中考数学试题分类汇编：菱形 18页

中考数学试题分类汇编：考点 26 菱形 一．选择题（共 4 小题） 1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（ ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断； 【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂 直不一定相等， 故选：B． 2．（2018•哈尔滨）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8， tan∠ABD= ，则线段 AB 的长为（ ） A． B．2 C．5 D．10 【分析】根据菱形的性质得出 AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出 OB，解直角三角 形求出 AO，根据勾股定理求出 AB 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD= = ， ∴AO=3， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB= = =5， 故选：C． 3．（2018•淮安）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6 和 8，则这 个菱形的周长是（ ） A．20 B．24 C．40 D．48 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相 等即可得出周长． 【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AO⊥BO， 则 AB= =5， 故这个菱形的周长 L=4AB=20． 故选：A． 4．（2018•贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（ ） A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】易得 BC 长为 EF 长的 2 倍，那么菱形 ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【解答】解：∵E 是 AC 中点， ∵EF∥BC，交 AB 于点 F， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF= BC， ∴BC=6， ∴菱形 ABCD 的周长是 4×6=24． 故选：A． 二．填空题（共 6 小题） 5．（2018•香坊区）已知边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，点 E 在 对角线 BD 上且 tan∠EAC= ，则 BE 的长为 3 或 5 ． 【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可． 【解答】解：当点 E 在对角线交点左侧时，如图 1 所示： ∵菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6， ∴AC⊥BD，BO= ， ∵tan∠EAC= = ， 解得：OE=1， ∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3， 当点 E 在对角线交点左侧时，如图 2 所示： ∵菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6， ∴AC⊥BD，BO= ， ∵tan∠EAC= = ， 解得：OE=1， ∴BE=BO﹣OE=4+1=5， 故答案为：3 或 5； 6．（2018•湖州）如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O．若 tan∠ BAC= ，AC=6，则 BD 的长是 2 ． 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．再 解 Rt△OAB，根据 tan∠BAC= = ，求出 OB=1，那么 BD=2． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB． 在 Rt△OAB 中，∵∠AOD=90°， ∴tan∠BAC= = ， ∴OB=1， ∴BD=2． 故答案为 2． 7．（2018•宁波）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点 E， M 是 AB 的中点，连结 MD，ME．若∠EMD=90°，则 cosB 的值为 ． 【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H．首先证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股 定理构建方程求出 x 即可解决问题． 【解答】解：延长 DM 交 CB 的延长线于点 H． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=AD=2，AD∥CH， ∴∠ADM=∠H， ∵AM=BM，∠AMD=∠HMB， ∴△ADM≌△BHM， ∴AD=HB=2， ∵EM⊥DH， ∴EH=ED，设 BE=x， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB=∠EAD=90° ∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2， ∴22﹣x2=（2+x）2﹣22， ∴x= ﹣1 或﹣ ﹣1（舍弃）， ∴cosB= = ， 故答案为 ． 8．（2018•广州）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0），（﹣ 2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 （﹣5，4） ． 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标． 【解答】解：∵菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0），（﹣2，0）， 点 D 在 y 轴上， ∴AB=5， ∴AD=5， ∴由勾股定理知：OD= = =4， ∴点 C 的坐标是：（﹣5，4）． 故答案为：（﹣5，4）． 9．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在第一象限，点 C 在 x 轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时 针旋转 75°，得到四边形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′的坐标为 （ ，﹣ ） ． 【分析】作 B′H⊥x 轴于 H 点，连结 OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°， 再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°， 所以△OBH 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得 OH=B′H= ， 然后根据第四象限内点的坐标特征写出 B′点的坐标． 【解答】解：作 B′H⊥x 轴于 H 点，连结 OB，OB′，如图， ∵四边形 OABC 为菱形， ∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB 平分∠AOC， ∴∠AOB=30°， ∵菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75°至第四象限 OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°， ∴△OBH 为等腰直角三角形， ∴OH=B′H= OB′= ， ∴点 B′的坐标为（ ，﹣ ）． 故答案为：（ ，﹣ ）． 10．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 AB=BC 或 AC⊥BD 使平行四边形 ABCD 是菱形． 【分析】根据菱形的判定方法即可判断． 【解答】解：当 AB=BC 或 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形． 故答案为 AB=BC 或 AC⊥BD． 三．解答题（共 10 小题） 11．（2018•柳州）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB=2． （1）求菱形 ABCD 的周长； （2）若 AC=2，求 BD 的长． 【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长； （2）利用勾股定理可求出 BO 的长，进而解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，AB=2， ∴菱形 ABCD 的周长=2×4=8； （2）∵四边形 ABCD 是菱形，AC=2，AB=2 ∴AC⊥BD，AO=1， ∴BO= ， ∴BD=2 12．（2018•遂宁）如图，在▱ ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 DE=BF， AC⊥EF．求证：四边形 AECF 是菱形． 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF 是菱形． 13．（2018•郴州）如图，在▱ ABCD 中，作对角线 BD 的垂直平分线 EF，垂足为 O，分别交 AD，BC 于 E，F，连接 BE，DF．求证：四边形 BFDE 是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△ BOF，得到 OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形 EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形 BFDE 为菱形． 