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- 2021-05-10 发布
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二次函数
一、选择题
1.将抛物线y=3x2的图象先向上平移3个单位,再向右平移4个单位所得的解析式为( )
A. B. C. D.
2.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图像,那么下列结论错误的是 ( )
A. 当y<0时,x>0 B. 当-3<x<0时,y>0
C. 当x<时,y随x的增大而增大 D. 抛物线可由抛物线y=-x2平移得到
3.在下列二次函数中,其图象的对称轴是直线x=﹣1的是( )
A. y=2(x+1)2 B. y=2(x﹣1)2 C. y=﹣2x2﹣1 D. y=2x2﹣1
4.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b、k的值分别为( )
A. 0,5 B. 0,1 C. -4,5 D. -4,1
5.二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论:①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c<0;④2a+b=0..其中正确的结论有( )
12
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
6.把y=4x2﹣4x+2配方成y=a(x﹣h)2+k的形式是( )
A. y=(2x﹣1)2+1 B. y=(2x﹣1)2+2 C. y=(x﹣ )2+1 D. y=4(x﹣ )2+2
7.①y=-x;②y=2x;③y=-;④y=x2(x<0),y随x的增大而减小的函数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到( )
A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,b+c)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A. 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 B. 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
C. 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
11.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣1与x轴交点的个数( )
12
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
12.若二次函数y=(x-m)2-1.当x≤ 3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 ( )
A. m=3 B. m>3 C. m≥3 D. m≤3
二、填空题
13.如果函数y=(k﹣3) +kx+1是二次函数,那么k的值一定是________.
14.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(3,0),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是________.
15.抛物线 向左平移2个单位长度,得到新抛物线的表达式为________.
16.如图,抛物线y1=(x﹣2)2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点,则当y2≥y1时,x的取值范围为________.
17.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数为________.
12
18.已知:如图,用长为18m的篱笆(3AB+BC),围成矩形花圃.一面利用墙(墙足够长),则围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为________m2 .
19.如图,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1于点D,直线DE∥AC,交y2于点E,则=________
三、解答题
20.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(2,1),且经过点B(1,0),求该抛物线的函数解析式和它的对称轴.
21.(1)已知y=(m2+m) +(m﹣3)x+m2是x的二次函数,求出它的解析式.
(2)用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值.
12
22. 如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).
(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;
(2)点(x1 , y1),(x2 , y2)在抛物线上,若x1<x2<1,比较y1 , y2的大小;
(3)点B(﹣1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式.
23. 如图,抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
12
24.如图,已知一次函数y1= x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣ ,0).
(1)求二次函数的最大值;
(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程 =0的根,求a的值;
(3)若点F、G在图象C′上,长度为 的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标.
25. 如图,抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点,其中B(4,0)、C(﹣2,0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,求G点的横坐标;
(3)过D点作直线DH∥AC交AB于H,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、N两点,并使D、H、M、N四点组成平行四边形,请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.
12
参考答案
一、选择题
C A A D B A B B D A B C
二、填空题
13. 0
14. x1=﹣1,x2=3
15.
16. 1≤x≤4
17. 2
18. 27
19.
三、解答题
20. 解:设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+1, 把B(1,0)代入得a+1=0,解得a=﹣1,
所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+1,即y=﹣x2+4x﹣3,
抛物线的对称轴为直线x=2.
21. 解:(1)由题意可得: ,
解①得:m1=3,m2=﹣1,
由②得:m≠0且m≠﹣1,
∴m=3,
∴y=12x2+9;
(2)y=﹣x2+5x﹣7
=﹣(x2﹣5x+﹣)﹣7
=﹣(x﹣)2+﹣7
=﹣(x﹣)2﹣.,
顶点坐标为:(,﹣),有最大值为:﹣.
