上海市浦东新区中考数学二模试卷 解析 21页

‎2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）下列各数不是4的因数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（　　）‎ A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y ‎3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（　　）‎ A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）的相反数是　 　．‎ ‎8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝　 　．‎ ‎9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝　 　．‎ ‎10．（4分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　 　．‎ ‎11．（4分）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为　 　．‎ ‎12．（4分）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是　 　．‎ ‎13．（4分）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD 的位置关系是　 　．‎ ‎14．（4分）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为　 　名．‎ ‎15．（4分）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于　 　．‎ ‎16．（4分）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于　 　厘米．‎ ‎17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝　 　．‎ ‎18．（4分）定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比＝　 　．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）计算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．‎ ‎20．（10分）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．‎ ‎21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．‎ 求：（1）点A的坐标；‎ ‎（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．‎ ‎22．（10分）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．‎ ‎（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；‎ ‎（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．‎ ‎23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．‎ 求证：（1）∠ABD＝∠BCM；‎ ‎（2）BC•BN＝CN•DM．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y＝+bx+c经过点M（3，﹣4），与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC＝BC，求点P的坐标；‎ ‎（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．‎ ‎25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．‎ ‎（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；‎ ‎（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．‎ ‎2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．（4分）下列各数不是4的因数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据求一个数的因数的方法，判断出所给的各数不是4的因数是哪些即可．‎ ‎【解答】解：∵4的因数有：1、2、4，‎ ‎∴各数不是4的因数是3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．‎ ‎2．（4分）如果分式有意义，则x与y必须满足（　　）‎ A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y ‎【分析】根据分式有意义的条件是x﹣y≠0，可得x﹣y≠0，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意得：x﹣y≠0，‎ 即：x≠y，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．‎ ‎3．（4分）直线y＝2x﹣7不经过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，k＝2＞0，b＝﹣1，‎ ‎∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．‎ ‎4．（4分）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】根据方差的意义求解可得．‎ ‎【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎5．（4分）在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：①线段是轴对称图形，‎ ‎②等边三角形是轴对称图形，‎ ‎③等腰梯形是轴对称图形，‎ ‎④平行四边形不是轴对称图形，‎ 综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（　　）‎ A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD ‎【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，于是得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可．‎ ‎【解答】解：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠CBD，‎ 在△ADO与△CBO中，，‎ ‎∴△ADO≌△CBO（AAS），‎ ‎∴AD＝CB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵AB＝BC ‎∴四边形ABCD是菱形；故B正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．（4分）的相反数是　﹣　．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．‎ ‎【解答】解：的相反数是﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．‎ ‎8．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝　（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）　．‎ ‎【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4‎ ‎＝（a﹣b）2﹣4‎ ‎＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．‎ 故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．‎ ‎【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．‎ ‎9．（4分）已知函数f（x）＝，那么f（﹣2）＝　2　．