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- 2021-05-10 发布
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2016年贵州省遵义市中考数学试卷(word解析版)
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.在﹣1,﹣2,0,1这4个数中最小的一个是( )
A.﹣1 B.0 C.﹣2 D.1
2.如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
3.2015年我市全年房地产投资约为317亿元,这个数据用科学记数法表示为( )
A.317×108 B.3.17×1010 C.3.17×1011 D.3.17×1012
4.如图,在平行线a,b之间放置一块直角三角板,三角板的顶点A,B分别在直线a,b上,则∠1+∠2的值为( )
A.90° B.85° C.80° D.60°
5.下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2•a3=a6 D.3a2﹣2a2=a2
6.已知一组数据:60,30,40,50,70,这组数据的平均数和中位数分别是( )
A.60,50 B.50,60 C.50,50 D.60,60
7.已知反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(1,a)、B(3,b),则a与b的关系正确的是( )
A.a=b B.a=﹣b C.a<b D.a>b
8.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC
9.三个连续正整数的和小于39,这样的正整数中,最大一组的和是( )
A.39 B.36 C.35 D.34
10.如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C为半圆上一点,∠CAB=30°,的长是( )
A.12π B.6π C.5π D.4π
11.如图,正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、CD上的点,且∠CFE=60°,将四边形BCFE沿EF翻折,得到B′C′FE,C′恰好落在AD边上,B′C′交AB于点G,则GE的长是( )
A.3﹣4 B.4﹣5 C.4﹣2 D.5﹣2
12.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连接AC,⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是( )
A. B. C. D.2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.计算的结果是 .
14.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD= 度.
15.已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根,则+= .
16.字母a,b,c,d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形的连接方式为 .
17.如图,AC⊥BC,AC=BC,D是BC上一点,连接AD,与∠ACB的平分线交于点E,连接BE.若S△ACE=,S△BDE=,则AC= .
18.如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动,设P点的运动时间为t秒,△PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图②所示,当P运动到BC中点时,△PAD的面积为 .
三、解答题(本题共9小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:(π﹣2016)0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin45°.
20.先化简(﹣),再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
21.某新农村乐园设置了一个秋千场所,如图所,秋千拉绳OB的长为3m,静止时,踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见,乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm,成人的“安全高度”为2m(计算结果精确到0.1m)
(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时,恰为儿童的安全高度,则h= m
(2)某成人在玩秋千时,摆绳OC与OB的最大夹角为55°,问此人是否安全?(参考数据:≈1.41,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
22.2016年5月9日﹣11日,贵州省第十一届旅游产业发展大会在准一市茅台镇举行,大会推出五条遵义精品旅游线路:A红色经典,B醉美丹霞,C生态茶海,D民族风情,E避暑休闲.某校摄影小社团在“祖国好、家乡美”主题宣传周里,随机抽取部分学生举行“最爱旅游路线”投票活动,参与者每人选出一条心中最爱的旅游路线,社团对投票进行了统计,并绘制出如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请解决下列问题.
(1)本次参与投票的总人数是 人.
(2)请补全条形统计图.
(3)扇形统计图中,线路D部分的圆心角是 度.
(4)全校2400名学生中,请你估计,选择“生态茶海”路线的人数约为多少?
23.如图,3×3的方格分为上中下三层,第一层有一枚黑色方块甲,可在方格A、B、C中移动,第二层有两枚固定不动的黑色方块,第三层有一枚黑色方块乙,可在方格D、E、F中移动,甲、乙移入方格后,四枚黑色方块构成各种拼图.
(1)若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 .
(2)若甲、乙均可在本层移动.
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率.
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .
24.如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.
(1)求证:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.
25.上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体,目前,某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”,消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间,并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.
流量阶梯定价标准
使用范围
阶梯单价(元/MB)
1﹣100MB
a
101﹣500MB
0.07
501﹣20GB
b
语音阶梯定价标准
使用范围
阶梯资费(元/分钟)
1﹣500分钟
0.15
501﹣1000分钟
0.12
1001﹣2000分钟
m
【小提示:阶梯定价收费计算方法,如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×=87元】
(1)甲定制了600MB的月流量,花费48元;乙定制了2GB的月流量,花费120.4元,求a,b的值.(注:1GB=1024MB)
(2)甲的套餐费用为199元,其中含600MB的月流量;丙的套餐费用为244.2元,其中包含1GB的月流量,二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间,并且丙的语音通话时间比甲多300分钟,求m的值.
