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  • 2021-05-10 发布

中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题

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最新中考数学专题复习--三角形综合问题 例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 同类题型1.1 如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ 同类题型1.2 如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则(  )‎ A.当∠B为定值时,∠CDE为定值 B.当∠1为定值时,∠CDE为定值 ‎ C.当∠2为定值时,∠CDE为定值 D.当∠3为定值时,∠CDE为定值 同类题型1.3 如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________.‎ 例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:‎ ‎①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________.‎ 同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,…,则第n个等边三角形的边长等于____________.‎ 同类题型2.2 如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为_________.‎ 例3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:‎ ‎①∠A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;‎ ‎③EF是△ABC的中位线;④设OD=m,AE+AF=n,则mn.其中正确的结论是 (  )‎ A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④‎ 同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为(  )‎ A. B. C. D. 同类题型3.2 如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:‎ ‎①若C、O两点关于AB对称,则;②C、O两点距离的最大值为4;‎ ‎③若AB平分CO,则AB⊥CO;④斜边AB的中点D运动路径的长为;‎ 其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上).‎ 同类题型3.3 如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为 (  )‎ A. B. C. D. 例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________.‎ 同类题型4.1 如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC.‎ 同类题型4.2 如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________.‎ 例5. 如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是 ____________.(用含有S与n的式子表示)‎ 同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是 (  )‎ A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5‎ 同类题型5.2 如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于 (  )‎ A.2 B. C. D. 同类题型5.3 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________.‎ 同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号)‎ 参考答案 例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解:①BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P;‎ ‎②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P;‎ ‎③以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.‎ 选C.‎ 同类题型1.1 如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:∵D是BC中点,N是AC中点,‎ ‎∴DN是△ABC的中位线,‎ ‎∴DN∥AB,且AB;‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M,‎ ‎∴M是AB的中点,‎ ‎∴AB,‎ 又∵AB,‎ ‎∴EM=DN,‎ ‎∴结论①正确;‎ ‎∵DN∥AB,‎ ‎∴△CDN∽ABC,‎ ‎∵AB,‎ ‎∴,‎ ‎∴S_(四边形ABDN),‎ ‎∴结论②正确;‎ 如图1,连接MD、FN,‎ ‎∵D是BC中点,M是AB中点,‎ ‎∴DM是△ABC的中位线,‎ ‎∴DM∥AC,且AC;‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,‎ ‎∴AC,‎ 又∵AC,‎ ‎∴DM=FN,‎ ‎∵DM∥AC,DN∥AB,‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形,‎ ‎∴∠AMD=∠AND,‎ 又∵∠EMA=∠FNA=90°,‎ ‎∴∠EMD=∠DNF,‎ 在△EMD和△DNF中,‎ ,‎ ‎∴△EMD≌△DNF,‎ ‎∴DE=DF,‎ ‎∴结论③正确;‎ 如图2,连接MD,EF,NF,‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,‎ ‎∴M是AB的中点,EM⊥AB,‎ ‎∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,‎ ‎∴,‎ ‎∵D是BC中点,M是AB中点,‎ ‎∴DM是△ABC的中位线,‎ ‎∴DM∥AC,且AC;‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,‎ ‎∴AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,‎ 又∵AC,‎ ‎∴FA,‎ ‎∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,‎ ‎∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC ‎=360°-45°-45°-(180°-∠AMD)‎ ‎=90°+∠AMD ‎∴∠EMD=∠EAF,‎ 在△EMD和△∠EAF中,‎ ‎∴△EMD∽△∠EAF,‎ ‎∴∠MED=∠AEF,‎ ‎∵∠MED+∠AED=45°,‎ ‎∴∠AED+∠AEF=45°,‎ 即∠DEF=45°,‎ 又∵DE=DF,‎ ‎∴∠DFE=45°,‎ ‎∴∠EDF=180°-45°-45°=90°,‎ ‎∴DE⊥DF,‎ ‎∴结论④正确.‎ ‎∴正确的结论有4个:①②③④.‎ 选D.‎ 同类题型1.2 如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则(  )‎ A.当∠B为定值时,∠CDE为定值 ‎ B.