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  • 2021-05-10 发布

2018中考数学试题分类汇编考点28圆的有关概念含解析_463

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‎2018中考数学试题分类汇编:考点28圆的有关概念 一.选择题(共26小题)‎ ‎1.(2018•安顺)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为(  )‎ A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm ‎【分析】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.‎ ‎【解答】解:连接AC,AO,‎ ‎∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,‎ ‎∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,‎ 当C点位置如图1所示时,‎ ‎∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,‎ ‎∴OM===3cm,‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=8cm,‎ ‎∴AC===4cm;‎ 当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,‎ ‎∵OC=5cm,‎ ‎∴MC=5﹣3=2cm,‎ 在Rt△AMC中,AC===2cm.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•聊城)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是(  )‎ A.25° B.27.5° C.30° D.35°‎ ‎【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,‎ ‎∴∠B=85°﹣60°=25°,∠CDO=95°,‎ ‎∴∠AOC=2∠B=50°,‎ ‎∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•张家界)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=(  )‎ A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm ‎【分析】根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度.‎ ‎【解答】解:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,‎ ‎∴CE=CD=4cm.‎ 在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,‎ ‎∴OE==3cm,‎ ‎∴AE=AO+OE=5+3=8cm.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•菏泽)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是(  )‎ A.64° B.58° C.32° D.26°‎ ‎【分析】根据垂径定理,可得=,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,根据直角三角形的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 由OC⊥AB,得 ‎=,∠OEB=90°.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∵∠2=2∠1=2×32°=64°.‎ ‎∴∠3=64°,‎ 在Rt△OBE中,∠OEB=90°,‎ ‎∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•白银)如图,⊙A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方⊙A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是(  )‎ A.15° B.30° C.45° D.60°‎ ‎【分析】连接DC,利用三角函数得出∠DCO=30°,进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可.‎ ‎【解答】解:连接DC,‎ ‎∵C(,0),D(0,1),‎ ‎∴∠DOC=90°,OD=1,OC=,‎ ‎∴∠DCO=30°,‎ ‎∴∠OBD=30°,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为(  )‎ A.4 B.2 C. D.2‎ ‎【分析】根据垂径定理得到CH=BH, =,根据圆周角定理求出∠AOB,根据正弦的定义求出BH,计算即可.‎ ‎【解答】解:∵OA⊥BC,‎ ‎∴CH=BH, =,‎ ‎∴∠AOB=2∠CDA=60°,‎ ‎∴BH=OB•sin∠AOB=,‎ ‎∴BC=2BH=2,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•济宁)如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是(  )‎ A.50° B.60° C.80° D.100°‎ ‎【分析】首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质,即可得∠BAD+∠BCD=180°,即可求得∠BAD的度数,再根据圆周角的性质,即可求得答案.‎ ‎【解答】解:圆上取一点A,连接AB,AD,‎ ‎∵点A、B,C,D在⊙O上,∠BCD=130°,‎ ‎∴∠BAD=50°,‎ ‎∴∠BOD=100°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•通辽)已知⊙‎ O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是(  )‎ A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°‎ ‎【分析】由图可知,OA=10,OD=5.根据特殊角的三角函数值求角度即可.‎ ‎【解答】解:由图可知,OA=10,OD=5,‎ 在Rt△OAD中,‎ ‎∵OA=10,OD=5,AD=,‎ ‎∴tan∠1=,∠1=60°,‎ 同理可得∠2=60°,‎ ‎∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°,‎ ‎∴圆周角的度数是60°或120°.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•南充)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是(  )‎ A.58° B.60° C.64° D.68°‎ ‎【分析】根据半径相等,得出OC=OA,进而得出∠C=32°,利用直径和圆周角定理解答即可.‎ ‎【解答】解:∵OA=OC,‎ ‎∴∠C=∠OAC=32°,‎ ‎∵BC是直径,‎ ‎∴∠B=90°﹣32°=58°,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(2018•铜仁市)如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=(  )‎ A.55° B.110° C.120° D.125°‎ ‎【分析】根据圆周角定理进行求解.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ ‎【解答】解:根据圆周角定理,得 ‎∠ACB=(360°﹣∠AOB)=×250°=125°.