26.如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6.P是底边BC上的一个动点(P与B、C不重合),以P为圆心,PB为半径的⊙P与射线BA交于点D,射线PD交射线CA于点E.
(1)若点E在线段CA的延长线上,设BP=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当BP=2时,试说明射线CA与⊙P是否相切.
(3)连接PA,若S△APE=S△ABC,求BP的长.
27.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣8,3),B(﹣4,0),C(﹣4,3),∠ABC=α°.抛物线y=x2+bx+c经过点C,且对称轴为x=﹣,并与y轴交于点G.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF.若点F恰好落在抛物线上.
①求m的值;
②连接CG交x轴于点H,连接FG,过B作BP∥FG,交CG于点P,求证:PH=GH.
2016年贵州省遵义市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1.在﹣1,﹣2,0,1这4个数中最小的一个是( )
A.﹣1 B.0 C.﹣2 D.1
【考点】有理数大小比较.
【分析】根据有理数的大小比较法则(正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,其绝对值大的反而小)比较即可.
【解答】解:∵﹣2<﹣1<0<1,
∴最小的一个数是:﹣2,
故选C.
2.如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.
【解答】解:从正面看第一层是三个小正方形,第二层左边有一个小正方形,
故选:C.
3.2015年我市全年房地产投资约为317亿元,这个数据用科学记数法表示为( )
A.317×108 B.3.17×1010 C.3.17×1011 D.3.17×1012
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将317亿用科学记数法表示为:3.17×1010.
故选:B.
4.如图,在平行线a,b之间放置一块直角三角板,三角板的顶点A,B分别在直线a,b上,则∠1+∠2的值为( )
A.90° B.85° C.80° D.60°
【考点】平行线的性质.
【分析】过点C作CD∥a,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:过点C作CD∥a,则∠1=∠ACD.
∵a∥b,
∴CD∥b,
∴∠2=∠DCB.
∵∠ACD+∠DCB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
故选A.
5.下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3 B.(a2)3=a5 C.a2•a3=a6 D.3a2﹣2a2=a2
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据同底数幂相除,底数不变指数相减;幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相乘,底数不变指数相加;合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、a6÷a2=a4,故A错误;
B、(a2)3=a6,故B错误;
C、a2•a3=a5,故C错误;
D、3a2﹣2a2=a2,故D正确.
故选:D.
6.已知一组数据:60,30,40,50,70,这组数据的平均数和中位数分别是( )
A.60,50 B.50,60 C.50,50 D.60,60
【考点】中位数;算术平均数.
【分析】平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可.
【解答】解:这组数据的平均数是:(60+30+40+50+70)÷5=50;
把这组数据从小到大排列为:30,40,50,60,70,最中间的数是50,
则中位数是50;
故选C.
7.已知反比例函数y=(k>0)的图象经过点A(1,a)、B(3,b),则a与b的关系正确的是( )
A.a=b B.a=﹣b C.a<b D.a>b
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】利用反比例函数的增减性可判断a和b的大小关系,可求得答案.
【解答】解:
∵k>0,
∴当x>0时,反比例函数y随x的增大而减小,
∵1<3,
∴a>b,
故选D.
8.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC
【考点】菱形的判定;平行四边形的性质.
【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断.
【解答】解:A、根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形;
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断,▱ABCD是菱形;
C、对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;
D、∠BAC=∠DAC时,
∵▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,
∴∠BAC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴▱ABCD是菱形.
故选C.
9.三个连续正整数的和小于39,这样的正整数中,最大一组的和是( )
A.39 B.36 C.35 D.34
【考点】一元一次不等式的应用.
【分析】设三个连续正整数分别为x﹣1,x,x+1,列出不等式即可解决问题.
【解答】解:设三个连续正整数分别为x﹣1,x,x+1.
由题意(x﹣1)+x+(x+1)<39,
∴x<13,
∵x为整数,
∴x=12时,三个连续整数的和最大,
三个连续整数的和为:11+12+13=36.
故选B.
