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  • 2021-05-10 发布

初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型

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中点模型 授课日期 时 间 主 题 中点模型 教学内容 学习过中位线之后,你能否总结一下,目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关?‎ 直角三角形中点你想到了什么,等腰三角形中点你想到了什么,一般三角形中点你又想到了什么?‎ ‎1. 直角三角形斜边中线定理:‎ 如图,在中,,为中点,则有:。‎ ‎2. 三线合一:‎ 在中:(1);(2)平分;(3),(4).‎ ‎“知二得二”:比如由(2)(3)可得出(1)(4).也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出余下两条。‎ ‎3. 中位线定理:如图,在中,若,,则且。‎ ‎4. 中线倍长(倍长中线):‎ 如图(左图),在中,为中点,延长到使,联结,则有:≌。‎ 作用:转移线段和角。‎ ‎ ‎ 例1: 如图所示,已知为中点,点在上,且,求证:.‎ 提示:用倍长中线法,借助等腰三角形和全等三角形证明 试一试:如图,已知在中,是边上的中线,是上一点,且,延长交于,求证:。‎ 证明:延长DE至点G,使得ED=DG,联结CG 类比倍长中线易得:△BDE≌△CDG 所以∠BED=∠DGC,BE=CG 因为BE=AC,所以AC=GC 所以∠EAC=∠DGC,‎ 因为∠BED=AEF 所以∠AEF=∠FAE 所以AF=EF 例2:如图,已知中,为高线,点是的中点,点是的中点..求证: 。‎ 证明:联结EM、DM 在Rt△BEC中,在Rt△BDC中 所以EM=DM,又因为EN=ND,所以 例3:如图,在中,为的平分线,为的中点,,‎ 求证:。‎ 证明:延长FM至点G,使得FM=MG,联结BG 类比倍长中线易得:△BMG≌△CMF 所以∠G=∠CFM,BG=CF 因为AD∥EM,所以∠BAD=∠E,∠DAF=∠EFA 因为∠BAD=∠DAC,∠AFE=∠CFM 所以∠E=∠AFE=∠CFM=∠G 所以BE=BG=CF,AE=AF 因为AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE=2BE 所以 试一试:如图所示,在中,,为的中点,是的平分线,若且交的延长线于,求证:。 ‎ 提示:延长AB,CF交于点E,证明出BE=AC-AB,再根据中位线的性质就可得证 ‎1. 在梯形中,,,为的中点,求证:‎ 提示:延长AE、BC交于点F,‎ 易证△ADE≌△FCE,得AD=CF,AE=EF。‎ 因为,所以AB=BF,‎ 所以AE⊥BE ‎2. 如图,已知:中,是的中点,。求证:‎ 证明:延长ED至点G,使得ED=DG,联结CG、FG 因为 ,所以△BDE≌△CDG 所以∠B=∠DCG,BE=CG 因为,所以∠B+∠ACB=∠DCG+∠ACB=90°‎ 所以 因为,ED=DG,所以EF=FG 所以 ‎3. 如图,在正方形中,是中点,联结,作交于点,交于点,‎ 求证:。‎ 提示:延长DA、CF交于点G 易证:△AFG≌△BFC,所以AG=BC=AD 因为,所以 ‎ ‎4. 如图,在四边形中,,分别是的中点,的延长线分别交的延长线。 求证:. ‎ 证明:联结BD,取BD的中点M,再分别联结ME、MF,‎ ‎∵E、F分别是DC、AB边的中点,‎ ‎∴ME∥CD, EM=CD, MF∥BA,MF=BA.‎ ‎∵AB=CD,∴EM=MF, ∴∠MEF=∠MFE.‎ ‎∵EM∥CH,∴∠MEF=∠CHE ‎∵FM∥BG,∴∠MFE=∠BGE ‎∴∠CHF=∠BGE;‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 如图,平行四边形中,对角线、相交于点,,、、分别是、、 的中点。求证:(1)(2).‎ 提示:(1)等腰三角形三线合一可得 ‎ (2)中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得 ‎2. 已知:和都是直角三角形,点在上,且,如图,联结,设为的中点,联结。求证:。‎ 证明:延长CM、DB交于点F 因为,所以 所以CE∥DB,所以,‎ 因为DM=ME,所以△DMF≌△EMC,所以CM=MF 因为,所以BM=CM ‎【预习思考】‎ ‎1. 角平分线的性质定理:‎ ‎2. 角平分线的性质定理逆定理:‎ ‎3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关?‎ 学习过中位线之后,你能否总结一下,目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关?‎ 直角三角形中点你想到了什么,等腰三角形中点你想到了什么,一般三角形中点你又想到了什么?‎