新修订版全国各地中考数学试题分类汇编考点9一元二次方程及应用含答案 33页

一元二次方程及应用A 一、选择题 ‎1. （2011浙江省舟山，2，3分）一元二次方程的解是（　 　）‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎2. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ‎②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为 正确命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎ ‎3. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程根的情况是（ ）‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎【答案】A ‎4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. 289(1－2x)=256 D.256(1－2x)=289‎ ‎【答案】A ‎5. （2011山东威海，9，3分）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎6. （2011四川南充市，6，3分） 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ ）‎ ‎（A）2 （B）3 （C）－1，2 （D）－1，3‎ ‎【答案】D ‎7. （2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程的解是（　 　）‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎8. （2011台湾台北，20）若一元二次方程式 的两根为0、2，则 之值为何？‎ A．2 　　　B．‎5 ‎　　　C．7　　　 D． 8‎ ‎【答案】B ‎10．（2011台湾全区，31）关于方程式的两根，下列判断何者正确？‎ A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于－2，另一根大于2‎ C．两根都小于0 D．两根都大于2‎ ‎【答案】A ‎11. （2011江西，6，3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）‎ A.1 B‎.2 C.－2 D.－1‎ ‎【答案】C ‎12. （2011福建泉州，4，3分）已知一元二次方程x2－4x+3=0两根为x1、x2, 则x1·x2=‎ ‎（　　）.‎ A. 4 B. ‎3 ‎‎ C. －4 D. －3‎ ‎【答案】B ‎13. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎14. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎15. （2011江苏苏州，8,3分）下列四个结论中，正确的是 A.方程x＋=－2有两个不相等的实数根 B.方程x＋=1有两个不相等的实数根 C.方程x＋=2有两个不相等的实数根 D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根 ‎【答案】D ‎16. （2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是 ‎ A．x=2 B．x=‎0 C．x1=0, x2=2 D．x1=0, x2=－2‎ ‎【答案】C ‎17. （2011山东济宁，5，3分）已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为 A．－１ B．0 ‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎18. （2011山东潍坊，7，3分）关于x的方程的根的情况描述正确的是（ ）‎ A . k 为任何实数，方程都没有实数根 ‎ B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 ‎ C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根 ‎ D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 ‎【答案】B ‎19. （2011四川成都，6,3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式 的判断正确的是 C ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎20．（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )‎ A.a<2 B,a>‎2 C.a<2且a≠1 D.a<－2·‎ ‎【答案】C·‎ ‎21. （2011江西南昌，6，3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）‎ A.1 B‎.2 C.－2 D.－1‎ ‎【答案】C 1. ‎22. （2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 A. ‎－2 B. ‎2 ‎ C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎23. （2011四川绵阳12，3）若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x －a)(x－b) = 1(a < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为 A．x1＜x2＜a＜b ‎ B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2‎ D．a＜x1＜b＜x2‎ ‎【答案】B ‎24. （2011四川凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎25. （2011湖北武汉市，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3=0的两个根，则x1x2的值是 A．4．  B．3．  C．－4．  D．－3．‎ ‎【答案】B ‎26. （2011湖北黄冈，11，3分）下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ‎②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为 正确命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎27. （2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x－1）（x－2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足 A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>2‎ ‎【答案】D ‎28. （2011安徽，8，4分）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（ ）‎ A．－1 B．‎2 ‎ C．1和2 D．