10.如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C为半圆上一点,∠CAB=30°,的长是( )
A.12π B.6π C.5π D.4π
【考点】弧长的计算.
【分析】如图,连接OC,利用圆周角定理和邻补角的定义求得∠AOC的度数,然后利用弧长公式进行解答即可.
【解答】解:如图,连接OC,
∵∠CAB=30°,
∴∠BOC=2∠CAB=60°,
∴∠AOC=120°.
又直径AB的长为12,
∴半径OA=6,
∴的长是: =4π.
故选:D.
11.如图,正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、CD上的点,且∠CFE=60°,将四边形BCFE沿EF翻折,得到B′C′FE,C′恰好落在AD边上,B′C′交AB于点G,则GE的长是( )
A.3﹣4 B.4﹣5 C.4﹣2 D.5﹣2
【考点】翻折变换(折叠问题);正方形的性质.
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=AD=3,由折叠的性质得出FC′=FC,∠C′FE=∠CFE=60°,∠FC′B′=∠C=90°,B′E=BE,∠B′=∠B=90°,求出∠DC′F=30°,得出FC′=FC=2DF,求出DF=1,DC′=DF=,则C′A=3﹣,AG=(3﹣),设EB=x,则GE=2x,得出方程,解方程即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=AD=3,
由折叠的性质得:FC′=FC,∠C′FE=∠CFE=60°,∠FC′B′=∠C=90°,B′E=BE,∠B′=∠B=90°,
∴∠DFC′=60°,
∴∠DC′F=30°,
∴FC′=FC=2DF,
∵DF+CF=CD=3,
∴DF+2DF=3,
解得:DF=1,
∴DC′=DF=,
则C′A=3﹣,AG=(3﹣),
设EB=x,
∵∠B′GE=∠AGC′=∠DC′F=30°,
∴GE=2x,
则(3﹣)+3x=3,
解得:x=2﹣,
∴GE=4﹣2;
故选:C.
12.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连接AC,⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆,则PQ的长是( )
A. B. C. D.2
【考点】三角形的内切圆与内心;矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质可得出⊙P和⊙Q的半径相等,利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P半径r的长度.连接点P、Q,过点Q作QE∥BC,过点P作PE∥AB交QE于点E,求出线段QE、EP的长,再由勾股定理即可求出线段PQ的长,此题得解.
【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴△ACD≌△CAB,
∴⊙P和⊙Q的半径相等.
在Rt△BC中,AB=4,BC=3,
∴AC==5,
∴⊙P的半径r===1.
连接点P、Q,过点Q作QE∥BC,过点P作PE∥AB交QE于点E,则∠QEP=90°,如图所示.
在Rt△QEP中,QE=BC﹣2r=3﹣2=1,EP=AB﹣2r=4﹣2=2,
∴PQ===.
故选B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.计算的结果是 ﹣2 .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】根据二次根式的性质,可化成同类二次根式,根据合并同类二次根式,可得答案.
【解答】解:原式=﹣3=﹣2,
故答案为:﹣2.
14.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD= 35 度.
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得∠A=∠C=35°,再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A,问题得解.
【解答】解:∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,
∴∠A=∠C=35°,
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=35°,
故答案为:35.
15.已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根,则+= ﹣2 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】利用韦达定理求得x1+x2=2,x1•x2=﹣1,然后将其代入通分后的所求代数式并求值.
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2,
x1+x2=2,
x1•x2=﹣1,
∴+==﹣2.
故答案是:﹣2.
16.字母a,b,c,d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种,将它们两两组合,并用字母连接表示,如表是三种组合与连接的对应表,由此可推断图形的连接方式为 a⊕c .
【考点】推理与论证.
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形,就可以判断每个符号所代表的图形,即可得出结论.
【解答】解:结合前两个图可以看出:b代表正方形;
结合后两个图可以看出:d代表圆;
因此a代表线段,c代表三角形,
∴图形的连接方式为a⊕c
故答案为:a⊕c.
17.如图,AC⊥BC,AC=BC,D是BC上一点,连接AD,与∠ACB的平分线交于点E,连接BE.若S△ACE=,S△BDE=,则AC= 2 .
