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- 2021-05-10 发布
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《中考数学复习模块4-圆》之典型中考题讲解
1、（2017·金华） 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°，∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长.
2、（2017浙江台州）．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
3、（2017山东枣庄）．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
4、（2017山东聊城）．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．
5、（2017山东东营）．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
6、（2017山东潍坊）．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
7、（2017江苏无锡）．如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
8、（2017江苏盐城）．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
9、（2017湖北襄阳）．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
10、（2017湖北恩施）．如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．
（1）求证：BC平分∠ABP；
（2）求证：PC2=PB•PE；
（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径．
11、（2017湖北随州）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
12、（2017湖北宜昌）．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
答案：
1、（1）解：∵直线与⊙O相切，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,
∵OC=2,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2,
∴EF=GE-FG=2-2.
2、（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠AEP=∠ABP=45°，
∵PE是直径，
∴∠PAB=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，
∴PM=AN，
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC=PM，PB=PN，
∴PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4．
3、解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB==，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
4、（1）证明：∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）证明：∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；
（3）解：∵△ABC为直角三角形，
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，
∴BC=10，
∵OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，
∴DC=DB=5，
∵△PBD∽△DCA，
∴=，
则PB===．
5、（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，
解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
6、（1）证明：连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD，
∵DA=DF，
∴∠BAD=∠F，
∴∠BAD=∠F=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，
∴∠F=30°，∠BAC=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，∠COB=120°，
∵OD⊥EF，∠F=30°，
∴∠DOF=60°，
在Rt△ODF中，DF=6，
∴OD=DF•tan30°=6，
在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，
∴DE=DA•sin30，EA=DA•cos30°=9，
∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD=S△COD，
∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．
7、解：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．
∵EH∥AP，
∴△ACP∽△ECH，
∴===，
∴CH=2n，EH=2m=6，
∵CD⊥AB，
∴PC=PD=n，
∵PB∥HE，
∴△DPB ∽△DHE，
∴===，
∴=，
∴m=1，
∴P（1，0）．
（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
连接OP，在Rt△OCP中，PC==2，
∴CH=2PC=4，PH=6，
∴E（9，6），
∵抛物线的对称轴为CD，
∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，
∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．
8、（1）证明：连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；
（2）解：连接FD，
设⊙F的半径为r，
则r2=（r﹣1）2+22，
解得，r=，即⊙F的半径为；
（3）解：AG=AD+2CD．
证明：作FR⊥AD于R，
则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD，
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=AD+CD，
∴AG=2FE=AD+2CD．
9、（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，DC，
∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵ED=1，DC=2，
∴sin∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
∴∠OCD=60°，
∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，
∴l==π．
10、解：（1）∵BE∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；
（2）如图，连接EC、AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCD=90°，
又∵BE∥DC，
∴∠P=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠A+∠2=90°，
又∠A=∠5，
∴∠5+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠4，
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCE，
即PC2=PB•PE；
（3）∵BE﹣BP=PC=4，
∴BE=4+BP，
∵PC2=PB•PE=PB•（PB+BE），
∴42=PB•（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，
解得：PB=2，
则BE=4+PB=6，
∴PE=PB+BE=8，
作EF⊥CD于点F，
∵∠P=∠PCF=90°，
∴四边形PCFE为矩形，
∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，
∵BE∥CD，
∴DE=BC，
在Rt△DEF和Rt△BCP中，
∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），
∴DF=BP=2，
则CD=DF+CF=10，
∴⊙O的半径为5．
11、（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（x+x）2，
∴x=，
∴BD=OD=，
∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=﹣=1﹣．
12、解：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
（2）∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，
∴OA=OB=DE=EC，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴△ABO≌△CDE，
∴AB=CD，
∴四边形A∴D是平行四边形，
∴∠DAE=∠DOE=30°，
∴∠1=∠DAE，
∴CD=AD，
∴▱ABCD是菱形．
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