中考数学一模试卷含解析 18页

2016 年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的． 1．数据显示，2015 年全国新建、改扩建校舍约为 51 660 000 平方米，全面改善贫困地区 义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据 51 660 000 用科学记数法表示 应为（ ） A．5.166×107 B．5.166×108 C．51.66×106 D．0.5166×108 2．下列运算中，正确的是（ ） A．x•x3=x3 B．（x2）3=x5 C．x6÷x2=x4 D．（x﹣y）2=x2+y2 3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字 1，2，3，4，5， 现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率 是（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的 10 次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如下 表所示 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.030 0.019 0.121 0.022 则这四人中发挥最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ） A．52° B．38° C．42° D．60° 6．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直 接到达点 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE=CB，连 接 ED．若量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为（ ） A．29 米 B．58 米 C．60 米 D．116 米 7．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣1，2）向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（ ） A．（﹣4，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2） 8．对式子 2a2﹣4a﹣1 进行配方变形，正确的是（ ） A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣ C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3 9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买 20 个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做 奖品．已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 25 元，如果购买金额不超过 200 元，且买的球拍 尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰 Rt△ ABC，使∠BAC=90°，设点 B 的横坐标为 x，设点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．分解因式：ab2﹣ac2=______． 12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与 y 轴的交点坐标为 （0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______． 13．已知一个多边形的每个外角都是 72°，这个多边形是______边形． 14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午 7：00 至 9：00 来往车辆的 车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______． 15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代 数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九 章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五 十．问甲、乙持钱各几何？” 译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数 为 50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为 50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为 x，乙持钱为 y，可列方程组为______． 16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PA+PC=BC． 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下： 甲同学的作法：如图甲：以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则点 P 就是所求 的点．乙同学的作法：如图乙：作线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点．丙 同学的作法：如图丙：以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的 点．丁同学的作法：如图丁：作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点． 请你判断哪位同学的作法正确______； 这位同学作图的依据是______． 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1． 18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19．已知 x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值． 20．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E．若 ∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给 出的条件至少使用一次）． 21．列方程或方程组解应用题： 在“春节”前夕，某花店用 13 000 元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市 场需求情况，该花店又用 6 000 元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一 批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少 10 元．问第二批鲜花每盒的进价是多 少元？ 22．如图：在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E（尺规作图 的痕迹保留在图中了），连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF=6，AB=5，求 AE 的长． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=k1x+b 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，与反比例 函数 y=的图象在第一象限交于点 A（3，1），连接 OA． （1）求反比例函数 y=的解析式； （2）若 S△AOB：S△BOC=1：2，求直线 y=k1x+b 的解析式． 24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学 生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为 n，并按以下规定 分为四档：当 n＜3 时，为“偏少”；当 3≤n＜5 时，为“一般”；当 5≤n＜8 时，为“良 好”；当 n≥8 时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数 n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的 x，y 的值； （3）估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数． 25．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DE⊥PO 交 PO 延长 线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB 是⊙O 的切线． （2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长． 26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质． 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图 1）． 