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- 2021-05-10 发布
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《圆》题型分类资料
一. 圆的有关概念:
1.下列说法:①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧,但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧,正确的命题有( )
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列命题是假命题的是( )
A.直径是圆最长的弦 B.长度相等的弧是等弧
C.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧也相等
D.如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3.下列命题正确的是 ( )
A.三点确定一个圆 B.长度相等的两条弧是等弧
C.一个三角形有且只有一个外接圆 D.一个圆只有一个外接三角形
4.下列说法正确的是( )
A.相等的圆周角所对的弧相等 B.圆周角等于圆心角的一半
C.长度相等的弧所对的圆周角相等 D.直径所对的圆周角等于90°
5.下面四个图中的角,为圆心角的是( )
A. B. C. D.
二.和圆有关的角:
1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50,则∠BOC=_________
图1 图2
2.如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数为( )
A.116° B.64° C. 58° D.32°
3. 如图3,点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D的度数为
图3 图4
4. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°,
那么∠BDC=_________度.
5. 如图5,在⊙O中, BC是直径,弦BA,CD的延长线相交于点P,若∠P=50°,则∠AOD= .
图5 图6
6. 如图6,A,B,C,是⊙O上的三个点,若∠AOC=110°,则∠ABC= °.
7.圆的内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠D的度数为 。
8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的,则∠AOB= .
9.如图7,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=________
图7 图8
10.如图8,△ABC是O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设,
(1)当时,求的度数;
(2)猜想与之间的关系为
11.已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,延长BC至E,求证:∠A+∠BCD=180°,∠DCE=∠A;
如图2,若点C在⊙O外,且A、C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系;
如图3,若点C在⊙O内,且A、C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系。
图1 图2 图3
12.如图,四边形ABCD是O的内接四边形,四边形ABCO是菱形
(1)求证:;
(2)求的度数
13.(1)如图O的直径,AC是弦,直线EF和O相切于点C,,垂足为D,求证;
(2)如图(2),若把直线EF向上移动,使得EF与O相交于G,C两点(点C在G的右侧),连结AC,AG,若题中其他条件不变,这时图中是否存在与CAD相等的角?若存在,找出一个这样的角,并证明;若不存在,说明理由。
三.和圆有关的位置关系:
(一)点和圆的位置关系:
1.已知⊙O的半径为4,A为线段PO的中点,当OP =10时,点A与⊙O的位置关系为( )
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定
2. 如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是点P( )。
A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 无法确定
3.如图1,已知的半径为5,点到弦的距离为3,则上到弦所在直线的距离为2的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图1 备用图
4.变式训练:如图1,已知⊙O的半径为5,点到弦的距离为3,则⊙O上到弦所在直线的距离为1的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙O的位置关系是( )
A.点D在⊙A外 B.点D在⊙A上 C.点D在⊙A内 D.无法确定
(二)直线和圆的位置关系:
1.如图,在RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=cm,以点C为圆心,以cm的长为半径,则⊙C与AB的位置关系是 ;
2.如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=,则线段BC的长度等于__________.
3.如图Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点,下列结论中:
①AO=2CO; ②AO=BC; ③以O为圆心,以OC为半径的圆与AB相切;
④延长BC交⊙O于 点D,则A、B、D是⊙O的三等分点,正确的序号是
4.如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③AD=AO;④AB=AC;⑤DE是⊙O切线.正确的是_______________.
5. 如图,∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、2为半径作⊙M. 若点M在OB边上运动,则当OM= 时,⊙M与OA相切;当OM满足 时,⊙M与OA相交;当OM满足 时,⊙M与OA相离.
6. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?为什么?
(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm
7. 已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点, ÐDOC=2ÐACD=90°。
(1) 求证:直线AC是圆O的切线;
(2) 如果ÐACB=75°,圆O的半径为2,求BD的长。
8. 如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长.
9.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,BC=2,以线段BC的中点O为圆心,以OB为半径作圆,连结OA交⊙O于点M。若点E是线段AD的中点,AE=,OA=2,求证:直线AD与⊙O相切。
10. 如图,已知四边形OABC是菱形,∠O的60°,点M是边OA的中点.以点O为圆心,r为半径作⊙O分别交OA,OC于点D,E,连接BM。若BM=,的长是.
求证:直线BC与⊙O相切.
11. 如图,在正方形ABCD中,E是AB边上任意一点,∠ECF=45°,CF交AD于点F,将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP,点P恰好在AD的延长线上.
(1)求证:EF=PF;
(2)直线EF与以C为圆心,CD为半径的圆相切吗?为什么?
12. 如图,已知AB是O的直径,点D在O上,C是O外一点.若AD//OC,直线BC与O相交,判断直线CD与O的位置关系,并说明理由.
13. 如图,□ABCD中,O为AB边上一点,连接OD,OC,以O为圆心,OB为半径画圆,分别交OD,OC于点P,Q.若OB=4,OD=6,∠ADO=∠A,=2π,判断直线DC与⊙O的位置关系,并说明理由.
14. 如图,□ABCD中,O为BC边上一点,OD平分∠ADC,以O为圆心,OC为半径画圆,交OD于点E,若AB=6.□ABCD的面积是42,弧EC=π,判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由.
15. 已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=90°,∠DCB<90°,对角线AC平分∠DCB ,
延长DA,CB相交于点E.
(1)如图1,EB=AD,求证:△ABE是等腰直角三角形;
(2)如图2,连接OE,过点E作直线EF,使得∠OEF=30°.当∠ACE≥30°时,判断直线EF与⊙O
的位置关系,并说明理由.
