中考数学复习易错知识点整理 11页

中考复习易错知识点 一、实数 ‎1.整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数和无限循环小数）都是有理数，‎ 如 ‎ 无限不循环小数叫无理数，如：∙∙∙（两个1之间一次多1个0）‎ 有理数和无理数统称实数。‎ 无理数的三种形式：‎ ‎①开方开不尽的数，如等；‎ ‎②有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如等；‎ ‎③有特定结构的数，如0.1010010001…等；‎ ‎2. 绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。 ‎ ‎； 。 如：‎ ‎3．平方根、算数平方根和立方根 ‎ ‎（1）平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根（或二次方根）。‎ 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 正数的平方根记做“”。‎ ‎（2）算术平方根 正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作“”。‎ 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎ 非负性 ：①；②； ③。‎ ‎（3）立方根 如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做 的立方根（或的三次方根）。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ ‎4．科学记数法 把一个数写做的形式，其中，是整数，这种记数法叫做科学记数法。‎ ‎5、实数大小比较的几种常用方法 ‎（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。‎ ‎（2）求差比较：设、是实数，‎ ‎（3）求商比较法：设，‎ ‎（4）绝对值比较法：设，则。‎ ‎（5）平方法：设，则。‎ ‎6．实数的运算：‎ 加、减、乘、除、乘方、开方；运算法则，定律，顺序要熟悉。‎ 注意：负整数指数幂的运算。‎ 如: 【关键：指数要变号，底数需颠倒】‎ 二、代数式 ‎1、乘法公式（反过来就是因式分解的公式）：‎ 变式 ③；‎ ‎2、幂的运算性质：‎ ‎3、二次根式：‎ ‎ 如： ④。 ‎ ‎4、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方法：A.提公因式法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分组分解法。‎ 注意：多项式中如果有公因式要先提取公因式再用公式法分解 ‎5、分式的运算：‎ ‎①分式的加减需在同分母条件下进行。（异分母的要先通分）‎ ‎②分式的乘除运算统一为乘法，能约分的要约分。‎ ‎6、使代数式有意义的未知数的值通常考虑以下三种情况：‎ ‎①分母不为0； ②偶次方根的被开方数不为负数（如：）‎ 三、方程(组)及不等式（组）‎ ‎1、一元一次方程标准形式：（其中是未知数，、是常数，）‎ ‎2、二元一次方程的解有无数多对。‎ ‎3、（1）二元一次方程组：‎ ‎ 一般形式：（不全为0）‎ ‎ 解法：代入消元法和加减消元法 ‎ 解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。‎ ‎ （2）三元一次方程组：‎ ‎ 解法：代入消元法和加减消元法 ‎4、一元二次方程 ‎ ‎（1）一元二次方程的一般形式：（）‎ ‎ （2）一元二次方程的解法：‎ ‎① 直接开平方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法 ‎ （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。‎ ‎ （4）一元二次方程的根的判别式： ‎ ‎ 当时方程有两个不相等的实数根；‎ ‎ 当时方程有两个相等的实数根；‎ ‎ 当时方程没有实数根，无解；‎ ‎ 当时方程有两个实数根 ‎ （5）一元二次方程根与系数的关系：‎ ‎（韦达定理）若是一元二次方程的两个根，那么：‎ ‎（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： ‎ ‎5、分式方程 ‎ 分式方程 去分母 整式方程。 ‎ 注意：分式方程必须验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。应用题也不例外。‎ ‎6、列方程（组）解应用题 ‎（1）审题： （2）设元（未知数）； （3）用含未知数的代数式表示相关的量；‎ ‎（4）找出相等关系，列方程（组）； （5）解方程（组）及检验，并作答。‎ ‎7、不等式的性质：‎ ‎ （l） （2） （3） ‎ ‎8、一元一次不等式的解、解一元一次不等式。（乘除负数要改变方向，但要注意乘除正数不要改变方向）‎ ‎9、一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集时要注意方向和实心以及空心）‎ ‎10、列不等式（组）解应用题时经常要取整数解。