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- 2021-05-10 发布
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第六章 轴对称
第一节 轴对称
1.(2016娄底)从“线段,等边三角形,圆,矩形,正六边形”这五个圆形中任取一个,取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 .
【考点】概率公式;轴对称图形;中心对称图形.
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数,再根据概率公式进行计算即可.
【解答】解:∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形,共4个,
∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为,
故答案为:.
2.(2016娄底)如图,将△ABC沿直线DE折叠,使点C与点A重合,已知AB=7,BC=6,则△BCD的周长为 13 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】利用翻折变换的性质得出AD=CD,进而利用AD+CD=AB得出即可.
【解答】解:∵将△ABC沿直线DE折叠后,使得点A与点C重合,
∴AD=CD,
∵AB=7,BC=6,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13.
故答案为:13
3.(2016宁夏)如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1),把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,则点O′的坐标为 (,). .
【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
【分析】作O′C⊥y轴于点C,首先根据点A,B的坐标分别为(,0),(0,1)得到∠BAO=30°,从而得出∠OBA=60°,然后根据Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,得到∠CBO′=60°,最后设BC=x,则OC′=x,利用勾股定理求得x的值即可求解.
【解答】解:如图,作O′C⊥y轴于点C,
∵点A,B的坐标分别为(,0),(0,1),
∴OB=1,OA=,
∴tan∠BAO==,
∴∠BAO=30°,
∴∠OBA=60°,
∵Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,
∴∠CBO′=60°,
∴设BC=x,则OC′=x,
∴x2+(x)2=1,
解得:x=(负值舍去),
∴OC=OB+BC=1+=,
∴点O′的坐标为(,).
故答案为:(,).
【点评】本题考查了翻折变换及坐标与图形的性质的知识,解题的关键是根据点A和点B的坐标确定三角形为特殊三角形,难度不大.
4.(2016济宁)如图,在4×4正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑,使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式;利用轴对称设计图案.
【分析】由在4×4正方形网格中,任选取一个白色的小正方形并涂黑,共有13种等可能的结果,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合,白色的小正方形有13个,而能构成一个轴对称图形的有4个情况,
∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是:.
故选B.
5.(2016聊城)如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A′处,点B落在点B′处,若∠2=40°,则图中∠1的度数为( )
A.115° B.120° C.130° D.140°
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°,进而解答即可.
【解答】解:∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A′处,点B落在点B′处,
∴∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°,
∵∠2=40°,
∴∠CFB'=50°,
∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°,
即∠1+∠1﹣50°=180°,
解得:∠1=115°,
故选A.
【点评】本题考查了矩形的性质,折叠的性质,三角形的内角和定理的应用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,注意:折叠后的两个图形全等.
6.(2016资阳)如图,矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O,且EG∥BC,将矩形折叠,使点C与点O重合,折痕MN恰好过点G若AB=,EF=2,∠H=120°,则DN的长为( )
A. B. C.﹣D.2﹣
【考点】矩形的性质;菱形的性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】延长EG交DC于P点,连接GC、FH,则△GCP为直角三角形,证明四边形OGCM为菱形,则可证OC=OM=CM=OG=,由勾股定理求得GP的值,再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP,即可得出答案.
【解答】解:长EG交DC于P点,连接GC、FH;如图所示:
则CP=DP=CD=,△GCP为直角三角形,
∵四边形EFGH是菱形,∠EHG=120°,
∴GH=EF=2,∠OHG=60°,EG⊥FH,
∴OG=GH•sin60°=2×=,
由折叠的性质得:CG=OG=,OM=CM,∠MOG=∠MCG,
∴PG==,
∵OG∥CM,
∴∠MOG+∠OMC=180°,
∴∠MCG+∠OMC=180°,
∴OM∥CG,
∴四边形OGCM为平行四边形,
∵OM=CM,
∴四边形OGCM为菱形,
∴CM=OG=,
根据题意得:PG是梯形MCDN的中位线,
∴DN+CM=2PG=,
∴DN=﹣;
故选:C.
7.(2016新疆)如图,▱ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕交CD边于点E.
(1)求证:四边形BCED′是菱形;
(2)若点P时直线l上的一个动点,请计算PD′+PB的最小值.
