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- 2021-05-10 发布
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2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题
数 学(解析版)
注意事项:
1. 本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟。
2. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的。
1. 下列各数中最大的数是( )
A. 5 B. C. π D. -8
A【解析】本题考查实数的比较大小.∵,π≈3.14,∴5>π>>,∴最大的数为5.
2. 如图所示的几何体的俯视图是( )
C
D
B
A
正面
第2题
B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断,俯视图是从上往下看得到的图形,从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线,故B选项符合题意.
3. 据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元,将数据40 570亿用科学记数法表示为( )
A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012HHH[来源&:#中~国教育出@版网*]
D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108 ,40570=4.057×104,∴
40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012.
4. 如图,直线a,b被直线e,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为( )
d
c
b
a
第4题
A. 55° B. 60° C.70° D. 75°
A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1=∠2,∴a∥b.∴∠5=∠3=125°,
∴∠4=180°-∠5=180°-125°=55°.
5. 不等式组的解集在数轴上表示为( )
-5
2
0
-5
2
0
-5
2
0
-5
2
0
C
D
B
A
C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0,解得:x≥-5 ;
由不 等式3-x>1,解得:x<2,则该不等式组的解集为-5≤x<2,故C选项符合.
6. 小王参加某企业招聘测试,他的笔试,面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2:3:5的比例确定成绩,则小王的成绩是( )
A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D.86分
C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得,∴小王成绩为86分.
7. 如图,在□ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
E
F
C
D
B
G
A
第7图
C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质,以及基本的尺规作图. 设AE与BF交于点O,∵AF=AB,∠BAE= ∠FAE ,∴AE⊥BF,OB=BF=3在Rt△AOB中,AO=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA ,∴AB=BE,∴AE=2AO=8.
P
O
第8题
O1
x
y
O2
O3
8. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,… 组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是( )
A.(2014,0) B.(2015,-1)
C. (2015,1) D. (2016,0)
B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.
∵半圆的半径r=1,∴半圆长度=π,
∴第2015秒点P运动的路径长为:×2015,
∵×2015÷π=1007…1,∴点P位于第1008个半圆的中点上,且这个半圆在x轴的下方.
∴此时点P的横坐标为:1008×2-1=2015,纵坐标为-1,∴点P(2015,-1) .
E
C
D
B
A
第10题
第8题解图
二、填空题(每小题3分,共21分)
9. 计算:(-3)0+3-1= .
9.【解析】,∴原式=1+ = .
10. 如图,△ABC中,点D、E分别在边AB,BC上,DE//AC,
若DB=4,DA=2,BE=3,则EC= .
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC,∴,
O
A
第11题
x
y
∴EC=.
11. 如图,直线y=kx与双曲线交于点
A(1,a),则k= .
2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.
把点A坐标(1,a)代入 y= ,得a==2
∴点A的坐标为(1,2),再把点A(1,2)代入y=kx中,得k=2.
12. 已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
.【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一:解:∵ A(4,y1)、B(,
y2)C(-2,y3)在抛物线y=上,∴y1=3,y2=5-4,y3=15.∵5-4<3<
15,∴y2<y1<y3
方法二:解:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3,∵y=
∴对称轴为直线x=2,∴d1=2,d2=2-,d3=4∵2-<2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.
方法三:解:∵y=,∴对称轴为直线x=2,∴点A(4, y1)关于x=2
的对称点是(0,y1).∵-2<0<且a=1>0,∴y2<y1<y3.
13. 现有四张分别标有数字1,2,3,4的卡片,它们除数字外完全相同,把卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .
【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下:
1
2
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,2)
(2,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,2)
(3,3)
或画树状图如解图:
开始
第一次 1 2 2 3
第二次 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3
第13题解图
E
O
C
D
B
A
第14题
由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种,其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种,则P=.
14. 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,
CE⊥OA交于点E,以点O为圆心,OC的长为半径
作交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为
.