当∠1为定值时,∠CDE为定值 ‎ C.当∠2为定值时,∠CDE为定值 ‎ D.当∠3为定值时,∠CDE为定值 解:在△CDE中,由三角形的外角性质得,∠AED=∠CDE+∠C,‎ 在△ABD中,由三角形的外角性质得,∠B+∠1=∠ADC=∠ADE+∠CDE,‎ ‎∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED,‎ ‎∴∠B+∠1=∠CDE+∠C+∠CDE=2∠CDE+∠B,‎ ‎∴∠1=2∠CDE,‎ ‎∴当∠1为定值时,∠CDE为定值.‎ 选B.‎ 同类题型1.3 如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________.‎ 解:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.‎ ‎∵,∠BAC=120°,‎ ‎∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°,‎ ‎∴∠ECG=60°.‎ ‎∵CF=BD=2CE,‎ ‎∴CG=CE,‎ ‎∴△CEG为等边三角形,‎ ‎∴EG=CG=FG,‎ ‎∴∠CGE=30°,‎ ‎∴△CEF为直角三角形.‎ ‎∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,‎ ‎∴∠BAD+∠CAE=60°,‎ ‎∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°.‎ 在△ADE和△AFE中,,‎ ‎∴△ADE≌△AFE(SAS),‎ ‎∴DE=FE.‎ 设EC=x,则BD=CD=2x,DE=FE=6-3x,‎ 在Rt△CEF中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x,‎ x,‎ ‎∴x,‎ ,‎ ‎∴-3.‎ 例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:‎ ‎①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________.‎ 解:①∵∠ABC=90°,AB=BC,‎ ‎∴∠BAC=∠ACB=45°,‎ 又∵∠BAD=90°,‎ ‎∴∠BAC=∠DAC,‎ 在△ACD和△ACE中,‎ ,‎ ‎∴△ACD≌△ACE(SAS);故①正确;‎ ‎②同理∠AED=45°,∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°,‎ ‎∴∠DEC=60°,‎ ‎∵△ACD≌△ACE,‎ ‎∴CD=CE,‎ ‎∴△CDE为等边三角形.故②正确.‎ ‎③∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60°‎ ‎∴EC=2EH ‎∵∠ECB=15°,‎ ‎∴EC≠4EB,‎ ‎∴EH≠2EB;故③错误.‎ ‎④∵AE=AD,CE=CD,‎ ‎∴点A与C在DE的垂直平分线上,‎ ‎∴AC是DE的垂直平分线,‎ 即AC⊥DE,‎ ‎∴CE>CH,‎ ‎∵CD=CE,‎ ‎∴CD>CH,‎ ‎∵∠BAC=45°,‎ ‎∴AH=EH,‎ ‎∵,‎ ‎∴,故④错误.‎ 答案为:①②.‎ 同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,…,则第n个等边三角形的边长等于____________.‎ 解:∵,OC=1,‎ ‎∴BC=2,‎ ‎∴∠OBC=30°,∠OCB=60°.‎ 而为等边三角形,=60°,‎ ‎∴=30°,则O=90°.‎ 在中,,‎ 同理得:,‎ 依此类推,第n个等边三角形的边长等于.‎ 同类题型2.2 如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为_________.‎ 解:连接PP′,如图,‎ ‎∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,‎ ‎∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°,‎ ‎∴△CPP′为等边三角形,‎ ‎∴PP′=PC=6,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴CB=CA,∠ACB=60°,‎ ‎∴∠PCB=∠P′CA,‎ 在△PCB和△P′CA中 ,‎ ‎∴△PCB≌△P′CA,‎ ‎∴PB=P′A=10,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴△APP′为直角三角形,∠APP′=90°,‎ ‎∴.‎ 同类题型2.4‎ 例3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:‎ ‎①∠A;‎ ‎②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;‎ ‎③EF是△ABC的中位线;‎ ‎④设OD=m,AE+AF=n,则mn.‎ 其中正确的结论是(  )‎ A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④‎ 解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ‎ ‎∴∠ABC,∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,‎ ‎∴∠A,‎ ‎∴∠A;故①正确;‎ 过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,‎ ‎∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,‎ ‎∴ON=OD=OM=m,‎ ‎∴mn;故④正确;‎ ‎∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,‎ ‎∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,‎ ‎∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,‎ ‎∴EB=EO,FO=FC,‎ ‎∴EF=EO+FO=BE+CF,‎ ‎∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故②正确,‎ 根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点,故③正确,‎ ‎∴其中正确的结论是①②④‎ 选D.‎ 同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为(  )‎ A. B. C. D. 解:以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.‎ ‎∵DC∥AB,‎ ‎∴,‎ ‎∴DF=CB=1,BF=2+2=4,‎ ‎∵FB是⊙A的直径,‎ ‎∴∠FDB=90°,‎ ‎∴.‎ 选B.‎ 同类题型3.2 如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:‎ ‎①若C、O两点关于AB对称,则;‎ ‎②C、O两点距离的最大值为4;‎ ‎③若AB平分CO,则AB⊥CO;‎ ‎④斜边AB的中点D运动路径的长为;‎ 其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上).‎ 解:在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°,‎ ‎∴AB=4,,‎ ‎①若C、O两点关于AB对称,如图1,‎ ‎∴AB是OC的垂直平分线,‎ 则;‎ 所以①正确;‎ ‎②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,‎ ‎∵∠AOB=∠ACB=90°,‎ ‎∴AB=2,‎ 当OC经过点E时,OC最大,‎ 则C、O两点距离的最大值为4;‎ 所以②正确;‎ ‎③如图2,当∠ABO=30°时,∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°,‎ ‎∴四边形AOBC是矩形,‎ ‎∴AB与OC互相平分,‎ 但AB与OC的夹角为60°、120°,不垂直,‎ 所以③不正确;‎ ‎④如图3,斜边AB的中点D运动路径是:以O为圆心,以2为半径的圆周的,‎ 则:=π,‎ 所以④不正确;‎ 综上所述,本题正确的有:①②.