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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编考点29与圆有关的位置关系

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‎2018中考数学试题分类汇编:考点29 与圆有关的位置关系 ‎ ‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.(2018•宜宾)在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为(  )‎ A. B. C.34 D.10‎ ‎【分析】设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN,则MN、PM的长度是定值,利用三角形的三边关系可得出NP的最小值,再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论.‎ ‎【解答】解:设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.‎ ‎∵DE=4,四边形DEFG为矩形,‎ ‎∴GF=DE,MN=EF,‎ ‎∴MP=FN=DE=2,‎ ‎∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,‎ ‎∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(2018•泰安)如图,⊙M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是⊙‎ M上的任意一点,PA⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为(  )‎ A.3 B.4 C.6 D.8‎ ‎【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可得.‎ ‎【解答】解:∵PA⊥PB,‎ ‎∴∠APB=90°,‎ ‎∵AO=BO,‎ ‎∴AB=2PO,‎ 若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,‎ 连接OM,交⊙M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,‎ 过点M作MQ⊥x轴于点Q,‎ 则OQ=3、MQ=4,‎ ‎∴OM=5,‎ 又∵MP′=2,‎ ‎∴OP′=3,‎ ‎∴AB=2OP′=6,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(2018•滨州)已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可.‎ ‎【解答】解:如图:连接AO,CO,‎ ‎∵∠ABC=25°,‎ ‎∴∠AOC=50°,‎ ‎∴劣弧的长=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(2018•自贡)如图,若△ABC内接于半径为R的⊙O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC的长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】延长BO交圆于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=R.‎ ‎【解答】解:延长BO交⊙O于D,连接CD,‎ 则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,‎ ‎∴∠CBD=30°,‎ ‎∵BD=2R,‎ ‎∴DC=R,‎ ‎∴BC=R,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(2018•湘西州)已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 ‎【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,则直线和圆相切.‎ ‎【解答】解:∵圆心到直线的距离5cm=5cm,‎ ‎∴直线和圆相切.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(2018•徐州)⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则⊙O1和⊙O2的位置关系是(  )‎ A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 ‎【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系.‎ ‎【解答】解:∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,‎ 则5﹣2=3,‎ ‎∴⊙O1和⊙O2内切.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(2018•台湾)如图,两圆外切于P点,且通过P点的公切线为L,过P点作两直线,两直线与两圆的交点为A、B、C、D,其位置如图所示,若AP=10,CP=9,则下列角度关系何者正确?(  )‎ A.∠PBD>∠PAC B.∠PBD<∠PAC C.∠PBD>∠PDB D.∠PBD<∠PDB ‎【分析】根据大边对大角,平行线的判定和性质即可判断;‎ ‎【解答】解:如图,∵直线l是公切线 ‎∴∠1=∠B,∠2=∠A,‎ ‎∵∠1=∠2,‎ ‎∴∠A=∠B,‎ ‎∴AC∥BD,‎ ‎∴∠C=∠D,‎ ‎∵PA=10,PC=9,‎ ‎∴PA>PC,‎ ‎∴∠C>∠A,‎ ‎∴∠D>∠B.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(2018•内江)已知⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2=4cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是(  )‎ A.外高 B.外切 C.相交 D.内切 ‎【分析】由⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.‎ ‎【解答】解:∵⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,圆心距O1O2为4cm,‎ 又∵2+3=5,3﹣2=1,1<4<5,‎ ‎∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(2018•上海)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是(  )‎ A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7‎ ‎【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.‎ ‎【解答】解:设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,‎ ‎∴AD⊥OP,‎ ‎∵∠O=30°,AD=2,‎ ‎∴OA=4,‎ 当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1,‎ ‎∵BC=3,‎ ‎∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5;‎ 当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2,‎ ‎∴OB=OA+AB=4+2+3=9,‎ ‎∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:5<OB<9,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共7小题)‎ ‎10.