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  • 2021-05-10 发布

2020年四川省自贡市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年四川省自贡市中考数学试卷 一.选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为(  )‎ A.40° B.50° C.55° D.60°‎ ‎2.(4分)5月22日晚,中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播,有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代,70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨.人数700000用科学记数法表示为(  )‎ A.70×104 B.0.7×107 C.7×105 D.7×106‎ ‎3.(4分)如图所示的几何体的左视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(4分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,则a的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.1 D.﹣1‎ ‎5.(4分)在平面直角坐标系中,将点(2,1)向下平移3个单位长度,所得点的坐标是(  )‎ A.(﹣1,1) B.(5,1) C.(2,4) D.(2,﹣2)‎ ‎6.(4分)下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(  )‎ 第26页(共26页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.(4分)对于一组数据3,7,5,3,2,下列说法正确的是(  )‎ A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3‎ ‎8.(4分)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是(  )‎ A.50° B.70° C.130° D.160°‎ ‎9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是(  )‎ A.50° B.40° C.30° D.20°‎ ‎10.(4分)函数y‎=‎kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx﹣b的大致图象为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 第26页(共26页)‎ ‎11.(4分)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(  )‎ A.‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40 B.‎80‎‎(1+35%)x‎-‎80‎x=‎40 ‎ C.‎80‎x‎-‎80‎‎(1+35%)x=‎40 D.‎80‎x‎-‎80(1+35%)‎x=‎40‎ ‎12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB‎=‎‎6‎,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,F是AB的中点,连结DF、EF.若∠EFD=90°,则AE长为(  )‎ A.2 B.‎5‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎‎2‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)分解因式:3a2﹣6ab+3b2=   .‎ ‎14.(4分)与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是   .‎ ‎15.(4分)某中学新建食堂正式投入使用,为提高服务质量,食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计.以下是打乱了的调查统计顺序,请按正确顺序重新排序(只填番号):   .‎ ‎①绘制扇形图;‎ ‎②收集最受学生欢迎菜品的数据;‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品;‎ ‎④整理所收集的数据.‎ ‎16.(4分)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB.BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为   米(结果保留根号).‎ ‎17.(4分)如图,矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,将△ADE沿DE 第26页(共26页)‎ 翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,在DF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若AD=4,则图中阴影部分的面积为   .‎ ‎18.(4分)如图,直线y‎=-‎‎3‎x+b与y轴交于点A,与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点,且AB•AC=16.下列等边三角形△OD1E1,△E1D2E2,△E2D3E3,…的边OE1,E1E2,E2E3,…在x轴上,顶点D1,D2,D3,…在该双曲线第一象限的分支上,则k=   ,前25个等边三角形的周长之和为   .‎ 三、解答题(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣2|﹣(‎5‎‎+‎π)0+(‎-‎‎1‎‎6‎)﹣1.‎ ‎20.