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•临安区)如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据垂径定理先求BC一半的长,再求BC的长.‎ ‎【解答】解:设OA与BC相交于D点.‎ ‎∵AB=OA=OB=6‎ ‎∴△OAB是等边三角形.‎ 又根据垂径定理可得,OA平分BC,‎ 利用勾股定理可得BD==3‎ 所以BC=6.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•贵港)如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是(  )‎ A.24° B.28° C.33° D.48°‎ ‎【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数,再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:∵∠A=66°,‎ ‎∴∠COB=132°,‎ ‎∵CO=BO,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=(180°﹣132°)=24°,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•威海)如图,⊙O的半径为5,AB为弦,点C为的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为(  )‎ A. B.5 C. D.5‎ ‎【分析】连接OC、OA,利用圆周角定理得出∠AOC=60°,再利用垂径定理得出AB即可.‎ ‎【解答】解:连接OC、OA,‎ ‎∵∠ABC=30°,‎ ‎∴∠AOC=60°,‎ ‎∵AB为弦,点C为的中点,‎ ‎∴OC⊥AB,‎ 在Rt△OAE中,AE=,‎ ‎∴AB=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•盐城)如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为(  )‎ A.35° B.45° C.55° D.65°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°,∠ACB=90°,根据三角形内角和定理计算即可.‎ ‎【解答】解:由圆周角定理得,∠ABC=∠ADC=35°,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•淮安)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是(  )‎ A.70° B.80° C.110° D.140°‎ ‎【分析】作对的圆周角∠APC,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°,然后根据圆周角定理求∠AOC的度数.‎ ‎【解答】解:作对的圆周角∠APC,如图,‎ ‎∵∠P=∠AOC=×140°=70°‎ ‎∵∠P+∠B=180°,‎ ‎∴∠B=180°﹣70°=110°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎16.(2018•咸宁)如图,已知⊙O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为(  )‎ A.6 B.8 C.5 D.5‎ ‎【分析】延长AO交⊙O于点E,连接BE,由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD,据此可得BE=CD=6,在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得.‎ ‎【解答】解:如图,延长AO交⊙O于点E,连接BE,‎ 则∠AOB+∠BOE=180°,‎ 又∵∠AOB+∠COD=180°,‎ ‎∴∠BOE=∠COD,‎ ‎∴BE=CD=6,‎ ‎∵AE为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ABE=90°,‎ ‎∴AB===8,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎17.(2018•衢州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是(  )‎ A.75° B.70° C.65° D.35°‎ ‎【分析】直接根据圆周角定理求解.‎ ‎【解答】解:∵∠ACB=35°,‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=70°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎18.(2018•柳州)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠A=60°,∠B=24°,则∠C的度数为(  )‎ A.84° B.60° C.36° D.24°‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠B与∠C所对的弧都是,‎ ‎∴∠C=∠B=24°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎19.(2018•邵阳)如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是(  )‎ A.80° B.120° C.100° D.90°‎ ‎【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠A=180°﹣∠BCD=60°,‎ 由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎20.(2018•苏州)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为(  )‎ A.100° B.110° C.120° D.130°‎ ‎【分析】根据互补得出∠AOC的度数,再利用圆周角定理解答即可.‎ ‎【解答】解:∵∠BOC=40°,‎ ‎∴∠AOC=180°﹣40°=140°,‎ ‎∴∠D=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎21.(2018•台湾)如图,坐标平面上,A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点,有一直线L通过P点且与AB垂直,C点为L与y轴的交点.若A、B、C的坐标分别为(a,0),(0,4),(0,﹣5),其中a<0,则a的值为何?(  )‎ A.﹣2 B.﹣2 C.﹣8 D.﹣7‎ ‎【分析】连接AC,根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC,根据勾股定理求出OA,得到答案.‎ ‎【解答】解:连接AC,‎ 由题意得,BC=OB+OC=9,‎ ‎∵直线L通过P点且与AB垂直,‎ ‎∴直线L是线段AB的垂直平分线,‎ ‎∴AC=BC=9,‎ 在Rt△AOC中,AO==2,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴a=﹣2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎22.(2018•衢州)如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是(  )‎ A.3cm B. cm C.2.5cm D. cm ‎【分析】根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和性质解答即可.