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- 2021-05-10 发布
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2018中考数学试题分类汇编:考点28圆的有关概念
一.选择题(共26小题)
1.(2018•安顺)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A.2cm B.4cm C.2cm或4cm D.2cm或4cm
【分析】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
【解答】解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM===3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC===4cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在Rt△AMC中,AC===2cm.
故选:C.
2.(2018•聊城)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°﹣60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°
故选:D.
3.(2018•张家界)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=( )
A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度.
【解答】解:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,
∴CE=CD=4cm.
在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,
∴OE==3cm,
∴AE=AO+OE=5+3=8cm.
故选:A.
4.(2018•菏泽)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )
A.64° B.58° C.32° D.26°
【分析】根据垂径定理,可得=,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,根据直角三角形的性质,可得答案.
【解答】解:如图,
由OC⊥AB,得
=,∠OEB=90°.
∴∠2=∠3.
∵∠2=2∠1=2×32°=64°.
∴∠3=64°,
在Rt△OBE中,∠OEB=90°,
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°,
故选:D.
5.(2018•白银)如图,⊙A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方⊙A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
【分析】连接DC,利用三角函数得出∠DCO=30°,进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可.
【解答】解:连接DC,
∵C(,0),D(0,1),
∴∠DOC=90°,OD=1,OC=,
∴∠DCO=30°,
∴∠OBD=30°,
故选:B.
6.(2018•襄阳)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为( )
A.4 B.2 C. D.2
【分析】根据垂径定理得到CH=BH, =,根据圆周角定理求出∠AOB,根据正弦的定义求出BH,计算即可.
【解答】解:∵OA⊥BC,
∴CH=BH, =,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB•sin∠AOB=,
∴BC=2BH=2,
故选:D.
7.(2018•济宁)如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
【分析】首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质,即可得∠BAD+∠BCD=180°,即可求得∠BAD的度数,再根据圆周角的性质,即可求得答案.
【解答】解:圆上取一点A,连接AB,AD,
∵点A、B,C,D在⊙O上,∠BCD=130°,
∴∠BAD=50°,
∴∠BOD=100°,
故选:D.
8.(2018•通辽)已知⊙
O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【分析】由图可知,OA=10,OD=5.根据特殊角的三角函数值求角度即可.
【解答】解:由图可知,OA=10,OD=5,
在Rt△OAD中,
∵OA=10,OD=5,AD=,
∴tan∠1=,∠1=60°,
同理可得∠2=60°,
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°,
∴圆周角的度数是60°或120°.
故选:D.
9.(2018•南充)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是( )
A.58° B.60° C.64° D.68°
【分析】根据半径相等,得出OC=OA,进而得出∠C=32°,利用直径和圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵OA=OC,
∴∠C=∠OAC=32°,
∵BC是直径,
∴∠B=90°﹣32°=58°,
故选:A.
10.(2018•铜仁市)如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=( )
A.55° B.110° C.120° D.125°
【分析】根据圆周角定理进行求解.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【解答】解:根据圆周角定理,得
∠ACB=(360°﹣∠AOB)=×250°=125°.
故选:D.
11.(2018•临安区)如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=( )
A. B. C. D.
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长,再求BC的长.
【解答】解:设OA与BC相交于D点.
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形.
又根据垂径定理可得,OA平分BC,
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6.
故选:A.
12.(2018•贵港)如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠A=66°,则∠OCB的度数是( )
A.24° B.28° C.33° D.48°
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数,再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC,进而可得答案.
【解答】解:∵∠A=66°,
∴∠COB=132°,
∵CO=BO,
∴∠OCB=∠OBC=(180°﹣132°)=24°,
故选:A.
13.(2018•威海)如图,⊙O的半径为5,AB为弦,点C为的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为( )
A. B.5 C. D.5
【分析】连接OC、OA,利用圆周角定理得出∠AOC=60°,再利用垂径定理得出AB即可.
【解答】解:连接OC、OA,
∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AB为弦,点C为的中点,
∴OC⊥AB,
在Rt△OAE中,AE=,
∴AB=,
故选:D.
14.(2018•盐城)如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°,∠ACB=90°,根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解:由圆周角定理得,∠ABC=∠ADC=35°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°,
故选:C.
15.(2018•淮安)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( )
A.70° B.80° C.110° D.140°
【分析】作对的圆周角∠APC,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°,然后根据圆周角定理求∠AOC的度数.