【考点】平行四边形的性质;菱形的判定;轴对称-最短路线问题;翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形,进而求出四边形BCED′是平行四边形,根据折叠的性质得到AD=AD′,然后又菱形的判定定理即可得到结论;
(2)由四边形DAD′E是平行四边形,得到▱DAD′E是菱形,推出D与D′关于AE对称,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,过D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG=,DG=,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】证明:(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,
∴∠DAE=∠D′AE,∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E,
∵DE∥AD′,
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA,
∴∠DAD′=∠DED′,
∴四边形DAD′E是平行四边形,
∴DE=AD′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴CE=D′B,CE∥D′B,
∴四边形BCED′是平行四边形;
∵AD=AD′,
∴▱DAD′E是菱形,
(2)∵四边形DAD′E是菱形,
∴D与D′关于AE对称,
连接BD交AE于P,则BD的长即为PD′+PB的最小值,
过D作DG⊥BA于G,
∵CD∥AB,
∴∠DAG=∠CDA=60°,
∵AD=1,
∴AG=,DG=,
∴BG=,
∴BD==,
∴PD′+PB的最小值为.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,最短距离问题,勾股定理,菱形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
8.(2016金华)如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC 上,以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,则BD的长是 2或5 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】先依据勾股定理求得AB的长,然后由翻折的性质可知:AB′=10,DB=DB′,接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°,两种情况画出图形,设DB=DB′=x,然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可.
【解答】解:∵Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10,
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,
∴BD=DB′,AB′=AB=10.
如图1所示:当∠B′DE=90°时,过点B′作B′F⊥AF,垂足为F.
设BD=DB′=x,则AF=6+x,FB′=8﹣x.
在Rt△AFB′中,由勾股定理得:AB′2=AF2+FB′2,即(6+x)2+(8﹣x)2=102.
解得:x1=2,x2=0(舍去).
∴BD=2.
如图2所示:当∠B′ED=90°时,C与点E重合.
∵AB′=10,AC=6,
∴B′E=4.
设BD=DB′=x,则CD=8﹣x.
在Rt△′BDE中,DB′2=DE2+B′E2,即x2=(8﹣x)2+42.
解得:x=5.
∴BD=5.
综上所述,BD的长为2或5.
故答案为:2或5.
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.
9.(2016温州)如图,一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°,AC=4,BC=3.现小林将纸片做三次折叠:第一次使点A落在C处;将纸片展平做第二次折叠,使点B落在C处;再将纸片展平做第三次折叠,使点A落在B处.这三次折叠的折痕长依次记为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>b B.b>a>c C.c>b>a D.b>c>a
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】(1)图1,根据折叠得:DE是线段AC的垂直平分线,由中位线定理的推论可知:DE是△ABC的中位线,得出DE的长,即a的长;
(2)图2,同理可得:MN是△ABC的中位线,得出MN的长,即b的长;
(3)图3,根据折叠得:GH是线段AB的垂直平分线,得出AG的长,再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH,利用比例式可求GH的长,即c的长.
【解答】解:第一次折叠如图1,折痕为DE,
由折叠得:AE=EC=AC=×4=2,DE⊥AC
∵∠ACB=90°
∴DE∥BC
∴a=DE=BC=×3=
第二次折叠如图2,折痕为MN,
由折叠得:BN=NC=BC=×3=,MN⊥BC
∵∠ACB=90°
∴MN∥AC
∴b=MN=AC=×4=2
第三次折叠如图3,折痕为GH,
由勾股定理得:AB==5
由折叠得:AG=BG=AB=×5=,GH⊥AB
∴∠AGH=90°
∵∠A=∠A,∠AGH=∠ACB
∴△ACB∽△AGH
∴=
∴=
∴GH=,即c=
∵2>>
∴b>c>a
故选(D)
10.(2016重庆)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,DE=DC,连接AE,将△ADE沿AE翻折,点D落在点F处,点O是对角线BD的中点,连接OF并延长OF交CD于点G,连接BF,BG,则△BFG的周长是________.
(第18题) (答案图)
解:延长EF,交BC于点H,则可证得△ABH全等△AFH,所以BH=FH,
在△HCE中,令FH=x,则HE=x+2,EC=4,HC=6-x,由勾股定理可得x=3,
所以H是BC的中点,所以OH=3。
再由△OHF相似△GEF,OH=FH=3,可得EG=EF=2,所以GC=2,所以BG=2,
在△OJG中,OJ=3,JG=1,由勾股定理可得OG=,所以FG=。
在△HCE中,HI:HC=HF:HE+FI:EC,可求得HI=,FI=,所以BI=,
在△BFI中可求得BF=。
所以C△BFG=BF+FG+BG=。
11.(2016福建竞赛)在平面直角坐标系中,已知点,点在轴正半轴上且。将沿直线折叠得,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解答】如图,设轴于点。
依题意,,。
所以,,,。
因此,点的坐标为。
第一节 等腰三角形
1.(2016怀化)等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为( )
A.16cm B.17cm C.20cm D.16cm或20cm
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】根据等腰三角形的性质,本题要分情况讨论.当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况.
