中考总复习——等腰三角形与直角三角形 11页

‎2014年中考总复习——‎ 等腰三角形与直角三角形 知识点睛 ‎ ‎ 知识点一、等腰三角形 ‎1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形 ‎2、等腰三角形的性质：‎ ‎ ⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 ‎ ‎⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 ‎ ‎⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 ‎ ‎3、等腰三角形的判定：‎ ‎ ⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ‎ ‎ ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 ‎ ‎【谈重点】‎ 1、 等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等 。‎ ‎ 2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角。‎ 4、 等边三角形的性质：‎ ‎ ⑴等边三角形的每个内角都 都等于 。 ‎ ‎ ⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴 ‎ 等边三角形的判定：‎ ‎ ⑴有三个角相等的三角形是等边三角形 ‎ ⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形 ‎【谈重点】 1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质 2、 有一个角是直角的等腰三角形是 三角形 知识点二、线段的垂直平分线和角的平分线 ‎1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 ‎2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等 ‎3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 ‎ ‎4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等 ‎5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 ‎ ‎【谈重点】‎ ‎ 1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。‎ ‎2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线。‎ 知识点三、直角三角形 ‎1、勾股定理和它的逆定理 ‎ 勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 ‎ 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形 ‎2、直角三角形的性质 ‎ 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：‎ ‎⑴直角三角形两锐角 ‎ ‎⑵直角三角形斜边的中线等于 ‎ ‎⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半 ‎3、直角三角形的判定：‎ ‎ 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：‎ ‎ ⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 ‎ ⑵有两个角 的三角形是直角三角形 ‎ ⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形 重点考点解析 考点一：角的平分线 例1 （2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15‎ ‎．‎ 对应训练 ‎1．（2013•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35‎ ‎°．‎ 考点二：线段垂直平分线 例2 （2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70°‎ ‎．‎ 对应训练 ‎2．（2013•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）‎ A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 考点三：等腰三角形性质的运用 例3 （2013•武汉）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）‎ A．18° B．24° C．30° D．36°‎ 对应训练 ‎3．（2013•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= 44°‎ ‎．‎ 考点四：等边三角形的判定与性质 例4 （2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15‎ 度．‎ 对应训练 ‎4．（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．‎ 考点五：三角形中位线定理 例5 （2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（　　）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ 对应训练 ‎5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 3‎ 厘米．‎ 考点六：直角三角形 例6 （2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）‎ A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm 对应训练 ‎6．（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（　　）‎ A．2 B．2 C． +1 D． +1‎ 考点七：勾股定理 例7 （2013•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 6‎ ‎．‎ 对应训练 ‎7．（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 10‎ ‎．‎ ‎【中考在线】‎ 一、选择题 ‎1．（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2．（2013•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（　　）‎ A．70° B．55° C．50° D．40°‎ ‎3．（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（　　）‎ A．5 B．7 C．5或7 D．6‎ ‎4．（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎6．（2013•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．∠B=48° B．∠AED=66° C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°‎ ‎7．（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（　　）‎ A．5.5 B．5 C．4.5 D．4‎ ‎9．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．（2013•德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（　　）‎ A．5 B．5 C．5 D．6‎ ‎11．（2013•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎13．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠‎ BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）‎ A．20 B．12 C．14 D．13‎ ‎14．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎15．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　）‎ A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点 ‎16．（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．8‎ 二、填空题 ‎17．（2013•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（　　）‎ A．80° B．50° C．40° D．20°‎ ‎18．（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5‎ ‎．‎ ‎19．（2013•广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= 7‎ ‎．‎ ‎20．（2013•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 4‎ cm．‎ ‎21．（2013•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是 40‎ m．‎ ‎22．（2013•漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ．‎ ‎23．（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6‎ cm．‎ ‎24．（2013•资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5‎ ‎．‎ ‎25．（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 （4，0）‎ ‎．‎ ‎26．（2013•锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=，则BE+CE= 6或16‎ ‎．‎ ‎27．（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= 45‎ ‎°．‎ ‎28．（2013•哈尔滨）在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为 ．‎ ‎29．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 15‎ ‎．‎ ‎30．（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 108‎ 度．‎ 三、解答题 ‎31．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积．‎ ‎32．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长．‎ ‎33．（2013•威海）操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决，将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长． ‎