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】设BC=4x,根据面积公式计算,得出BC=4BD,过E作AC,BC的垂线,垂足分别为F,G;证明CFEG为正方形,然后在直角三角形ACD中,利用三角形相似,求出正方形的边长(用x表示),再利用已知的面积建立等式,解出x,最后求出AC=BC=4x即可.
【解答】解:过E作AC,BC的垂线,垂足分别为F,G,
设BC=4x,则AC=4x,
∵CE是∠ACB的平分线,EF⊥AC,EG⊥BC,
∴EF=EG,又S△ACE=,S△BDE=,
∴BD=AC=x,
∴CD=3x,
∵四边形EFCG是正方形,
∴EF=FC,
∵EF∥CD,
∴=,即=,
解得,EF=x,
则×4x×x=,
解得,x=,
则AC=4x=2,
故答案为:2.
18.如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动,设P点的运动时间为t秒,△PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图②所示,当P运动到BC中点时,△PAD的面积为 5 .
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】由函数图象上的点(6,8)、(10,0)的实际意义可知AB+BC、AB+BC+CD的长及△PAD的最大面积,从而求得AD、CD的长,再根据点P运动到点B时得S△ABD=2,从而求得AB的长,最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当P运动到BC中点时,△PAD的面积.
【解答】解:由图象可知,AB+BC=6,AB+BC+CD=10,
∴CD=4,
根据题意可知,当P点运动到C点时,△PAD的面积最大,S△PAD=×AD×DC=8,
∴AD=4,
又∵S△ABD=×AB×AD=2,
∴AB=1,
∴当P点运动到BC中点时,△PAD的面积=×(AB+CD)×AD=5,
故答案为:5.
三、解答题(本题共9小题,共90分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:(π﹣2016)0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin45°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:(π﹣2016)0+|1﹣|+2﹣1﹣2sin45°
=1+﹣1+﹣2×
=1+﹣1+﹣
=.
20.先化简(﹣),再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先利用分式的混合运算法则,将原式化简,然后代入求值即可.
【解答】解:(﹣)==•=,
∵a﹣2≠0,a+2≠0,
∴a≠±2,
∴当a=1时,原式=﹣3.
21.某新农村乐园设置了一个秋千场所,如图所,秋千拉绳OB的长为3m,静止时,踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见,乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm,成人的“安全高度”为2m(计算结果精确到0.1m)
(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时,恰为儿童的安全高度,则h= 1.5 m
(2)某成人在玩秋千时,摆绳OC与OB的最大夹角为55°,问此人是否安全?(参考数据:≈1.41,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】(1)根据余弦定理先求出OE,再根据AF=OB+BD,求出DE,即可得出h的值;
(2)过C点作CM⊥DF,交DF于点M,根据已知条件和余弦定理求出OE,再根据CM=OB+DE﹣OE,求出CM,再与成人的“安全高度”进行比较,即可得出答案.
【解答】解:(1)在Rt△ANO中,∠ANO=90°,
∴cos∠AON=,
∴ON=OA•cos∠AON,
∵OA=OB=3m,∠AON=45°,
∴ON=3•cos45°≈2.12m,
∴ND=3+0.6﹣2.12≈1.5m,
∴h=ND=AF≈1.5m;
故答案为:1.5.
(2)如图,过C点作CM⊥DF,交DF于点M,
在Rt△CEO中,∠CEO=90°,
∴cos∠COE=,
∴OE=OC•cos∠COF,
∵OB=OC=3m,∠CON=55°,
∴OE=3•cos55°≈1.72m,
∴ED=3+0.6﹣1.72≈1.9m,
∴CM=ED≈1.9m,
∵成人的“安全高度”为2m,
∴成人是安全的.
22.2016年5月9日﹣11日,贵州省第十一届旅游产业发展大会在准一市茅台镇举行,大会推出五条遵义精品旅游线路:A红色经典,B醉美丹霞,C生态茶海,D民族风情,E避暑休闲.某校摄影小社团在“祖国好、家乡美”主题宣传周里,随机抽取部分学生举行“最爱旅游路线”投票活动,参与者每人选出一条心中最爱的旅游路线,社团对投票进行了统计,并绘制出如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请解决下列问题.
(1)本次参与投票的总人数是 120 人.
(2)请补全条形统计图.
(3)扇形统计图中,线路D部分的圆心角是 54 度.
