BC=1,CH=BC=2,‎ ‎∴DH=3,‎ 由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,‎ ‎∵四边形ADEF是正方形,‎ ‎∴AD=DE,∠ADE=90°,‎ ‎∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,‎ ‎∴四边形CMEN是矩形,‎ ‎∴NE=CM,EM=CN,‎ ‎∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,‎ ‎∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,‎ ‎∴∠ADH=∠DEM,‎ 在△ADH与△DEM中,,‎ ‎∴△ADH≌△DEM,‎ ‎∴EM=DH=3,DM=AH=2,‎ ‎∴CN=EM=3,EN=CM=3,‎ ‎∵∠ABC=45°,‎ ‎∴∠BGC=45°,‎ ‎∴△BCG是等腰直角三角形,‎ ‎∴CG=BC=4,‎ ‎∴GN=1,‎ ‎∴EG==.‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,余角的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎30.已知:四边形ABCD中,对角线的交点为O,E是OC上的一点,过点A作AG⊥BE于点G,AG、BD交于点F.‎ ‎(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,求证:OE=OF;‎ ‎(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°.探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)如图3,若四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=α,且AC⊥BD.结合上面的活动经验,探究线段OE与OF的数量关系为 OF=tan(α﹣45°)OE (直接写出答案).‎ ‎【分析】(1)根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,再根据同角的余角相等求出∠AFO=∠BEO,然后利用“角角边”证明△AOF和△BOE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;‎ ‎(2)根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,对角线平分一组对角可得∠ABO=60°,再根据等角的余角相等求出∠AFO=∠BEO,然后证明△AOF和△‎ BOE相似,根据相似三角形对应边成比例可得=,再根据锐角三角形函数的定义解答;‎ ‎(3)根据等腰梯形的性质求出∠OBC=45°,再根据同角的余角相等求出∠OAF=∠OBE,然后求出△AOF和△BOE相似,利用相似三角形对应边成比例可得=,再根据锐角三角函数解答.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,对角线的交点为O,‎ ‎∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,‎ ‎∴OA=OB,‎ ‎∵AC⊥BD,AG⊥BE,‎ ‎∴∠FAO+∠AFO=90°,∠EAG+∠AEG=90°,‎ ‎∴∠AFO=∠BEO,‎ 在△AOF和△BOE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOF≌△BOE(AAS),‎ ‎∴OE=OF;‎ ‎(2)OF=OE.‎ 理由:∵四边形ABCD是菱形,对角线的交点为O,∠ABC=120°‎ ‎∴AC⊥BD,∠ABO=60°,‎ ‎∴∠FAO+∠AFO=90°,‎ ‎∵AG⊥BE,‎ ‎∴∠EAG+∠BEA=90°.‎ ‎∴∠AFO=∠BEO,‎ 又∵∠AOF=∠BOE=90°,‎ ‎∴△AOF∽△BOE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠ABO=60°,AC⊥BD,‎ ‎∴=tan60°=.‎ ‎∴OF=OE;‎ ‎(3)∵四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,‎ ‎∵AC⊥BD,‎ ‎∴∠OBC=45°,‎ ‎∵∠ABC=α,‎ ‎∴∠ABO=α﹣45°,‎ ‎∵AG⊥BE,‎ ‎∴∠OAF+∠AEG=90°,‎ ‎∵AC⊥BD,‎ ‎∴∠OBE+∠AEG=90°,‎ ‎∴∠OAF=∠OBE,‎ 又∵∠AOF=∠BOE=90°,‎ ‎∴△AOF∽△BOE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠ABO=α﹣45°,AC⊥BD,‎ ‎∴=tan(α﹣45°),‎ ‎∴OF=tan(α﹣45°)OE.‎ 故答案为:OF=tan(α﹣45°)OE.‎ ‎【点评】本题是四边形综合题型,主要利用了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的对角线互相垂直平分的性质,等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定与性质,锐角三角形函数,综合性较强,(2)(3)两小题确定出相似三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎31.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于点G.‎ ‎(1)若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形;‎ ‎(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;‎ ‎(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值.‎ ‎【分析】(1)利用△MAE≌△MDF,求出EM=FM,再由MG⊥EM,得出EG=FG,所以△EFG是等腰三角形;‎ ‎(2)利用勾股定理EM2=AE2+AM2,EC2=BE2+BC2,得出CM2=EC2﹣EM2,利用线段关系求出CM.再△MAE∽△CDM,‎ 求出a的值,再求出CM.‎ ‎(3)①当点M在AD上时,②:①当点M在AD的延长线上时,作MN⊥BC,交BC于点N,先求出EM,再利用△MAE∽△MDF求出FM,得到EF的值,再由△MNG∽△MAE得出MG的长度,然后用含a的代数式表示△EFG的面积S,指出S的最小整数值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠MDF=90°,‎ ‎∵M为边AD中点,‎ ‎∴MA=MD 在△MAE和△MDF中,‎ ‎∴△MAE≌△MDF(ASA),‎ ‎∴EM=FM,‎ 又∵MG⊥EM,‎ ‎∴EG=FG,‎ ‎∴△EFG是等腰三角形;‎ ‎(2)解:如图1,‎ ‎∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ‎∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2,BC=AD=4,‎ ‎∴EM2=AE2+AM2,EC2=BE2+BC2,‎ ‎∴EM2=1+a2,EC2=4+16=20,‎ ‎∵CM2=EC2﹣EM2,‎ ‎∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2,‎ ‎∴CM=.‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠AEM=∠MFD,‎ 又∵∠MCD+∠MFD=90°,∠AME+∠AEM=90°,‎ ‎∴∠AME=∠MCD,‎ ‎∵∠MAE=∠CDM=90°,‎ ‎∴△MAE∽△CDM,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得a=1或3,‎ 代入CM=.‎ 得CM=3或.‎ 方法二:求出a后,利用Rt△CDM直接求CM比较简单.