中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题 22页

最新中考数学专题复习--三角形综合问题 例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ 同类题型1.2 如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（　　）‎ A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠1为定值时，∠CDE为定值 ‎ C．当∠2为定值时，∠CDE为定值 D．当∠3为定值时，∠CDE为定值 同类题型1.3 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．‎ 例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：‎ ‎①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④．其中正确的结论是________．‎ 同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．‎ 同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．‎ 例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：‎ ‎①∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；‎ ‎③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则mn．其中正确的结论是 （　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④‎ 同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）‎ A． B． C． D． 同类题型3.2 如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：‎ ‎①若C、O两点关于AB对称，则；②C、O两点距离的最大值为4；‎ ‎③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为；‎ 其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．‎ 同类题型3.3 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为 （　　）‎ A． B． C． D． 例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为________．‎ 同类题型4.1 如图，已知是△ABC的中线，过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，，则＝_________AC．‎ 同类题型4.2 如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是___________．‎ 例5． 如图，△ABC的面积为S．点，，，…，是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，，，…，，连接NB，，，…，，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，…，线段与相交于点，则，，，…，的面积和是 ____________．（用含有S与n的式子表示）‎ 同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是 （　　）‎ A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5‎ 同类题型5.2 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于 （　　）‎ A．2 B． C． D． 同类题型5.3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．‎ 同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）‎ 参考答案 例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；‎ ‎②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；‎ ‎③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．‎ 选C．‎ 同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵D是BC中点，N是AC中点，‎ ‎∴DN是△ABC的中位线，‎ ‎∴DN∥AB，且AB；‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，‎ ‎∴M是AB的中点，‎ ‎∴AB，‎ 又∵AB，‎ ‎∴EM＝DN，‎ ‎∴结论①正确；‎ ‎∵DN∥AB，‎ ‎∴△CDN∽ABC，‎ ‎∵AB，‎ ‎∴，‎ ‎∴S_(四边形ABDN)，‎ ‎∴结论②正确；‎ 如图1，连接MD、FN，‎ ‎∵D是BC中点，M是AB中点，‎ ‎∴DM是△ABC的中位线，‎ ‎∴DM∥AC，且AC；‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，‎ ‎∴AC，‎ 又∵AC，‎ ‎∴DM＝FN，‎ ‎∵DM∥AC，DN∥AB，‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形，‎ ‎∴∠AMD＝∠AND，‎ 又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，‎ ‎∴∠EMD＝∠DNF，‎ 在△EMD和△DNF中，‎ ，‎ ‎∴△EMD≌△DNF，‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∴结论③正确；‎ 如图2，连接MD，EF，NF，‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，‎ ‎∴M是AB的中点，EM⊥AB，‎ ‎∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，‎ ‎∴，‎ ‎∵D是BC中点，M是AB中点，‎ ‎∴DM是△ABC的中位线，‎ ‎∴DM∥AC，且AC；‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，‎ ‎∴AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，‎ 又∵AC，‎ ‎∴FA，‎ ‎∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，‎ ‎∠EAF＝360°－∠EAM－∠FAN－∠BAC ‎＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD）‎ ‎＝90°＋∠AMD ‎∴∠EMD＝∠EAF，‎ 在△EMD和△∠EAF中，‎ ‎∴△EMD∽△∠EAF，‎ ‎∴∠MED＝∠AEF，‎ ‎∵∠MED＋∠AED＝45°，‎ ‎∴∠AED＋∠AEF＝45°，‎ 即∠DEF＝45°，‎ 又∵DE＝DF，‎ ‎∴∠DFE＝45°，‎ ‎∴∠EDF＝180°－45°－45°＝90°，‎ ‎∴DE⊥DF，‎ ‎∴结论④正确．‎ ‎∴正确的结论有4个：①②③④．‎ 选D．‎ 同类题型1.2 如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（　　）‎ A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 ‎ B．当∠1为定值时，∠CDE为定值 ‎ C．当∠2为定值时，∠CDE为定值 ‎ D．