【解答】解:作对的圆周角∠APC,如图,
∵∠P=∠AOC=×140°=70°
∵∠P+∠B=180°,
∴∠B=180°﹣70°=110°,
故选:C.
16.(2018•咸宁)如图,已知⊙O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为( )
A.6 B.8 C.5 D.5
【分析】延长AO交⊙O于点E,连接BE,由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD,据此可得BE=CD=6,在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得.
【解答】解:如图,延长AO交⊙O于点E,连接BE,
则∠AOB+∠BOE=180°,
又∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠BOE=∠COD,
∴BE=CD=6,
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
∴AB===8,
故选:B.
17.(2018•衢州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )
A.75° B.70° C.65° D.35°
【分析】直接根据圆周角定理求解.
【解答】解:∵∠ACB=35°,
∴∠AOB=2∠ACB=70°.
故选:B.
18.(2018•柳州)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠A=60°,∠B=24°,则∠C的度数为( )
A.84° B.60° C.36° D.24°
【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案.
【解答】解:∵∠B与∠C所对的弧都是,
∴∠C=∠B=24°,
故选:D.
19.(2018•邵阳)如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A,再根据圆周角定理解答.
【解答】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠A=180°﹣∠BCD=60°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,
故选:B.
20.(2018•苏州)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【分析】根据互补得出∠AOC的度数,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵∠BOC=40°,
∴∠AOC=180°﹣40°=140°,
∴∠D=,
故选:B.
21.(2018•台湾)如图,坐标平面上,A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点,有一直线L通过P点且与AB垂直,C点为L与y轴的交点.若A、B、C的坐标分别为(a,0),(0,4),(0,﹣5),其中a<0,则a的值为何?( )
A.﹣2 B.﹣2 C.﹣8 D.﹣7
【分析】连接AC,根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC,根据勾股定理求出OA,得到答案.
【解答】解:连接AC,
由题意得,BC=OB+OC=9,
∵直线L通过P点且与AB垂直,
∴直线L是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC=9,
在Rt△AOC中,AO==2,
∵a<0,
∴a=﹣2,
故选:A.
22.(2018•衢州)如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )
A.3cm B. cm C.2.5cm D. cm
【分析】根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和性质解答即可.
【解答】解:连接OB,
∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,AE=2cm,
在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,
即OE2+42=(OE+2)2
解得:OE=3,
∴OB=3+2=5,
∴EC=5+3=8,
在Rt△EBC中,BC=,
∵OF⊥BC,
∴∠OFC=∠CEB=90°,
∵∠C=∠C,
∴△OFC∽△BEC,
∴,
即,
解得:OF=,
故选:D.
23.(2018•青岛)如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=140°,点B是的中点,则∠D的度数是( )
A.70° B.55° C.35.5° D.35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC,再根据圆周角定理解答.
【解答】解:连接OB,
∵点B是的中点,
∴∠AOB=∠AOC=70°,
由圆周角定理得,∠D=∠AOB=35°,
故选:D.
24.(2018•广州)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°,进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可.
【解答】解:∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=40°,
∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=40°,
∴∠AOB=80°,
故选:D.
25.(2018•遂宁)如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出OD,根据三角形中位线定理计算即可.
【解答】解:∵半径OC垂直于弦AB,
∴AD=DB=AB=,
在Rt△AOD中,OA2=(OC﹣CD)2+AD2,即OA2=(OA﹣1)2+()2,
解得,OA=4
∴OD=OC﹣CD=3,
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6,
故选:B.
26.(2018•钦州三模)如图,BC是⊙O的弦,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数是( )
A.70° B.35° C.45° D.60°
【分析】欲求∠ADC,又已知一圆心角,可利用圆周角与圆心角的关系求解.
【解答】解:∵A、B、C、D是⊙O上的四点,OA⊥BC,
∴弧AC=弧AB (垂径定理),
∴∠ADC=∠AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半);
又∠AOB=70°,
∴∠ADC=35°.
故选:B.
二.填空题(共13小题)
27.(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm.
【分析】分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解.
【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF﹣OE=2cm;
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.
故答案为:2或14.
28.(2018•曲靖)如图:四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°,则∠DCE= n °.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°,
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为:n
29.(2018•南通模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 2 .