‎ ‎(3)解:①当点M在AD上时,如图2,作MN⊥BC,交BC于点N,‎ ‎∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ‎∴EM==,MD=AD﹣AM=4﹣a,‎ ‎∵∠A=∠MDF=90°,∠AME=∠DMF,‎ ‎∴△MAE∽△MDF ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴FM=,‎ ‎∴EF=EM+FM=+=,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠MGN=∠DMG,‎ ‎∵∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠DMG=90°,‎ ‎∴∠AEM=∠DMG,‎ ‎∴∠MGN=∠AEM,‎ ‎∵∠MNG=∠MAE=90°,‎ ‎∴△MNG∽△MAE ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴MG=,‎ ‎∴S=EF•MG=××=+6,‎ 即S=+6,‎ 当a=时,S有最小整数值,S=1+6=7.‎ ‎②当点M在AD的延长线上时,如图3,作MN⊥BC,交BC延长线于点N,‎ ‎∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ‎∴EM==,MD=a﹣4,‎ ‎∵DC∥AB,‎ ‎∴△MAE∽△MDF ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴FM=,‎ ‎∴EF=EM﹣FM=﹣=,‎ ‎∵∠AME+∠EMN=90°,∠NMG+∠EMN=90°,‎ ‎∴∠AME=∠NMG,‎ ‎∵∠MNG=∠MAE=90°,‎ ‎∴△MNG∽△MAE ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴MG=,‎ ‎∴S=EF•MG=××=+6,‎ 即S=+6,‎ 当a>4时,S没有整数值.‎ 综上所述当a=时,S有最小整数值,S=1+6=7.‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度.‎ ‎ ‎ ‎32.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF ‎(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;‎ ‎(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;‎ ‎(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;‎ ‎①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;‎ ‎②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.‎ ‎【分析】(1)△ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可证明△BAD≌△CAF,从而证得CF=BD,据此即可证得;‎ ‎(2)同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CF﹣CD=BC;‎ ‎(3)首先证明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得DF的长,则OC即可求得.‎ ‎【解答】证明:(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∵四边形ADEF是正方形,‎ ‎∴AD=AF,∠DAF=90°,‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAF,‎ 则在△BAD和△CAF中,‎ ‎,‎ ‎∴△BAD≌△CAF(SAS),‎ ‎∴BD=CF,‎ ‎∵BD+CD=BC,‎ ‎∴CF+CD=BC;‎ ‎(2)CF﹣CD=BC;‎ ‎(3)①CD﹣CF=BC ‎②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=45°,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∵四边形ADEF是正方形,‎ ‎∴AD=AF,∠DAF=90°,‎ ‎∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,‎ ‎∴∠BAD=∠CAF,‎ ‎∵在△BAD和△CAF中,‎ ‎∴△BAD≌△CAF(SAS),‎ ‎∴∠ACF=∠ABD,‎ ‎∵∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ABD=135°,‎ ‎∴∠ACF=∠ABD=135°,‎ ‎∴∠FCD=90°,‎ ‎∴△FCD是直角三角形.‎ ‎∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O.‎ ‎∴DF=AD=4,O为DF中点.‎ ‎∴OC=DF=2.‎ ‎【点评】本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用,证明三角形全等是关键.‎ ‎ ‎ ‎33.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?‎ ‎(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;‎ ‎(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10,①当AP=PO=t,如图1,过P作PM⊥AO,根据相似三角形的性质得到AP=t=,②当AP=AO=t=5,于是得到结论;‎ ‎(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H,已知BE=PD,则可求△BOE的面积;可证得△DFQ∽△DOC,由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积,从而可求五边形OECQF的面积.‎ ‎(3)根据题意列方程得到t=,t=0,(不合题意,舍去),于是得到结论;‎ ‎(4)由角平分线的性质得到DM=DN=,根据勾股定理得到ON=OM==,由三角形的面积公式得到OP=5﹣t,根据勾股定理列方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,‎ ‎∴AC=10,‎ ‎①当AP=PO=t,如图1,‎ 过P作PM⊥AO,‎ ‎∴AM=AO=,‎ ‎∵∠PMA=∠ADC=90°,∠PAM=∠CAD,‎ ‎∴△APM∽△ACD,‎ ‎∴,‎ ‎∴AP=t=,‎ ‎②当AP=AO=t=5,‎ ‎∴当t为或5时,△AOP是等腰三角形;‎ ‎(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H,则OH=CD=AB=3cm.‎ 由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO,DO=BO,又得∠DOP=∠BOE,‎ ‎∴△DOP≌BOE,‎ ‎∴BE=PD=8﹣t,‎ 则S△BOE=BE•OH=×3(8﹣t)=12﹣t.‎ ‎∵FQ∥AC,‎ ‎∴△DFQ∽△DOC,相似比为=,‎ ‎∴=‎ ‎∵S△DOC=S矩形ABCD=×6×8=12cm2,‎ ‎∴S△DFQ=12×=‎ ‎∴S五边形OECQF=S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ=×6×8﹣(12﹣t)﹣=﹣t2+t+12;‎ ‎∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12;‎ ‎(3)存在,‎ ‎∵S△ACD=×6×8=24,‎ ‎∴S五边形OECQF:S△ACD=(﹣t2+t+12):24=9:16,‎ 解得t=3,或t=,‎ ‎∴t=3或时,S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16;‎ ‎(4)如图3,过D作DM⊥PE于M,DN⊥AC于N,‎ ‎∵∠POD=∠COD,‎ ‎∴DM=DN=,‎ ‎∴ON=OM==,‎ ‎∵OP•DM=3PD,‎ ‎∴OP=5﹣t,‎ ‎∴PM=﹣t,‎ ‎∵PD2=PM2+DM2,‎ ‎∴(8﹣t)2=(﹣t)2+()2,‎ 解得:t=16(不合题意,舍去),t=,‎ ‎∴当t=时,OD平分∠COP.‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质,角平分线的性质,相似三角形的判定和性质,图形面积的计算,全等三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎34.如图1,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H.‎ ‎(1)如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.‎ ‎①求证:△AGE≌△AFE;‎ ‎②若BE=2,DF=3,求AH的长.‎ ‎(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并说明理由.‎ ‎【分析】(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下来在证明∠GAE=∠FAE,然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性质可知:AB=AH,GE=EF=5.设正方形的边长为x,接下来,在Rt△EFC中,依据勾股定理列方程求解即可;‎ ‎(2)将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2,接下来证明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′证明即可.‎ ‎【解答】解:(1)①由旋转的性质可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠BAD=90°.‎ 又∵∠EAF=45°,‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°.‎ ‎∴∠BAG+∠BAE=45°.‎ ‎∴∠GAE=∠FAE.‎ 在△GAE和△FAE中,‎ ‎,‎ ‎∴△GAE≌△FAE.‎ ‎②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,‎ ‎∴AB=AH,GE=EF=5.‎ 设正方形的边长为x,则EC=x﹣2,FC=x﹣3.‎ 在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25.‎ 解得:x=6.‎ ‎∴AB=6.‎ ‎∴AH=6.‎ ‎(2)如图所示:将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°.‎ 由旋转的性质可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BM=DM′.‎ ‎∴∠NDM′=90°.‎ ‎∴NM′2=ND2+DM′2.‎ ‎∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,‎ ‎∴∠EAF=∠FAM′=45°.‎ 在△AMN和△ANM′中,‎ ‎,‎ ‎∴△AMN≌△ANM′.‎ ‎∴MN=NM′.‎ 又∵BM=DM′,‎ ‎∴MN2=ND2+BM2.‎ ‎【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用,解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用,正方形的性质,依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎35.给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.‎ ‎(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;‎ ‎(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.‎ ‎①求证:△BCE是等边三角形;‎ ‎②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.‎ ‎【分析】(1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;‎ ‎(2)①首先证明△ABC≌△DBE,得出AC=DE,BC=BE,连接CE,进一步得出△BCE为等边三角形;‎ ‎②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.‎ ‎【解答】解:(1)正方形、矩形、直角梯形均可;‎ 证明:(2)①∵△ABC≌△DBE,‎ ‎∴BC=BE,‎ ‎∵∠CBE=60°,‎ ‎∴△BCE是等边三角形;‎ ‎②∵△ABC≌△DBE,‎ ‎∴BE=BC,AC=ED;‎ ‎∴△BCE为等边三角形,‎ ‎∴BC=CE,∠BCE=60°,‎ ‎∵∠DCB=30°,‎ ‎∴∠DCE=90°,‎ 在Rt△DCE中,‎ DC2+CE2=DE2,‎ ‎∴DC2+BC2=AC2.‎ ‎【点评】此题主要考查勾股定理,三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,是一道综合性很强的题目.‎ ‎ ‎ ‎36.如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)AM= 8﹣2t ,AP= 2+t .(用含t的代数式表示)‎ ‎(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值 ‎(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,‎ ‎①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由 ‎②使四边形AQMK为正方形,则AC= 8 .‎ ‎【分析】(1)由DM=2t,根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t;先证明四边形CNPD为矩形,得出DP=CN=6﹣t,则AP=AD﹣DP=2+t;‎ ‎(2)根据四边形ANCP为平行四边形时,可得6﹣t=8﹣(6﹣t),解方程即可;‎ ‎(3))①由NP⊥AD,QP=PK,可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形,列出方程6﹣t﹣2t=8﹣(6﹣t),求解即可,‎ ‎②要使四边形AQMK为正方形,由∠ADC=90°,可得∠CAD=45°,所以四边形AQMK为正方形,则CD=AD,由AD=8,可得CD=8,利用勾股定理求得AC即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图1.‎ ‎∵DM=2t,‎ ‎∴AM=AD﹣DM=8﹣2t.‎ ‎∵在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,NP⊥AD于点P,‎ ‎∴四边形CNPD为矩形,‎ ‎∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t,‎ ‎∴AP=AD﹣DP=8﹣(6﹣t)=2+t;‎ 故答案为:8﹣2t,2+t.‎ ‎(2)∵四边形ANCP为平行四边形时,CN=AP,‎ ‎∴6﹣t=8﹣(6﹣t),解得t=2,‎ ‎(3)①存在时刻t=1,使四边形AQMK为菱形.理由如下:‎ ‎∵NP⊥AD,QP=PK,‎ ‎∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形,‎ ‎∴6﹣t﹣2t=8﹣(6﹣t),解得t=1,‎ ‎②要使四边形AQMK为正方形.‎ ‎∵∠ADC=90°,‎ ‎∴∠CAD=45°.‎ ‎∴四边形AQMK为正方形,则CD=AD,‎ ‎∵AD=8,‎ ‎∴CD=8,‎ ‎∴AC=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】‎ 本题是四边形综合题,其中涉及到直角梯形的性质,矩形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,轴对称的性质,等腰三角形的性质,正方形的性质等知识,综合性较强,难度适中.