－1和2‎ ‎【答案】D ‎29. （2011湖南湘潭市，7，3分）一元二次方程的两根分别为 A. 3, －5 B. －3，－‎5 C. －3,5 D.3，5‎ ‎【答案】D ‎30. （2011湖北荆州，9，3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是 A．1　　B．－‎1　‎　　C．1或－1　　　D．　2　‎ ‎【答案】B ‎31.‎ 二、填空题 ‎1. （2011江苏扬州，14,3分）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 ‎ ‎【答案】25%‎ ‎2. （2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎3. （2011山东德州14,4分）若，是方程的两个根，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎4. （2011山东泰安，21 ，3分）方程2x2+5x－3=0的解是 。‎ ‎【答案】x1= －3,x2= ‎ ‎5. （2011浙江衢州，11,4分）方程的解为 .‎ ‎【答案】‎ ‎6. （2011福建泉州，附加题1，5分）一元二次方程的解是 ‎ ‎【答案】或 ‎7. （2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 。‎ ‎【答案】x1=－4，x2=－1‎ ‎8. （2011广东株洲，13，3分）孔明同学在解一元二次方程x2－3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎9. （2011江苏苏州，15,3分）已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎10．（2011江苏宿迁,16,3分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是‎6m．若矩形的面积为‎4m2‎，则AB的长度是 ▲ m（可利用的围墙长度超过‎6m）．‎ ‎【答案】1‎ ‎11. （2011四川宜宾,12,3分）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎12. （2011四川宜宾,15,3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．‎ ‎【答案】20%‎ ‎13. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是 .‎ ‎【答案】±2‎ ‎14. （2011上海，9，4分）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．‎ ‎【答案】1‎ ‎15. （2011上海，14，4分）某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．‎ ‎【答案】20%‎ ‎16. (20011江苏镇江,12,2分)已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.‎ 答案：1，－3‎ ‎17. ‎ 三、解答题 ‎1. （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（）cm，正六边形的边长为（）cm.求这两段铁丝的总长. ‎ ‎【答案】‎ 解: 由已知得，正五边形周长为5（）cm，正六边形周长为6（）cm.…2分 因为正五边形和正六边形的周长相等，所以. ………………3分 整理得, 配方得，解得(舍去).………6分 故正五边形的周长为(cm). …………………………………………7分 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为‎420cm.‎ 答：这两段铁丝的总长为‎420cm. ……………………………………………8分 ‎2. （2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房‎8万平方米 ‎，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．‎ ‎(1)求每年市政府投资的增长率；‎ ‎(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．‎ ‎【答案】（1）设每年市政府投资的增长率为x，‎ 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5， ‎ 整理，得：x2+3x－1.75=0， 解之，得：x=，‎ ‎∴x1=0.5 x2=－0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；‎ ‎（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）．‎ ‎3. （2011四川南充市，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。‎ ‎【答案】解：∵（1）方程有实数根 ∴⊿=22－4（k+1）≥0‎ 解得 k≤0‎ K的取值范围是k≤0‎ ‎（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=－2, x1x2=k+1‎ x1+x2－x1x2=－2,+ k+1‎ 由已知，得 －2,+ k+1＜－1 解得 k＞－2‎ 又由（1）k≤0 ‎ ‎∴ －2＜k≤0‎ ‎∵ k为整数 ∴k的值为－1和0.‎ ‎4. （2011浙江衢州，21,8分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？‎ 小明的解法如下：‎ 解：设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元，由题意，‎ 得.‎ 化简，整理，的.‎ 解这个方程，得 答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.‎ 本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系： ‎ 请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。‎ ‎【答案】解：（1）平均单株盈利株数=每盆盈利 ‎ 平均单株盈利=每盆增加的株数 ‎ 每盆的株数=3+每盆增加的株数 ‎ ‎ ‎（2）解法1（列表法）‎ 平均植入株数 平均单株盈利（元）‎ 每盆盈利（元）‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎2.5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎1.5‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。‎ 解法2（图像法）‎ 如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利. ‎ 从图像可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。‎ 解法3(函数法)‎ 解：设每盆花苗增加株时，每盆盈利10元，根据题意，得 解这个方程，得 经验证，是所列方程的解.‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。