(8分)先化简,再求值:x+1‎x‎2‎‎-4‎•(‎1‎x+1‎‎+‎1),其中x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x>3‎的整数解.‎ ‎21.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE和BF相交于点M.‎ 求证:AE=BF.‎ 第26页(共26页)‎ ‎22.(8分)某校为了响应市政府号召,在“创文创卫”活动周中,设置了“A:文明礼仪,B:环境保护,C:卫生保洁,D:垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图.‎ ‎(1)本次调查的学生人数是   人,m=   ;‎ ‎(2)请补全条形统计图;‎ ‎(3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动.如果小张同学随机选择连续两天,其中有一天是星期一的概率是   ;小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是   .‎ ‎23.(10分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.新冠疫情期间,为了减少库存,甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售,乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.‎ ‎(1)以x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱?‎ ‎24.(10分)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为|x+1|=|x﹣(﹣1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离.‎ 第26页(共26页)‎ ‎(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少?‎ ‎(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3.‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和,‎ ‎∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3.‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3.‎ ‎(3)解决问题:‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是   ;‎ ‎②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x﹣1|>4;‎ ‎③当a为何值时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2.‎ ‎25.(12分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,点P为⊙O外一点,且PA=PC‎=‎‎2‎AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F.‎ ‎(1)证明:AF‎=‎CF;‎ ‎(2)若tan∠ABC=2‎2‎,证明:PA是⊙O的切线;‎ ‎(3)在(2)条件下,连接PB交⊙O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长.‎ ‎26.(14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时:‎ ‎①求PD+PC的最小值;‎ ‎②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ的最小值.‎ 第26页(共26页)‎ 第26页(共26页)‎ ‎2020年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为(  )‎ A.40° B.50° C.55° D.60°‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠3=∠1=50°,‎ ‎∴∠2=∠3=50°;‎ 故选:B.‎ ‎2.(4分)5月22日晚,中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播,有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代,70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨.人数700000用科学记数法表示为(  )‎ A.70×104 B.0.7×107 C.7×105 D.7×106‎ ‎【解答】解:700000用科学记数法表示为7×105,‎ 故选:C.‎ ‎3.(4分)如图所示的几何体的左视图是(  )‎ 第26页(共26页)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:该几何体从左边看有两列,左边一列底层是一个正方形,右边一列是三个正方形.‎ 故选:B.‎ ‎4.(4分)关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,则a的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.1 D.﹣1‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有两个相等实数根,‎ ‎∴a≠0‎‎△=(-2‎)‎‎2‎-4×a×2=0‎,‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 故选:A.‎ ‎5.(4分)在平面直角坐标系中,将点(2,1)向下平移3个单位长度,所得点的坐标是(  )‎ A.(﹣1,1) B.(5,1) C.(2,4) D.(2,﹣2)‎ ‎【解答】解:将点P(2,1)向下平移3个单位长度所得点的坐标为(2,1﹣3)即(2,﹣2);‎ 故选:D.