运用数形结合、方程思想是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎37.已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△DCF; ‎ ‎(2)求CF的长;‎ ‎(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)利用正方形的性质,由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF;‎ ‎(2)通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=;然后由CF=BF﹣BC=即可求得;‎ ‎(3)分三种情况分别讨论即可求得.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,‎ 在△BCE和△DCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△BCE≌△DCF(SAS);‎ ‎(2)证明:如图1,‎ ‎∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的对角线,‎ ‎∴∠EBC=∠DBC=22.5°,‎ 由(1)知△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的对应角相等);‎ ‎∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),‎ ‎∴∠BGF=90°;‎ 在△DBG和△FBG中,‎ ‎,‎ ‎∴△DBG≌△FBG(ASA),‎ ‎∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),‎ ‎∵BD==,‎ ‎∴BF=,‎ ‎∴CF=BF﹣BC=﹣1;‎ ‎(3)解:如图2,∵CF=﹣1,BH=CF ‎∴BH=﹣1,‎ ‎①当BH=BP时,则BP=﹣1,‎ ‎∵∠PBC=45°,‎ 设P(x,x),‎ ‎∴2x2=(﹣1)2,‎ 解得x=1﹣或﹣1+,‎ ‎∴P(1﹣,1﹣)或(﹣1+,﹣1+);‎ ‎②当BH=HP时,则HP=PB=﹣1,‎ ‎∵∠ABD=45°,‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形,‎ ‎∴P(﹣1,﹣1);‎ ‎③当PH=PB时,∵∠ABD=45°,‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形,‎ ‎∴P(,),‎ 综上,在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形,所有符合条件的P点坐标为(1﹣,1﹣)、(﹣1+,﹣1+)、(﹣1,﹣1)、(,).‎ ‎【点评】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定,熟练掌握性质定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎38.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm,E点F点分别为AB,AC的中点.‎ ‎(1)求证:四边形AEDF是菱形;‎ ‎(2)求菱形AEDF的面积;‎ ‎(3)若H从F点出发,在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动,点P从B点出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动,问当t为何值时,四边形BPHE是平行四边形?当t取何值时,四边形PCFH是平行四边形?‎ ‎【分析】(1)根据等腰三角形的性质,证得点D是BC的中点;根据三角形的中位线定理,即可证得:DE∥AC,DF∥AB,根据题目中的条件,即可证得结论;‎ ‎(2)根据中位线定理,即可求出线段EF的长度;根据菱形的面积等于对角线乘积的一半,即可求出菱形面积;‎ ‎(3)根据平行四边形的对边相等,列出关于t的方程,求出t即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴D为BC的中点,‎ ‎∵E,F分别为AB,AC的中点,‎ ‎∴DE和DF是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AC,DF∥AB,‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形,‎ ‎∵E,F分别为AB,AC的中点,AB=AC,‎ ‎∴AE=AF∴平行四边形AEDF是菱形;‎ ‎(2)解:∵EF为△ABC的中位线,‎ ‎∴EF=BC=5,‎ ‎∵AD=8,AD⊥EF,‎ ‎∴S菱形AEDF=AD•EF=×8×5=20;‎ ‎(3)解:∵EF∥BC ‎∴EH∥BP,‎ 若四边形BPHE为平行四边形,则需EH=BP,‎ ‎∴5﹣2t=3t,解得:t=1,‎ ‎∴当t=1秒时,四边形BPHE为平行四边形,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴FH∥PC,‎ 若四边形PCFH为平行四边形,则需FH=PC,‎ ‎∴2t=10﹣3t,解得:t=2,‎ ‎∴当t=2秒时,四边形PCFH为平行四边形.‎ ‎【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定的综合应用,解决此类问题,需要将各知识点融合,熟练应用相关的知识点是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎39.如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.‎ ‎(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).‎ ‎(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.‎ ‎(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.‎ ‎【分析】(1)作ME⊥x轴于E,则∠MEP=90°,先证出∠PME=∠CPO,再证明△MPE≌△PCO,得出ME=PO=t,EP=OC=4,求出OE,即可得出点M的坐标;‎ ‎(2)连接AM,先证明四边形AEMF是正方形,得出∠MAE=45°=∠BOA,AM∥OB,证出四边形OAMN是平行四边形,即可得出MN=OA=4;‎ ‎(3)先证明△PAD∽△PEM,得出比例式,得出AD,求出BD,求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:(1)作ME⊥x轴于E,如图1所示:‎ 则∠MEP=90°,ME∥AB,‎ ‎∴∠MPE+∠PME=90°,‎ ‎∵四边形OABC是正方形,‎ ‎∴∠POC=90°,OA=OC=AB=BC=4,∠BOA=45°,‎ ‎∵PM⊥CP,‎ ‎∴∠CPM=90°,‎ ‎∴∠MPE+∠CPO=90°,‎ ‎∴∠PME=∠CPO,‎ 在△MPE和△PCO中,,‎ ‎∴△MPE≌△PCO(AAS),‎ ‎∴ME=PO=t,EP=OC=4,‎ ‎∴OE=t+4,‎ ‎∴点M的坐标为:(t+4,t);‎ ‎(2)线段MN的长度不发生改变;理由如下:‎ 连接AM,如图2所示:‎ ‎∵MN∥OA,ME∥AB,∠MEA=90°,‎ ‎∴四边形AEMF是矩形,‎ 又∵EP=OC=OA,‎ ‎∴AE=PO=t=ME,‎ ‎∴四边形AEMF是正方形,‎ ‎∴∠MAE=45°=∠BOA,‎ ‎∴AM∥OB,‎ ‎∴四边形OAMN是平行四边形,‎ ‎∴MN=OA=4;‎ ‎(3)∵ME∥AB,‎ ‎∴△PAD∽△PEM,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴AD=﹣t2+t,‎ ‎∴BD=AB﹣AD=4﹣(﹣t2+t)=t2﹣t+4,‎ ‎∵MN∥OA,AB⊥OA,‎ ‎∴MN⊥AB,‎ ‎∴四边形BNDM的面积S=MN•BD=×4(t2﹣t+4)=(t﹣2)2+6,‎ ‎∴S是t的二次函数,‎ ‎∵>0,‎ ‎∴S有最小值,‎ 当t=2时,S的值最小;‎ ‎∴当t=2时,四边形BNDM的面积最小.‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果.‎ ‎ ‎ ‎40.如图(1),E是正方形ABCD的边BC上的一个点(E与B、C两点不重合),过点E作射线EP⊥AE,在射线EP上截取线段EF,使得EF=AE;过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:FG=BE;‎ ‎(2)连接CF,如图(2),求证:CF平分∠DCG;‎ ‎(3)当=时,求sin∠CFE的值.‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AE=EF,利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证;‎ ‎(2)由(1)得到BC=AB=EG,利用等式的性质得到BE=CG,根据FG=BE,等量代价得到FG=CG,即三角形FCG为等腰直角三角形,得到∠FCG=45°,即可得证;‎ ‎(3)如图,作CH⊥EF于H,则△EHC∽△EGF,利用相似得比例,根据BE与BC的比值,设出BE,EC,以及EG,FG,利用勾股定理表示出EF,CF,进而表示出HC,在直角三角形HC中,利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵EP⊥AE,‎ ‎∴∠AEB+∠GEF=90°,‎ 又∵∠AEB+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠GEF=∠BAE,‎ 又∵FG⊥BC,‎ ‎∴∠ABE=∠EGF=90°,‎ 在△ABE与△EGF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△EGF(AAS),‎ ‎∴FG=BE;‎ ‎(2)证明:由(1)知:BC=AB=EG,‎ ‎∴BC﹣EC=EG﹣EC,‎ ‎∴BE=CG,‎ 又∵FG=BE,‎ ‎∴FG=CG,‎ 又∵∠CGF=90°,‎ ‎∴∠FCG=45°=∠DCG,‎ ‎∴CF平分∠DCG;‎ ‎(3)解:如图,作CH⊥EF于H,‎ ‎∵∠HEC=∠GEF,∠CHE=∠FGE=90°,‎ ‎∴△EHC∽△EGF,‎ ‎∴=,‎ 根据=,设BE=3a,则EC=a,EG=4a,FG=CG=3a,‎ ‎∴EF=5a,CF=3a,‎ ‎∴=,HC=a,‎ ‎∴sin∠CFE==.‎ ‎【点评】此题属于四边形综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎41.如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE.设点E移动的时间为t(秒).‎ ‎(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;‎ ‎(2)求当t为何值时,EC是∠BED的平分线;‎ ‎(3)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ ‎(4)求当t为何值时,△EFC是等腰三角形.(直接写出答案)‎ ‎【分析】(1)B,E,F三点共线时,满足△FED∽△FBC,结合行程问题可以得出关于t的比例式,求出t的值;‎ ‎(2)∠BEC=∠BFC.可以转化为∠BEC=∠BCE.即BE=BC.得出关于t的方程,求出值;‎ ‎(3)求S与t之间的函数关系式,可以将四边形BCFE的面积分成S△BCE,S△ECF两部分,结合(1)确定t的取值范围;‎ ‎(4)根据等腰三角形的性质,分EF=EC,EC=FC,EF=FC三种情况讨论.‎ ‎【解答】解:(1)当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动,如图所示.‎ 由题意可知:ED=t,BC=10,FD=2t﹣5,FC=2t.‎ ‎∵ED∥BC,‎ ‎∴△FED∽△FBC.‎ ‎∴=.‎ ‎∴=.‎ 解得t=5.‎ ‎∴当t=5时,两点同时停止运动;‎ ‎(2)在Rt△BCF和Rt△CDE中,‎ ‎∵∠BCF=∠CDE=90°,==2,‎ ‎∴Rt△BCF∽Rt△CDE.‎ ‎∴∠BFC=∠CED. ‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,则∠BEC=∠BCE.即BE=BC.‎ ‎∵52+(10﹣t)2=102,‎ 解得 t1=10+5(舍去),t2=10﹣5.‎ 即当t=10﹣5时,EC是∠BED的平分线. ‎ ‎(3)分两种情况讨论:①当F在线段CD上时:S四边形BCFE=S梯形BCDE﹣S△EDF=‎ ‎(t+10)×5﹣t(5﹣2t)=t2+25;‎ ‎②当F在CD延长线上时:‎ S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=(t+10)×5+t(2t﹣5)=t2+25;‎ ‎∴S=t2+25(0≤t≤5);‎ ‎(4)△EFC是等腰三角形有三种情况:‎ ‎①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,‎ ‎∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,‎ EC2=52+t2=t2+25,‎ ‎∴5t2﹣20t+25=t2+25.‎ ‎∴t=5或t=0(舍去);‎ ‎②若EC=FC时,‎ ‎∵EC2=52+t2=t2+25,FC2=4t2,‎ ‎∴t2+25=4t2.‎ ‎∴t=;‎ ‎③若EF=FC时,‎ ‎∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,FC2=4t2,‎ ‎∴5t2﹣20t+25=4t2.‎ ‎∴t1=10+5(舍去),t2=10﹣5.‎ ‎∴当t的值为5,或10﹣5时,△EFC是等腰三角形.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了四边形综合题.其中涉及到了勾股定理,相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.该题数形结合,综合性较强,将行程问题与矩形有机的整合,有一定的思维容量.‎ ‎ ‎ ‎42.如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处,连结BE.‎ ‎(1)求证:∠BAE=2∠CBE;‎ ‎(2)如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)若AB=5,BC=3,直接写出BG的长 2 .‎ ‎【分析】(1)求出∠ABE=∠AEB,求出∠CBE+∠ABE=90°,∠BAE+2∠ABE=180°,即可求出答案;‎ ‎(2)过B作BO⊥AE于O,连接EG,根据矩形性质得出EG=AF,求出BC=BO=AG,求出M为BG中点,根据三角形中位线求出即可;‎ ‎(3)根据勾股定理求出DE,求出求出OM=DE=2,根据勾股定理求出BM,代入BG=2BM求出即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠C=∠CBA=90°,‎ ‎∴∠CBE+∠ABE=90°,‎ ‎∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处,‎ ‎∴BC=AG,∠EAG=90°,AE=AB,‎ ‎∴∠ABE=∠AEB,‎ ‎∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°,‎ ‎∴2∠ABE+∠BAE=180°,‎ ‎∵∠CBE+∠ABE=90°,‎ ‎∴2∠CBE+2∠ABE=180°,‎ ‎∴∠BAE=2∠CBE.‎ ‎(2)MN=AF,‎ 证明:过B作BO⊥AE于O,连接EG,‎ ‎∵四边形AEFG是矩形,‎ ‎∴AF=EG,∠MAG=∠BOM=90°,‎ ‎∵∠C=∠CBA=90°,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=90°﹣∠CBE,∠CEB=90°﹣∠CBE,‎ ‎∴∠CEB=∠OEB,‎ 在△CBE和△OBE中 ‎∴△CBE≌△OBE(AAS),‎ ‎∴EC=OE,BO=BC=AD=AG,‎ 在△BOM和△GAM中 ‎,‎ ‎∴△BOM≌△GAM(AAS),‎ ‎∴BM=GM,‎ ‎∵点N为BE的中点,‎ ‎∴MN=EG,‎ ‎∵EG=AF,‎ ‎∴MN=AF.