12
22. (1)解:根据图示,由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴与x轴的交点坐标(1,0);
(2)解:抛物线的对称轴是直线x=1. 根据图示知,当x<1时,y随x的增大而减小,
所以,当x1<x2<1时,y1>y2;
(3)解:∵对称轴是直线x=1,点B(﹣1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称, ∴点C的坐标是(3,2).
设直线AC的关系式为y=kx+b(k≠0).则
,
解得 .
∴直线AC的函数关系式是:y=2x﹣4.
23. (1)∵抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C, ∴令y=0,可得x= 或x= ,
∴A( ,0),B( ,0);
令x=0,则y= ,
∴C点坐标为(0, ),
设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有,
,
解得: ,
12
∴直线BC的解析式为:y=- x+ ;
(2)设点D的横坐标为m,则纵坐标为(m, ), ∴E点的坐标为(m, m+ ),
设DE的长度为d,
∵点D是直线BC下方抛物线上一点,
则d= m+ ﹣(m2﹣3m+ ),
整理得,d=﹣m2+ m,
∵a=﹣1<0,
∴当m= = 时,d最大= = = ,
∴D点的坐标为( ,- ).
24. (1)解:∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B(0,1)与A(2﹣ ,0),
∴ ,
解得
∴l:y1= x+1;
C′:y2=﹣x2+4x+1.
∵y2=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
∴ymax=5
(2)解:联立y1与y2得: x+1=﹣x2+4x+1,解得x=0或x= ,
当x= 时,y1= × +1= ,
∴C( , ).
使y2>y1成立的x的取值范围为0<x< ,
∴s=1+2+3=6.
代入方程得
解得a= ;
12
经检验a= 是分式方程的解
(3)解:∵点D、E在直线l:y1= x+1上,
∴设D(p, p+1),E(q, q+1),其中q>p>0.
如答图1,过点E作EH⊥DG于点H,则EH=q﹣p,DH= (q﹣p).
在Rt△DEH中,由勾股定理得:EH2+DH2=DE2 , 即(q﹣p)2+[ (q﹣p)]2=( )2 ,
解得q﹣p=2,即q=p+2.
∴EH=2,E(p+2, p+2).
当x=p时,y2=﹣p2+4p+1,
∴G(p,﹣p2+4p+1),
∴DG=(﹣p2+4p+1)﹣( p+1)=﹣p2+ p;
当x=p+2时,y2=﹣(p+2)2+4(p+2)+1=﹣p2+5,
∴F(p+2,﹣p2+5),
∴EF=(﹣p2+5)﹣( p+2)=﹣p2﹣ p+3.
S四边形DEFG= (DG+EF)•EH= [(﹣p2+ p)+(﹣p2﹣ p+3)]×2=﹣2p2+3p+3
∴当p= 时,四边形DEFG的面积取得最大值,
∴D( , )、E( , ).
如答图2所示,过点D关于x轴的对称点D′,则D′( ,﹣ );
12
连接D′E,交x轴于点P,PD+PE=PD′+PE=D′E,
由两点之间线段最短可知,此时PD+PE最小.
设直线D′E的解析式为:y=kx+b,
则有 ,
解得
∴直线D′E的解析式为:y= x﹣ .
令y=0,得x= ,
∴P( ,0).
25. (1)【解答】解:∵B,C两点在抛物线y=ax2+bx+2上,
∴,
解得:.
∴所求的抛物线为:y=.
(2)抛物线y=,则点A的坐标为(0,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
解得:.
12
∴直线AB的解析式为y=x+2,
设F点的坐标为(x,x+2),则D点的坐标为(x,),
∵G点与D点关于F点对称,
∴G点的坐标为(x,),
若以G为圆心,GD为半径作圆,使得⊙G与其中一条坐标轴相切,
①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE,
即,
解得:x=,x=4(舍去);
②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE,
即
解得:x=2,x=0(舍去).
综上,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,G点的横坐标为2或.
(3)M点的横坐标为2±,N点的横坐标为±.
12
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