‎ ‎6.(4分)下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ D、既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故本选项不合题意.‎ 第26页(共26页)‎ 故选:A.‎ ‎7.(4分)对于一组数据3,7,5,3,2,下列说法正确的是(  )‎ A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3‎ ‎【解答】解:A、把这组数据从小到大排列为:2,3,3,5,7,最中间的数是3,则中位数是3,故本选项错误;‎ B、3出现了2次,出现的次数最多,则众数是3,故本选项错误;‎ C、平均数是:(3+7+5+3+2)÷5=4,故本选项正确;‎ D、方差是:‎1‎‎5‎[2×(3﹣4)2+(7﹣4)2+(5﹣4)2+(2﹣4)2]=3.2,故本选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎8.(4分)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是(  )‎ A.50° B.70° C.130° D.160°‎ ‎【解答】解:设这个角是x°,根据题意,得 x=2(180﹣x)+30,‎ 解得:x=130.‎ 即这个角的度数为130°.‎ 故选:C.‎ ‎9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是(  )‎ A.50° B.40° C.30° D.20°‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,‎ ‎∴∠B=40°,‎ ‎∵BC=BD,‎ ‎∴∠BCD=∠BDC‎=‎‎1‎‎2‎(180°﹣40°)=70°,‎ ‎∴∠ACD=90°﹣70°=20°,‎ 第26页(共26页)‎ 故选:D.‎ ‎10.(4分)函数y‎=‎kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=kx﹣b的大致图象为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:根据反比例函数的图象位于一、三象限知k>0,‎ 根据二次函数的图象确知a<0,b<0,‎ ‎∴函数y=kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限,‎ 故选:D.‎ ‎11.(4分)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(  )‎ A.‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40 B.‎80‎‎(1+35%)x‎-‎80‎x=‎40 ‎ C.‎80‎x‎-‎80‎‎(1+35%)x=‎40 D.‎80‎x‎-‎80(1+35%)‎x=‎40‎ ‎【解答】解:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原计划每天绿化的面积为x‎1+35%‎万平方米,‎ 依题意,得:‎80‎x‎1+35%‎‎-‎80‎x=‎40,‎ 即‎80(1+35%)‎x‎-‎80‎x=‎40.‎ 故选:A.‎ 第26页(共26页)‎ ‎12.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB‎=‎‎6‎,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,F是AB的中点,连结DF、EF.若∠EFD=90°,则AE长为(  )‎ A.2 B.‎5‎ C.‎3‎‎2‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解:如图,延长EF交DA的延长线于Q,连接DE,设BE=x.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴DQ∥BC,‎ ‎∴∠Q=∠BEF,‎ ‎∵AF=FB,∠AFQ=∠BFE,‎ ‎∴△QFA≌△EFB(AAS),‎ ‎∴AQ=BE=x,‎ ‎∵∠EFD=90°,‎ ‎∴DF⊥QE,‎ ‎∴DQ=DE=x+2,‎ ‎∵AE⊥BC,BC∥AD,‎ ‎∴AE⊥AD,‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°,‎ ‎∵AE2=DE2﹣AD2=AB2﹣BE2,‎ ‎∴(x+2)2﹣4=6﹣x2,‎ 整理得:2x2+4x﹣6=0,‎ 解得x=1或﹣3(舍弃),‎ ‎∴BE=1,‎ ‎∴AE‎=AB‎2‎-BE‎2‎=‎6-1‎=‎‎5‎,‎ 第26页(共26页)‎ 故选:B.‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)分解因式:3a2﹣6ab+3b2= 3(a﹣b)2 .‎ ‎【解答】解:3a2﹣6ab+3b2‎ ‎=3(a2﹣2ab+b2)‎ ‎=3(a﹣b)2.‎ 故答案为:3(a﹣b)2.‎ ‎14.(4分)与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是 2 .‎ ‎【解答】解:∵3.5‎<‎14‎<‎4,‎ ‎∴1.5‎<‎14‎-‎2<2,‎ ‎∴与‎14‎‎-‎2最接近的自然数是2.‎ 故答案为:2.‎ ‎15.(4分)某中学新建食堂正式投入使用,为提高服务质量,食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计.以下是打乱了的调查统计顺序,请按正确顺序重新排序(只填番号): ②④①③ .‎ ‎①绘制扇形图;‎ ‎②收集最受学生欢迎菜品的数据;‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品;‎ ‎④整理所收集的数据.‎ ‎【解答】解:②收集最受学生欢迎菜品的数据;‎ ‎④整理所收集的数据;‎ ‎①绘制扇形图;‎ ‎③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品;‎ 故答案为:②④①③.‎ ‎16.