‎ ‎【分析】根据已知直接将x＝﹣2代入求出答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＝，‎ ‎∴f（﹣2）＝＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键，本题属于基础题．‎ ‎10．（4分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　m≤1　．‎ ‎【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程有两个实数根，‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0，‎ 解得：m≤1．‎ 故答案为：m≤1．‎ ‎【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎11．（4分）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，那么y关于x的函数解析式为　y＝12x　．‎ ‎【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵正多边形的中心角为30度，‎ ‎∴＝12，‎ ‎∴正多边形为正十二边形，‎ 设边长为x厘米（x＞0），周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y＝12x；‎ 故答案为：y＝12x．‎ ‎【点评】本题考查了正多边形和圆、圆心角定理、函数关系式等知识，熟练掌握由正多边形的中心角求正多边形的边数是关键．‎ ‎12．（4分）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是　　．‎ ‎【分析】列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：‎ 共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是不放回实验．‎ ‎13．（4分）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是　平行　．‎ ‎【分析】根据共线向量的定义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴与是共线向量，‎ 由于与没有公共点，‎ ‎∴AB∥CD，‎ 故答案为：平行．‎ ‎【点评】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型．‎ ‎14．（4分）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为　160　名．‎ ‎【分析】利用总人数560乘以每天做作业时间不少于2小时的同学所占的比例即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意结合统计图知：‎ 估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560×＝160人，‎ 故答案为：160．‎ ‎【点评】本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎15．（4分）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于　130°　．‎ ‎【分析】根据如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角计算即可．‎ ‎【解答】解：180°﹣50°＝130°．‎ 故这个角的补角等于130°．‎ 故答案为：130°．‎ ‎【点评】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．‎ ‎16．（4分）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于　7　厘米．‎ ‎【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：梯形的中位线长＝×（5+9）＝7（厘米）‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．‎ ‎17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点B旋转，使点A落在射线AC上的点A1处，点C落在点C1处，那么AC1＝　　．‎ ‎【分析】连接AC1，由旋转的性质先证△ABA1为等腰直角三角形，再证△AA1C1为直角三角形，利用勾股定理可求AC1的长度．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC1，‎ 由旋转知，△ABC≌△A1BC1，‎ ‎∴AB＝A1B＝3，AC＝A1C1＝2，∠CAB＝∠C1A1B＝45°，‎ ‎∴∠CAB＝∠CA1B＝45°，‎ ‎∴△ABA1为等腰直角三角形，∠AA1C1＝∠CA1B+∠C1A1B＝90°，‎ 在等腰直角三角形ABA1中，‎ AA1＝AB＝3，‎ 在Rt△AA1C1中，‎ AC1＝＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形．‎ ‎18．（4分）定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比＝　　．‎ ‎【分析】分三种情形分别求解即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由题意⊙O的半径r2＝4×9＝36，‎ ‎∵r＞0，‎ ‎∴r＝6，‎ 当点A在NO的延长线上时，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，‎ ‎∴＝＝，‎ 当点A″是ON与⊙O的交点时，A″M＝2，A″N＝3，‎ ‎∴＝，‎ 当点A′是⊙O上异与A，A″两点时，易证△OA′M∽△ONA′，‎ ‎∴＝＝＝，‎ 综上所述，＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（10分）计算：（﹣3）0﹣9++|2﹣|．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1+2﹣＝﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点的运算．‎ ‎20．（10分）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．‎ ‎【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≥﹣1，‎ 由②得：x＜4．‎ 故不等式组的解集是：﹣1≤x＜4．‎ 故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得BA＝2AO，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．‎ 求：（1）点A的坐标；‎ ‎（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．‎ ‎【分析】（1）作AD⊥x轴，垂足为D，易得AD∥BH，根据平行线分线段成比例可得点A的横坐标，再根据双曲线y＝经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标；‎ ‎（2）根据点C的坐标求出直线AB的表达式，再运用待定系数法即可求出平移后直线的表达式．‎ ‎【解答】解：（1）作AD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∵BH⊥x轴，AD⊥x轴，∴∠BHO＝∠ADO＝90°，∴AD∥BH，‎ ‎∵BA＝2AO，∴，‎ ‎∵点B的横坐标为6，∴OH＝6，∴OD＝2，‎ ‎∵双曲线y＝经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，‎ ‎∴点A的坐标为（2，3）；‎ ‎（2）∵双曲线y＝上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为（6，1），‎ 由题意得，直线AB的表达式为y＝，‎ ‎∴设平移后直线的表达式为y＝，‎ ‎∵平移后直线y＝经过点C（6，1），∴1＝，‎ 解得b＝﹣8，‎ ‎∴平移后直线的表达式y＝．‎ ‎【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎22．（10分）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．