‎ 四、函数及其图像 ‎1、平面直角坐标系：‎ ‎（1）坐标平面内的点与一个有序实数对之间是一一对应的。‎ ‎（2）两点间的距离：‎ 平行于轴的直线上的两点、：‎ 平行于轴的直线上的两点、： ‎ ‎ 平面上任意两点、：‎ ‎（3）轴：直线； 轴：直线；‎ 一、三象限角平分线：直线； 二、四象限角平分线：直线；‎ ‎（4）点关于轴的对称点为；关于轴的对称点；关于原点的对称点为 ‎（5）线段的中点坐标：‎ ‎（6）点到直线的距离公式：‎ ‎2、函数的表示法有三种：①列表法；②图象法；③解析法（列关系式法）；‎ ‎3、一次函数：‎ ‎（1）正比例函数是经过原点的一条直线，它属于特殊的一次函数。‎ ‎（2）一次函数的图象是过点、的一条直线。‎ ‎（3）图象所在位置有如下四种。‎ x o y ‎(k>0,b>0)‎ x o y ‎(k<0,b>0)‎ x o y ‎(k>0,b<0)‎ x o y ‎(k<0,b<0)‎ ‎（4）性质：①时，随增大而增大；②时，随增大而减小；‎ ‎（5）一次函数与坐标轴围成的的面积公式：‎ ‎（6）直线与直线：‎ ‎（7）已知直线经过、,则 ‎（8）以A、B、C为顶点的直角三角形分类讨论：‎ ‎①若时，则；‎ ‎②若时，则；‎ ‎③若时，则；‎ ‎（9）已知A、B、C三点，是否存在以A、B、C、D为顶点的平行四边形，要分三种情况讨论：‎ ‎①以AB为对角线时，则点D坐标为；‎ ‎②以AC为对角线时，则点D坐标为；‎ ‎③以BC为对角线时，则点D坐标为。‎ ‎4、反比例函数：‎ ‎⑴定义：。‎ 反比例函数的“隐函数形式”：或。‎ ‎（2）性质：‎ ‎①时，图象位于一、三象限，在每个象限内，随增大而减小；‎ ‎②时，图象位于二、四象限，在每个象限内，随增大而增大；‎ ‎ ③两支曲线无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴。‎ ‎（3）反比例函数的图像既是中心对称图形 ，又是轴对称图形。其对称轴是：‎ 直线和直线 ‎（4）反比例函数的面积不变性：图像上一点与原点 组成的（如右图）的面积。‎ ‎5、二次函数 ‎（1）几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式 对称轴方程 顶点坐标 图像 直线(y轴)‎ ‎（0，0）‎ ‎ ‎ 直线(y轴)‎ 直线 直线 直线 直线 ‎（2）系数、、的作用 大于0‎ 等于0‎ 小于0‎ 开口向上 ‎ /‎ 开口向下 对称轴在轴的左侧，同号 轴 对称轴在轴的右侧 ，异号 交轴于正半轴 经过原点 交轴于负半轴 与轴两个交点 与轴一个交点 与轴无交点 注意：①抛物线与轴永远都有一个交点；‎ ‎②越大开口越小，越小开口越大。‎ ‎（3）性质：时，‎ 在对称轴左侧（），y随x增大而减小；‎ 在对称轴右侧（），y随x增大而增大， ‎ 当 时，y有最小值，是 。‎ 时，反之。‎ 注意：每个二次函数的图像反映了图像“增减性”有“两面性”；不论是“左增右减”还是“左减右增”都是以对称轴为分界的。‎ ‎（4）平移原则：把解析式化为顶点式，“左+右-”；“上+下-”‎ ‎（5）待定系数法求二次函数解析式有三种设法：‎ ‎①一般式：；（一般三个点已知）‎ ‎②顶点式：；（已知顶点、对称轴、最值）‎ ‎ ③交点式：；（已知与轴交点或对称轴）‎ ‎（6）抛物线与轴两交点、之间的距离：‎ ‎（7）五点法画草图，要记牢五点：‎ 与x轴两交点、，与y轴交点，‎ 与y轴交点关于对称轴的对称点， 顶点 五、相交线与平行线 ‎1、两点之间，线段最短(两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离)；‎ ‎2、点到直线之间，垂线段最短（点到直线的垂线段的长度叫做点到直线之间的距离）；‎ ‎3、两平行线之间的垂线段处处相等（这条垂线段的长度叫做两平行线之间的距离）；‎ ‎4、线段垂直平分线 性质：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；‎ 判定：到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上。‎ ‎5、角平分线 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等；‎ 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。‎ ‎6、互余关系：；互补关系：‎ ‎7、同角或等角的余角（或补角）相等。‎ ‎8、平行线性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。‎ ‎9、平行线判定：‎ ‎（1）同位角相等（内错角相等/同旁内角互补），两直线平行。‎ ‎（2）平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）；‎ ‎（3）在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行。‎ 六、三角形 ‎1、三角形的分类 三角形分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形或等腰三角形、不等边三角形。