当∠3为定值时，∠CDE为定值 解：在△CDE中，由三角形的外角性质得，∠AED＝∠CDE＋∠C，‎ 在△ABD中，由三角形的外角性质得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，‎ ‎∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，‎ ‎∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B，‎ ‎∴∠1＝2∠CDE，‎ ‎∴当∠1为定值时，∠CDE为定值．‎ 选B．‎ 同类题型1.3 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．‎ 解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．‎ ‎∵，∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，‎ ‎∴∠ECG＝60°．‎ ‎∵CF＝BD＝2CE，‎ ‎∴CG＝CE，‎ ‎∴△CEG为等边三角形，‎ ‎∴EG＝CG＝FG，‎ ‎∴∠CGE＝30°，‎ ‎∴△CEF为直角三角形．‎ ‎∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，‎ ‎∴∠BAD＋∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°．‎ 在△ADE和△AFE中，，‎ ‎∴△ADE≌△AFE（SAS），‎ ‎∴DE＝FE．‎ 设EC＝x，则BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x，‎ 在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，‎ x，‎ ‎∴x，‎ ，‎ ‎∴－3．‎ 例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：‎ ‎①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④．其中正确的结论是________．‎ 解：①∵∠ABC＝90°，AB＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB＝45°，‎ 又∵∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC，‎ 在△ACD和△ACE中，‎ ，‎ ‎∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正确；‎ ‎②同理∠AED＝45°，∠BEC＝90°－∠BCE＝90°－15°＝75°，‎ ‎∴∠DEC＝60°，‎ ‎∵△ACD≌△ACE，‎ ‎∴CD＝CE，‎ ‎∴△CDE为等边三角形．故②正确．‎ ‎③∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°‎ ‎∴EC＝2EH ‎∵∠ECB＝15°，‎ ‎∴EC≠4EB，‎ ‎∴EH≠2EB；故③错误．‎ ‎④∵AE＝AD，CE＝CD，‎ ‎∴点A与C在DE的垂直平分线上，‎ ‎∴AC是DE的垂直平分线，‎ 即AC⊥DE，‎ ‎∴CE＞CH，‎ ‎∵CD＝CE，‎ ‎∴CD＞CH，‎ ‎∵∠BAC＝45°，‎ ‎∴AH＝EH，‎ ‎∵，‎ ‎∴，故④错误．‎ 答案为：①②．‎ 同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．‎ 解：∵，OC＝1，‎ ‎∴BC＝2，‎ ‎∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．‎ 而为等边三角形，＝60°，‎ ‎∴＝30°，则O＝90°．‎ 在中，，‎ 同理得：，‎ 依此类推，第n个等边三角形的边长等于．‎ 同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．‎ 解：连接PP′，如图，‎ ‎∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，‎ ‎∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，‎ ‎∴△CPP′为等边三角形，‎ ‎∴PP′＝PC＝6，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴CB＝CA，∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠PCB＝∠P′CA，‎ 在△PCB和△P′CA中 ，‎ ‎∴△PCB≌△P′CA，‎ ‎∴PB＝P′A＝10，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，‎ ‎∴．‎ 同类题型2.4‎ 例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：‎ ‎①∠A；‎ ‎②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；‎ ‎③EF是△ABC的中位线；‎ ‎④设OD＝m，AE＋AF＝n，则mn．‎ 其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④‎ 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ‎ ‎∴∠ABC，∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，‎ ‎∴∠A，‎ ‎∴∠A；故①正确；‎ 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，‎ ‎∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，‎ ‎∴ON＝OD＝OM＝m，‎ ‎∴mn；故④正确；‎ ‎∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，‎ ‎∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，‎ ‎∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，‎ ‎∴EB＝EO，FO＝FC，‎ ‎∴EF＝EO＋FO＝BE＋CF，‎ ‎∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确，‎ 根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故③正确，‎ ‎∴其中正确的结论是①②④‎ 选D．‎ 同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）‎ A． B． C． D． 解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4，‎ ‎∵FB是⊙A的直径，‎ ‎∴∠FDB＝90°，‎ ‎∴．‎ 选B．‎ 同类题型3.2 如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：‎ ‎①若C、O两点关于AB对称，则；‎ ‎②C、O两点距离的最大值为4；‎ ‎③若AB平分CO，则AB⊥CO；‎ ‎④斜边AB的中点D运动路径的长为；‎ 其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．‎ 解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，‎ ‎∴AB＝4，，‎ ‎①若C、O两点关于AB对称，如图1，‎ ‎∴AB是OC的垂直平分线，‎ 则；‎ 所以①正确；‎ ‎②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，‎ ‎∵∠AOB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴AB＝2，‎ 当OC经过点E时，OC最大，‎ 则C、O两点距离的最大值为4；‎ 所以②正确；‎ ‎③如图2，当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴四边形AOBC是矩形，‎ ‎∴AB与OC互相平分，‎ 但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，‎ 所以③不正确；‎ ‎④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，‎ 则：＝π，‎ 所以④不正确；‎ 综上所述，本题正确的有：①②．