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- 2021-05-10 发布
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一元二次方程知识点
一、 一元二次方程定义:
只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程),这点请注意!
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
二、 一元二次方程根的定义
使方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根
三、 一元二次方程的解法:
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法(十字交叉法)
直接开平方法
形如 或 ( )的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成 的形式,那么可得 。如果方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根。
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。[4]
配方法
步骤将一元二次方程配成 的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是非负数,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式
配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
求根公式法
步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式 ,确定a,b,c的值(注意符号);
②求出判别式 的值,判断根的情况;
③在 (注:此处△读“德尔塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式
进行计算,求出方程的根。
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题(数学化归思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;
②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积;
③令每个因式分别为零
④括号中x,它们的解就都是原方程的解。
一、 一元一次方程跟的判别式及韦达定理
判别式
利用一元二次方程根的判别式( )可以判断方程的根的情况。一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系:
①当 时,方程有两个不相等的实数根;
②当 时,方程有两个相等的实数根;
③当 时,方程无实数根,但有2个共轭复根。
上述结论反过来也成立。
韦达定理
设一元二次方程 中,两根x₁、x₂有如下关系:
数学推导由一元二次方程求根公式知
五、用一元二次方程解应用题的一般步骤:
①、弄清题意和题目中的已知数、未知数,用字母表示题目中的一个未知数;
②、找出能够表示应用题全部含义的等量关系;
③、根据相等关系列出需要的代数式(简称关系式),从而列出一元二次方程;
④、解这个一元二次方程,求出未知数的值;
⑤、在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后,写出答案
一元一次方程题型复习
一:知识点回顾
1、一元二次方程必须满足哪三个条件:①、
②、 ③、
2、解一元二次方程常用的四种方法:
3、一元二次方程的根的判别式是什么?
它与根的情况之间的关系:
当 时,方程有两个不相等的实数根
当 时,方程有两个相等的实数根
当 时,方程有无实数根
二、 一元二次方程定义考核
类型1判断一个方程是不是一元二次方程
1. 下列方程中,关于x的一元二次方程是( )
A. B. C. D.
2.关于x2=-2的说法,正确的是
A.由于x2≥0,故x2不可能等于-2,因此这不是一个方程
B.x2=-2是一个方程,但它没有一次项,因此不是一元二次方程
C.x2=-2是一个一元二次方程
D.x2=-2是一个一元二次方程,但不能解
3.下列方程中,一元二次方程是( )
A. B. C. D.
4.当 时,方程不是一元二次方程,当 时,上述方程是一元二次方程。
类型2化简方程为一般形式并写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项
1. 把一元二次方程化为一般形式是________________,其中二次项为: ______,一次项系数为:______,常数项为:______.
2.将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.
3.若ab≠0,则x2+x=0的常数项是__________.
4.将方程2=3(6)化为一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )
A.2、3、6 B.2、3、18 C.2、3、6 D.2、3、6
类型3根据定义求解一元二次方程中未知字母的值
1.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是( )
A.2 B.-2 C.0 D.不等于2
2.关于x的方程是一元二次方程,m应满足什么条件?
3.如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.
4.若关于x的方程(k1)x24x+5=0是一元二次方程,则是的取值范围是________.
三、一元二次方程根的定义的应用
1.一元二次方程3x2=2x的根是 ( )
A.x1=0,x2= B.x1=0,x2= C.x=0 D.x1=0,x2=
2.关于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0有一个根是0,则m的值为( )
A.3或1 B.3或1 C.1 D.3
3. 已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )
A. -1 B.0 C.1 D.2
4.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则
A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b-c=0
5. 若a是方程x2+x1=0的一个根。则代数式3a2+3a5的值为________.
6.若( )
A.12 B.6 C.9 D.16
7.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么3p+2q的值是________.
8. 已知x=1是关于x的方程2x2+axa2=0的一个根,则a=________.
9.若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=________.
四、根的判别式的应用
1.若关于x的方程2x2ax+a2=0有两个相等的实数根,则a的值为 ( )
A.4 B.4 C.4或4 D.2
2.关于x的一元二次方程x2mx+(m2)=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定
3.方程的解的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有一个实数根
4.已知关于x的一元二次方程x2mx+m1=0有两个相等的实数根,求m的值
5.若方程有两个相等的实数根,则= ,两个根分别为 。
6.关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是______。
7.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围
五、 韦达定理的应用
1.如果是方程的两个根,那么= ,= 。
2.如果一元二次方程的两个根是互为相反数,那么有( )
A.=0 B.=-1 C.=1 D.以上结论都不对
3.不解方程,的两个根的符号为( )
A.同号 B.异号 C.两根都为正 D.不能确定
4.已知一元二次方程,若方程有解,则必须( )
A. B. C. D.
5.已知α2+α-1=0,β2+β-1=0,且α≠β,则αβ+α+β的值为( ).
A.2 B.-2 C.-1 D.0
6.已知α,β,满足α+β=5且αβ=6,以α,β为两根的一元二次方程是( ).
A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0; C.x2-5x-6=0 D.x2+5x-6=0
7.已知x1,x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=,则x1·x2=_______.
8.已知关于x的一元二次方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负数根,那么实数m的取值范围是__________.
9.已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是
10.已知 是方程的两根,则+等于 。
11.已知方程有两个实数根,且这两个实数根的平方和比两根的积大21,求的值。
五、 一元二次方程的求解
配方法:
1.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程,则,所以。
3.用配方法解下列方程
(1)2x2+3x-2=0 (2)x2+x-2=0 (3)x2+5x-1=0 (4)2x2-4x-1=04
公式法:
用公式法解下列各方程
(1)5x2+2x-1=0 (2)6y2+13y+6=0 (3)x2+6x+9=7 (4)2x2+7x=-14
分解因式法
1.如果是一个完全平方公式,则 。
2.解因式分解法解一元二次方程
(1) x 2-x-6=0 (2)(x+2)2=2x+4 (3)4.x2=4x (4)(2x-1)2=(3-x)
综合练习
1.用适当的方法解下列方程:
(1) (2) ( 3) (4)x2+4x=2 (5)4x2+3x1=0
(6)x23x2=0 (7)x2+2x143=0 (8)(x+1)(x+8)=12 (9)
2.已知方程x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
3.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)当m取什么值时,原方程没有实数根.(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.
4. 已知关于x的一元二次方程x2-(m-2)x--=0.求证:无论m取何实数值,这个方程总有两相异实根.
5.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为0.是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.