‎ ‎(3)解:在Rt△DEA中,∠EDA=90°,AD=BC=3,AE=AB=5,由勾股定理得:DE=4,‎ ‎∵△BOM≌△GAM,△CBE≌△OBE,‎ ‎∴OM=AM,EC=EO,‎ ‎∴OM=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=2,‎ 在Rt△BOM中,由勾股定理得:BM===‎ ‎∵BM=GM,‎ ‎∴BG=+=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理,矩形性质,旋转性质,全等三角形的性质和判定,三角形的中位线等知识点的应用,主要考查学生综合运行定理进行推理的能力,有一定的难度.‎ ‎ ‎ ‎43.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.‎ ‎(1)如图(1),在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;‎ ‎(2)如图(2),在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,过D′作D′G∥AO交E′F于T点,交OC于G点,求证:TG=AE′;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设T(x,y).①探求:y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)先根据折叠的性质得出DC=OC=10,在Rt△BCD中,运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8,然后在Rt△AED中,由勾股定理得OE2=22+(6﹣OE)2,解方程求出OE的长,进而求出点E的坐标;‎ ‎(2)先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F,由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′,则∠D′E′F=∠D′TE′,根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′,则TG=AE′;‎ ‎(3)①由T(x,y),得出AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6﹣y,在Rt△AD′E′中,根据勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6﹣y)2,整理可求出y与x的函数关系式;‎ ‎②在(1)中给出的情况就是x的最小值的状况,可根据AD的长求出x的最小值,当x取最大值时,E′F平分∠OAB,即E′与A重合,四边形AOFD′为正方形,可据此求出此时x的值,有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)如图(1),∵将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,‎ ‎∴DC=OC=10.‎ 在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,‎ ‎∴BD==8.‎ 在Rt△AED中,∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6﹣OE,‎ ‎∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6﹣OE)2,‎ 解得 OE=,‎ ‎∴E点的坐标为(0,);‎ ‎(2)如图(2),∵将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,‎ ‎∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,‎ ‎∵D′G∥AO,‎ ‎∴∠OE′F=∠D′TE′,‎ ‎∴∠D′E′F=∠D′TE′,‎ ‎∴D′T=D′E′=OE′,‎ ‎∴TG=AE′;‎ ‎(3)①∵T(x,y),‎ ‎∴AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6﹣y.‎ 在Rt△AD′E′中,∵∠D′AE′=90°,‎ ‎∴AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6﹣y)2,‎ 整理,得y=﹣x2+3;‎ ‎②结合(1)可得AD′=OG=2时,x最小,从而x≥2,‎ 当E′F恰好平分∠OAB时,AD′最大即x最大,‎ 此时G点与F点重合,四边形AOFD′为正方形,即x最大为6,从而x≤6,‎ 故变量x的取值范围是2≤x≤6.‎ ‎【点评】本题考查了图形的翻折变换,矩形的性质,勾股定理,平行线的性质,等腰三角形的判定,函数解析式的求法等知识,综合性较强,难度适中,主要运用数形结合的思想方法.‎ ‎ ‎ ‎44.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).‎ ‎(1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形.‎ ‎(2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?‎ ‎(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形(不考虑QD=PD)?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)由题意已知,AD∥BC,要使四边形PQDC是平行四边形,则只需要让QD=PC即可,因为Q、P点的速度已知,AD、BC的长度已知,要求时间,用时间=路程÷速度,即可求出时间;‎ ‎(2)要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2,可以分为两种情况:点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时,再利用梯形面积公式,即(QD+PC)×AB÷2=60,因为Q、P点的速度已知,AD、AB、BC的长度已知,用t可分别表示QD、BC的长,即可求得时间t;‎ ‎(3)使△PQD是等腰三角形,可分三种情况,即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD;可利用等腰三角形及直角梯形的性质,分别用t表达等腰三角形的两腰长,再利用两腰相等即可求得时间t.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形PQDC是平行四边形,‎ ‎∴DQ=CP,‎ 当P从B运动到C时,如图(1):‎ ‎∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t,‎ CP=21﹣2t ‎∴16﹣t=21﹣2t 解得t=5‎ 当P从C运动到B时,‎ ‎∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t,‎ CP=2t﹣21‎ ‎∴16﹣t=2t﹣21,‎ 解得t=,‎ ‎∴当t=5或秒时,四边形PQDC是平行四边形;‎ ‎(2)若点P、Q分别沿AD、BC运动时,如图(2):‎ ‎,‎ 即,‎ 解得t=9;‎ 若点P返回时,CP=2(t﹣),‎ 则,‎ 解得t=15.‎ 故当t=9或15秒时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等60cm2;‎ ‎(3)当PQ=PD时,如图(3):‎ 作PH⊥AD于H,则HQ=HD ‎∵QH=HD=QD=(16﹣t)‎ 由AH=BP得2t=(16﹣t)+t,‎ 解得t=秒;‎ 当PQ=QD时QH=AH﹣AQ=BP﹣AQ=2t﹣t=t,QD=16﹣t,‎ ‎∵QD2=PQ2=t2+122‎ ‎∴(16﹣t)2=122+t2‎ 解得t=(秒);‎ 当QD=PD时DH=AD﹣AH=AD﹣BP=16﹣2t,‎ ‎∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16﹣2t)2‎ ‎∴(16﹣t)2=122+(16﹣2t)2‎ 即3t2﹣32t+144=0‎ ‎∵△<0,‎ ‎∴方程无实根,‎ 综上可知,当t=秒或t=秒时,△PQD是等腰三角形.