2016最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质 32页

‎29016最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质 ‎　‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．（2016•崇明县一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（　　）‎ A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB ‎　‎ ‎2．（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（　　）‎ A．4 B．7 C．3 D．12‎ ‎　‎ ‎6．（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎　‎ ‎7．（2015•毕节市）在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（　　）‎ A．10 B．8 C．9 D．6‎ ‎　‎ ‎8．（2015•宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（　　）‎ A． B． C．1﹣ D．2﹣‎ ‎　‎ ‎9．（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）‎ A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10‎ ‎　‎ ‎　‎ 二．填空题（共13小题）‎ ‎11．（2016•浦东新区一模）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•黄浦区一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE：BC=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•静安区一模）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•闵行区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•徐汇区一模）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•虹口区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•泰州）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎23．设M、N分别是△ABC两边AB、AC的中点，P是MN上任意一点，延长BP交AC于点Q，延长CP交AB于R，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎24．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）求∠ACB的大小．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．‎ ‎（1）求证：AC•CD=CP•BP；‎ ‎（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．‎ ‎（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；‎ ‎（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△BAC；‎ ‎（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．‎ ‎（1）求证：BD+2DE=BM．‎ ‎（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎29016最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．（2016•崇明县一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（　　）‎ A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，而∠A公共，由此可以得到△ABC∽△AED，然后利用相似三角形的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，‎ 而∠A公共，‎ ‎∴△ABC∽△AED，‎ ‎∴AB：AE=AC：AD，‎ ‎∴AB•AD=AC•AE．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的下着雨判定，解题的关键是证明两个三角形相似即可解决问题．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2‎ OC=AC=+1，所以CH=AC﹣AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．‎ ‎【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠MAH=45°，‎ ‎∴△AMH为等腰直角三角形，‎ ‎∴AH=MH=AM=×2=，‎ ‎∵CM平分∠ACB，‎ ‎∴BM=MH=，‎ ‎∴AB=2+，‎ ‎∴AC=AB=（2+）=2+2，‎ ‎∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴ON∥MH，‎ ‎∴△CON∽△CHM，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴ON=1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．‎ ‎【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴+=+==1．‎ ‎∵AB=1，CD=3，‎ ‎∴+=1，‎ ‎∴EF=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴ED∥BC，BC=AD，‎ ‎∴△DEF∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ 设ED=k，则AE=2k，BC=3k；‎ ‎∴==，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（　　）‎ A．4 B．7 C．3 D．12‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．‎ ‎【解答】解：∵DE：EA=3：4，‎ ‎∴DE：DA=3：7‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵EF=3，‎ ‎∴，‎ 解得：AB=7，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB=7．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，‎ ‎∴，，，‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．‎ ‎　‎ ‎7．（2015•毕节市）在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（　　）‎ A．10 B．8 C．9 D．6‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BC=10．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1‎ 到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（　　）‎ A． B． C．1﹣ D．2﹣‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 ‎【专题】规律型．‎ ‎【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，求得结果h2015=2﹣．‎ ‎【解答】解：连接AA1，‎ 由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，‎ 又∵D是AB中点，‎ ‎∴DA=DB，‎ ‎∴DB=DA1，‎ ‎∴∠BA1D=∠B，‎ ‎∴∠ADA1=2∠B，‎ 又∵∠ADA1=2∠ADE，‎ ‎∴∠ADE=∠B，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴AA1⊥BC，‎ ‎∴AA1=2，‎ ‎∴h1=2﹣1=1，‎ 同理，h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，‎ ‎…‎ ‎∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，‎ ‎∴h2015=2﹣，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】借助翻折变换的性质得到DE=CE；设AB=3k，CE=x，则AE=3k﹣x；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设AD=k，则DB=2k，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，‎ ‎∴∠EDA+∠FDB=120°，‎ 又∵∠EDA+∠AED=120°，‎ ‎∴∠FDB=∠AED，‎ ‎∴△AED∽△BDF，‎ ‎∴，‎ 设CE=x，则ED=x，AE=3k﹣x，‎ 设CF=y，则DF=y，FB=3k﹣y，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CE：CF=4：5．