中考数学一轮考点复习矩形菱形 4页

矩形、菱形 知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数。‎ 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。‎ 解略，答案450。‎ ‎ ‎ ‎【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长。‎ 分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。‎ 解略，答案AF＝4.5。‎ ‎【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点，DE⊥AM，垂足为E，3AB＝2BC，并且AB、BC的长是方程的两根。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当点M离开点B多少时，△ADE的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由。‎ 分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出。‎ 略解：（1）由韦达定理可得AB＋BC＝，AB·BC＝，又由BC＝AB可消去AB，得出一个关于的一元二次方程，解得＝12，＝，因AB＋BC＝＞0，∴＞2，故＝应舍去。‎ ‎（2）当＝12时，AB＋BC＝10，AB·BC＝＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由可得AE＝3EM＝AM。易证△AED∽△MBA得＝，设AE＝，AM＝，则MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故，解得＝2，MB＝＝4。即当MB＝4时，。‎ 评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，四边形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠‎ BCD＝1200，你知道AD的长吗？‎ 分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。‎ 略解：作AE⊥CB的延长线于E，DF⊥BC的延长线于F，再作AG⊥DF于G ‎ ∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450‎ ‎ ∴△ABE是等腰直角三角形 又∵AB＝，∴AE＝BE＝‎ ‎ ∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600‎ ‎ ∴△DCF是含300的直角三角形 ‎ ∵CD＝6，CF＝3，DF＝‎ ‎ ∴EF＝＝8‎ ‎ 由作图知四边形AGFE是矩形 ‎ ∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝‎ ‎ 从而DG＝DF－FG＝‎ ‎ 在△ADG中，∠AGD＝900‎ ‎ ∴AD＝＝＝＝‎ ‎【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。‎ 分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。‎ ‎2、已知菱形的锐角是600，边长是‎20cm，则较短的对角线长是 cm。‎ ‎3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，则DE＝ cm。‎ ‎4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝ 。‎ ‎5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝ 。‎ ‎ ‎ 二、选择题：‎ ‎6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ）‎ ‎ A、仅能作一个 B、可以作四个 C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个 ‎7、如图，在矩形ABCD中，AB＝‎4cm，AD＝‎12cm，P点在AD边上以每秒‎1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒‎4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB。‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎ ‎ ‎8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝‎9cm，AB＝‎3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）‎ ‎ A、‎4cm、cm B、‎5cm、cm ‎ C、‎4cm、cm D、‎5cm、cm ‎9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ）‎ ‎ A、①② B、③④ C、③ D、①②③④‎ ‎10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）‎ ‎ A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 三、解答题：‎ ‎11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。‎ ‎ ‎ ‎12、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形GECF是菱形。‎ ‎13、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：‎ ‎（1）四边形ADEF是什么四边形？‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？‎ ‎（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？‎ 跟踪训练参考答案 一、填空题：‎ ‎1、180；2、‎20cm；3、3；4、；5、200‎ ‎ 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF是等边三角形。‎ 二、DDBBA 三、解答题：‎ ‎11、可证△DEA≌△ABF ‎12、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四边形GECF是平行四边形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。‎ ‎13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。‎