‎ ‎【解答】解:连接OB,‎ ‎∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,AE=2cm,‎ 在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,‎ 即OE2+42=(OE+2)2‎ 解得:OE=3,‎ ‎∴OB=3+2=5,‎ ‎∴EC=5+3=8,‎ 在Rt△EBC中,BC=,‎ ‎∵OF⊥BC,‎ ‎∴∠OFC=∠CEB=90°,‎ ‎∵∠C=∠C,‎ ‎∴△OFC∽△BEC,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得:OF=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎23.(2018•青岛)如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=140°,点B是的中点,则∠D的度数是(  )‎ A.70° B.55° C.35.5° D.35°‎ ‎【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC,再根据圆周角定理解答.‎ ‎【解答】解:连接OB,‎ ‎∵点B是的中点,‎ ‎∴∠AOB=∠AOC=70°,‎ 由圆周角定理得,∠D=∠AOB=35°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎24.(2018•广州)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是(  )‎ A.40° B.50° C.70° D.80°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°,进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可.‎ ‎【解答】解:∵∠ABC=20°,‎ ‎∴∠AOC=40°,‎ ‎∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=40°,‎ ‎∴∠AOB=80°,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎25.(2018•遂宁)如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出OD,根据三角形中位线定理计算即可.‎ ‎【解答】解:∵半径OC垂直于弦AB,‎ ‎∴AD=DB=AB=,‎ 在Rt△AOD中,OA2=(OC﹣CD)2+AD2,即OA2=(OA﹣1)2+()2,‎ 解得,OA=4‎ ‎∴OD=OC﹣CD=3,‎ ‎∵AO=OE,AD=DB,‎ ‎∴BE=2OD=6,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎26.(2018•钦州三模)如图,BC是⊙O的弦,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数是(  )‎ A.70° B.35° C.45° D.60°‎ ‎【分析】欲求∠ADC,又已知一圆心角,可利用圆周角与圆心角的关系求解.‎ ‎【解答】解:∵A、B、C、D是⊙O上的四点,OA⊥BC,‎ ‎∴弧AC=弧AB (垂径定理),‎ ‎∴∠ADC=∠AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半);‎ 又∠AOB=70°,‎ ‎∴∠ADC=35°.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共13小题)‎ ‎27.(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm.‎ ‎【分析】分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解.‎ ‎【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,‎ ‎∵AB=16cm,CD=12cm,‎ ‎∴AE=8cm,CF=6cm,‎ ‎∵OA=OC=10cm,‎ ‎∴EO=6cm,OF=8cm,‎ ‎∴EF=OF﹣OE=2cm;‎ ‎②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,‎ ‎∵AB=16cm,CD=12cm,‎ ‎∴AF=8cm,CE=6cm,‎ ‎∵OA=OC=10cm,‎ ‎∴OF=6cm,OE=8cm,‎ ‎∴EF=OF+OE=14cm.‎ ‎∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.‎ 故答案为:2或14.‎ ‎ ‎ ‎28.(2018•曲靖)如图:四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°,则∠DCE= n °.‎ ‎【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠A+∠DCB=180°,‎ 又∵∠DCE+∠DCB=180°‎ ‎∴∠DCE=∠A=n°‎ 故答案为:n ‎ ‎ ‎29.(2018•南通模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 2 .‎ ‎【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则可根据勾股定理计算出AC=4,再根据垂径定理得到BD=CD,则可判断OD为△ABC的中位线,然后根据三角形中位线性质求解.‎ ‎【解答】解:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴AC==4,‎ ‎∵OD⊥BC,‎ ‎∴BD=CD,‎ 而OB=OA,‎ ‎∴OD为△ABC的中位线,‎ ‎∴OD=AC=×4=2.‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎30.(2018•北京)如图,点A,B,C,D在⊙O上, =,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= 70° .‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵=,∠CAD=30°,‎ ‎∴∠CAD=∠CAB=30°,‎ ‎∴∠DBC=∠DAC=30°,‎ ‎∵∠ACD=50°,‎ ‎∴∠ABD=50°,‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°.‎ 故答案为:70°.‎ ‎ ‎ ‎31.(2018•杭州)如图,AB是⊙O的直轻,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA= 30° .‎ ‎【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°,进而得出∠DOA=60°,利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可.‎ ‎【解答】解:∵点C是半径OA的中点,‎ ‎∴OC=OD,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠CDO=30°,‎ ‎∴∠DOA=60°,‎ ‎∴∠DFA=30°,‎ 故答案为:30°‎ ‎ ‎ ‎32.(2018•吉林)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点, =,若∠AOB=58°,则∠BDC= 29 度.‎ ‎【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可;‎ ‎【解答】解:连接OC.‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=58°,‎ ‎∴∠BDC=∠BOC=29°,‎ 故答案为29.‎ ‎ ‎ ‎33.(2018•烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 (﹣1,﹣2) .