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整： （1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______； （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条 猜想进行证明； （3）如图 2，在筝形 ABCD 中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形 ABCD 的面积． 27．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+3=0． （1）当 m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线 y=mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数时， 求此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若 P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且 y1＞y2，请结合 函数图象直接写出实数 a 的取值范围． 28．如图，等边△ABC，其边长为 1，D 是 BC 中点，点 E，F 分别位于 AB，AC 边上，且∠EDF=120°． （1）直接写出 DE 与 DF 的数量关系； （2）若 BE，DE，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思 路，画出图形，直接给出结果即可） （3）思考：AE+AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由． 29．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 交⊙C 于异于点 P 的 A，B 两点，在 P，A，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段 的中点时，则称点 P 为⊙C 的相邻点，直线 l 为⊙C 关于点 P 的相邻线． （1）当⊙O 的半径为 1 时， ①分别判断在点 D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O 的相邻点有______； ②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图 1 中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你 的作图过程； ③点 P 在直线 y=﹣x+3 上，若点 P 为⊙O 的相邻点，求点 P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=﹣与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上存在⊙C 的相邻点 P，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 2016 年北京市东城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的． 1．数据显示，2015 年全国新建、改扩建校舍约为 51 660 000 平方米，全面改善贫困地区 义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据 51 660 000 用科学记数法表示 应为（ ） A．5.166×107 B．5.166×108 C．51.66×106 D．0.5166×108 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：51 660 000 用科学记数法表示应为 5.166×107， 故选 A． 2．下列运算中，正确的是（ ） A．x•x3=x3 B．（x2）3=x5 C．x6÷x2=x4 D．（x﹣y）2=x2+y2 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的 除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案． 【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 错误； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故 B 错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 正确； D、差的平方等于平方和减积的二倍，故 D 错误； 故选：C． 3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字 1，2，3，4，5， 现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率 是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有 1，3，5，共 3 个，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：∵共有 5 个数字，奇数有 3 个， ∴抽出的数字是奇数的概率是． 故选 C． 4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的 10 次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如下 表所示 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.030 0.019 0.121 0.022 则这四人中发挥最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差． 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定 进行比较即可． 【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121， ∴乙的方差最小， ∴这四人中乙发挥最稳定， 故选：B 5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ） A．52° B．38° C．42° D．60° 【考点】平行线的性质． 【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1． 【解答】解：如图： ∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等）， ∴∠1=90°﹣∠3=52°， 故选 A． 6．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直 接到达点 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE=CB，连 接 ED．若量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为（ ） A．29 米 B．58 米 C．60 米 D．116 米 【考点】全等三角形的应用． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】解：在△ABC 和△DEC 中， ， △ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB=DE=58 米， 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣1，2）向右平移 3 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（ ） A．（﹣4，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移． 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得 B 点坐标，然后再关于 x 轴对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案． 【解答】解：点 A（﹣1，2）向右平移 3 个单位长度得到的 B 的坐标为（﹣1+3，2），即（2， 2）， 则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（2，﹣2）， 故选 D． 8．对式子 2a2﹣4a﹣1 进行配方变形，正确的是（ ） A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣ C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3 【考点】配方法的应用． 【分析】利用完全平方公式进行变形即可． 【解答】解：2a2﹣4a﹣1， =2（a2﹣2a+1）﹣3， =2（a﹣1）2﹣3． 故选：D． 9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买 20 个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做 奖品．已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 25 元，如果购买金额不超过 200 元，且买的球拍 尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】一元一次不等式组的应用． 【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为 x 个，利用购买金额不超过 200 元得到 20× 1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可． 