(4分)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB.BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为 6‎2‎ 米(结果保留根号).‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】解:过点D作DE⊥AB于E,过点C作CF⊥AB于F.‎ ‎∵CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB,‎ ‎∴DE=CF,‎ 在Rt△CFB中,CF=BC•sin45°=3‎2‎(米),‎ ‎∴DE=CF=3‎2‎(米),‎ 在Rt△ADE中,∵∠A=30°,∠AED=90°,‎ ‎∴AD=2DE=6‎2‎(米),‎ 故答案为6‎2‎.‎ ‎17.(4分)如图,矩形ABCD中,E是AB上一点,连接DE,将△ADE沿DE翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,在DF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若AD=4,则图中阴影部分的面积为 ‎2‎‎3‎‎9‎ .‎ ‎【解答】解:连接OG,‎ ‎∵将△ADE沿DE翻折,恰好使点A落在BC边的中点F处,‎ ‎∴AD=DF=4,BF=CF=2,‎ ‎∵矩形ABCD中,∠DCF=90°,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴∠FDC=30°,‎ ‎∴∠DFC=60°,‎ ‎∵⊙O与CD相切于点G,‎ ‎∴OG⊥CD,‎ ‎∵BC⊥CD,‎ ‎∴OG∥BC,‎ ‎∴△DOG∽△DFC,‎ ‎∴DODF‎=‎OGFC,‎ 设OG=OF=x,则‎4-x‎4‎‎=‎x‎2‎,‎ 解得:x‎=‎‎4‎‎3‎,即⊙O的半径是‎4‎‎3‎.‎ 连接OQ,作OH⊥FQ,‎ ‎∵∠DFC=60°,OF=OQ,‎ ‎∴△OFQ为等边△;同理△OGQ为等边△;‎ ‎∴∠GOQ=∠FOQ=60°,OH‎=‎‎3‎‎2‎OQ‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎,S扇形OGQ=S扇形OQF,‎ ‎∴S阴影=(S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH)+(S扇形OQF﹣S△OFQ)‎ ‎=S矩形OGCH‎-‎‎3‎‎2‎S△OFQ‎=‎4‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎3‎-‎‎3‎‎2‎(‎1‎‎2‎‎×‎4‎‎3‎×‎‎2‎‎3‎‎3‎)‎=‎‎2‎‎3‎‎9‎.‎ 故答案为:‎2‎‎3‎‎9‎.‎ ‎18.(4分)如图,直线y‎=-‎‎3‎x+b与y轴交于点A,与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点,且AB•AC=16.下列等边三角形△OD1E1,△E1D2E2,△E2D3E3,…的边OE1,E1E2,E2E3,…在x轴上,顶点D1,D2,D3,…在该双曲线第一象限的分支上,则k= 4‎3‎ ,前25个等边三角形的周长之和为 60 .‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】解:设直线y‎=-‎‎3‎x+b与x轴交于点D,作BE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F.‎ ‎∵y‎=-‎‎3‎x+b,‎ ‎∴当y=0时,x‎=‎‎3‎‎3‎b,即点D的坐标为(‎3‎‎3‎b,0),‎ 当x=0时,y=b,即A点坐标为(0,b),‎ ‎∴OA=﹣b,OD‎=-‎‎3‎‎3‎b.‎ ‎∵在Rt△AOD中,tan∠ADO‎=OAOD=‎‎3‎,‎ ‎∴∠ADO=60°.‎ ‎∵直线y‎=-‎‎3‎x+b与双曲线y‎=‎kx在第三象限交于B、C两点,‎ ‎∴‎-‎‎3‎x+b‎=‎kx,‎ 整理得,‎-‎‎3‎x2+bx﹣k=0,‎ 由韦达定理得:x1x2‎=‎‎3‎‎3‎k,即EB•FC‎=‎‎3‎‎3‎k,‎ ‎∵EBAB‎=‎cos60°‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴AB=2EB,‎ 同理可得:AC=2FC,‎ ‎∴AB•AC=(2EB)(2FC)=4EB•FC‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎k=16,‎ 解得:k=4‎3‎.‎ 由题意可以假设D1(m,m‎3‎),‎ ‎∴m2•‎3‎‎=‎4‎3‎,‎ ‎∴m=2‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴OE1=4,即第一个三角形的周长为12,‎ 设D2(4+n,‎3‎n),‎ ‎∵(4+n)•‎3‎n=4‎3‎,‎ 解得n=2‎2‎‎-‎2,‎ ‎∴E1E2=4‎2‎‎-‎4,即第二个三角形的周长为12‎2‎‎-‎12,‎ 设D3(4‎2‎‎+‎a,‎3‎a),‎ 由题意(4‎2‎‎+‎a)•‎3‎a=4‎3‎,‎ 解得a=2‎3‎‎-‎2‎2‎,即第三个三角形的周长为12‎3‎‎-‎12‎2‎,‎ ‎…,‎ ‎∴第四个三角形的周长为12‎4‎‎-‎12‎3‎,‎ ‎∴前25个等边三角形的周长之和12+12‎2‎‎-‎12+12‎3‎‎-‎12‎2‎‎+‎12‎4‎‎-‎12‎3‎‎+⋯+‎12‎25‎‎-‎12‎24‎‎=‎12‎25‎‎=‎60,‎ 故答案为4‎3‎,60.‎ 三、解答题(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣2|﹣(‎5‎‎+‎π)0+(‎-‎‎1‎‎6‎)﹣1.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣1+(﹣6)‎ ‎=1+(﹣6)‎ ‎=﹣5.‎ ‎20.(8分)先化简,再求值:x+1‎x‎2‎‎-4‎•(‎1‎x+1‎‎+‎1),其中x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x>3‎的整数解.