(2018•临沂)如图.在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是  cm.‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线,然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,‎ ‎∵在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,‎ ‎∴∠BOC=120°,‎ 作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°,∠BOD=60°,‎ ‎∴BD=,∠OBD=30°,‎ ‎∴OB=,得OB=,‎ ‎∴2OB=,‎ 即△ABC外接圆的直径是cm,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018•内江)已知△ABC的三边a,b,c,满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b,则△ABC的外接圆半径=  .‎ ‎【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值,从而可以求得△ABC的外接圆半径的长.‎ ‎【解答】解:∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b,‎ ‎∴(a﹣1﹣4+4)+(b2﹣10b+25)+|c﹣6|=0,‎ ‎∴(﹣2)2+(b﹣5)2+|c﹣6|=0,‎ ‎∴,b﹣5=0,c﹣6=0,‎ 解得,a=5,b=5,c=6,‎ ‎∴AC=BC=5,AB=6,‎ 作CD⊥AB于点D,‎ 则AD=3,CD=4,‎ 设△ABC的外接圆的半径为r,‎ 则OC=r,OD=4﹣r,OA=r,‎ ‎∴32+(4﹣r)2=r2,‎ 解得,r=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(2018•黄冈)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= 2 .‎ ‎【分析】连接BD.在Rt△ADB中,求出AB,再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题;‎ ‎【解答】解:连接BD.‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠C=∠D=90°,‎ ‎∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,‎ ‎∴∠DAB=30°,‎ ‎∴AB=AD÷cos30°=4,‎ ‎∴AC=AB•cos60°=2,‎ 故答案为2.‎ ‎ ‎ ‎13.(2018•新疆)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,⊙O的半径为2,则图中阴影部的面积是  .‎ ‎【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数,再根据扇形面积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠C=60°,‎ 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,‎ ‎∴阴影部分的面积是=π,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.(2018•扬州)如图,已知⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,则AB= 2 .‎ ‎【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB的度数,然后根据勾股定理即可求得AB的长.‎ ‎【解答】解:连接AD、AE、OA、OB,‎ ‎∵⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,‎ ‎∴∠ADB=45°,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ ‎∵OA=OB=2,‎ ‎∴AB=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎15.(2018•泰安)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O的直径为 4 .‎ ‎【分析】连接OB,OC,依据△BOC是等腰直角三角形,即可得到BO=CO=BC•cos45°=2,进而得出⊙O的直径为4.‎ ‎【解答】解:如图,连接OB,OC,‎ ‎∵∠A=45°,‎ ‎∴∠BOC=90°,‎ ‎∴△BOC是等腰直角三角形,‎ 又∵BC=4,‎ ‎∴BO=CO=BC•cos45°=2,‎ ‎∴⊙O的直径为4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(2018•大庆)已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为 m< .‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法得出直线解析式,再得出平移后得到的直线,求与坐标轴交点的坐标,转化为直角三角形中的问题,再由直线与圆的位置关系的判定解答.‎ ‎【解答】解:把点(12,﹣5)代入直线y=kx得,‎ ‎﹣5=12k,‎ ‎∴k=﹣;‎ 由y=﹣x平移平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m(m>0),‎ 设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B,(如下图所示)‎ 当x=0时,y=m;当y=0时,x=m,‎ ‎∴A(m,0),B(0,m),‎ 即OA=m,OB=m;‎ 在Rt△OAB中,‎ AB=,‎ 过点O作OD⊥AB于D,‎ ‎∵S△ABO=OD•AB=OA•OB,‎ ‎∴OD•=×,‎ ‎∵m>0,解得OD=,‎ 由直线与圆的位置关系可知<6,解得m<.‎ 故答案为:m<.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎17.(2018•福建)如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.‎ ‎(1)求证:BG∥CD;‎ ‎(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.