‎ 同类题型3.3 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）‎ A． B． C． D． 解：∵点O是△ABC的重心，‎ ‎∴CE，‎ ‎∵△ABC是直角三角形，‎ ‎∴CE＝BE＝AE，‎ ‎∵∠B＝30°，‎ ‎∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，‎ ‎∴CE，‎ ‎∴CE，即AE，‎ ‎∵BE＝AE，‎ ‎∴AE，‎ ‎∵EF⊥AB，‎ ‎∴∠AFE＝60°，‎ ‎∴∠FEM＝30°，‎ ‎∴EF，‎ ‎∴AE，‎ ‎∴．‎ 选D．‎ 例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为________．‎ 解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．‎ ‎∵，‎ ‎∴CD．‎ 如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．‎ 在△ABD与△AMD中，‎ ‎∴△ABD≌△AMD（SAS），‎ ‎∴CD．‎ 过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．‎ ‎∵MN∥AD，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD，‎ ‎∴CD．‎ ‎∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，‎ ‎∴∠DMK＝∠DKM．‎ 由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；‎ ‎∵MN∥AD，‎ ‎∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，‎ 又∵∠DKM＝∠3（对顶角）‎ ‎∴∠DMK＝∠4，‎ ‎∴DM∥GN，‎ ‎∴四边形DMNG为平行四边形，‎ ‎∴MN＝DG＝2FD．‎ ‎∵点H为AC中点，AC＝4CM，‎ ‎∴．‎ ‎∵MN∥AD，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ 同类题型4.1 如图，已知是△ABC的中线，过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，连接交于点；过点作∥AC交BC于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，，则＝_________AC．‎ 解：∵∥AC，‎ ‎∴＝∠BAC，＝∠BCA，‎ ‎∴∽△BAC，‎ ‎∴．‎ ‎∵是△ABC的中线，‎ ‎∴．‎ ‎∵∥AC，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵∥AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC．‎ 同理：AC．‎ ‎∴．‎ 同类题型4.2 如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是___________．‎ 解：过点H作HG⊥AC于点G，‎ ‎∵AF平分∠CAE，DE∥BF，‎ ‎∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，‎ ‎∴AC＝CF＝2，‎ ‎∵AF，‎ ‎∴，‎ ‎∵DE∥CF，‎ ‎∴△AHM∽△FCM，‎ ‎∴，‎ ‎∴AH＝1，‎ 设△AHM中，AH边上的高为m，‎ ‎△FCM中CF边上的高为n，‎ ‎∴，‎ ‎∵△AMH的面积为：，‎ ‎∴AH﹒m ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设△AHC的面积为S，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴由勾股定理可知：，‎ ‎∴ ‎∴．‎ 例5． 如图，△ABC的面积为S．点，，，…，是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且，连接，，，…，，连接NB，，，…，，线段与NB相交于点，线段与相交于点，线段与相交于点，…，线段与相交于点，则，，，…，的面积和是 ____________．（用含有S与n的式子表示）‎ 解：连接MN，设BN交于，交于，交于．‎ ‎∵，‎ ‎∴MN∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，，，…，是边BC的n等分点，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形B，四边形，四边形都是平行四边形，‎ 易知﹒S，﹒S，﹒S，‎ ‎∴﹒S，‎ ‎∴﹒S－（n－1）﹒﹒S－S＝﹒S．‎ 同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（　　）‎ A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5‎ 解：设AM＝x，‎ 连接BM，MB′，‎ 在Rt△ABM中，，‎ 在Rt△MDB′中，，‎ ‎∵MB＝MB′，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得x＝2，‎ 即AM＝2，‎ 故选B．‎ 同类题型5.2 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）‎ A．2 B． C． D． 解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．‎ 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，‎ ‎∴＝5，‎ ‎∵CD＝DB，‎ ‎∴，‎ ‎∵﹒AB﹒AC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AE＝AB，‎ ‎∴点A在BE的垂直平分线上．‎ ‎∵DE＝DB＝DC， ‎ ‎∴点D在BE使得垂直平分线上，△BCE是直角三角形，‎ ‎∴AD垂直平分线段BE，‎ ‎∵﹒BD﹒AH，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在Rt△BCE中，，‎ 选D．‎ 同类题型5.3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．‎ 解：①如图1，‎ 当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，‎ ‎∴； ‎ ‎②如图2，当∠MB′C＝90°，‎ ‎∵∠A＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴∠C＝45°，‎ ‎∴△CMB′是等腰直角三角形，‎ ‎∴MB′，‎ ‎∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，‎ ‎∴BM＝B′M，‎ ‎∴BM，‎ ‎∵＋1，‎ ‎∴＋1，‎ ‎∴BM＝1，‎ 综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为或1．‎ 同类题型5.4 如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）‎ 解：延长EF和BC，交于点G ‎∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，‎ ‎∴∠ABE＝∠AEB＝45°，‎ ‎∴AB＝AE＝9，‎ ‎∴直角三角形ABE中，，‎ 又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，‎ ‎∴∠BEG＝∠DEF ‎∵AD∥BC ‎∴∠G＝∠DEF ‎∴∠BEG＝∠G ‎∴ 由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC ‎∴ 设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9＋2x＝BC ‎∵BG＝BC＋CG ‎∴＝9＋2x＋x 解得－3‎ ‎∴＋3．‎