【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为 x 个， 根据题意得 20×1.5+25x≤200， 解得 x≤6.8， 所以 x 的最大整数值为 6， 所以小张同学应该买的球拍的个数是 6 个． 故选 B． 10．如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作等腰 Rt△ ABC，使∠BAC=90°，设点 B 的横坐标为 x，设点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立 y 与 x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的． 【解答】解：作 AD∥x 轴，作 CD⊥AD 于点 D，若右图所示， 由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点 C 的纵坐标是 y， ∵AD∥x 轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°， ∴∠DAO=90°， ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠OAB=∠DAC， 在△OAB 和△DAC 中， ， ∴△OAB≌△DAC（AAS）， ∴OB=CD， ∴CD=x， ∵点 C 到 x 轴的距离为 y，点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x 的距离 1， ∴y=x+1． 故选 A． 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．分解因式：ab2﹣ac2= a（b+c）（b﹣c） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c）， 故答案为：a（b+c）（b﹣c） 12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与 y 轴的交点坐标为 （0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是 y=x﹣1（答案不唯一）． ． 【考点】一次函数图象与系数的关系． 【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与 y 轴的交点确定答案 即可． 【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0， ∴设一次函数的解析式为 y=x+b， ∵经过点（0，﹣1）， ∴b=﹣1， ∴解析式为 y=x﹣1， 故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）． 13．已知一个多边形的每个外角都是 72°，这个多边形是 五 边形． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】任何多边形的外角和是 360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数． 【解答】解：360÷72=5． 故这个多边形是五边形． 故答案为：五． 14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午 7：00 至 9：00 来往车辆的 车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是 70 千米/时 ． 【考点】众数；条形统计图． 【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可； 【解答】解：70 千米/时是出现次数最多的，故众数是 70 千米/时， 故答案为：70 千米/时． 15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代 数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九 章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五 十．问甲、乙持钱各几何？” 译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数 为 50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为 50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为 x，乙持钱为 y，可列方程组为 ． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】设甲持钱为 x，乙持钱为 y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50 元，乙的钱 +甲所有钱的=50 元，据此可列方程组． 【解答】解：设甲持钱为 x，乙持钱为 y， 根据题意，可列方程组：， 故答案为：． 16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P，使得 PA+PC=BC． 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下： 甲同学的作法：如图甲：以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则点 P 就是所求 的点．乙同学的作法：如图乙：作线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点．丙 同学的作法：如图丙：以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的 点．丁同学的作法：如图丁：作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点． 请你判断哪位同学的作法正确 丁同学 ； 这位同学作图的依据是 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换 ． 【考点】作图—复杂作图． 【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案． 【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则 点 P 就是所求的点． 无法得出 AP=BP，故无法得出 PA+PC=BC，故此选项错误； 乙同学的作法：如图乙：作线段 AC 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点． 无法得出 AP=BP，故无法得出 PA+PC=BC，故此选项错误； 丙同学的作法：如图丙：以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交 BC 于点 P，则点 P 就是所求 的点． 无法得出 AP=BP，故无法得出 PA+PC=BC，故此选项错误； 丁同学的作法：如图丁：作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则点 P 就是所求的点， 可得：AP=BP，则 PA+PC=BC． 故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换． 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂 4 个考点．在计 算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1 =+2﹣﹣1﹣2 =﹣1． 18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1， 解不等式，得：x＜3， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3， 不等式组的解集在数轴上的表示如下： 19．已知 x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果， 把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1， 由 x2﹣x﹣3=0，得到 x2﹣x=3， 则原式=﹣3+1=﹣2． 20．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E．若 ∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给 出的条件至少使用一次）． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠ CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论． 【解答】解：∠EAC=75°， ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∵BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， ∴∠ABD=∠CBD=35°， ∵AE∥BD， ∴∠E=∠EAB=35°， ∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°． 21．