‎ ‎【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质,特别应该注意要全面考虑各种情况,不要遗漏.‎ ‎ ‎ ‎45.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,其中点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(4,2),点D为对角线OB上一个动点(不包括端点),∠BCD的平分线交OB于点E.‎ ‎(1)求线段OB所在直线的函数表达式,并写出CD的取值范围.‎ ‎(2)当∠BCD的平分线经过点A时,求点D的坐标.‎ ‎(3)点P是线段BC上的一个动点,求CD十DP的最小值.‎ ‎【分析】(1)设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx,把B(4,2)代入求出k即可解决问题.‎ ‎(2)如图1中,延长CD交OA于点F,设AF=CF=m,则OF=4﹣m,由OF2+OC2=CF2,列出方程求出m,求出直线CF的解析式,解方程组即可解决问题.‎ ‎(3)如图2中,作点C关于直线OB的对称点F,作FP⊥BC,交OB于D,垂足为P,则点P、D就是所求的点,此时DC+DP=DF+PD=FP最短,求出点F坐标即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx,‎ 把B(4,2)代入,得2=4k,解得k=,‎ ‎∴线段OB所在直线的函数表达式为y=x.‎ CD的范围:≤CD<4.‎ ‎(2)如图1中,延长CD交OA于点F,‎ ‎∵∠ACF=∠ACB=∠CAF,‎ ‎∴AF=CF,设AF=CF=m,则OF=4﹣m,‎ ‎∵OF2+OC2=CF2,‎ ‎∴(4﹣m)2+22=m2,解得m=,‎ ‎∴OF=‎ ‎∴直线CF的解析式为y=﹣x+2,‎ 由解得,‎ ‎∴点D坐标(,).‎ ‎(3)如图2中,作点C关于直线OB的对称点F,作FP⊥BC,交OB于D,垂足为P,则点P、D就是所求的点,此时DC+DP=DF+PD=FP最短(垂线段最短).‎ ‎∵直线OB的解析式为y=x,CF⊥OB,‎ ‎∴可以设直线CF的解析式为y=﹣2x+b,把C(0,2)代入得b=2,‎ ‎∴直线CF解析式为y=﹣2x+2,设直线CF交OB于点E,‎ 由解得,‎ ‎∴点E坐标(,),‎ ‎∵C、F关于点E对称,‎ ‎∴点F坐标(,﹣),‎ ‎∴CD+PD最小值=PF=2+=.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、一次函数、矩形的性质、待定系数法勾股定理、最小值问题等知识,解题的关键是学会构建函数,利用方程组求交点坐标,想到利用垂线段最短解决最小值问题,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎ ‎46.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E为AB的中点,连接CE,BD,过点E作FE⊥CE于点E,交AD于点F,连接CF,已知2AD=AB=BC.‎ ‎(1)求证:CE=BD;‎ ‎(2)若AB=4,求AF的长度;‎ ‎(3)求sin∠EFC的值.‎ ‎【分析】(1)由E为AB的中点,得到AB=2BE,等量代换得到BE=AD,推出△ABD≌△BCE,根据全等三角形的性质即可得到结论;‎ ‎(2)根据已知条件得到AE=BE=2,BC=4,根据余角的性质得到∠AFE=∠BEC,根据相似三角形的性质即可得到结论;‎ ‎(3)根据相似三角形的性质得到AF=AE,设AF=k,则AE=BE=2k,BC=4k,根据勾股定理得到EF=k,CE=2k,CF=5k,由三角函数的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵E为AB的中点,‎ ‎∴AB=2BE,‎ ‎∵AB=2AD,‎ ‎∴BE=AD,‎ ‎∵∠A=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ 在△ABD与△BCE中,,‎ ‎∴△ABD≌△BCE,‎ ‎∴CE=BD;‎ ‎(2)∵AB=4,‎ ‎∴AE=BE=2,BC=4,‎ ‎∵FE⊥CE,‎ ‎∴∠FEC=90°,‎ ‎∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEC=90°,‎ ‎∴∠AFE=∠BEC,‎ ‎∴△AEF∽△BCE,‎ ‎∴,‎ ‎∴AF=1;‎ ‎(3)∵△AEF∽△BCE,‎ ‎∴,‎ ‎∴AF=AE,‎ 设AF=k,则AE=BE=2k,BC=4k,‎ ‎∴EF==k,‎ CE==2k,‎ ‎∴CF==5k,‎ ‎∴sin∠EFC==.‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎47.如图①‎ ‎,在长方形ABCD中,AB=DC=3cm,BC=5cm,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts.‎ ‎(1)PC= (5﹣t) cm.(用含t的代数式表示);‎ ‎(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP,请说明理由;‎ ‎(3)如图②,当点P从点B开始运动时,点Q从点C出发,以acm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样a的值,使得△ABP与△PCQ全等?若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据题意求出BP,计算即可;‎ ‎(2)根据全等三角形的判定定理解答;‎ ‎(3)分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况,根据全等三角形的性质解答.‎ ‎【解答】解:(1)∵点P的速度是1cm/s,‎ ‎∴ts后BP=tcm,‎ ‎∴PC=BC﹣BP=(5﹣t)cm,‎ 故答案为:5﹣t;‎ ‎(2)当t=2.5时,△ABP≌△DCP,‎ ‎∵当t=2.5时,BP=CP=2.5,‎ 在△ABP和△DCP中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABP≌△DCP;‎ ‎(3)∵∠B=∠C=90°,‎ ‎∴当AB=PC,BP=CQ时,△ABP≌△PCQ,‎ ‎∴5﹣t=3,t=at,‎ 解得,t=2,a=1,‎ 当AB=QC,BP=CP时,△ABP≌△QCP,‎ 此时,点P为BC的中点,点Q与点D重合,‎ ‎∴t=2.5,at=3,‎ 解得,a=1.2,‎ 综上所述,当a=1或a=1.2时,△ABP与△PCQ全等.‎ ‎【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质,掌握矩形的对边相等、四个角都是直角以及全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎48.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB.‎ ‎(1)求OA、OB的长.‎ ‎(2)若点E为x轴上的点,且S△AOE=,试判断△AOE与△AOD是否相似?并说明理由.‎ ‎(3)在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形?如果存在,请直接写出点F的坐标.