‎ 同类题型3.3 如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为(  )‎ A. B. C. D. 解:∵点O是△ABC的重心,‎ ‎∴CE,‎ ‎∵△ABC是直角三角形,‎ ‎∴CE=BE=AE,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°,‎ ‎∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形,‎ ‎∴CE,‎ ‎∴CE,即AE,‎ ‎∵BE=AE,‎ ‎∴AE,‎ ‎∵EF⊥AB,‎ ‎∴∠AFE=60°,‎ ‎∴∠FEM=30°,‎ ‎∴EF,‎ ‎∴AE,‎ ‎∴.‎ 选D.‎ 例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________.‎ 解:已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h.‎ ‎∵,‎ ‎∴CD.‎ 如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM.‎ 在△ABD与△AMD中,‎ ‎∴△ABD≌△AMD(SAS),‎ ‎∴CD.‎ 过点M作MN∥AD,交EG于点N,交DE于点K.‎ ‎∵MN∥AD,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD,‎ ‎∴CD.‎ ‎∴MD=KD,即△DMK为等腰三角形,‎ ‎∴∠DMK=∠DKM.‎ 由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2;‎ ‎∵MN∥AD,‎ ‎∴∠3=∠4=∠1=∠2,‎ 又∵∠DKM=∠3(对顶角)‎ ‎∴∠DMK=∠4,‎ ‎∴DM∥GN,‎ ‎∴四边形DMNG为平行四边形,‎ ‎∴MN=DG=2FD.‎ ‎∵点H为AC中点,AC=4CM,‎ ‎∴.‎ ‎∵MN∥AD,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.‎ 同类题型4.1 如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC.‎ 解:∵∥AC,‎ ‎∴=∠BAC,=∠BCA,‎ ‎∴∽△BAC,‎ ‎∴.‎ ‎∵是△ABC的中线,‎ ‎∴.‎ ‎∵∥AC,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵∥AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC.‎ 同理:AC.‎ ‎∴.‎ 同类题型4.2 如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________.‎ 解:过点H作HG⊥AC于点G,‎ ‎∵AF平分∠CAE,DE∥BF,‎ ‎∴∠HAF=∠AFC=∠CAF,‎ ‎∴AC=CF=2,‎ ‎∵AF,‎ ‎∴,‎ ‎∵DE∥CF,‎ ‎∴△AHM∽△FCM,‎ ‎∴,‎ ‎∴AH=1,‎ 设△AHM中,AH边上的高为m,‎ ‎△FCM中CF边上的高为n,‎ ‎∴,‎ ‎∵△AMH的面积为:,‎ ‎∴AH﹒m ‎∴,‎ ‎∴,‎ 设△AHC的面积为S,‎ ‎∴=3,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴由勾股定理可知:,‎ ‎∴ ‎∴.‎ 例5. 如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是 ____________.(用含有S与n的式子表示)‎ 解:连接MN,设BN交于,交于,交于.‎ ‎∵,‎ ‎∴MN∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∵点,,,…,是边BC的n等分点,‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形B,四边形,四边形都是平行四边形,‎ 易知﹒S,﹒S,﹒S,‎ ‎∴﹒S,‎ ‎∴﹒S-(n-1)﹒﹒S-S=﹒S.‎ 同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是(  )‎ A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5‎ 解:设AM=x,‎ 连接BM,MB′,‎ 在Rt△ABM中,,‎ 在Rt△MDB′中,,‎ ‎∵MB=MB′,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得x=2,‎ 即AM=2,‎ 故选B.‎ 同类题型5.2 如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于(  )‎ A.2 B. C. D. 解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.‎ 在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,‎ ‎∴=5,‎ ‎∵CD=DB,‎ ‎∴,‎ ‎∵﹒AB﹒AC,‎ ‎∴,‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴点A在BE的垂直平分线上.‎ ‎∵DE=DB=DC, ‎ ‎∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,‎ ‎∴AD垂直平分线段BE,‎ ‎∵﹒BD﹒AH,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 在Rt△BCE中,,‎ 选D.‎ 同类题型5.3 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________.‎ 解:①如图1,‎ 当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,‎ ‎∴; ‎ ‎②如图2,当∠MB′C=90°,‎ ‎∵∠A=90°,AB=AC,‎ ‎∴∠C=45°,‎ ‎∴△CMB′是等腰直角三角形,‎ ‎∴MB′,‎ ‎∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′,‎ ‎∴BM=B′M,‎ ‎∴BM,‎ ‎∵+1,‎ ‎∴+1,‎ ‎∴BM=1,‎ 综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为或1.‎ 同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号)‎ 解:延长EF和BC,交于点G ‎∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,‎ ‎∴∠ABE=∠AEB=45°,‎ ‎∴AB=AE=9,‎ ‎∴直角三角形ABE中,,‎ 又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F,‎ ‎∴∠BEG=∠DEF ‎∵AD∥BC ‎∴∠G=∠DEF ‎∴∠BEG=∠G ‎∴ 由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC ‎∴ 设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC ‎∵BG=BC+CG ‎∴=9+2x+x 解得-3‎ ‎∴+3.‎