(4)全校2400名学生中,请你估计,选择“生态茶海”路线的人数约为多少?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)用A类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;
(2)先计算出B类人数,然后补全条形统计图;
(3)用360度乘以D类人数所占的百分比即可;
(4)用2400乘以样本中C类人数所占的百分比即可.
【解答】解:(1)本次参与投票的总人数=24÷20%=120(人);
故答案为:120;
(2)B类人数=120﹣24﹣30﹣18﹣12=36(人),
补全条形统计图为:
(3)扇形统计图中,线路D部分的圆心角=360°×=54°,
故答案为:54;
(4)2400×=600,
所以估计,选择“生态茶海”路线的人数约为600人.
23.如图,3×3的方格分为上中下三层,第一层有一枚黑色方块甲,可在方格A、B、C中移动,第二层有两枚固定不动的黑色方块,第三层有一枚黑色方块乙,可在方格D、E、F中移动,甲、乙移入方格后,四枚黑色方块构成各种拼图.
(1)若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 .
(2)若甲、乙均可在本层移动.
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率.
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .
【考点】列表法与树状图法;轴对称图形;中心对称图形;概率公式.
【分析】(1)若乙固定在E处,求出移动甲后黑色方块构成的拼图一共有多少种可能,其中是轴对称图形的有几种可能,由此即可解决问题.
(2)①画出树状图即可解决问题.
②不可能出现中心对称图形,所以概率为0.
【解答】解:(1)若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能,其中有两种情形是轴对称图形,所以若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是.
故答案为.
(2)①由树状图可知,黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率==.
②黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形,①甲在B处,乙在F处,②甲在C处,乙在E处,
所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是.
故答案为.
24.如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.
(1)求证:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,证出∠E=∠F,AE=CF,由ASA证明△CFP≌△AEQ,即可得出结论;
(2)证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,得出BE=BP=1,AQ=AE,求出PE=BP=,得出EQ=PE+PQ=3,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3,求出AB=AE﹣BE=2,DQ=BP=1,得出AD=AQ+DQ=4,即可求出矩形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠E=∠F,
∵BE=DF,
∴AE=CF,
在△CFP和△AEQ中,,
∴△CFP≌△AEQ(ASA),
∴CP=AQ;
(2)解:∵AD∥BC,
∴∠PBE=∠A=90°,
∵∠AEF=45°,
∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,
∴BE=BP=1,AQ=AE,
∴PE=BP=,
∴EQ=PE+PQ=+2=3,
∴AQ=AE=3,
∴AB=AE﹣BE=2,
∵CP=AQ,AD=BC,
∴DQ=BP=1,
∴AD=AQ+DQ=3+1=4,
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8.
25.上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体,目前,某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”,消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间,并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.
流量阶梯定价标准
使用范围
阶梯单价(元/MB)
1﹣100MB
a
101﹣500MB
0.07
501﹣20GB
b
语音阶梯定价标准
使用范围
阶梯资费(元/分钟)
1﹣500分钟
0.15
501﹣1000分钟
0.12
1001﹣2000分钟
m
【小提示:阶梯定价收费计算方法,如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×=87元】
(1)甲定制了600MB的月流量,花费48元;乙定制了2GB的月流量,花费120.4元,求a,b的值.(注:1GB=1024MB)
(2)甲的套餐费用为199元,其中含600MB的月流量;丙的套餐费用为244.2元,其中包含1GB的月流量,二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间,并且丙的语音通话时间比甲多300分钟,求m的值.
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】(1)由600M和2G均超过500M,分段表示出600M和2G的费用,由此可得出关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可得出结论;
(2)设甲的套餐中定制x(x>1000)分钟的每月通话时间,则丙的套餐中定制(x+300)分钟的每月通话时间,先求出丙定制1G流量的费用,再根据“套餐费用=流量费+语音通话费”即可列出关于m、x的二元一次方程组,解方程组即可得出m的值.
【解答】解:(1)依题意得:,
解得:.
∴a的值为0.15元/MB,b的值为0.05元/MB.
(2)设甲的套餐中定制x(x>1000)分钟的每月通话时间,则丙的套餐中定制(x+300)分钟的每月通话时间,
丙定制了1GB的月流量,需花费100×0.15+×0.07+×0.05=69.2(元),
依题意得:,
解得:m=0.08.