‎ ‎①三角形三个内角的和等于180°；‎ 任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；‎ ‎②第三边大于两边之差，小于两边之和；‎ ‎③ 重心：三条中线的交点；（重心分每条中线的两线段比为2:1） ‎ 外心：三边中垂线的交点；（外心到三个顶点等距离） ‎ 内心：三条角平分线的交点。（内心到三边等距离）‎ 垂心：三条高线的交点；‎ ‎2、全等三角形：‎ ‎①全等三角形的对应边相等，对应角也相等。‎ ‎②条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。（注意：不要出现SSA）‎ ‎3、等腰三角形：‎ 在一个三角形中 ①等边对等角；②等角对等边；③三线合一； ④有一个60°角的等腰三角形是等边三角形。‎ ‎4、等边三角形：‎ ‎①三边相等，②三角都等于60°，③三线合一，④四心合一 ‎5、直角三角形：‎ ‎①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ‎ 一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三角形。‎ ‎②勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理也成立。‎ ‎③在中，30°角所对的边等于斜边的一半；‎ 在中，等于斜边的一半的直角边所对的角是30°。‎ ‎6、三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ‎7、命题由题设和结论两部分组成，任何命题都有逆命题。‎ 定理是可以推理论证是正确的命题，定理不一定有逆定理；‎ 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例。‎ 七、四边形 ‎1、边形的内角和为，外角和为3600。 正边形的每个内角等于 。‎ ‎2、多边形每个顶点可以画条对角线，共有 条对角线。‎ ‎3、平行四边形 性质：①两组对边分别平行且相等； ②两组对角分别相等； ③两条对角线互相平分。‎ 判定：①两组对边分别平行； ②两组对边分别相等； ③一组对边平行且相等；‎ ‎④两组对角分别相等； ⑤两条对角线互相平分。‎ ‎4、特殊的平行四边形：矩形、菱形与正方形。‎ ‎5、梯形：‎ ‎（1）等腰梯形的性质：①同一底上的两个内角相等；②对角相等；‎ ‎（2）等腰梯形的判定：①两腰相等的梯形；②同一底上两底角相等的梯形；③‎ 对角线相等的梯形。‎ ‎（3）梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半；梯形的对角线中点连线平行于两底并且等于两底差的一半。‎ ‎（4）梯形常用辅助线:‎ ‎6、四边形中“中点围成图形”的特征。（都以对角线为辅助线思考）‎ ‎①任意四边形各边中点围成； ‎ ‎②对角线垂直的四边形各边中点围成矩形；‎ ‎③对角线相等的四边形各边中点围成菱形；‎ ‎④对角线垂直且相等的四边形各边中点围成正方形；‎ ‎7、平面图形的密铺（镶嵌）：‎ ‎①单个图形的密铺可以是：三角形、四边形、正六边形。‎ ‎②多个图形的密铺，只要看各个内角能否拼出360º的周角。‎ 八、图形的变换 ‎1、轴对称（图形）：翻转能重合； 中心对称（图形）：旋转能重合。‎ ‎2、命题（题设和结论）、定义、公理、定理； ‎ 原命题，逆命题； 真命题，假命题；反证法。‎ ‎3、①轴对称变换：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段,对应角相等。（一定要指明关于某条直线对称）‎ ‎②图形的平移：对应线段,对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等；平移时需指明平移的方向和距离 ‎③图形的旋转：每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。要说明如何旋转时，需指明旋转中心、旋转方向和旋转角度。‎ ‎④相似变换：将一个图形放大或缩小后到另一个图形。要指明放大还是缩小的倍数。‎ 九、相似三角形：‎ ‎1、比例的基本性质：‎ ‎①若 ,则。（称为、、的第四比例项）‎ ‎②合比性质：‎ ‎③等比性质：若，‎ 则 ‎2、比例中项：若 ， 则。（称为、的比例中项）‎ 注意：①求数的比例中项可能有两个值；‎ ‎②求线段的比例中项负值要舍去。‎ ‎3、黄金分割：线段被点黄金分割（），点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比。‎ ‎ ①,即； ②‎ ‎4、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形。‎ ‎5、相似三角形的判定 ‎①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例。‎ ‎6、相似比：对应边的比：‎ ‎(注意：讲相似比要按照两个三角形的顺序，不能颠倒)‎ ‎7、相似三角形的性质： ‎ ‎①对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比； ‎ ‎ ②对应周长比等于相似比； ③面积比等于相似比的平方。