‎ ‎【解答】解:x+1‎x‎2‎‎-4‎•(‎1‎x+1‎‎+‎1)‎ 第26页(共26页)‎ ‎=x+1‎‎(x+2)(x-2)‎⋅‎‎1+x+1‎x+1‎‎ ‎ ‎=‎x+2‎‎(x+2)(x-2)‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎x-2‎‎,‎ 由不等式组x+1≥0‎‎5-2x>3‎,得﹣1≤x<1,‎ ‎∵x是不等式组x+1≥0‎‎5-2x>3‎的整数解,‎ ‎∴x=﹣1,0,‎ ‎∵当x=﹣1时,原分式无意义,‎ ‎∴x=0,‎ 当x=0时,原式‎=‎1‎‎0-2‎=-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎21.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE和BF相交于点M.‎ 求证:AE=BF.‎ ‎【解答】解:在正方形ABCD中,‎ AB=CD=CD=AD,‎ ‎∵CE=DF,‎ ‎∴BE=CF,‎ 在△AEB与△BFC中,‎ AB=BC‎∠ABE=∠BCFBE=CF‎,‎ ‎∴△AEB≌△BFC(SAS),‎ ‎∴AE=BF.‎ ‎22.(8分)某校为了响应市政府号召,在“创文创卫”活动周中,设置了“A:文明礼仪,‎ 第26页(共26页)‎ B:环境保护,C:卫生保洁,D:垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图.‎ ‎(1)本次调查的学生人数是 60 人,m= 30 ;‎ ‎(2)请补全条形统计图;‎ ‎(3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动.如果小张同学随机选择连续两天,其中有一天是星期一的概率是 ‎1‎‎4‎ ;小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是 ‎1‎‎2‎ .‎ ‎【解答】解:(1)12÷20%=60(人),‎18‎‎60‎‎×‎100%=30%,‎ 则m=30;‎ 故答案为:60,30;‎ ‎(2)C组的人数为60﹣18﹣12﹣9=21(人),补全条形统计图如图:‎ ‎(3)如果小张同学随机选择连续两天,有4种等可能的结果,即(星期一,星期二)、(星期二,星期三)、(星期三,星期四)、(星期四,星期五),‎ 其中有一天是星期一的概率是‎1‎‎4‎;‎ 小李同学星期五要参加市演讲比赛,他在其余四天中随机选择两天,画树状图如图:‎ 第26页(共26页)‎ 共有12个等可能的结果,其中有一天是星期三的结果有6个,‎ ‎∴其中有一天是星期三的概率为‎6‎‎12‎‎=‎‎1‎‎2‎;‎ 故答案为:‎1‎‎4‎,‎1‎‎2‎.‎ ‎23.(10分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.新冠疫情期间,为了减少库存,甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售,乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.‎ ‎(1)以x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱?‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得,‎ y甲=0.9x,‎ 当0≤x≤100时,y乙=x,‎ 当x>100时,y乙=100+(x﹣100)×0.8=0.8x+20,‎ 由上可得,y乙‎=‎x‎(0≤x≤100)‎‎0.8x+20‎‎(x>100)‎;‎ ‎(2)当0.9x<0.8x+20时,得x<200,即此时选择甲商场购物更省钱;‎ 当0.9x=0.8x+20时,得x=200,即此时两家商场购物一样;‎ 当0.9x>0.8x+200时,得x>200,即此时选择乙商场购物更省钱.‎ ‎24.(10分)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为|x+1|=|x﹣(﹣1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离.‎ ‎(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少?‎ ‎(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3.‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3.‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3.‎ ‎(3)解决问题:‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是 6 ;‎ ‎②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x﹣1|>4;‎ ‎③当a为何值时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2.‎ ‎【解答】解:(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少?‎ ‎(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3.‎ ‎∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和,‎ ‎∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3.‎ ‎∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3.‎ ‎(3)解决问题:‎ ‎①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6;‎ 故答案为:6;‎ ‎②如图所示,满足|x+3|+|x﹣1|>4的x范围为x<﹣3或x>1;‎ ‎③当a为﹣1或﹣5时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2.‎ ‎25.