‎ ‎5. （2011浙江义乌，19，6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：‎ ‎（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？‎ ‎【答案】（1） 2x 50－x ‎ ‎（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100 ‎ ‎ 化简得：x2－35x+300=0‎ ‎ 解得：x1=15， x2=20‎ ‎∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20‎ 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.‎ ‎6. （2011江苏苏州，22,6分）已知|a－1|+=0，求方程+bx=1的解.‎ ‎【答案】解：由|a－1|+=0，得a=1，b=－2.‎ 由方程－2x=1得2x2+x－1=0‎ 解之，得x1=－1，x2=.‎ 经检验，x1=－1，x2=是原方程的解.‎ ‎7. （2011山东聊城，18，7分）解方程：‎ ‎【答案】(x－2)(x＋1)＝0，解得x＝2或x＝－1‎ ‎8. （2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。‎ ‎（1）求平均每次下调的百分率。‎ ‎（2）某人准备以开盘价均价购买一套‎100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？‎ ‎【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率x，则 ‎ 6000（1－x）2=4860‎ ‎ 解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去）‎ ‎∴平均每次下调的百分率10%‎ ‎ （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元 ‎ 方案②可优惠：100×80=8000元 ‎∴方案①更优惠 ‎9. (2011江苏南京，19，6分)解方程x2－4x＋1=0‎ ‎【答案】解法一：移项，得．‎ 配方，得，‎ ‎ ‎ 由此可得 ‎，‎ 解法二：‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎10．（2011四川乐山23，10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。‎ 题甲：已知关于x的方程的两根为、，且满足.求的值。‎ ‎【答案】‎ 解：∵关于的方程有两根 ‎∴‎ 即：‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 解得 ‎∵‎ ‎∴‎ 把代入，得：‎ 题乙：如图（12），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4.‎ (1) 求证:AC⊥BD (2) 求△AOB的面积 我选做的是 题 ‎【答案】‎ ‎⑴．证明：如图，过点D作DE∥BC交BC的延长线于点E ‎∵AD∥CE,AC∥DE ‎∴四边形ACED为平行四边形 ‎∴DE=AC=4，CE=AD=2‎ ‎∵在ΔBDE中，BD=3，DE=4，BE=BC+CE=5‎ ‎∴‎ ‎∴ΔBED为直角三角形且∠BDE=90°‎ ‎∵AC∥DE ‎∴∠BOC=∠BDE=90°‎ 即AC⊥BD ‎11. （2011江苏无锡，20(1)，4分）解方程：x2 + 4x − 2 = 0； ‎ ‎【答案】解：(1)方法一：由原方程，得(x + 2)2 = 6 …………(2分) ‎ ‎ x + 2 = ±，……………(3分)‎ ‎ ∴x = −2 ±． ………………………………………(4分)‎ 方法二：△ = 24，……(1分) x = ，……(3分) ‎ ‎ ∴x = −2 ±．………………(4分)‎ ‎12. （2011湖北武汉市，17，6分）（本题满分6分）解方程：x2＋3x＋1=0．‎ ‎【答案】   ∵a=1,b=3,c=1‎ ‎∴△=b2－‎4ac=9－4×1×1＝5＞0‎ ‎∴x=－3±‎ ‎  ∴x1=－3＋ ，x2=－3－‎ ‎13. （2011湖北襄阳，22，6分）‎ 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？‎ ‎【答案】‎ 设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得 ‎ 2分 解之，得. 4分 ‎∵，故舍去，∴x＝0.25＝25%. 5分 ‎10×（1＋25%）＝12.5‎ 答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分 ‎14. （2011山东东营，22，10分）(本题满分10分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。‎ （1） 求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；‎ ‎ （2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。‎ ‎【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得 ‎ 解得（不合题意，舍去）‎ ‎（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）万辆，2012年底全市的汽车拥有量为（（21.6×90%+y）×90%+y）万辆。‎ ‎ 根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196‎ 解得y≤3‎ 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆。‎ ‎15. (20011江苏镇江,26,7分)某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克,并对其起先筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销售量(千 克)与x的关系为;乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销售量(千克)与t的关系为,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎21‎ ‎44‎ ‎69‎ ‎ (1)求a、b的值.‎ ‎(2)若甲级干果与乙级干果分别以元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润为多少元?‎ ‎(3)此人第几天起乙级干果每 天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克?(说明:毛利润=销售总金额－进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)‎ ‎【答案】：（1）选取表中两组数据，求得a=1,b=20.‎ ‎(2)甲级干果与乙级干果n天销完这批货。‎ 则 即60n=1140,解之得n=19,‎ 当n=19时，,=741.‎ 毛利润=399×8+741×6－1140×6=798（元）‎ ‎（3）第n天甲级干果的销售量为－2n+41,‎ 第n天乙级干果的销售量为2n+19.‎ ‎(2n+19)－(－2n+41)≥6‎ 解之得n≥7.