‎ ‎（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；‎ ‎（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．‎ ‎【分析】（1）解Rt△ABC求出AC的长度，便可求得AH；‎ ‎（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，根据快速行驶时间比平时行驶时间少20秒，列出分式方程便可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，‎ 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，‎ ‎∴AH＝20.8．‎ 答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；‎ ‎（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得 ‎，‎ 解得，x1＝60，x2＝﹣40，‎ 经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，‎ 答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．‎ ‎【点评】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．‎ ‎23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．‎ 求证：（1）∠ABD＝∠BCM；‎ ‎（2）BC•BN＝CN•DM．‎ ‎【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，BM＝DM，再利用平行线的性质得到∠ABD＝∠MBC，利用直角三角形斜边上的中线性质得到CM＝BM＝DM，则∠MBC＝∠BCM，从而得到∠ABD＝∠BCM；‎ ‎（2）先证明△NBM∽△NCB，则BN：CN＝BM：BC，然后利用BM＝DM和比例性质可得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB＝AD，‎ ‎∴∠ABD＝∠ADB，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠MBC，‎ ‎∴∠ABD＝∠MBC，‎ ‎∵AB＝AD，AM⊥BD，‎ ‎∴BM＝DM，‎ ‎∵DC⊥BC，‎ ‎∴∠BCD＝90°，‎ ‎∴CM＝BM＝DM，‎ ‎∴∠MBC＝∠BCM，‎ ‎∴∠ABD＝∠BCM；‎ ‎（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，‎ ‎∴△NBM∽△NCB，‎ ‎∴BN：CN＝BM：BC，‎ 而BM＝DM，‎ ‎∴BN：CN＝DM：BC，‎ ‎∴BC•BN＝CN•DM．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y＝+bx+c经过点M（3，﹣4），与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC＝BC，求点P的坐标；‎ ‎（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求∠PCB的正弦值．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法即可求得；‎ ‎（2）根据A、B的坐标求得对称轴为x＝1，设点P的坐标为（l，y）．由PC＝BC根据勾股定理列出12+（y+5）2＝52+52．解得即可；‎ ‎（3）作PH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求得BC，然后求得直线BC的解析式，进而求得D的坐标，然后根据S△PBC＝S△PCD+S△PBD，列出．求得PH，解正弦函数即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y═x2+bx+c经过点M（3，﹣4），A（﹣3.0），‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴这条抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣5；‎ ‎（2）∵A（﹣3，0），B（5，0），‎ ‎∴这条抛物线的对称轴为直线x＝l．‎ 设点P的坐标为（l，y）．‎ ‎∵PC＝BC，点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5）．‎ ‎∴PC2＝BC2．‎ ‎12+（y+5）2＝52+52．‎ 解得y＝2或y＝﹣12．‎ ‎∴点P的坐标为（1，2）或（l，﹣12）；‎ ‎（3）作PH⊥BC，垂足为点H．‎ ‎∵点B（5.0），点C（0，5），点P（1，2），‎ ‎∴PC＝BC＝5．‎ 设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，‎ 代入B（5，0）解得k＝1，‎ ‎∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，‎ 把x＝1代入得，y＝﹣4，‎ ‎∴直线BC与对称轴相交于点D（1，﹣4），‎ ‎∴PD＝6，‎ ‎∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，‎ ‎∴．‎ 解得PH＝3．‎ ‎∴sin∠PCB＝＝．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型．‎ ‎25．（14分）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN⊥AP，垂足为点 M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，AB＝8．‎ ‎（1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长；‎ ‎（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）当∠BNO＝∠BON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．‎ ‎【分析】（1）连接PO并延长交弦AB于点H，由垂径定理得出PH⊥AB，AH＝BH，由勾股定理得出OH＝＝3，在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝8，由勾股定理求出AP即可；‎ ‎（2）作OG⊥AB于G，先证明△OBG∽△ABM，得出＝，求出BM＝，得出OM＝，由＜，即可的距离；‎ ‎（3）作OD⊥AB于D，由勾股定理求出OD＝＝3，证出BN＝OB＝5，得出DN的长，再由勾股定理求出ON，然后由相切两圆的性质即可得出圆N的半径．‎ ‎【解答】解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图1所示：‎ ‎∵P是优弧的中点，PH经过圆心O，‎ ‎∴PH⊥AB，AH＝BH，‎ 在△AOH中，∠AHO＝90°，AH＝AB＝4，AO＝5，‎ ‎∴OH＝＝＝3，‎ 在△APH中，∠AHP＝90°，PH＝OP+OH＝5+3＝8，‎ ‎∴AP＝＝＝4；‎ ‎（2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；理由如下：‎ 作OG⊥AB于G，如图2所示：‎ ‎∵∠OBG＝∠ABM，∠OGB＝∠AMB，‎ ‎∴△OBG∽△ABM，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得：BM＝，‎ ‎∴OM＝﹣5＝，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交；‎ ‎（3）作OD⊥AB于D，如图3所示：‎ ‎∵OA＝OB＝5，‎ ‎∴AD＝DB＝AB＝4，‎ ‎∴OD＝＝＝3，‎ ‎∵∠BNO＝∠BON，‎ ‎∴BN＝OB＝5，‎ ‎∴DN＝DB+BN＝9，‎ 在Rt△ODN中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，‎ ‎∵圆N与圆O相切，‎ ‎∴圆N半径＝3﹣5．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、直线与圆的位置关系、相切两圆的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系、相切两圆的性质是解题的关键．‎