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则可根据勾股定理计算出AC=4,再根据垂径定理得到BD=CD,则可判断OD为△ABC的中位线,然后根据三角形中位线性质求解.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC==4,
∵OD⊥BC,
∴BD=CD,
而OB=OA,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD=AC=×4=2.
故答案为2.
30.(2018•北京)如图,点A,B,C,D在⊙O上, =,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= 70° .
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC,进而得出答案.
【解答】解:∵=,∠CAD=30°,
∴∠CAD=∠CAB=30°,
∴∠DBC=∠DAC=30°,
∵∠ACD=50°,
∴∠ABD=50°,
∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°.
故答案为:70°.
31.(2018•杭州)如图,AB是⊙O的直轻,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA= 30° .
【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°,进而得出∠DOA=60°,利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可.
【解答】解:∵点C是半径OA的中点,
∴OC=OD,
∵DE⊥AB,
∴∠CDO=30°,
∴∠DOA=60°,
∴∠DFA=30°,
故答案为:30°
32.(2018•吉林)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点, =,若∠AOB=58°,则∠BDC= 29 度.
【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可;
【解答】解:连接OC.
∵=,
∴∠AOB=∠BOC=58°,
∴∠BDC=∠BOC=29°,
故答案为29.
33.(2018•烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 (﹣1,﹣2) .
【分析】连接CB,作CB的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可.
【解答】解:连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:
在CB的垂直平分线上找到一点D,
CD═DB=DA=,
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(﹣1,﹣2),
故答案为:(﹣1,﹣2),
34.(2018•无锡)如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC= 15° .
【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°﹣60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:15°
35.(2018•广东)同圆中,已知弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角是 50° .
【分析】直接利用圆周角定理求解.
【解答】解:弧AB所对的圆心角是100°,则弧AB所对的圆周角为50°.
故答案为50°.
36.(2018•黑龙江)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 5 .
【分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,AE=CD,在直角△
OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.
【解答】解:连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE=DE=CD=×6=3,
设⊙O的半径为xcm,
则OC=xcm,OE=OB﹣BE=x﹣1,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=32+(x﹣1)2,
解得:x=5,
∴⊙O的半径为5,
故答案为:5.
37.(2018•绍兴)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,从A到B只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其实仅仅少B走了 15 步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:≈1.732,π取3.142)
【分析】作OC⊥AB于C,如图,根据垂径定理得到AC=BC,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°,则OC=10,AC=10,所以AB≈69(步),然后利用弧长公式计算出的长,最后求它们的差即可.
【解答】解:作OC⊥AB于C,如图,则AC=BC,
∵OA=OB,
∴∠A=∠B=(180°﹣∠AOB)=(180°﹣120°)=30°,
在Rt△AOC中,OC=OA=10,AC=OC=10,
∴AB=2AC=20≈69(步);
而的长=≈84(步),
的长与AB的长多15步.
所以这些市民其实仅仅少B走了 15步.
故答案为15.
38.(2018•随州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40度,∠C=20度,则∠B= 60 度.
【分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°,根据等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:如图,连接OA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=20°,
∴∠OAB=60°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB=60°,
故答案为:60.
39.(2018•金华)如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.
(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为 30 cm.
(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为 10﹣10 cm.
【分析】(1)如图1中,连接B1C1交DD1于H.解直角三角形求出B1H,再根据垂径定理即可解决问题;
(2)如图3中,连接B1C1交DD1于H,连接B2C2交DD2于G.利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题;
【解答】解:(1)如图2中,连接B1C1交DD1于H.
∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心,
∵AD1⊥B1C1,
∴B1H=C1H=30×sin60°=15,
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1,C1的距离为30
(2)如图3中,连接B1C1交DD1于H,连接B2C2交DD2于G.
设半圆的半径为r,则πr=,
∴r=20,
∴AG=GB2=20,GD1=30﹣20=10,
在Rt△GB2D2中,GD2==10
∴D1D2=10﹣10.
故答案为30,10﹣10,
三.解答题(共1小题)
40.(2018•宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形,证明是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)设CD=x,连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE,
∵AE=EF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AC=AB,
∴四边形ABFC是菱形.
(2)设CD=x.连接BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2,
∴(7+x)2﹣72=42﹣x2,
解得x=1或﹣8(舍弃)
∴AC=8,BD==,
∴S菱形ABFC=8.
∴S半圆=•π•42=8π.