图1
图2
16.已知直线PA交⊙O于A、B,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
17.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°,CD=,求AE的长。
18.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,H是AC的中点,且OH=1,∠A=30º.
(1)求劣弧的长;
(2)若∠ABD=120º,BD=1,求证:CD是⊙O的切线.
19.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O 于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF。
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)
(2)求证:OD=OE;
(3) PF是⊙O的切线。
20.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F, AE=.
(1)求的长;
(2)若AD=+5,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线 DA方向平
移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由
21.如图在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA=5,OC=3,E为BC的中点,以OE为直径的⊙O′交x轴于D点,过点D作DF⊥AE于点F.
(1)求证: △OCE ≌△ABE;
(2)求证: DF为⊙O′的切线;
(3)在直线BC上是否存在除点E以外的点P,使也是等腰直角三角形,若存在请求出点P的坐标,不存在请说明理由.
22. 如图,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的中,,,BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在的左侧,OC=8cm.当t为何值时,的一边与半圆相切?当的一边与半圆O相切时,如果半圆O与直线DE围成的区域与三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积.
23.如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=,AB=12cm,AD=10cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向D点以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动。设运动时间为t(s)。
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时, PQ与⊙O相切?
四.和圆有关的计算:
(一)有关弦长、半径、弦心距等的计算:
1.半径为5的圆中有两条平行弦,长度分别为4和6,则这两条弦之间的距离是 .
2.如图1,点P是半径为5的⊙O内的一点,且OP=3,设AB是过点P的⊙O内的弦,且AB⊥OP,则弦AB长是 ;
图1 图2
3.在直角坐标系中,一条弧经过网格点A、B、C,其中点B的坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ;
4.如图,⊙的直径为20 cm,弦AB=16 cm,,垂足为.则沿射线方向平移 cm时可与⊙相切.
5.已知,如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,若AB=7,AC=8,BC=9,求AD、BE、CF的长。
6.如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE.
(1)求∠ACB的度数;
(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.
7. 如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,点D在上,,DF⊥AC的延长线,垂足为F,BC=3DF,求的值。
(二)有关弧长的计算:
1.已知扇形的圆心角为120,扇形面积为为,则此扇形的半径为 cm。
2. 一条弧所对的圆心角是135°,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径是_______cm.
3.如图所示为一弯形管道,其中心线是一段圆弧,已知半径OA=6cm,∠AOB=120°,则管道的长度(即的长)为 m.
4..如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,,半径为r的⊙O从点A出发,沿A→B→C 方向滚动到点C时停止。请你根据题意,在图5上画出圆心O运动路径的示意图;圆心O运动的路程是 .
5.一个滑轮起重装置如图2所示,滑轮的半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,取,结果精确到1°)( )
A、 B、 C、 D、
5.在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切,硬币从如图所示的位置开始,在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止,硬币自身滚动的圈数大约是( )
A.1圈 B.2圈 C.3圈 D.4圈
6.已知一个半圆形工件,未搬动前如图11所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,再将它沿地面平移50m,半圆的直径为4m,则圆心O所经过的路线长是 ____________m.(结果用π表示)
7. 如图,边长为2的等边△ABC,按如图方式翻转三次后点B的运动路程是_______________
8.如图,矩形ABCD中AB=1,BC=2,按如图方式旋转2016次后点B的总路程是
(三)有关面积的计算:
1.半径为5,圆心角为45°的扇形的面积为
2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以A、B、C为圆心,以2为半径画弧,三条弧与边AB
所围成的阴影部分面积是 .
3.如图,平行四边形ABCD中,BC=4,BC边上高为3,M为BC中点,若分别以B、C为圆心,BM长为半径画弧,交AB、CD于E、F两点,则图中阴影部分面积是 。(用含π的式子表示)
4.如图,点E是半径为2的半圆O的直径AB上的一个动点,阴影部分的面积为
5.如图,圆心角都是的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连结AC、BD,则图中阴影部分的面积为________________.
6.如图1,正△ABC内接于半径为1的圆,则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
7.如图2,在△ABC中,AB=15,BC=12,AC=9,圆O是△ABC的内切圆,则圆中阴影部分的面积为 .
8.如图3,两个半径为1,圆心角是90°的扇形OAB和扇形O′A′B叠放在一起,点O′在上,四边形OPO′Q是正方形,则阴影部分的面积等于
9.如图,以正方形ABCD的顶点D为圆心画圆,分别交AD,CD两边于点E,F.若∠ABE=15°,BE=2,
则扇形DEF的面积是 .
10.如图,矩形ABCD中, AB=π,点E、F分别为AD、BC的中点,以A为圆心,AE为半径画弧,交BF于点
G,以E为圆心,AE为半径画弧,交FC于点H,交EF的延长线于点M,若两个阴影部分的面积相等,则AD
的长为_______________.
11.如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)过点A作AD⊥MN于点D,交⊙O于点E,已知AB=6,BC=3,求阴影部分的面积.
12.如图,△OAB的底边经过O上的点C,且OA=OB,CA=CB,O与OA、OB分别交于D、E两点。
(1)求证:AB是O的切线;
(2)若D为OA的中点,阴影部分的面积为,求O的半径r。
(四)有关正多边形的计算:
1.如图,已知正六边形的外接圆半径为OA=2,则正六边形的面积是 ;
2.周长相等的正三角形和正六边形的面积比是___________________
3.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为 ( )
A. 2 B. 3 C. D.
4. 如图,正六边形ABCDEF的边长为,延长BA,EF交于点O,以O为原点,以边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则直线DF与直线AE的交点坐标是( , ).