专题 变式猜想问题年中考年模拟备战中考数学系列原卷版 18页

备战 2017 中考系列：数学 2 年中考 1 年模拟 第七篇 专题复习篇 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 特殊的四边形的变式题[来源:] 理解并掌握特殊的四边形的性质，并能解决四边形的有关变 式问题[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 三角形有关的变式题 利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题 变式猜 想问题[来 源:ZXXK][来源:学_科_网 Z_X_X_K] 图形的旋转与对称变式 利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题 ☞考点归纳 归纳 1：几何图形的有关变式猜想问题 基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、 矩形、菱形、正方形等几何载体． 基本方法归纳：对于几何变式猜想问题主要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中，存 在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关系， 其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等． 注意问题归纳：解决几何变式问题时，要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系， 从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法． 【例 1】（2016 四川省达州市）△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B，C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF． （1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，①BC 与 CF 的位置关系为： ． ②BC，CD，CF 之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立 ？若成立，请给予证明；若不成立，请 你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE．若已知 AB= ，CD= BC，请求出 GE 的长． 【例 2】（2016 山东省东营市）如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形 ADEF 是 正方形，点 B、C 分别在边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BD⊥CF 成立． （1）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若 不成立，请说明理由； （2）当△ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB=2，AD= 时，求线段 DH 的长． ☞2 年中考 【2016 年题组】 一、填空题 1．（2016 四川省内江市）问题引入： （ 1 ） 如 图 ① ， 在 △ABC 中 ， 点 O 是 ∠ABC 和 ∠ACB 平 分 线 的 交 点 ， 若 ∠A=α ， 则 ∠BOC= 2 2 1 4 3 2 （用 α 表示）；如图②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则∠BOC= （用 α 表示） 拓展研究： （2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= （用 α 表 示），并说明理由． 类比研究： （3）BO、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC、∠ECB 的 n 等分线，它们交于点 O，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= ． 二、解答题 2．（2016 山东省临沂市）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CE=BF．连 接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG=DE，连接 FG，FC． （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请 直接写出你的判断． 3．（2016 山东省济南市）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的 线段之间、角之间的关系进行了探究． 1 3 1 3 1 3 1 3 1 n 1 n （一）尝试探究 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点 E、F 分别在线段 BC、CD 上，∠EAF=30°，连接 EF． （1）如图 2，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 60°后得到△A′B′E′（A′B′与 AD 重合），请直接写出∠ E′AF= 度，线段 BE、EF、FD 之间的数量关系为 ． （2）如图 3，当但点 E、F 分别在线段 BC、CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 BE、EF、FD 之间的数量关系，并说明理由． （二）拓展延伸 如图 4，在等边△ABC 中，E、F 是边 BC 上的两点，∠EAF=30°，BE=1，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到△A′B′E′（A′B′与 AC 重合），连接 EE′，AF 与 EE′交于点 N，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M， 连接 MN，求线段 MN 的长度． 4．（2016 广西南宁市）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且∠EAF=60°． （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点 F 到 BC 的距离． 5．（2016 四川省南充市）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在 AB 上，且满 足△PBC∽△PAM，延长 BP 交 AD 于点 N，连结 CM． （1）如图一，若点 M 在线段 AB 上，求证：AP⊥BN；AM=AN； （2）①如图二，在点 P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点 M 在 AB 的延长线上时，AP⊥BN 和 AM=AN 是否成立？（不需说明理由） ②是否存在满足条件的点 P，使得 PC= ？请说明理由． 6．（2016 江苏省泰州市）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC． （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点 P 在线段 AB 上． ①如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由； ②如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP 平分∠AEC 时，求 a：b 及∠AEC 的度数． 7．（2016 福建省南平市）已知在矩形 ABCD 中，∠ADC 的平分线 DE 与 BC 边所在的直线交于点 E，点 P 是线段 DE 上一定点（其中 EP＜PD） （1）如图 1，若点 F 在 CD 边上（不与 D 重合），将∠DPF 绕点 P 逆时针旋转 90°后，角的两边 PD、PF 分别交射线 DA 于点 H、G． ①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图 2，若点 F 在 CD 的延长线上（不与 D 重合），过点 P 作 PG⊥PF，交射线 DA 于点 G，你 1 2 认为（1）中 DE、DG、DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所 满足的数量关系式，并说明理由． 8．（2016 湖北省黄石市）在△A BC 中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图 1，若点 D 关 于直线 AE 的对称点为 F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图 2，在（1）的条件下，若 α=45°，求证： ； （3）如图 3，若 α=45°，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 还能成立吗？请说明理 由． 9．（2016 辽宁省大连市）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为 E，求证：BC=2AE． 