【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形,相到利用转化的思想,并作出必要的辅助线,即连接OE,得到,再分别计算出各图形的面积即可求解.
【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图,连接OE,∵点C是OA的中
点,∴OC=OA=1,∵OE=OA=2,∴OC=OE.
∵CE⊥OA,∴∠OEC=30°,∴∠COE
=60°.在Rt△OCE中,CE=,∴S△OCE=OC·CE=.∵∠AOB=90°,
∴∠BOE
=∠AOB-∠COE=30°,∴S扇形OBE==,S扇形COD==,
∴[来=+-=.
E
F
C
D
B
A
第15题
B′
第14题解图
15. 如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,
点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿
EF折叠,点B落在B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为 .
【分析】若△CD恰为等腰三角形,判断以CD为腰或为底边分为三种情况:①DB′=DC;②CB′=CD;③CB′=DB′,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.
16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论思想.根据题意,若△CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论:(1)若DB′=DC时,则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合) ;(2)当CB′=CD时,∵EB=EB′,CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去;(3)如解图,当CB′=DB′时,作BG⊥AB与点G,交CD于点H.∵AB∥CD,
∴B′H⊥CD,∵CB′=DB′,∴DH=CD=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5,在Rt△B′EG中,由勾股定理得B′G=12,∴B′H=GH-B′G=4.在Rt△B′DH中,由勾股定理得DB′=,综上所述DB′=16或.
第15题解图
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:,其中,.
【分析】解答本题应从运算顺序入手,先将括号里通分,能因式分解的进行因式分解,然后将除法变乘法,最后约分化简成最简分式后,将a,b的值代入求解.
解:原式=……………………………………………………(4分)
=
=.……………………………………………………(6分)
当时,原式=.…………(8分)
17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD,PO.
(1)求证:△CDP∽△POB;
(2)填空:
① 若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 ;
② 连接OD,当∠PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形.
P
O
C
D
B
A
第17题
(1)【分析】要证△CDP≌△POB,已知有一组对应边相等,结合已知条件易得DP是△ACB的中位线,进而可得出一组对应角和一组对应边相等,根据SAS即可得证.
解:∵点D是AC的中点,PC=PB,…………………………………………(3分)
∴DP∥DB,,∴∠CPD=∠PBO.
∵,∴DP=OB,∴△CDP≌△POB(SAS).………………………………(5分)
第17题解图
(2) 【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形,由于AO是定值,要使四边形AOPD
的面积最大,就得使四边形AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大;②易得四边形BPDO是平行四边形,再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.
解: ① 4 ;………………………………………………………………………………(7分)
② 60°.(注:若填为60,不扣分)…………………………………………………(9分)
【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大,∵由(1)得DP=AO,DP∥DB,∴四边形AOPD是平行四边形,∵AB=4,∴AO=PO=2,∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4;②连接OD,∵由(1)得DP=AO=OB,DP∥DB,∴四边形BPDO是平行四边形,∴当OB=BP时四边形BPDO是菱形,∵PO=BO,∴△PBO是等边三角形,∴∠PBA=60°.
18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
电脑上网
26%
其它
9%
报纸
10%
电视
手机上网
40%
调查结果扇形统计图
调查结果条形统计图
人数
选项
260
400
150
99
电脑上网
手机上网
电视
报纸
其它
0
450
400
350
300
250
200
150
100
50
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是 ;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
(1)【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数,从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比,相除即可得到本次调查的市名总人数.
解:1000.………………………………………………………………………………(2分)
【解法提示】本次调查的市名总人数为:400÷40%=1000.
(2) 【分析】 根据扇形统计图可得:1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比,再乘以360°即可求解.
解:54°.(注:若填为54,不扣分)………………………………………………(4分)
【解法提示】(1-9%-10%-26%-40%)×360°=54°.
(2) 【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比,再乘以总人数即可求解.