列方程或方程组解应用题： 在“春节”前夕，某花店用 13 000 元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市 场需求情况，该花店又用 6 000 元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一 批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少 10 元．问第二批鲜花每盒的进价是多 少元？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是 x 元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一 批所购鲜花的，列出方程求解即可． 【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是 x 元，依题意有 =×， 解得 x=120， 经检验：x=120 是原方程的解， 答：第二批鲜花每盒的进价是 120 元． 22．如图：在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E（尺规作图 的痕迹保留在图中了），连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF=6，AB=5，求 AE 的长． 【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图． 【分析】（1）由尺规作∠BAF 的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边 形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF 可得四边形 ABEF 为菱形； （2）根据菱形的性质可得 AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出 AO 的长，进而 可得 AE 的长． 【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF 的角平分线的过程可得 AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=FA， ∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形 ABEF 为菱形； （2）解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO， 在 Rt△AOB 中，AO==4， ∴AE=2AO=8． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=k1x+b 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，与反比例 函数 y=的图象在第一象限交于点 A（3，1），连接 OA． （1）求反比例函数 y=的解析式； （2）若 S△AOB：S△BOC=1：2，求直线 y=k1x+b 的解析式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将点 A 的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于 k2 的一元一次方程，解方 程即可得出结论； （2）分两种情况考虑：①直线 y=k1x+b 经过第一、三、四象限，由 S△AOB：S△BOC=1：2 结合三 角形的面积公式得出点 C 的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线 y=k1x+b 经过第一、二、四象限，由 S△AOB：S△BOC=1：2 结合三角形的面积公式得出点 C 的坐标， 由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式． 【解答】解：（1）将点 A（3，1）代入到 y=中，得 1=， 解得：k2=3． 故反比例函数的解析式为 y=． （2）符合题意有两种情况： ①直线 y=k1x+b 经过第一、三、四象限，如图 1 所示． ∵S△AOB：S△BOC=1：2，点 A（3，1）， ∴点 C 的坐标为（0，﹣2）． 则有，解得：． ∴直线的解析式为 y=x﹣2． ②直线 y=k1x+b 经过第一、二、四象限，如图 2 所示． ∵S△AOB：S△BOC=1：2，点 A（3，1）， ∴点 C 的坐标为（0，2）． 则有，解得：． ∴直线的解析式为 y=﹣x+2． 24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学 生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为 n，并按以下规定 分为四档：当 n＜3 时，为“偏少”；当 3≤n＜5 时，为“一般”；当 5≤n＜8 时，为“良 好”；当 n≥8 时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数 n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的 x，y 的值； （3）估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数． 【考点】扇形统计图；用样本估计总体． 【分析】（1）根据题意当 3≤n＜5 时为“一般”可知一般档次人数为 6+7，结合其所占百分 比为 26%，相除可得总人数； （2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为 5、7 的人数可得 x 的值，将总人数减去其余各项人数可得 y 的值； （3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得． 【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有 13 人，所占比例是 26%， 故被调查的学生数是 13÷26%=50（人）； （2）被调查的学生中“良好”档次的人数为 50×60%=30（人）， ∴x=30﹣（12+7）=11（人）， y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）； （3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%， ∴估计九年级 400 名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）． 25．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DE⊥PO 交 PO 延长 线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB 是⊙O 的切线． （2）若 PB=3，DB=4，求 DE 的长． 【考点】切线的判定与性质． 【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形 DOE 与三角形 POB 相似，利用相似三 角形对应角相等得到∠OBP 为直角，即可得证； （2）在直角三角形 PBD 中，由 PB 与 DB 的长，利用勾股定理求出 PD 的长，由切线长定理得 到 PC=PB，由 PD﹣PC 求出 CD 的长，在直角三角形 OCD 中，设 OC=r，则有 OD=8﹣r，利用勾 股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解得到 r 的值，然后通过相似三角形的性质即可得到 结论． 【解答】（1）证明：∵在△DEO 和△PBO 中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB 为圆的半径， ∴PB 为圆 O 的切线； （2）解：在 Rt△PBD 中，PB=3，DB=4， 根据勾股定理得：PD==5， ∵PD 与 PB 都为圆的切线， ∴PC=PB=3， ∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2， 在 Rt△CDO 中，设 OC=r，则有 DO=4﹣r， 根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22， 解得：r=， ∴OP==， ∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO， ∴△DEP∽△OBP， ∴， ∴DE=． 26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质． 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图 1）． 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整： （1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是 菱形 ； （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条 猜想进行证明； （3）如图 2，在筝形 ABCD 中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形 ABCD 的面积． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据筝形的定义解答即可； （2）根据全等三角形的判定和性质证明； （3）连接 AC，作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于 E，根据正弦的定义求出 CE，根据三角形的面积 公式计算即可． 【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等， ∴菱形是筝形， 故答案为：菱形； （2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等． 