‎ ‎【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可;‎ ‎(2)利用三角形的面积求出OE,然后求出两个三角形夹直角的两边的比,再根据相似三角形的判定方法判定即可;‎ ‎(3)根据平行四边形的对边相等求出BC,再求出OC,然后利用勾股定理列式求出AC的长,再求出直线AB的解析式为y=x+4,设出点F的坐标,然利用勾股定理列式求出AF2、CF2,再分三种情况列出方程求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)x2﹣7x+12=0,‎ 因式分解得,(x﹣3)(x﹣4)=0,‎ 由此得,x﹣3=0,x﹣4=0,‎ 所以,x1=3,x2=4,‎ ‎∵OA>OB,‎ ‎∴OA=4,OB=3;‎ ‎(2)S△AOE=×4•OE=,‎ 解得OE=,‎ ‎∵==,==,‎ ‎∴=,‎ 又∵∠AEO=∠OAD=90°,‎ ‎∴△AOE∽△AOD;‎ ‎(3)∵四边形ABCD是平行四边形,AD=6,‎ ‎∴BC=AD=6,‎ ‎∵OB=3,‎ ‎∴OC=6﹣3=3,‎ 由勾股定理得,AC===5,‎ 易求直线AB的解析式为y=x+4,‎ 设点F的坐标为(a,a+4),‎ 则AF2=a2+(a+4﹣4)2=a2,‎ CF2=(a﹣3)2+(a+4)2=a2+a+25,‎ ‎①若AF=AC,则a2=25,解得a=±3,‎ a=3时,a+4=×3+4=8,‎ a=﹣3时,a+4=×(﹣3)+4=0,‎ 所以,点F的坐标为(3,8)或(﹣3,0);‎ ‎②若CF=AC,则a2+a+25=25,‎ 整理得,25a2+42a=0,‎ 解得a=0(舍去),a=﹣,‎ a+4=×(﹣)+4=,‎ 所以,点F的坐标为(﹣,),‎ ‎③若AF=CF,则a2=a2+a+25,‎ 解得a=﹣,‎ a+4=×(﹣)+4=﹣,‎ 所以,点F的坐标为(﹣,﹣),‎ 综上所述,点F的坐标为(3,8)或(﹣3,0)或(﹣,)或(﹣,﹣)时,以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形.‎ ‎【点评】本题是四边形综合题型,主要利用了解一元二次方程,三角形的面积,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,难点在于(3)分情况讨论,利用勾股定理表示出△ACF的三条边求解更简便.‎ ‎ ‎ ‎49.如图,已知四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC=l0cm.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是矩形;‎ ‎(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;‎ ‎(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t 秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.‎ ‎【分析】(1)先判定四边形ABCD是平行四边形,再根据∠B=90°,得出四边形ABCD是矩形;‎ ‎(2)先过Q作QM⊥BC于M点,AP与BQ交于点N,判定△ABP∽△BMQ,得出=,即=,求得t的值即可;‎ ‎(3)分为三种情况讨论:当CQ=CP=4cm时,当PQ=CQ=4cm时,当QP=CP时,分别根据等腰三角形的性质,求得BP的长,进而得到t的值.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB∥CD,AB=DC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,‎ ‎∴AB2+BC2=100,AC2=100,‎ ‎∴AB2+BC2=AC2,‎ ‎∴∠B=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形;‎ ‎(2)如图,过Q作QM⊥BC于M点,AP与BQ交于点N,则 CQ=5t,QM=3t,CM=4t,MB=8﹣4t,‎ ‎∵∠NAB+∠ABN=90°,∠ABN+∠NBP=90°,‎ ‎∴∠NAB=∠NBP,且∠ABP=∠BMQ=90°,‎ ‎∴△ABP∽△BMQ,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得t=;‎ ‎(3)分为三种情况:‎ ‎①如图1所示,当CQ=CP=4cm时,BP=8﹣4=4cm,‎ ‎∴t=4秒;‎ ‎②如图2所示,当PQ=CQ=4cm时,过Q作QM⊥BC于M,则 AB∥QM,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得CM=3.2(cm),‎ ‎∵PQ=CQ,QM⊥CP,‎ ‎∴PC=2CM=6.4cm,‎ ‎∴BP=8﹣6.4=1.6cm,‎ ‎∴t=1.6秒;‎ ‎③如图3所示,当QP=CP时,过P作PN⊥AC于N,则 CN=CQ=2,∠CNP=∠B=90°,‎ ‎∵∠PCN=∠BCA,‎ ‎∴△PCN∽△ACB,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CP=2.5cm,‎ ‎∴BP=8﹣2.5=5.5cm,‎ ‎∴t=5.5秒.‎ 综上所述,从运动开始,经过4秒或1.6秒或5.5秒时,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形.‎ ‎【点评】本题以动点问题为背景,主要考查了四边形的综合应用,解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,解题时注意分类思想的运用.‎ ‎ ‎ ‎50.如图,点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点,连接AE,过点C作CF⊥AE于F,连接BF.‎ ‎(1)如图1,当点E在CB的延长线上,且AC=EC时,求证:BF=;‎ ‎(2)如图2,当点E在线段BC上,且AE平分∠BAC时,求证:AB+BE=AC;‎ ‎(3)如图3,当点E继续往右运动到BC中点时,过点D作DH⊥AE于H,连接BH.求证:∠BHF=45°.‎ ‎【分析】(1)根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论;‎ ‎(2)作EG⊥AC于G,根据角平分线的性质得出BE=EG,进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB,然后证得△EGC是等腰直角三角形,从而证得EG=GC,即可证得AB+BE=AC;‎ ‎(3)设正方形的边长为1,则AB=AD=1,BE=EC=,根据勾股定理求得AE=,然后通过证得△AEB∽△CEF,△ADH∽△EAB,对应边成比例证得CF=AH=,然后根据SAS证得△ABH≌△CBF,证得BH=BF,∠ABH=∠CBF,从而证得△HBF是等腰直角三角形,从而证得∠BHF=45°.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,∵AC=EC,CF⊥AE,‎ ‎∴AF=EF,‎ ‎∴BF是RT△ABE的斜边的中线,‎ ‎∴BF=AE;‎ ‎(2)如图2,作EG⊥AC于G,‎ ‎∵AE平分∠BAC,AB⊥BE,‎ ‎∴BE=EG,‎ 在RT△ABE和RT△AGE中 ‎,‎ ‎∴RT△ABE≌RT△AGE(HL),‎ ‎∴AG=AB,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ACB=45°,‎ ‎∴∠GEC=45°,‎ ‎∴∠GEC=∠ACB=45°,‎ ‎∴EG=GC,‎ ‎∴AB+BE=AG+GC,‎ 即AB+BE=AC;‎ ‎(3)如图3,设正方形的边长为1,则AB=AD=1,‎ ‎∵点E是BC中点,‎ ‎∴BE=EC=,‎ ‎∴AE==,‎ ‎∵∠ABE=∠CFE=90°,∠AEB=∠CEF,‎ ‎∴△AEB∽△CEF,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴CF=,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAH=∠AEB,‎ ‎∵∠AHD=∠BEA=90°,‎ ‎∴△ADH∽△EAB,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴AH=,‎ ‎∴CF=AH,‎ 在△ABH和△CBF中 ‎∴△ABH≌△CBF(SAS),‎ ‎∴BH=BF,∠ABH=∠CBF,‎ ‎∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°,‎ ‎∴∠HBF=90°,‎ ‎∴△HBF是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BHF=45°.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,角平分线的性质,直角三角形斜边中线的性质,三角形相似的判定和性质,三角形全等的判定和性质,勾股定理的应用等,熟练掌握性质定理是解题的关键.‎ ‎ ‎