‎ ‎16. （2011广东湛江26,12分）某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：‎ A种产品 B种产品 成本（万元/件）‎ ‎2‎ ‎5‎ 利润（万元/件）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（1）若工厂计划获利14万元，问A,B两种产品应分别生产多少件？‎ ‎（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？‎ ‎（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1）设生产A种产品件，则生产B种产品有件，于是有 ‎，解得，‎ 所以应生产A种产品8件，B种产品2件；‎ ‎（2）设应生产A种产品件，则生产B种产品有件，由题意有 ‎，解得；‎ 所以可以采用的方案有：‎ 共6种方案；‎ ‎（3）由已知可得，B产品生产越多，获利越大，所以当时可获得最大利润，其最大利润为万元。‎ ‎17. （2010湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.‎ ‎（1）求k的取值范围；（4分）‎ ‎（2）若，求k的值. （6分）‎ ‎【答案】解：（1）依题意，得即，解得.‎ ‎（2）解法一：依题意，得.‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①当时，则有，即 解得 ‎∵‎ ‎∴不合题意，舍去 ‎②时，则有，即 解得 ‎∵，∴‎ 综合①、②可知k=﹣3.‎ 解法二：依题意可知.‎ 由（1）可知 ‎∴，即 ‎∴‎ 解得 ‎∵，∴‎ ‎18. （2011湖北宜昌，22，10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长.‎ ‎(1)尹进2o11年的月工资为多少? ‎ ‎(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2o11年6月份的月工资少了242 元，于是他用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问，尹进总共捐献了多少本工具书?‎ ‎【答案】解:（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x,则,2000（1＋x）2＝2420． (1分)‎ 解 得 ，x1＝－2.1, x2＝0.1, (2分 )x1＝－2.1与题意不合，舍去.‎ ‎∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元. (3分)‎ ‎（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本.设乙工具书单价为n元，第一次选购z本.则由题意， 可列方程:‎ m＋n＝242， ① (4分)‎ ny＋mz＝2662， ② (6分) ‎ my＋nz＝2662－242． ③ (7分)(②,③任意列对一个给2分;②,③全对也只给3分)‎ 由②＋③，整理得，（m＋n）（y＋z）＝2×2662－242， (8分)‎ 由①,∴242（y＋z）＝2×2662－242，∴ y＋z＝22－1＝21．(9分)‎ 答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.(10分) (只要得出23本，即评1分)‎ 一元二次方程及应用B 一、选择题 ‎1. （2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎2. （2011黑龙江省哈尔滨市，5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）‎ A．6 B．‎5 ‎‎ ‎ C．2 D．－6‎ ‎【答案】A ‎3. (湖南湘西,12,3分)小华在解一元二次方程时，只得出一个根x=1,则被漏掉的一个根是（ ）‎ A.x=4 B.x=‎3 C.x=2 D.x=0‎ ‎【答案】D ‎4. （2011黑龙江省哈尔滨市，5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）‎ A．6 B．‎5 ‎‎ ‎ C．2 D．－6‎ ‎【答案】A ‎5. （2011湖北省随州市，7，4分）下列说法中 ① 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ② 数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2‎ ③ 等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ④ Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b分别是方程x2－7x+7=0的两个根，则AB边上的中线长为 正确命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎6. （2011吉林，14，3分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多‎10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ）‎ ‎（A）x（x－10）＝ 200 （B）2x＋2（x－10）＝ 200 ‎ ‎（C）x（x＋10）＝ 200 （D）2x＋2（x＋10）＝ 200‎ ‎【答案】C ‎7. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ‎②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为 正确命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎8. （2011云南省昆明市，5，3分）若x1，x2是一元二次方程2x2－7x+4=0的两根，则x1+x2与x1·x2的值分别是（ ）‎ A．－，－2 B． －，‎2 C．，2 D．，－2‎ ‎【答案】C ‎9. （2011昭通，7，3）由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，通过连续两次降价后，售价变为2000元/米2，下列方程中正确的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎10．（2011内蒙古包头，3，3分）一元二次方程的根的情况是（ ）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 ‎【答案】B ‎11. （2011四川自贡，4，3分）已知、是方程的两个实数根，则的值等于 （ ）‎ A. 6 B.－6 C. 10 D. －10‎ ‎【答案】C ‎12. (2011山东淄博，10，3分)已知a是方程的一个根，则的值为（ ）‎ A． B． C．－1 D．1‎ ‎【答案】D ‎13. （2011年青海，17,3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ A． k≥4 B. k≤‎4 C. k＞4 D . k=4‎ ‎【答案】B ‎14. （2011广西柳州,3,3分）方程x²－4=0的解是 ‎ A.x=2 B.x=－‎2 C.x=±2 D.x=±4‎ ‎【答案】C ‎15. （2011广西百色，11,3分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元。