解:用“报纸”获取新闻的途径的人数为:10%×1000=100,
补全条形统计图如解图:
第18题解图
………………………………………………………………………………………………(4分)
(4)【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比,再乘以该市的人数即可求解.
解:
19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不想等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
(1)【分析】先化简一元二次方程,列出根的判别式,再根据绝对值为非负数,得到根的判别式与0的大小关系即可得证.
解:
(2)【分析】当x=1时,代入原方程得到的值,根据绝对值的非负性,得到m有两个值,再分别代入原方程进行求解.
解:
F
D
第20题
30°
48°
E
A
C
B
20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)
【分析】通过观察图形,要求大树的高度,需要构造直角三角形,将所求线段联系起来.结合题目中的信息,即要延长BD交AE于点G,并过点D作DH⊥AE于点H,分别在Rt△GBC和Rt△ABC中表示出CG和AC的长即可求解.
解:
第20题解图
21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
① 金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;
② 银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数. 设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
O
C
D
B
A
600
x
y
第21题
(1)【分析】观察图象,结合题目中的信息,得到普通卡是正比例函数,分析次数x与20的关系,银卡为一次函数,分析出次数x与10的关系,从而即可求解
解:
(2)【分析】由(1)中银卡的函数关系式可得点A的坐标,观察图形,联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标,再将y=600代入银卡的函数关系式即可求解.
第21题解图
(3)【分析】观察图象,应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论,依次得到消费方案即可求解.
22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时,;
② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
E
C
D
B
A
(图1)
E
D
B
A
C
(图2)
(备用图)
C
B
A
(1)【分析】①根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长,根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解;②根据旋转180°的特性,结合①,分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解.
解:①;……………………………………………………(1分)
②.……………………………………………………(2分)
【解法提示】①当α=0°,如解图①,∵BC=2AB=8,∴AB=4,∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴DE=,AE=EC,,∵∠B=90°,∴,∴AE=CE=,∴;②当α=180度,如解图②,由旋转性质可得CE=,CD=2,∵AC=,BC=8,∴.
(2)【分析】在由解图①中,由平行线分线段成比例得到,再观察图②中△EDC绕点C的旋转过程,结合旋转的性质得到任然成立,从而求得△ACE∽
△BCD,利用其性质,结合题干求得AC的长即可得到结论.
第22题解图③
(3) 【分析】
解:………………………………………………………………………(10分)
【解法提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,
∴BD=AC=;当△EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根据=可求得BD =.
图④ 图⑤
第22题解图
23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值. 进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
C
B
A
y
O
E
D
x
备用图
P
E
O
F
C
D
B
A
图
x
y
(1)【分析】由题意设抛物线解析式为,将A、C两点坐标代入即可.
解:抛物线的解析式为:.………………………………………………(3分)
【解法提示】由题意设抛物线解析式为,∵的正方形OABC的边长为8,∴点A(-8,0)、C(0,8),∴,解得,抛物线解析式为.
(2)【分析】设P点坐标为,表示出PF的长度,构造PD所在的直角三角形,表示PD的长度,通过求差法得到PD-PF的值.
解:
M
第23题解图
(3)【分析】通过将△PDE的面积进行转化,得到其面积的表达式,根据点P横坐标m的取值范围,确定面积为整数时“好点”的个数,再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小,进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小,确定点P的坐标.
解:好点共11个;]
在点P运动时,DE的大小不变,∴PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小,
∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2,
当P,E,F三点共线时,PE+PF最小,
此时,点P,E的横坐标为-4,将x=-4代入,得y=6,
∴P(-4,6),此时△PDE周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点”.
∴△PDE周长最小时点P的坐标为(-4,6).
【解法提示】△PDE的面积由于-8≤x≤0,可得4≤S≤13,所以S的整数值为10个.由图象可知,当S=12时,对应的“好点”有2个,所以“好点”共有11个.
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