‎ ‎8、直角三角形的相似判定：①HL； ②母子相似定理。‎ ‎9、射影定理：如图，在中，， 于点D， 则有： ‎ ‎10、位似图形：‎ ‎①它们具有相似图形的性质外还有图形的位置关系（每组对应点所在的直线都经过同一个点一位似中心）；‎ ‎②对应点到位似中心的距离比就是位似比，对应线段的比等于位似比，‎ 位似比也有顺序；‎ ‎③已知图形的位似图形有两个，在位似中心的两侧各有一个。‎ 位似中心，位似比是它的两要素。‎ ‎11、相似基本图形：平行，不平行；变换对应关系作出正确的分类。‎ 十、圆 ‎1、圆的有关性质：‎ ‎（1）圆有关概念：‎ 弦、弦心距、半径、直径、圆心；弧、优弧、劣弧、半圆；‎ 等弧、等圆、同圆、同心圆；圆心角、圆周角；‎ 点与圆，直线与圆的位置关系。‎ ‎（2）不在同一直线上的三点确定一个圆。‎ 圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎（3）垂径定理及其推论：在“垂直于弦、平分弦、平分弧、过圆心的直线”这四个要素中，只要用其中任何两个作条件，都可得出另两个结论（二推二）‎ ‎（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等（注意一弦对两弧）‎ ‎（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；‎ 同弧或等弧所对的圆周角相等。‎ ‎（6）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 ‎（7）点与圆的三种位置关系：（是指点到圆心的距离）‎ 点在圆内 ； 点在圆上； 点在圆外。‎ ‎（8）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。‎ ‎2、直线与圆 ‎（1）直线与圆的三种位置关系：（指圆心到直线的距离）‎ 相切； 相交； 相离。‎ ‎（2）切线的判定定理 ‎ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（要证明一条直线是圆的切线；一般都是“连半径，证出半径与直线垂直”）‎ ‎（3）切线的性质定理 ‎ 圆的切线垂直于经过切点的半径。 ‎ 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ‎ 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ ‎（4）切线长定理 ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；‎ 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ 十一、三角函数 1、 定义 ‎ ‎2、特殊角的三角函数值 ‎3、三角函数关系 ‎4、解直角三角形的应用：‎ ‎ （1）记牢边角关系 ‎ （2）在中，设法转化为比的问题是常用方法。‎ ‎ （3）①俯角、仰角；②方位角和方向角；③坡度（坡比）‎ ‎（4）记牢两个基本图形：‎ ‎ 母子相似图 塔高图 十二、视图与投影：（投影类的题目常与全等、相似、三角函数结合进行相关的计算）‎ ‎1、画三视图的要求“长对正、高平齐、宽相等”‎ ‎2、画三视图时，所有轮廓都要画。（看得见的画实线，看不见的画虚线）‎ ‎3、投影有平行投影（太阳光投影）和中心投影（灯光投影）两种。‎ ‎4、视点、视角及盲区的涵义 十三、统计 1、 总体，个体，样本，样本容量（样本中个体的数目，不带单位）‎ ‎2、“平均水平”的三个代表：平均数、众数、中位数。‎ ‎（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据。‎ ‎（2）平均数：平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。‎ ‎（3）中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）‎ ‎③若，，…，，则，‎ ‎3、反映数据离散程度（波动大小）的三个代表：极差、方差、标准差 极差：样本中最大值与最小值的差。它是刻划样本中数据波动范围的大小。‎ 方差：方差是刻划数据的波动大小的程度。‎ 标准差：，‎ ‎4、频数、频率、频数分布表及频数分布直方图 ‎ ，在频率分布直方图中，各组的频率和为1.‎ ‎5、调查：‎ 普查：具有破坏性、特大工作量的往往不适合普查；‎ 抽样调查：抽样时要主要样本的代表性和广泛性。抽样调查的作用就是通过抽样的结果与估计总体结果。‎ 十四、概率 ‎1、； ；。‎ ‎2、简单事件的概率计算。‎ ‎3、列表或画树状图计算事件发生的概率（“牌、球”游戏中放回与不放回的概率是不同的）‎ ‎4、游戏公平性是指双方获胜的概率的大小是否相等；不公平的游戏规则要调整 为公平的规则，必须将规则说完整。‎ ‎5、在用概率解决实际问题时，一般用“理论概率=实验概率”来进行计算（如“池塘里有多少条鱼”的估计问题）。‎ 十五、面积 1、 面积问题 ‎①同底（或等高），面积比等于高（或底）之比；‎ ‎②相似图形的面积比等于相似比的平方。‎ 2、 面积公式 ‎⑧ 圆锥的关系式： ‎ ‎ 圆锥侧面展开图中的圆心角：‎