若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程 A.72(x+1) ²=50 B.50(x+1) ²=‎72 C.50（x－1）²=72 D.72（x－1）²=50‎ ‎【答案】：B ‎16. （2011广西百色，13,3分）关于x的方程x²+mx－‎2m²‎=0 的一个根为1，则m的值为 A.1 B. . C.1或. D.1或－.‎ ‎【答案】：Ｄ ‎17. （2011广西贵港，5，3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为 ‎(A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2‎ ‎【答案】C ‎18. （2010乌鲁木齐，8，4分)关于的一元二次方程，则实数的值为 ‎ A.－1 B‎.0 ‎‎ C.1 D.－1或1‎ ‎ 【答案】A ‎19. （2011张家界，5，3分）已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）‎ A.1 B.－‎1 C.0 D.无法确定 ‎【答案】B ‎20．（2011贵州黔南，13,4分）已知三角形的两边的长分别为3和6，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）‎ A.11 B‎.13 C.11或13 D.11和13‎ ‎【答案】B ‎21. （2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程x2－x＋＝0的根是（ ）‎ A．x1＝，x2＝－ B．x1＝2，x2＝－2‎ C．x1＝x2＝－ D．x1＝x2＝‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎1. (2011江苏常州,12,2分)已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,‎ 另一根是_______.‎ ‎【答案】1，－3‎ ‎2. （2011辽宁大连，13,3分）某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为_________．‎ ‎【答案】350（1－x）2＝299‎ ‎3. （2011山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力. 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________.‎ ‎【答案】20%‎ ‎4. (2011四川达州，10，3分)已知关于的方程的两个根是0和，则= ，= ．‎ ‎【答案】，‎ ‎5. （2011湖南娄底，13,4分）如果方程x2+2x + a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎6. （2011内蒙古呼和浩特市，15,3分）若，则的值为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎7. （2011广西梧州，15，3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是________．‎ ‎【答案】x1=－2，x2=－3‎ ‎8. （2011黑龙江绥化，7，3分）一元二次方程的解为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎9. （2011江西b卷，12,3分）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程: ‎ ‎【答案】如：‎ ‎10．（2011江苏徐州，15,3分）若方程有两个相等的实数根，则k= ▲ .‎ ‎【答案】.‎ ‎11. （2011山东济南，18，3分）方程的解为__________________．‎ ‎【答案】，‎ ‎12. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2－3y+l =0的两个实数根分别为y1、y2，则(y1－l)（y2－l)的值为 .‎ ‎【答案】－1‎ ‎13. （2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程的两个实数根分别是。则= ‎ ‎【答案】—2‎ ‎14. （2011年铜仁地区，17，4分）当k 时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；‎ ‎【答案】‎ ‎15. （2011•泸州，16,3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　1　．‎ ‎【答案】k=1．‎ ‎16. (2011山东淄博，14，4分)方程x2―2=0的根是　　　 　　　　　． ‎ ‎【答案】x1=，x2=‎ ‎17. （2011新疆维吾尔自治区，新疆生产建设兵团，12，5分）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围____________；‎ ‎【答案】‎ ‎18. （2011黑龙江黑河，7，3分）一元二次方程a2－‎4a－7=0的解为 .‎ ‎【答案】1=2+，2=2－‎ 三、解答题 ‎1. （2011广西桂林，23，8分）某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．‎ ‎ （1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；‎ ‎ （2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？‎ ‎ 【答案】解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，则 ‎ 2000（1+x）2=2420．‎ ‎ 解得：x=10%（负值已舍）．‎ ‎ 即该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．‎ ‎ （2）2012年需投入的资金为2420·（1+10%）2=2928.2万元．‎ ‎2. （2011湖北十堰，20，6分）请阅读下列材料：‎ 问题：已知方程x2+x－1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。‎ 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以.‎ 把代入已知方程，得（）2+－1=0.‎ 化简，得y2+2y－4=0.‎ 故所求方程为y2+2y－4=0。‎ 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。‎ 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；‎ ‎（1）已知方程x2+x－2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；‎ ‎（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数。‎ ‎【答案】解：（1）y2－y－2=0.‎ ‎(2)设所求方程的根为y,则y= (x≠0). 于是x=(y≠0)‎ ‎ 把x=代入方程ax2+bx+c=0,得 去分母，得a+by+cy2=0.‎ 若c=0, 有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意。