‎ ‎【分析】(1)根据等边对等角得:∠PCB=∠PBC,由四点共圆的性质得:∠BAD+∠BCD=180°,从而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根据平行线的判定得:BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC是⊙O的直径,从而得:∠ADC=∠AGB=90°,根据同位角相等可得结论;‎ ‎(2)先证明四边形BCDH是平行四边形,得BC=DH,根据特殊的三角函数值得:∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以DH=AC,分两种情况:‎ ‎①当点O在DE的左侧时,如图2,作辅助线,构建直角三角形,由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得:∠AMD=∠ABD,则∠ADM=∠BDE,并由DH=OD,可得结论;‎ ‎②当点O在DE的右侧时,如图3,同理作辅助线,同理有∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,∵PC=PB,‎ ‎∴∠PCB=∠PBC,‎ ‎∵四边形ABCD内接于圆,‎ ‎∴∠BAD+∠BCD=180°,‎ ‎∵∠BCD+∠PCB=180°,‎ ‎∴∠BAD=∠PCB,‎ ‎∵∠BAD=∠BFD,‎ ‎∴∠BFD=∠PCB=∠PBC,‎ ‎∴BC∥DF,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠DEB=90°,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∴AC是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∵BG⊥AD,‎ ‎∴∠AGB=90°,‎ ‎∴∠ADC=∠AGB,‎ ‎∴BG∥CD;‎ ‎(2)由(1)得:BC∥DF,BG∥CD,‎ ‎∴四边形BCDH是平行四边形,‎ ‎∴BC=DH,‎ 在Rt△ABC中,∵AB=DH,‎ ‎∴tan∠ACB==,‎ ‎∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,‎ ‎∴∠ADB=60°,BC=AC,‎ ‎∴DH=AC,‎ ‎①当点O在DE的左侧时,如图2,作直径DM,连接AM、OH,则∠DAM=90°,‎ ‎∴∠AMD+∠ADM=90°‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴∠BED=90°,‎ ‎∴∠BDE+∠ABD=90°,‎ ‎∵∠AMD=∠ABD,‎ ‎∴∠ADM=∠BDE,‎ ‎∵DH=AC,‎ ‎∴DH=OD,‎ ‎∴∠DOH=∠OHD=80°,‎ ‎∴∠ODH=20°‎ ‎∵∠AOB=60°,‎ ‎∴∠ADM+∠BDE=40°,‎ ‎∴∠BDE=∠ADM=20°,‎ ‎②当点O在DE的右侧时,如图3,作直径DN,连接BN,‎ 由①得:∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,‎ ‎∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°,‎ 综上所述,∠BDE的度数为20°或40°.‎ ‎ ‎ ‎18.(2018•温州)如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在BD上.‎ ‎(1)求证:AE=AB.‎ ‎(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.‎ ‎【分析】(1)由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC,结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD,从而得出AB=AC,据此得证;‎ ‎(2)作AH⊥BE,由AB=AE且BE=2知BH=EH=1,根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==,据此得AC=AB=3,利用勾股定理可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由折叠的性质可知,△ADE≌△ADC,‎ ‎∴∠AED=∠ACD,AE=AC,‎ ‎∵∠ABD=∠AED,‎ ‎∴∠ABD=∠ACD,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∴AE=AB;‎ ‎(2)如图,过A作AH⊥BE于点H,‎ ‎∵AB=AE,BE=2,‎ ‎∴BH=EH=1,‎ ‎∵∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB=,‎ ‎∴cos∠ABE=cos∠ADB=,‎ ‎∴=.‎ ‎∴AC=AB=3,‎ ‎∵∠BAC=90°,AC=AB,‎ ‎∴BC=3.‎ ‎ ‎ ‎19.(2018•天门)如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.‎ ‎(1)判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.‎ ‎【分析】(1)连接OC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME,所以∠G=∠1,接着证明∠1+∠2=90°,从而得到∠OCM=90°,然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线;‎ ‎(2)先证明∠G=∠A,再证明∠EMC=∠4,则可判定△EFC∽△ECM,利用相似比先计算出CE,再计算出EF,然后计算ME﹣EF即可.‎ ‎【解答】解:(1)CM与⊙O相切.理由如下:‎ 连接OC,如图,‎ ‎∵GD⊥AO于点D,‎ ‎∴∠G+∠GBD=90°,‎ ‎∵AB为直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵M点为GE的中点,‎ ‎∴MC=MG=ME,‎ ‎∴∠G=∠1,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴∠B=∠2,‎ ‎∴∠1+∠2=90°,‎ ‎∴∠OCM=90°,‎ ‎∴OC⊥CM,‎ ‎∴CM为⊙O的切线;‎ ‎(2)∵∠1+∠3+∠4=90°,∠5+∠3+∠4=90°,‎ ‎∴∠1=∠5,‎ 而∠1=∠G,∠5=∠A,‎ ‎∴∠G=∠A,‎ ‎∵∠4=2∠A,‎ ‎∴∠4=2∠G,‎ 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G,‎ ‎∴∠EMC=∠4,‎ 而∠FEC=∠CEM,‎ ‎∴△EFC∽△ECM,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴CE=4,EF=,‎ ‎∴MF=ME﹣EF=6﹣=.‎ ‎ ‎ ‎20.(2018•泰州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠‎ ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.‎ ‎(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【分析】(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°,进而得出答案;‎ ‎(2)利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)DE与⊙O相切,‎ 理由:连接DO,‎ ‎∵DO=BO,‎ ‎∴∠ODB=∠OBD,‎ ‎∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,‎ ‎∴∠EBD=∠DBO,‎ ‎∴∠EBD=∠BDO,‎ ‎∴DO∥BE,‎ ‎∵DE⊥BC,‎ ‎∴∠DEB=∠EDO=90°,‎ ‎∴DE与⊙O相切;‎ ‎(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BE,DF⊥AB,‎ ‎∴DE=DF=3,‎ ‎∵BE=3,‎ ‎∴BD==6,‎ ‎∵sin∠DBF==,‎ ‎∴∠DBA=30°,‎ ‎∴∠DOF=60°,‎ ‎∴sin60°===,‎ ‎∴DO=2,‎ 则FO=,‎ 故图中阴影部分的面积为:﹣××3=2π﹣.‎ ‎ ‎