勾股定理中考十三大考点经典 9页

‎ ‎ ‎《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点：‎ ‎1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。‎ 公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。‎ ‎2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.‎ 该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：‎ ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.‎ ‎②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.‎ ‎③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.‎ ‎④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。‎ ‎3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：‎ ‎（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 )‎ ‎(9，12，15 ) ‎ 4、 最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 ‎ ‎ ‎ 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 ‎1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．‎ 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ ‎2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．‎ ‎3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）‎ A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1‎ ‎4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。‎ ‎ ‎ 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 ‎ ‎1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．‎ ‎2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 ‎ ‎ ‎3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． ‎ ‎4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）‎ A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍 ‎5、在Rt△ABC中，∠C=90°‎ ‎①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；‎ ‎ 6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）‎ ‎ A、2n B、n+1 C、n2－1 D、‎ ‎7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. C. D.以上都有可能 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ ‎8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）‎ ‎ A、24 B、36 C、48 D、60‎ ‎9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） ‎ A、5 B、25 C、7 D、15 ‎ 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD的长；②ΔABC的面积．‎ 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 ‎1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）‎ A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17‎ ‎2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）‎ ‎ A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7‎ ‎3、下面的三角形中：‎ ‎①△ABC中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；‎ ‎③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17．‎ 其中是直角三角形的个数有（ ）．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 ‎5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ ‎6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )‎ A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 ‎7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。‎ ‎8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。‎ 例3：求 ‎（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。‎ ‎（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为 。‎ 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        ．‎ 考点七：折叠问题 ‎1、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．‎ 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ 3、 折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。‎ A B C E F D ‎4、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。‎ ‎（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长 ‎5、 如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．‎ ‎ ‎ ‎ 2-5‎ ‎12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 ‎ 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点九、图形问题 ‎1、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = ，AB = +1，则边BC的长为 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 ‎. ‎ 考点十：其他图形与直角三角形 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ 如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。‎ 考点十一：与展开图有关的计算 ‎1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．‎ ‎2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm 考点十二、航海问题 ‎1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．‎ ‎2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。‎ ‎ ‎ 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ 考点十三、网格问题 ‎1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 ‎3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )‎ A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5‎ ‎ ‎ ‎ （图1） （图2） （图3）‎ ‎4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：‎ ‎①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；‎ ‎②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．‎ 9‎ 第9页—总9页 ‎ ‎ ‎ ‎ 9‎ 第9页—总9页