‎ ‎∴c≠0,‎ 故所求方程为:cy2+by+a=0(c≠0)‎ ‎3. （2011湖北襄阳，22，6分）‎ 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？‎ ‎【答案】‎ 设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得 ‎ 2分 解之，得. 4分 ‎∵，故舍去，∴x＝0.25＝25%. 5分 ‎10×（1＋25%）＝12.5‎ 答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分 ‎4. （2011广东清远，18，5分）解方程：‎ ‎【答案】 解：因为a=1,b=－4,c=－1‎ 所以 即，‎ ‎5. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足 ‎，试求出方程的两个实数根及k的值.‎ ‎【答案】解:由根与系数的关系得:① ，②，‎ ‎ 又∵③，联立①、③，解方程组得，‎ ‎∴.‎ 答：方程两根为.‎ ‎6. （2011内蒙古赤峰，19，10分）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80﹪，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元。‎ ‎（1）求这种玩具的进价。‎ ‎（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪）‎ ‎【答案】解：（1）设这种玩具的进价是x元，根据题意得：‎ ‎ x（1+80﹪）=36‎ ‎ 解之得：x=20‎ ‎ 答：这种玩具的进价为20元。‎ ‎ （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 解之得： （不合题意，舍去）‎ ‎ ∴y=16.7﹪‎ ‎ 答：平均每次降价的百分率为16.7﹪‎ ‎7. （2011四川自贡，24，10分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程.‎ 例： 解方程 ‎ 解：（1）当即时，‎ ‎ 原方程化为，即 ‎ 解得，‎ ‎ 故舍去，是原方程的解.‎ ‎ （2）当即时，‎ ‎ 原方程化为，即 ‎ 解得，‎ ‎ 故舍去，是原方程的解.‎ ‎ 综上所述，原方程的解为，.‎ 解方程：‎ ‎【答案】解：（1）当即时，‎ ‎ 原方程化为，即 ‎ 解得，‎ ‎ 故舍去，是原方程的解.‎ ‎ （2）当即时，‎ ‎ 原方程化为，即 ‎ 解得，‎ ‎ ∴ ，均舍去 综上所述，原方程的解为 ‎8. （2011广西玉林、防港，20，6分）已知：是一元二次方程的两个实数根，‎ 求的值。‎ ‎ 【答案】解：由根与系数的关系得 ‎ 原式=‎ ‎9. （2011广西贵港，24，10‎ 分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭。据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆。‎ ‎（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；‎ ‎（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据估计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假设每年新增汽车数量相同，请你计算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x。‎ 由题意得75(1+x)2＝108‎ ‎1+x＝±1.2‎ ‎∴x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）‎ 答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%。‎ ‎（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得 ‎(108×0.9+y)×0.9+y≤125.48‎ 解得：y≤20‎ 答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不能超过20万辆。‎ ‎10．（2011张家界，23，8分）阅读材料：‎ 如果是一元二次方程的两根，那么，这就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题：‎ 已知m与n是方程的两根 ‎（1）填空：m+n= ，m·n= .‎ ‎（2）计算的值 ‎【答案】（1）3， ‎ ‎（2） ‎ ‎11. (2011湖南郴州市，18，6分)当t取什么值时，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．‎ ‎【解】因为a=2，b=t，c=2，‎ 令，解得 所以当或时，原方程有两个相等的实数根 ‎12. （2011福建漳州，24，10分）2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长。‎ ‎（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；‎ ‎（2）按这样的增长速度，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值。‎ ‎（温馨提示：2254=4×563,5067=9×563）‎ ‎【解】（1）设年平均增长率为x，依题意得：‎ 答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50％‎ ‎（2）50.67×（1+50％）=76.005（亿元）‎ 答：预测2011年漳州市的出口贸易总值为76.005亿元 ‎13. （2011贵州六盘水，22，14分）小明家有一块长‎8m、宽‎6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值。‎ ‎8‎ ‎6‎ x x x x 方案一 ‎8‎ ‎6‎ x x x x x x x x 方案二 ‎8‎ ‎6‎ x x x x 方案三 ‎8‎ ‎6‎ x x x x 方案四 ‎【答案】解：据题意，得 ‎ 解得：x1＝12，x2=2 ‎ ‎ x1不合题意，舍去 ‎ ∴x＝2 ‎ ‎14. （2011青海西宁，27，10分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从‎2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．‎ ‎（1）求平均每次下调的百分率；‎ ‎（2）某人准备以开盘价购买一套‎100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：‎ ‎ ①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5‎ 元．请问哪种方案更优惠？‎ ‎ 【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：‎ ‎ 5000（1－x）2=4050，‎ ‎ 解此方程得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）‎ ‎ ∴x=10%．‎ 答：平均每次下调的百分率为10%．‎ ‎（2）方案一：100×4050×98%=396900（元），‎ 方案二：100×4050－1.5×100×12×2=401400（元），‎ ‎∴方案一优惠．‎ ‎ ‎