(12分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,点P为⊙O外一点,且PA=PC‎=‎‎2‎AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F.‎ ‎(1)证明:AF‎=‎CF;‎ ‎(2)若tan∠ABC=2‎2‎,证明:PA是⊙O的切线;‎ ‎(3)在(2)条件下,连接PB交⊙O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长.‎ 第26页(共26页)‎ ‎【解答】(1)证明:连接OC.‎ ‎∵PC=PA,OC=OA,‎ ‎∴OP垂直平分线段AC,‎ ‎∴AF‎=‎CF.‎ ‎(2)证明:设BC=a,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵tan∠ABC‎=ACBC=‎2‎2‎,‎ ‎∴AC=2‎2‎a,AB‎=BC‎2‎+AC‎2‎=a‎2‎‎+(2‎2‎a‎)‎‎2‎=‎3a,‎ ‎∴OC=OA=OB‎=‎‎3a‎2‎,CD=AD‎=‎‎2‎a,‎ ‎∵PA=PC‎=‎‎2‎AB,‎ ‎∴PA=PC=3‎2‎a,‎ ‎∵∠PDC=90°,‎ ‎∴PD‎=PC‎2‎-CD‎2‎=‎18a‎2‎-2‎a‎2‎=‎4a,‎ ‎∵DC=DA,AO=OB,‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎‎1‎‎2‎a,‎ ‎∴AD2=PD•OD,‎ ‎∴ADPD‎=‎ODAD,‎ ‎∵∠ADP=∠ADO=90°,‎ ‎∴△ADP∽△ODA,‎ ‎∴∠PAD=∠DOA,‎ ‎∵∠DOA+∠DAO=90°,‎ ‎∴∠PAD+∠DAO=90°,‎ 第26页(共26页)‎ ‎∴∠PAO=90°,‎ ‎∴OA⊥PA,‎ ‎∴PA是⊙O的切线.‎ ‎(3)解:如图,过点E作EJ⊥PF于J,BK⊥PF于K.‎ ‎∵BC=2,‎ 由(1)可知,PA=6‎2‎,AB=6,‎ ‎∵∠PAB=90°,‎ ‎∴PB‎=PA‎2‎+AB‎2‎=‎72+36‎=‎6‎3‎,‎ ‎∵PA2=PE•PB,‎ ‎∴PE‎=‎72‎‎6‎‎3‎=‎4‎3‎,‎ ‎∵∠CDK=∠BKD=∠BCD=90°,‎ ‎∴四边形CDKB是矩形,‎ ‎∴CD=BK=2‎2‎,BC=DK=2,‎ ‎∵PD=8,‎ ‎∴PK=10,‎ ‎∵EJ∥BK,‎ ‎∴PEPB‎=EJBK=‎PJPK,‎ ‎∴‎4‎‎3‎‎6‎‎3‎‎=EJ‎2‎‎2‎=‎PJ‎10‎,‎ ‎∴EJ‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎,PJ‎=‎‎20‎‎3‎,‎ ‎∴DJ=PD﹣PJ=8‎-‎20‎‎3‎=‎‎4‎‎3‎,‎ ‎∴DE‎=EJ‎2‎+DJ‎2‎=‎(‎4‎‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎+(‎‎4‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎26.(14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点N,点M为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点C.‎ 第26页(共26页)‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图1,连接AM,点E是线段AM上方抛物线上一动点,EF⊥AM于点F,过点E作EH⊥x轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点,当EF取最大值时:‎ ‎①求PD+PC的最小值;‎ ‎②如图2,Q点为y轴上一动点,请直接写出DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,‎ 即﹣3a=3,解得:a=﹣1,‎ 故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎(2)由抛物线的表达式得,点M(﹣1,4),点N(0,3),‎ 则tan∠MAC‎=MCAC=‎2,‎ 则设直线AM的表达式为:y=2x+b,‎ 将点A的坐标代入上式并解得:b=6,‎ 故直线AM的表达式为:y=2x+6,‎ ‎∵∠EFD=∠DHA=90°,∠EDF=∠ADH,‎ ‎∴∠MAC=∠DEF,则tan∠DEF=2,则cos∠DEF‎=‎‎5‎‎5‎,‎ 设点E(x,﹣x2﹣2x+3),则点D(x,2x+6),‎ 则FE=EDcos∠DEF=(﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6)‎×‎5‎‎5‎=‎‎5‎‎5‎(﹣x2﹣4x﹣3),‎ ‎∵‎-‎5‎‎5‎<‎0,故EF有最大值,此时x=﹣2,故点D(﹣2,2);‎ ‎①点C(﹣1,0)关于y轴的对称点为点B(1,0),连接BD交y轴于点P,则点P 第26页(共26页)‎ 为所求点,‎ PD+PC=PD+PB=DB为最小,‎ 则BD‎=‎(1+2‎)‎‎2‎+(0-2‎‎)‎‎2‎=‎‎13‎;‎ ‎②过点O作直线OK,使sin∠NOK‎=‎‎1‎‎4‎,过点D作DK⊥OK于点K,交y轴于点Q,则点Q为所求点,‎ DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ=DQ+QK=DK为最小值,‎ 则直线OK的表达式为:y‎=‎‎15‎x,‎ ‎∵DK⊥OK,故设直线DK的表达式为:y‎=-‎‎1‎‎15‎x+b,‎ 将点D的坐标代入上式并解得:b=2‎-‎‎2‎‎15‎,‎ 则直线DK的表达式为:y‎=-‎‎1‎‎15‎x+2‎-‎‎2‎‎15‎,‎ 故点Q(0,2‎-‎‎2‎‎15‎),‎ 由直线KD的表达式知,QD与x负半轴的夹角(设为α)的正切值为‎1‎‎15‎,则cosα‎=‎‎15‎‎4‎,‎ 第26页(共26页)‎ 则DQ‎=xQ‎-‎xDcosα=‎2‎‎15‎‎4‎=‎‎8‎‎15‎,而‎1‎‎4‎OQ‎=‎‎1‎‎4‎(2‎-‎‎2‎‎15‎),‎ 则DQ‎+‎‎1‎‎4‎OQ为最小值‎=‎8‎‎15‎+‎‎1‎‎4‎(2‎-‎‎2‎‎15‎)‎=‎‎15‎‎+1‎‎2‎.‎ 第26页(共26页)‎