小明经探究发现，过点 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图 2）， 使问题得到解决． （1）根据阅读材料回答：△ABF 与△BAE 全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS” 或“HL”中的一个） 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： （2）如图 3，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在 AC 的延长线 上，且∠CDF=∠EAC，若 CF=2，求 AB 的长； （3）如图 4，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=kDB（其中 0＜k＜ 2 2 2DE BD CE= + 2 2 2DE BD CE= + ），∠AED=∠BCD，求 的值（用含 k 的式子表示）． 10．（2016 辽宁省抚顺市）如图，在△ABC 中，BC＞AC，点 E 在 BC 上，CE=CA，点 D 在 AB 上，连接 DE，∠ACB+∠ADE=180° ，作 CH⊥AB，垂足为 H． （1）如图 a，当∠ACB=90°时，连接 CD，过点 C 作 CF⊥CD 交 BA 的延长线于点 F． ①求证：FA=DE； ②请猜想三条线段 DE，AD，CH 之间的数量关系，直接写出结论； （2）如图 b，当∠ACB=120°时，三条线段 DE，AD，CH 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论． 11．（2016 青海省）如图 1，2，3 分别以△ABC 的 AB 和 AC 为边向△ABC 外作正三角形（等边三角形）、 正四边形（正方形）、正五边形，BE 和 CD 相交于点 O． 3 3 AE EC （1）在图 1 中，求证：△ABE≌△ADC． （2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图 1 中∠BOC=120°，请你探索在图 2 中，∠BOC 的度 数，并说明理由或写出证明过程． （3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图 3 中∠BOC= （填写度数）． （4）由此推广到一般情形（如图 4），分别以△ABC 的 AB 和 AC 为边向△ABC 外作正 n 边形，BE 和 CD 仍 相交于点 O，猜想得∠BOC 的度数为 （用含 n 的式子表示）． 【2015 年题组】 1．（2015 甘南州）如图 1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB 与 CE 交于 F，ED 与 AB，BC，分别交于 M，H． （1）求证：CF=CH； （2）如图 2，△ABC 不动，将△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？ 并证明你的结论． 2．（2015 齐齐哈尔）如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B、C、G 在同一条直线上，M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程） （1）如图 2，当点 B、C、F 在同一条直线上，DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明； （2）如图 3，当点 E、B、C 在同一条直线上，DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变，探究 线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想． 3．（2015 牡丹江）已知四边形 ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点 E 在直线 BC 上（不与点 B，C 重合），FM⊥AD，交射线 AD 于点 M． （1）当点 E 在边 BC 上，点 M 在边 AD 的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM； （提示：延长 MF，交边 BC 的延长线于点 H．） （2）当点 E 在边 CB 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图②；当点 E 在边 BC 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图③．请分别写出线段 AB，BE，AM 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1），（2）的条件下，若 BE= ，∠AFM=15°，则 AM= ．3 4．（2015 临沂）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF，BE． （1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明； （3）若三角形 ADE 和 DC F 为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接 写出你的判断． 5．（2015 威海）如图 1，直线 与反比例函数 （ ）的图象交于点 A，B，直线 与 反比例函数 的图象交于点 C，D，且 ， ，顺次连接 A，D，B，C，AD，BC 分别交 x 轴于点 F，H，交 y 轴于点 E，G，连接 FG，EH． （1）四边形 ADBC 的形状是 ； （2）如图 2，若点 A 的坐标为（2，4），四边形 AEHC 是正方形，则 = ； （3）如图 3，若四边形 EFGH 为正方形，点 A 的坐标为（2，6），求点 C 的坐标； （4）判断：随着 、 取值的变化，四边形 ADBC 能否为正方形？若能，求点 A 的坐标；若不能，请简 要说明理由． 6．（2015 德州）（1 ）问题 1y k x= ky x = 0k ≠ 2y k x= ky x = 1 2 0k k ≠ 1 2k k≠ 2k 1k 2k 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP． （2）探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ 时，上述结论是否依然成立？说明 理由． （3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图 3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5，点 P 以每秒 1 个单位长 度的速度，由点 A 出了，沿边 AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A，设点 P 的运动时间为 t（秒），当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切时，求 t 的值． 7．（2015 济南）如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点 M 为射线 AE 上任意一点 （不与 A 重合），连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM、 射线 AE 于点 F、D． （1）直接写出∠NDE 的度数； （2）如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变， 选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由； （3）如图 4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求 线段 AM 的长． 6 2 2 + 8．（2015 济宁）阅读材料： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， ，利用上述结论可以求解如下 题目： 在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求 b． 解：在△ABC 中，∵ ，∴ ． 理解应用： 如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处，且乙船从 B1 处按北偏东 15°方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达 A2 时，乙船航行到 甲船的北偏西 120°方向的 B2 处，此时两船相距 海里． （1）判断△A1A2B2 的形状，并给出证明； （2）求乙船每小时航行多少海里？ sin sin sin a b c A B C = = 30 2 10 2 sin sin a b A B = 16sin 6sin30 2 3 2sin sin 45 2 2 a Bb A × = = = =  9．（2015 烟台）【问题提出】 如图①，已知△ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF．试证明：AB=DB+AF； 【类比探究】 （1）如图②，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间又有怎样的数量关 系？请说明理由； （2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出 AB， DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由． 10．