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- 2021-05-10 发布
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一.最值:
1.代数最值:
23.(本小题7分)
如图,平行四边形ABCD中,AD=8,CD=4,∠D=60°,点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点,点P以每秒1个单位长度的速度,从点C运动到点D,点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动. 当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.点P与点Q同时出发,设运动时间为t,△CPQ的面积为S.
(1)求S关于t的函数关系式;
(2)求出S的最大值;
(3)t为何值时,将△CPQ以它的一边为轴翻折,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形.
2.几何最值:
相似构造二次函数:
线段最值:
24.如图,在平面直角坐标系中,是坐标原点,点A、B的坐标分别为和,连结.
(1)现将绕点按逆时针方向旋转90°,得到,(点A落到点C处),请画出,并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式;
(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点的对应点为点,平移后的抛物线与原抛物线相交于点.为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连结,当取得最大值时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点在抛物线对称轴上运动时,是否存在点使为直角三角形?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
周长最小:
25.已知抛物线经过点A(1,3)和点B(2,1).
(1)求此抛物线解析式;
(2)点C、D分别是轴和轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3)过点B作轴的垂线,垂足为E点.点P从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点,若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求:简述确定F点位置的方法,但不要求证明)
二.直线平分平行四边形面积
24.如图,在平面直角坐标系中,A(,0),B(,2).把矩形OABC逆时针旋转得到矩形.
(1)求点的坐标;
(2)求过点(2,0)且平分矩形面积的直线方程;
(3)设(2)中直线交轴于点P,直接写出与的面积和的值及与的面积差的值.
三.交点问题
23. 已知抛物线C1:的图象如图所示,把C1的图象沿轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
(1)求抛物线C1的顶点A坐标,并画出抛物线C2的图象;
(2)若直线与抛物线有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线与抛物线C1相切,求的值;
(3)结合图象回答,当直线与图象C3 有两个交点时,的取值范围.
四.圆
23.已知一元二次方程的一根为 2.
(1)求关于的函数关系式;
(2)求证:抛物线与轴有两个交点;
(3)设抛物线与x轴交于A、B两点(A、B不重合),且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点.求的值.
五.规律
25.已知:如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为(1,0),将线段按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的2倍,得到线段;又将线段按逆时针方向旋转,长度伸长为的2倍,得到线段;如此下去,得到线段,,…,(为正整数)
(1)求点的坐标;
(2)求的面积;
(3)我们规定:把点(,)()的横坐标,纵坐标,都取绝对值后得到的新坐标(,),称之为的“绝对坐标”。根据图中的分布规律,请你猜想点的“绝对坐标”,并写出来。
一.
23. (本小题7分)
解:(1)①当 0 < t ≤ 2时,如图1,
过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E,
∵∠BCE=∠D=60°,∴BE=4.
∵ CP=t,
∴ . …………………………………… 2分
② 当 2 < t ≤ 4时,如图2,
CP=t,BQ=2t-4,CQ=8-(2t-4)=12-2t.
过点P作PF⊥BC,交BC的延长线于点F.
∵∠PCF=∠D=60°,∴PF=.
∴ .…………………… 4分
(2)当 0 < t ≤ 2时,t=2时,S有最大值4.
当 2< t ≤ 4时, ,
t=3时,S有最大值.
综上所述,S的最大值为. ………………………………………………… 5分
(3)当 0 < t ≤ 2时, △CPQ不是等腰三角形,
∴ 不存在符合条件的菱形.…………………………………………………… 6分
当 2 < t ≤ 4时,令CQ=CP,即t=12-2t,解得t=4.
∴ 当t=4时,△CPQ是等腰三角形.
即当t=4时,以△CPQ一边所在直线为轴翻折,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形. ………………………………………………………………………… 7分
24.解:(1)
① 若
则解得
① 若
则解得
② 若
则解得
综上所述,存在点使为直角三角形,,,
25.解:(1)依题意:
解得
抛物线的解析式为.
(2)点A(1,3)关于轴的对称点的坐标是(-1,3),点B(2,1)关于轴的对称点的坐标是(2,-1).由对称性可知
=
由勾股定理可求AB=,.
所以,四边形ABCD周长的最小值是.
(3)确定F点位置的方法:过点E作直线EG使对称轴到直线EG成角,则EG与对称轴的交点为所求的F点.
设对称轴于轴交于点H,在Rt中,由HE=1,,得HF=1.所以,点F的坐标是(1,1).
二.
24. 解:(1)由已知可得:,
.
又为旋转角,
.
. …………………1分
过点作于点E,
在中,,
.
. …………………2分
(2)设F为与的交点,可求得. …………………4分
设直线的方程为,把点(2,0)、(1,)代入可得:
解得:
直线的方程为. …………………5分
(3),. …………………7分
三.
23.解:(1)顶点坐标A(1,-1). …………………1分
(2)
把(1)式代入(2)整理得:.
,. …………………4分
(3)
把(1)式代入(2)整理得:.
,. …………………6分
当直线与图象C3 有两个交点时,的取值范围为:
. …………………7分
四.23.(1)解:由题意,得,即.
(2)证明:∵一元二次方程的判别式,
由(1)得,
∴一元二次方程有两个不相等的实根.
∴抛物线与轴有两个交点.
(3)解:由题意,.
解此方程得
的顶点坐标是。
以AB为直径的圆经过顶点,
。
解得,
五.