‎ 故选：B．‎ 解法二：解：设AD=k，则DB=2k，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，‎ ‎∴∠EDA+∠FDB=120°，‎ 又∵∠EDA+∠AED=120°，‎ ‎∴∠FDB=∠AED，‎ ‎∴△AED∽△BDF，由折叠，得 CE=DE，CF=DF ‎∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，‎ ‎∴△AED与△BDF的相似比为4：5‎ ‎∴CE：CF=DE：DF=4：5．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）‎ A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．‎ ‎【解答】解：连接EM，‎ CE：CD=CM：CA=1：3‎ ‎∴EM平行于AD ‎∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ‎∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3‎ ‎∴AH=（3﹣）ME，‎ ‎∴AH：ME=12：5‎ ‎∴HG：GM=AH：EM=12：5‎ 设GM=5k，GH=12k，‎ ‎∵BH：HM=3：2=BH：17k ‎∴BH=K，‎ ‎∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．‎ ‎　‎ 二．填空题（共13小题）‎ ‎11．（2016•浦东新区一模）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是　4　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由∠C=∠C，∠CAD=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ACD∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，易求得CD的长．‎ ‎【解答】解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，‎ ‎∴△ACD∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴CD的长是4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•黄浦区一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE：BC=　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，‎ ‎∴AC=6，AB=4，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴DE：BC=AD：AB=1：2，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•静安区一模）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到=，由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AE=1，CE=2，‎ ‎∴AC=3，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△DEF∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ 故答案为：1：3．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•闵行区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=　12　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵FD⊥AB，‎ ‎∴∠BDE=∠ADF=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，‎ ‎∴∠F=∠B，‎ ‎∴△ADF∽△BDE，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：DF=12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，CD=AB=6，由平行线的性质得到∠AED=∠EAB，由角平分线的定义得到∠DAE=∠BAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4，由相似三角形的性质得到==，‎ ‎【解答】解：在▱ABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，CD=AB=6，‎ ‎∴∠AED=∠EAB，‎ ‎∵AE平分∠BAD，‎ ‎∴∠DAE=∠BAE，‎ ‎∴∠DAE=∠AED，‎ ‎∴DE=AD=4，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴△DEF∽△ABF，‎ ‎∴==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•徐汇区一模）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由∠A=∠A，∠ACD=∠B，得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，‎ ‎∴△ABC∽△ACD，‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴AD=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•虹口区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=　2　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，推出△BE0∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE=3，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴△BE0∽△DAO，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD=5，‎ ‎∴BE=3，‎ ‎∴CE=5﹣3=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•泰州）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为　5　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．‎ ‎【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，‎ ‎∴△BAD∽△BCA，‎ ‎∴=．‎ ‎∵AB=6，BD=4，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC=9，‎ ‎∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为　3.6　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵AD=3，DB=2，‎ ‎∴AB=AD+DB=5，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD=3，AB=5，BC=6，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=3.6．‎ 故答案为：3.6．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是　5　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．‎ ‎【解答】解：∵l3∥l6，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∴△ABC∽△AEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴EF=5．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　6　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD：DB=1：2，DE=2，‎ ‎∴，‎ 解得BC=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】应用题；压轴题．‎ ‎【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，‎ ‎∴EH∥BC，‎ ‎∴△AEH∽△ABC，‎ ‎∵AM⊥EH，AD⊥BC，‎ ‎∴=，‎ 设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，‎ ‎∴=，‎ 解得：x=，‎ 则EH=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．设M、N分别是△ABC两边AB、AC的中点，P是MN上任意一点，延长BP交AC于点Q，延长CP交AB于R，则=　1　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由三角形的中位线定理可得MN∥BC且=，△RMP∽△RBC，△QPN∽△QBC，利用相似三角形的对应线段成比例进行转化．‎ ‎【解答】解：如图，∵M、N为AB、AC边的中点，‎ ‎∴AM=BM，AN=NC，MN∥BC且=，△RMP∽△RBC，△QPN∽△QBC，‎ ‎∴=（﹣1）+（﹣1）+2‎ ‎=++2‎ ‎=2﹣2（+）‎ ‎=2﹣2（+）‎ ‎=2﹣2•=2﹣2×=1．‎ 故本题答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质．关键是利用了线段之间的转化，相似比的转化解题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎24．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）求∠ACB的大小．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，‎ ‎∴∠ADC=∠CDB=90°，‎ ‎∵=．‎ ‎∴△ACD∽△CBD；‎ ‎（2）解：∵△ACD∽△CBD，‎ ‎∴∠A=∠BCD，‎ 在△ACD中，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠A+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠BCD+∠ACD=90°，‎ 即∠ACB=90°．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；‎ ‎（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠AMB=∠EAF，‎ 又∵EF⊥AM，‎ ‎∴∠AFE=90°，‎ ‎∴∠B=∠AFE，‎ ‎∴△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，‎ ‎∴AM==13，AD=12，‎ ‎∵F是AM的中点，‎ ‎∴AF=AM=6.5，‎ ‎∵△ABM∽△EFA，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴AE=16.9，‎ ‎∴DE=AE﹣AD=4.9．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．‎ ‎（1）求证：AC•CD=CP•BP；‎ ‎（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；‎ ‎（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．‎ ‎∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．‎ ‎∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，‎ ‎∴∠BAP=∠DPC，‎ ‎∴△ABP∽△PCD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB•CD=CP•BP．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AC•CD=CP•BP；‎ ‎（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．‎ ‎∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BAP∽△BCA，‎ ‎∴=．‎ ‎∵AB=10，BC=12，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BP=．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．‎ ‎（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；‎ ‎（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；动点型．‎ ‎【分析】（1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；‎ ‎（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，‎ ‎∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），‎ 当△BMN∽△BAC时，，‎ ‎∴，解得：t=；‎ 当△BMN∽△BCA时，，‎ ‎∴，解得：t=，‎ ‎∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；‎ ‎（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：‎ DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），‎ BM=3tcm，CN=2tcm，‎ ‎∴CD=（8﹣）cm，‎ ‎∵AN⊥CM，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，‎ ‎∴∠CAN=∠MCD，‎ ‎∵MD⊥CB，‎ ‎∴∠MDC=∠ACB=90°，‎ ‎∴△CAN∽△DCM，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，解得t=．‎ ‎【点评】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△BAC；‎ ‎（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°，利用∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；‎ ‎（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，‎ ‎∴∠C=∠AED=90°，‎ ‎∴∠DEB=∠C=90°，‎ 又∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BDE∽△BAC；‎ ‎（2）由勾股定理得，AB=10．‎ 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．‎ ‎∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，‎ 在Rt△BDE中，由勾股定理得，‎ DE2+BE2=BD2，‎ 即CD2+42=（8﹣CD）2，‎ 解得：CD=3，‎ 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，‎ 即32+62=AD2，‎ 解得：AD=．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．‎ ‎（1）求证：BD+2DE=BM．‎ ‎（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；‎ ‎（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．‎ ‎【解答】（1）证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，‎ ‎∴PM∥CN，‎ ‎∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，‎ ‎∴BM=PM，‎ ‎∵BM=DN，‎ ‎∴DN=MP，‎ 在△DEN和△PEM中 ‎，‎ ‎∴△DEN≌△PEM，‎ ‎∴DE=EP，‎ ‎∵△BMP是等腰直角三角形 ‎∴BP=BM ‎∴BD+2DE=BM．‎ ‎（2）解：∵AF：FD=1：2，‎ ‎∴DF：BC=2：3，‎ ‎∵△BCN∽△FDN，‎ ‎∴‎ 设正方形边长为a，又知CM=2，‎ ‎∴BM=DN=a+2，CN=2a+2‎ ‎∴，‎ 解得：a=2，‎ ‎∴DF=，BM=4，BD=2，‎ 又∵△DFG∽△BMG，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键．‎ ‎　‎