（2015 青岛）已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD 沿 AC 的方向匀速平 移得到△PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当△PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图②，设移动时间为 t（s）（0＜t＜4），连接 PQ，MQ，MC，解答下列 问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥MN？ （2）设△QMC 的面积为 y（cm2），求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S△QMC：S 四边形 ABQP=1：4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 11．（2015 台州）定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三 角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点． （1）已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2，MN=3，求 BN 的长； （2）如图 2，在△ABC 中，FG 是中位线，点 D，E 是线段 BC 的勾股分割点，且 EC＞DE≥BD，连接 AD， AE 分别交 FG 于点 M，N，求证：点 M，N 是线段 FG 的勾股分割点； （3）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 BC 上画一点 D，使点 C，D 是线段 AB 的 勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）； （4）如图 4，已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND 和△NBE 均为等边 三角形，AE 分别交 CM，DM，DN 于点 F，G，H，若 H 是 DN 的中点，试探究 ， 和 的数量关系，并说明理由． 12．（2015 丹东）在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 Rt△PMN 中，∠MPN=90°． （1）如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PM⊥AD、PN⊥AB，分别交 AD、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系； （2）将图 1 中的 Rt△PMN 绕点 O 顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）． ①如图 2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ②如图 2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长； AMFS∆ BENS∆ MNHGS四边形 ③如图 3，旋转后，若 Rt△PMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O、B 重合），当 BD=3BP 时，猜想此 时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=m•BP 时，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系． 13 ．（ 2015 大 连 ） 在 △ABC 中 ， 点 D ， E ， F 分 别 在 AB ， BC ， AC 上 ， 且 ∠ADF+∠DEC=180° ， ∠AFE=∠BDE． （1）如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在， 说明理由； （2）如图 2，当 DE=kDF（其中 0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求 BD 的长（用含 k，m 的式子表 示）． 14．（2015 葫芦岛）在△ABC 中，AB=AC，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF 与点 A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG． （1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出 AG 与 DG 的位置和 数量关系； （2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系， （3）当∠BAC=∠DCF=α 时，直接写出 AG 与 DG 的数量关系． 15．（2015 抚顺）在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点 B 的直线 MN∥AC，D 为 BC 边上一点，连接 AD， 作 DE⊥AD 交 MN 于点 E，连接 AE． （1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE； （2）如图②，当∠ABC=30°时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由； （3）当∠ABC=α 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系．（用含α 的三角函数表示） 16．（2015 朝阳）问题：如图（1），在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究 AD、 DE、EB 满足的等量关系． [探究发现] 小聪同学利用图形变换，将△CAD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到△CBH，连接 EH，由已知条件易得∠EBH=90 °，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌ ，得 EH=ED． 在 Rt△HBE 中，由 定理，可得 BH2+EB2=EH2，由 BH=AD，可得 AD、DE、EB 之间的等量关系 是 ． [实践运用] （1）如图（2），在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E、F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相 等，求∠EAF 的度数； （2）在（1）条件下，连接 BD，分别交 AE、AF 于点 M、N，若 BE=2，DF=3，BM=2 ，运用小聪同学 探究的结论，求正方形的边长及 MN 的长． 17．（2015 本溪）如图 1，在△ABC 中，AB=AC，射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转，旋转角 为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将 BP 旋转到图 2 位置，点 D 在射线 BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系是 ； （2）当∠BAC=120°时，将 BP 旋转到图 3 位置，点 D 在射线 BP 上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD= AD； （3）将图 3 中的 BP 继续旋转，当 30°＜α＜180°时，点 D 是直线 BP 上一点（点 P 不在线段 BD 上），若∠ CDP=120°，请直接写出线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系（不必证明）． 18．（2015 锦州）如图①，∠QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN 绕点 P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C， D 不重合）． （1）如图①，当 α=90°时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 ； （2）如图②，将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当 α=60°时，（1）中 的结论变为 DE+DF= AD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运 动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明． 19．（2015 三明）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°． （1）将△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图②），求证： ； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段 EF，BE，DF 之 间的数量关系． 3 1 2 2 2 2EF ME NF= + ☞1 年模拟 BCD 中，点 H，E，G，F 分别在 AB，BC，CD，DA 上，若 EF⊥HG 于点 O，探究线段 EF 与 HG 的数量 关系，并说明理由； 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图 3 所示，已知 BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．