已知：四边形 ABCD 是筝形， 求证：∠B=∠D， 证明：如图 1，连接 AC， 在△ABC 和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠B=∠D； （3）如图 2，连接 AC，作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于 E， ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°，又 BC=2， ∴CE=BC×sin∠EBC=， ∴S△ABC=AB×CE=2， ∵△ABC≌△ADC， ∴筝形 ABCD 的面积=2S△ABC=4． 27．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+3=0． （1）当 m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线 y=mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数时， 求此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若 P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且 y1＞y2，请结合 函数图象直接写出实数 a 的取值范围． 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可； （2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出 m 的值，可得抛物线解析式； （3）画出图象，找到当 y1=y2 时，a 的值，根据图象，直接判断即可． 【解答】解：（1）由题意可知，△=b2﹣4ac=（3m+1）2﹣4m×3=（3m﹣1）2＞0， 解得 m≠， ∵mx2+（3m+1）x+3=0 是一元二次方程， ∴m≠0， ∴当 m≠且 m≠0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）有求根公式，得：x==， ∴x1=﹣3，x2=﹣， ∵抛物线与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数， ∴m=1， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3； （3）如图， 当 x=1 时，y=1+4+3=8， 过点 Q 作 y 轴的垂线，交抛物线与点 M， 根据抛物线的对称性，可得：点 M（﹣5，8）， 由图象可知，当 y1＞y2 时，a＞1，或 a＜﹣5． 28．如图，等边△ABC，其边长为 1，D 是 BC 中点，点 E，F 分别位于 AB，AC 边上，且∠EDF=120°． （1）直接写出 DE 与 DF 的数量关系； （2）若 BE，DE，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思 路，画出图形，直接给出结果即可） （3）思考：AE+AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）结论：DE=DF．如图 1 中，连接 AD，作 DN⊥AB，DM⊥AC 垂足分别为 N、M，只 要证明△DNE≌△DMF 即可． （2）能围成三角形，最大内角为 120°．延长 FD 到 M 使得 DF=DM，连接 BM，EM，由△DFC ≌△DMB 得∠C=∠BMD=60°，BM=CF，因为 DE=DF=DM，∠EDM=180°﹣∠EDF=60°， 所以△EDM 是等边三角形，由此不难证明． （3）如图 1 中，先证明△ADN≌△ADM，再证明 AE+AF=2AN，求出 AN 即可解决问题． 【解答】（1）结论：DE=DF． 证明：如图 1 中，连接 AD，作 DN⊥AB，DM⊥AC 垂足分别为 N、M． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵BD=DC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴DN=DM， ∵∠EDF=120°， ∴∠EDF+∠BAC=180°，∠AED+∠AFD=180°， ∵∠AED+∠DEN=180°， ∴∠DFM=∠DEN， 在△DNE 和△DMF 中， ， ∴△DNE≌△DMF， ∴DE=DF． （2）能围成三角形，最大内角为 120°． 证明：如图 2 中，延长 FD 到 M 使得 DF=DM，连接 BM，EM． 在△DFC 和△DMB 中， ， ∴△DFC≌△DMB， ∴∠C=∠MBD=60°，BM=CF， ∵DE=DF=DM，∠EDM=180°﹣∠EDF=60°， ∴△EDM 是等边三角形， ∴EM=DE， ∴EB、ED、CF 能围成△EBM， 最大内角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=120°． （3）如图 1 中，在△ADN 和△ADM 中， ， ∴△ADN≌△ADM， ∴AN=AM， ∴AE+AF=AN﹣EN+AM+MF， 由（1）可知 EN=MF． ∴AE+AF=2AN， ∵BD=DC=，在 RT△BDN 中，∵∠BDN=30°， ∴BN=BD=， ∴AN=AB﹣BN=， ∴AE+AF=． 29．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 交⊙C 于异于点 P 的 A，B 两点，在 P，A，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段 的中点时，则称点 P 为⊙C 的相邻点，直线 l 为⊙C 关于点 P 的相邻线． （1）当⊙O 的半径为 1 时， ①分别判断在点 D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O 的相邻点有 D 或 E ； ②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图 1 中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你 的作图过程； ③点 P 在直线 y=﹣x+3 上，若点 P 为⊙O 的相邻点，求点 P 横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=﹣与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上存在⊙C 的相邻点 P，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2 ﹣1，其中 A 为 PB 的中点，且 AB≤2，所以若半径为 1 的圆 C 有相邻点 P，则 PC 的长必须满 足 0≤PC≤3 且 PC≠1，分别求出 D、E、F 到⊙O 的距离即可判断． （2）求出直线 y=﹣x+3 与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结 论可知，P 的横坐标的取值范围是：0≤x≤3； （3）根据（1）问中可知：0≤PC≤3 且 PC≠1，又因为点 P 在线段 MN 上移动，所以点 C 在 以点 P 为圆心，半径为 3 的圆内，且不能在以点 P 为圆心，半径为 1 的圆上，再根据点 C 在 x 轴上，即可得出 C 的横坐标取值范围． 【解答】解：（1）由定义可知， 当点 P 在⊙C 内时， 由垂径定理可知，点 P 必为⊙C 的相邻点， 此时，0≤PC＜1； 当点 P 在⊙C 外时， 设点 A 是 PB 的中点， 连接 PC 交⊙C 于点 M， 延长 PC 交⊙C 于点 N， 连接 AM，BN， ∵∠AMP+∠NMA=180°， ∠B+∠NMA=180°， ∴∠AMP=∠B， ∵∠P=∠P， ∴△AMP∽△NBP， ∴=， ∴PA•PB=PM•PN， ∵点 A 是 PB 的中点， ∴AB=PA， 又∵⊙C 的半径为 1， ∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN）， ∴2AB2=PC2﹣1， 又∵AB 是⊙C 的弦， ∴AB≤2， ∴2AB2≤8， ∴PC2﹣1≤8， ∴PC2≤9， ∴PC≤3， ∵点 P 在⊙C 外， ∴PC＞1， ∴1＜PC≤3， 当点 P 在⊙C 上时， 此时 PC=1，但不符合题意， 综上所述，半径为 1 的⊙C，当点 P 与圆心 C 的距离满足：0≤PC≤3，且 PC≠1 时，点 P 为 ⊙C 的相邻点； ①∵D（，）， ∴DO==， ∵E（0，﹣）， ∴OE=， ∵F（4，0）， ∴OF=4， ∴D 和 E 是⊙O 的相邻点； ②连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于 A、B 两点； （2）令 x=0 代入 y=﹣x+3， ∴y=3， 令 y=0 代入 y=﹣x+3， ∴x=3， ∴y=﹣x+3 与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0） ∵由于点 P 在直线 y=﹣x+3 上，且点 P 是⊙O 的相邻点， ∴0≤PO≤3，且 PO≠1 又∵点 P 在⊙O 外， ∴1＜PO≤3， ∴p 的横坐标范围为：0≤x≤3； （3）令 x=0 代入 y=﹣x+2， ∴y=2， ∴N（0，2）， 令 y=0 代入 y=﹣x+2， ∴x=6， ∴M（6，0）， ∵点 P 是半径为 1 的⊙C 的相邻点， ∴0≤PC≤3 且 PC≠1， ∴点 C 在以点 P 为圆心，半径为 3 的圆内，且不能在以点 P 为圆心，半径为 1 的圆上， ∵点 C 在 x 轴上， ∴点 C 的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．