【解答】解:等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,
当腰长是4cm时,则三角形的三边是4cm,4cm,8cm,4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系;
当腰长是8cm时,三角形的三边是8cm,8cm,4cm,三角形的周长是20cm.
故选C.
2.(2016怀化)如图,已知AD=BC,AC=BD.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)OA与OB相等吗?若相等,请说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
【分析】(1)根据SSS定理推出全等即可;
(2)根据全等得出∠OAB=∠OBA,根据等角对等边得出即可.
【解答】(1)证明:∵在△ADB和△BCA中,
,
∴△ADB≌△BCA(SSS);
(2)解:OA=OB,
理由是:∵△ADB≌△BCA,
∴∠ABD=∠BAC,
∴OA=OB.
3.(2016邵阳)如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是( )
A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等,由AD=BD得到∠A=∠ABD,所以∠ABC>∠A,则对各C、D选项进行判断;根据大边对大角可对A、B进行判断.
【解答】解:∵AD=BD,
∴∠A=∠ABD,
∴∠ABC>∠A,所以C选项和D选项错误;
∴AC>BC,所以A选项正确;B选项错误.
故选A.
4.(2016泰安)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB,证出BF=BC=8,同理:DE=CD=6,求出AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,
∴∠F=∠DCF,
∵∠C平分线为CF,
∴∠FCB=∠DCF,
∴∠F=∠FCB,
∴BF=BC=8,
同理:DE=CD=6,
∴AF=BF﹣AB=2,AE=AD﹣DE=2,
∴AE+AF=4;
故选:C.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键.
5.(2016泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
A.44° B.66° C.88° D.92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B,证明△AMK≌△BKN,得到∠AMK=∠BKN,根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°,根据三角形内角和定理计算即可.
【解答】解:∵PA=PB,
∴∠A=∠B,
在△AMK和△BKN中,
,
∴△AMK≌△BKN,
∴∠AMK=∠BKN,
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,
∴∠A=∠MKN=44°,
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°,
故选:D.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质,掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.
6.(2016泰安)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3,…在直线l上,点B1,B2,B3,…在x轴的正半轴上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2 .
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标,探究规律后,即可根据规律解决问题.
【解答】解:由题意得OA=OA1=2,
∴OB1=OA1=2,
B1B2=B1A2=4,B2A3=B2B3=8,
∴B1(2,0),B2(6,0),B3(14,0)…,
2=22﹣2,6=23﹣2,14=24﹣2,…
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2.
故答案为 2n+1﹣2.
【点评】本题考查规律型:点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.
7.(2016泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其它条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;
(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其它条件不变,则的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)
【分析】(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(3)作DF∥BC交AC于F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出结果.
【解答】(1)证明:作DF∥BC交AC于F,如图1所示:
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,
∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=DF,
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,
在△DBE和△CFD中,,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD;
(2)解:EB=AD成立;理由如下:
作DF∥BC交AC的延长线于F,如图2所示:
同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,
又∵∠DBE=∠DFC=60°,
∴在△DBE和△CFD中,,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD;
(3)解: =;理由如下:
作DF∥BC交AC于F,如图3所示:
同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴DF=AD,
∴=,
∴=.
【点评】本题是三角形综合题目,考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
8.(2016资阳)如图,在3×3的方格中,A、B、C、D、E、F分别位于格点上,从C、D、E、F四点中任取一点,与点A、B为顶点作三角形,则所作三角形为等腰三角形的概率是 .
【考点】概率公式;等腰三角形的判定.
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点,一共有4种可能,选取D、C、F时,所作三角形是等腰三角形,即可得出答案.
【解答】解:根据从C、D、E、F四个点中任意取一点,一共有4种可能,选取D、C、F时,所作三角形是等腰三角形,
故P(所作三角形是等腰三角形)=;
故答案为:.
9.(2016福建竞赛)如图,为等腰三角形内一点,过分别作三条边、、的垂线,垂足分别为、、。已知,,且。则四边形的面积为( )
A.10 B.15 C. D.
【答案】 C
(第4题 图)
【解答】如图,连结,,。
易知。又
,。
(第4题答题图)
∴ ,。
由,知点在的平分线上,、、三点共线。
∴ ,。
∴ 。
∴ 。
10(2016福建竞赛)如图,是等腰直角三角形,,点在线段上(与、不重合),点在射线上,且。求证:。
【答案】如图,作点关于直线的对称点,连结、、,,则。
∵ 是等腰直角三角形,,且,
∴ ,
。
∴ 。
又,。
∴ 。
∴ ,。
又由,知
。
∴ 。
又,
∴ 。
另解:如图,沿翻折得,则。
∴ ,,,。 ∵ ,
∴
。
又,。
∴ 。
∴ ,,。
∴ 。