【解答】证明：∵在▱ ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点， ∴BO=DO，∠EDB=∠FBO， 在△EOD 和△FOB 中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）； ∴OE=OF， 又∵OB=OD， ∴四边形 EBFD 是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形 BFDE 为菱形． 14．（2018•南京）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O 是四边 形 ABCD 内一点，且 OA=OB=OD．求证： （1）∠BOD=∠C； （2）四边形 OBCD 是菱形． 【分析】（1）延长 AO 到 E，利用等边对等角和角之间关系解答即可； （2）连接 OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可． 【解答】证明：（1） 延长 OA 到 E， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， 又∠BOE=∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE=2∠BAO， 同理∠DOE=2∠DAO， ∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO） 即∠BOD=2∠BAD， 又∠C=2∠BAD， ∴∠BOD=∠C； （2）连接 OC， ∵OB=OD，CB=CD，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO， ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC= ∠BOD，∠BCO= ∠BCD， 又∠BOD=∠BCD， ∴∠BOC=∠BCO， ∴BO=BC， 又 OB=OD，BC=CD， ∴OB=BC=CD=DO， ∴四边形 OBCD 是菱形． 15．（2018•呼和浩特）如图，已知 A、F、C、D 四点在同一条直线上，AF=CD， AB∥DE，且 AB=DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长 度． 【分析】（1）根据 SAS 即可证明． （2）解直角三角形求出 DF、OE、OF 即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+FC， 即 AC=DF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF． （2）如图，连接 AB 交 AD 于 O． 在 Rt△EFD 中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4， ∴DF= =5， ∵四边形 EFBC 是菱形， ∴BE⊥CF，'∴EO= = ， ∴OF=OC= = ， ∴CF= ， ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = ． 16．（2018•内江）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别是 AB， BC 上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形 ABCD 是菱形． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理 ASA 证得结论； （2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C． 在△AED 与△CFD 中， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD，则 AD=CD． 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是菱形． 17．（2018•泰安）如图，△ABC 中，D 是 AB 上一点，DE⊥AC 于点 E，F 是 AD 的中点，FG⊥BC 于点 G，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分∠CAB，连接 GE， CD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由． 【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据 F 是 AD 的中 点，FG∥AE，即可得到 FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，∠CGE= ∠GDE，利用 AAS 即可判定△ECG≌△GHD； （2）过点 G 作 GP⊥AB 于 P，判定△CAG≌△PAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 Rt△ECG≌Rt△GPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC； （3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到 AE= AD，故 AE=AF=FG，再根据 四边形 AECF 是平行四边形，即可得到四边形 AEGF 是菱形． 【解答】解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA， ∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA， ∴∠CAG=∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC， ∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED， ∵F 是 AD 的中点，FG∥AE， ∴H 是 ED 的中点， ∴FG 是线段 ED 的垂直平分线， ∴GE=GD，∠GDE=∠GED， ∴∠CGE=∠GDE， ∴△ECG≌△GHD； （2）证明：过点 G 作 GP⊥AB 于 P， ∴GC=GP，而 AG=AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC=AP， 由（1）可得 EG=DG， ∴Rt△ECG≌Rt△GPD， ∴EC=PD， ∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形 AEGF 是菱形， 证明：∵∠B=30°， ∴∠ADE=30°， ∴AE= AD， ∴AE=AF=FG， 由（1）得 AE∥FG， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴四边形 AEGF 是菱形． 18．（2018•广西）如图，在▱ ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F， 且 BE=DF． （1）求证：▱ ABCD 是菱形； （2）若 AB=5，AC=6，求▱ ABCD 的面积． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明 AB=AD 即可解决问题； （2）连接 BD 交 AC 于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB=AD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． （2）连接 BD 交 AC 于 O． ∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC= AC= ×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO= = =4， ∴BD=2BO=8， ∴S 平行四边形 ABCD= ×AC×BD=24． 19．（2018•扬州）如图，在平行四边形 ABCD 中，DB=DA，点 F 是 AB 的中点， 连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E，连接 AE． （1）求证：四边形 AEBD 是菱形； （2）若 DC= ，tan∠DCB=3，求菱形 AEBD 的面积． 【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出 AD=BE，可知四边形 AEBD 是平行四边形， 再根据 BD=AD 可得结论； （2）解直角三角形求出 EF 的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF=∠EBF， ∵∠AFD=∠EFB，AF=FB， ∴△AFD≌△BFE， ∴AD=EB，∵AD∥EB， ∴四边形 AEBD 是平行四边形， ∵BD=AD， ∴四边形 AEBD 是菱形． （2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB= ，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCB， ∴tan∠ABE=tan∠DCB=3， ∵四边形 AEBD 是菱形， ∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF， ∴tan∠ABE= =3， ∵BF= ， ∴EF= ， ∴DE=3 ， ∴S 菱形 AEBD= •AB•DE= •3 =15． 20．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC=90°，E 是 BC 的中点， AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD 于点 F． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB=6，BC=10，求 EF 的长． 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∵∠BAC=90°，E 是 BC 的中点， ∴AE=CE= BC， ∴四边形 AECD 是菱形； （2）过 A 作 AH⊥BC 于点 H， ∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10， ∴AC= ， ∵ ， ∴AH= ， ∵点 E 是 BC 的中点，BC=10，四边形 AECD 是菱形， ∴CD=CE=5， ∵S▱ AECD=CE•AH=CD•EF， ∴EF=AH= ．