中考数学圆提高练习题压轴题训练 11页

‎《圆》‎ r A B C d O d 一、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内；‎ ‎2、点在圆上 点在圆上；‎ ‎3、点在圆外 点在圆外；‎ 二、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点；‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点；‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点；‎ r d d=r d r 三、圆与圆的位置关系 外离(图1) 无交点 ；‎ 外切(图2) 有一个交点 ；‎ 相交(图3) 有两个交点 ；‎ 内切(图4) 有一个交点 ；‎ 内含(图5) 无交点 ；‎ 图3‎ d R r 图2‎ d R r 图1‎ d R r ‎ ‎ 图5‎ d R r 图4‎ d R r A B D O E 四、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ C ‎ 推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。‎ 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ② ③ ④弧弧 ⑤弧弧 ‎ C ‎ A B D O 中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 E 五、圆心角定理 A B ‎ C ‎ O D F 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，‎ 弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1‎ 个相等，则可以推出其它的3个结论，‎ 即：①；②；③；④ 弧弧 中任意1个条件推出其他3个结论。‎ A B ‎ C ‎ O 六、圆周角定理 ‎1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎ ∴‎ D A B ‎ C ‎ O ‎2、圆周角定理的推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；‎ 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；‎ 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 A B ‎ C ‎ O ‎ ∴‎ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；‎ 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。‎ 即：在⊙中，∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 ‎ C ‎ A B O 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 即：在△中，∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。‎ 七、切线的性质与判定定理 ‎(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；‎ ‎ 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 A N M O ‎ 即：∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如图)‎ ‎ 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理：‎ 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 八、切线长定理 B A O P 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点 和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ‎ ∴，平分 九、两圆公共弦定理 A B O1‎ O2‎ 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。‎ 如图：垂直平分。‎ 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ‎ ∴垂直平分 A ‎ C ‎ O2‎ O1‎ B 十、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：‎ ‎(1)公切线长：中，；‎ ‎(2)外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。‎ A ‎ C ‎ D O B 十一、圆内正多边形的计算 ‎(1)正三角形 ‎ 在⊙中△是正三角形，‎ 有关计算在中进行：；‎ A ‎ C ‎ D E O B ‎(2)正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，‎ ‎：‎ ‎(3)正六边形 A B O 同理，六边形的有关计算在中进行，‎ ‎.‎ A B l S 十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 O ‎1、扇形：(1)弧长公式：；‎ ‎(2)扇形面积公式： ‎ ‎：圆心角 ：扇形所对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 D A ‎ C ‎ ‎ C1 ‎ ‎ 底面圆周长 ‎ 母线长 ‎ D1‎ ‎2、圆柱： ‎ ‎(1)圆柱侧面展开图 B ‎ =‎ A B ‎ C ‎ O B1‎ r ‎ ‎(2)圆柱的体积：‎ ‎(2)圆锥侧面展开图 ‎(1)=‎ ‎(2)圆锥的体积：‎ ‎【应用】‎ ‎1．如图，将边长为的正六边形A1 A2 A3 A4 A5 A6在直线上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为( )．‎ A. ‎ B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎2. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△BCE；‎ ‎（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．‎ ‎3. 如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．‎ ‎4. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：‎ ‎（1）D是BC的中点；‎ ‎（2）△BEC ∽△ADC；‎ ‎（3）AB× CE=2DP×AD．‎ ‎5．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．‎ ‎(1)求证：D是的中点；‎ ‎(2)求证：∠DAO =∠B +∠BAD；‎ ‎(3)若，且AC=4，求CF的长．‎ ‎6. 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；‎ ‎（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗? 证明你的结论；‎ ‎（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．‎ ‎7．己知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。‎ ‎(1)求证：∠DAC=∠DBA；‎ ‎(2)求证：P处线段AF的中点；‎ ‎(3)若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。‎ ‎8、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，‎ ‎(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=，求证△DCE≌△OCB． ‎ A B D E O F C ‎ ‎ ‎9、如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C且C为OB中点，过C点的弦CD使∠ACD＝45°，的长为，求弦AD、AC的长．‎ ‎    ‎ ‎10、如图14，直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若，的半径为3，求的长．‎ ‎11、⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．‎ ‎（1）求证：四边形OCPE是矩形；‎ ‎（2）求证：HK＝HG； ‎ ‎（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．‎ ‎12、如图，内接于，，点是的中点．边上的高相交于点．试证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2） 四边形是菱形．‎ E A D G B F C O M ‎13、如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求的直径的长．‎ ‎（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴 和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．‎