‎ ‎【分析】连接CB,作CB的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可.‎ ‎【解答】解:连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:‎ 在CB的垂直平分线上找到一点D,‎ CD═DB=DA=,‎ 所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,‎ 即D的坐标为(﹣1,﹣2),‎ 故答案为:(﹣1,﹣2),‎ ‎ ‎ ‎34.(2018•无锡)如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC= 15° .‎ ‎【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可.‎ ‎【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,‎ ‎∴OA=OB=AB,‎ 即△OAB是等边三角形,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ ‎∵OC⊥OB,‎ ‎∴∠COB=90°,‎ ‎∴∠COA=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴∠ABC=15°,‎ 故答案为:15°‎ ‎ ‎ ‎35.(2018•广东)同圆中,已知弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角是 50° .‎ ‎【分析】直接利用圆周角定理求解.‎ ‎【解答】解:弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角为50°.‎ 故答案为50°.‎ ‎ ‎ ‎36.(2018•黑龙江)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 5 .‎ ‎【分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,AE=CD,在直角△‎ OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.‎ ‎【解答】解:连接OC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,‎ ‎∴CE=DE=CD=×6=3,‎ 设⊙O的半径为xcm,‎ 则OC=xcm,OE=OB﹣BE=x﹣1,‎ 在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,‎ ‎∴x2=32+(x﹣1)2,‎ 解得:x=5,‎ ‎∴⊙O的半径为5,‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎37.(2018•绍兴)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,从A到B只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少B走了 15 步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:≈1.732,π取3.142)‎ ‎【分析】作OC⊥AB于C,如图,根据垂径定理得到AC=BC,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°,则OC=10,AC=10,所以AB≈69(步),然后利用弧长公式计算出的长,最后求它们的差即可.‎ ‎【解答】解:作OC⊥AB于C,如图,则AC=BC,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠A=∠B=(180°﹣∠AOB)=(180°﹣120°)=30°,‎ 在Rt△AOC中,OC=OA=10,AC=OC=10,‎ ‎∴AB=2AC=20≈69(步);‎ 而的长=≈84(步),‎ 的长与AB的长多15步.‎ 所以这些市民其实仅仅少B走了 15步.‎ 故答案为15.‎ ‎ ‎ ‎38.(2018•随州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40度,∠C=20度,则∠B= 60 度.‎ ‎【分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°,根据等腰三角形的性质解答即可.‎ ‎【解答】解:如图,连接OA,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OAC=∠C=20°,‎ ‎∴∠OAB=60°,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴∠B=∠OAB=60°,‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎39.(2018•金华)如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.‎ ‎(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为 30 cm.‎ ‎(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为 10﹣10 cm.‎ ‎【分析】(1)如图1中,连接B1C1交DD1于H.解直角三角形求出B1H,再根据垂径定理即可解决问题;‎ ‎(2)如图3中,连接B1C1交DD1于H,连接B2C2交DD2于G.利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图2中,连接B1C1交DD1于H.‎ ‎∵D1A=D1B1=30‎ ‎∴D1是的圆心,‎ ‎∵AD1⊥B1C1,‎ ‎∴B1H=C1H=30×sin60°=15,‎ ‎∴B1C1=30‎ ‎∴弓臂两端B1,C1的距离为30‎ ‎(2)如图3中,连接B1C1交DD1于H,连接B2C2交DD2于G.‎ 设半圆的半径为r,则πr=,‎ ‎∴r=20,‎ ‎∴AG=GB2=20,GD1=30﹣20=10,‎ 在Rt△GB2D2中,GD2==10‎ ‎∴D1D2=10﹣10.‎ 故答案为30,10﹣10,‎ ‎ ‎ 三.解答题(共1小题)‎ ‎40.(2018•宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.‎ ‎(1)求证:四边形ABFC是菱形;‎ ‎(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.‎ ‎【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形,证明是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;‎ ‎(2)设CD=x,连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题;‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB是直径,‎ ‎∴∠AEB=90°,‎ ‎∴AE⊥BC,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴BE=CE,‎ ‎∵AE=EF,‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形,‎ ‎∵AC=AB,‎ ‎∴四边形ABFC是菱形.‎ ‎(2)设CD=x.连接BD.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ADB=∠BDC=90°,‎ ‎∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2,‎ ‎∴(7+x)2﹣72=42﹣x2,‎ 解得x=1或﹣8(舍弃)‎ ‎∴AC=8,BD==,‎ ‎∴S菱形ABFC=8.‎ ‎∴S半圆=•π•42=8π.‎ ‎ ‎