答:m的值为0.08元/分钟.
26.如图,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6.P是底边BC上的一个动点(P与B、C不重合),以P为圆心,PB为半径的⊙P与射线BA交于点D,射线PD交射线CA于点E.
(1)若点E在线段CA的延长线上,设BP=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当BP=2时,试说明射线CA与⊙P是否相切.
(3)连接PA,若S△APE=S△ABC,求BP的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,根据等腰三角形的性质得到CF=AC•cos30°=6×=3,推出∠CEP=90°,求得CE=AC+AE=6+y,列方程PB+CP=x+=6,于是得到y=﹣x+3,根据BD=2BH=x<6,即可得到结论;
(2)根据已知条件得到PE=PC=2=PB,于是得到射线CA与⊙P相切;
(3)D在线段BA上和延长线上两种情况,根据三角形的面积列方程即可得到结果.
【解答】解:(1)过A作AF⊥BC于F,过P作PH⊥AB于H,
∵∠BAC=120°,AB=AC=6,
∴∠B=∠C=30°,
∵PB=PD,
∴∠PDB=∠B=30°,CF=AC•cos30°=6×=3,
∴∠ADE=30°,
∴∠DAE=∠CPE=60°,
∴∠CEP=90°,
∴CE=AC+AE=6+y,
∴PC==,
∵BC=6,
∴PB+CP=x+=6,
∴y=﹣x+3,
∵BD=2BH=x<6,
∴x<2,
∴x的取值范围是0<x<2;
(2)∵BP=2,∴CP=4,
∴PE=PC=2=PB,
∴射线CA与⊙P相切;
(3)当D点在线段BA上时,
连接AP,
∵S△ABC=BC•AF=××3=9,
∵S△APE=AE•PE=y•×(6+y)=S△ABC=,
解得:y=,代入y=﹣x+3得x=4﹣.
当D点BA延长线上时,
PC=EC=(6﹣y),
∴PB+CP=x+(6﹣y)=6,
∴y=x﹣3,
∵∠PEC=90°,
∴PE===(6﹣y),
∴S△APE=AE•PE=x•=y•(6﹣y)=S△ABC=,
解得y=或,代入y=x﹣3得x=3或5.
综上可得,BP的长为4﹣或3或5.
27.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣8,3),B(﹣4,0),C(﹣4,3),∠ABC=α°.抛物线y=x2+bx+c经过点C,且对称轴为x=﹣,并与y轴交于点G.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF.若点F恰好落在抛物线上.
①求m的值;
②连接CG交x轴于点H,连接FG,过B作BP∥FG,交CG于点P,求证:PH=GH.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点C坐标代入y=x2+bx+c得一方程,利用对称轴公式得另一方程,组成方程组求出解析式,并求出G点的坐标;
(2)①作辅助线,构建直角△DEF斜边上的高FM,利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标,根据点F在抛物线上,列方程求出m的值;
②F点和G点坐标已知,可以求出直线FG的方程,那么FG和x轴的交点坐标(设为Q)可以知道,C点坐标已知,CG的方程也可以求出,那么H点坐标可以求出,可以证明△BPH和△MGH全等.
【解答】解:(1)根据题意得:
解得:
∴抛物线的解析式为:y=x2+x,点G(0,﹣);
(2)①过F作FM⊥y轴,交DE于M,交y轴于N,
由题意可知:AC=4,BC=3,则AB=5,FM=,
∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,
∴E(﹣4+m,0),OE=MN=4﹣m,FN=﹣(4﹣m)=m﹣,
在Rt△FME中,由勾股定理得:EM==,
∴F(m﹣,),
∵F抛物线上,
∴=(m﹣)2+(m﹣)﹣,
5m2﹣8m﹣36=0,
m1=﹣2(舍),;
②易求得FG的解析式为:y=x﹣,
CG解析式为:y=﹣x﹣,
∴x﹣=0,x=1,则Q(1,0),
﹣x﹣=0,x=﹣1.5,则H(﹣1.5,0),
∴BH=4﹣1.5=2.5,HQ=1.5+1=2.5,
∴BH=QH,
∵BP∥FG,
∴∠PBH=∠GQH,∠BPH=∠QGH,
∴△BPH≌△QGH,
∴PH=GH.