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  • 2021-05-10 发布

2017中考数学分类试题旋转综合题

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‎2017中考数学分类试题 旋转综合题 ‎2017年10月1--5日 ‎1. (2017年郴州市)如图,△ABC是边长为‎4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=‎6cm,点D从点O出发,沿OM的方向以‎1cm/s的速度运动,当D不与点A重合是,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.‎ ‎ (1)求证:是等边三角形;‎ ‎ (2)当时,的周长是否存在最小值?若存在,求出的最小周长;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)当点在射线上运动时,是否存在以为顶点的三角形是直角三角形?‎ 若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)由旋转的性质得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到结论;‎ ‎(2)当6<t<10时,由旋转的性质得到BE=AD,于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,于是得到结论;‎ ‎(3)存在,①当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,②当0≤t<6时,由旋转的性质得到∠ABE=60°,∠BDE<60°,求得∠BED=90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2,于是得到t=2÷1=2s;③当6<t<10s时,此时不存在;④当t>10s时,由旋转的性质得到∠DBE=60°,求得∠BDE>60°,于是得到t=14÷1=14s.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,‎ ‎∴∠DCE=60°,DC=EC,‎ ‎∴△CDE是等边三角形;‎ ‎(2)存在,当6<t<10时,‎ 由旋转的性质得,BE=AD,‎ ‎∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,‎ 由(1)知,△CDE是等边三角形,‎ ‎∴DE=CD,‎ ‎∴C△DBE=CD+4,‎ 由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,‎ 此时,CD=‎2‎cm,‎ ‎∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4;‎ ‎(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,‎ ‎∴当点D与点B重合时,不符合题意,‎ ‎②当0≤t<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,‎ ‎∴∠BED=90°,‎ 由(1)可知,△CDE是等边三角形,‎ ‎∴∠DEB=60°,‎ ‎∴∠CEB=30°,‎ ‎∵∠CEB=∠CDA,‎ ‎∴∠CDA=30°,‎ ‎∵∠CAB=60°,‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=30°,‎ ‎∴DA=CA=4,‎ ‎∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,‎ ‎∴t=2÷1=2s;‎ ‎③当6<t<10s时,由∠DBE=120°>90°,‎ ‎∴此时不存在;‎ ‎④当t>10s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,‎ 又由(1)知∠CDE=60°,‎ ‎∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,‎ 而∠BDC>0°,‎ ‎∴∠BDE>60°,‎ ‎∴只能∠BDE=90°,‎ 从而∠BCD=30°,‎ ‎∴BD=BC=4,‎ ‎∴OD=‎14cm,‎ ‎∴t=14÷1=14s,‎ 综上所述:当t=2或14s时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•河南22题)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.‎ ‎(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是   ,位置关系是   ;‎ ‎(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;‎ ‎(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.‎ ‎【考点】RB:几何变换综合题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论;‎ ‎(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;‎ ‎(3)先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵点P,N是BC,CD的中点,‎ ‎∴PN∥BD,PN=BD,‎ ‎∵点P,M是CD,DE的中点,‎ ‎∴PM∥CE,PM=CE,‎ ‎∵AB=AC,AD=AE,‎ ‎∴BD=CE,‎ ‎∴PM=PN,‎ ‎∵PN∥BD,‎ ‎∴∠DPN=∠ADC,‎ ‎∵PM∥CE,‎ ‎∴∠DPM=∠DCA,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ADC+∠ACD=90°,‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,‎ ‎∴PM⊥PN,‎ 故答案为:PM=PN,PM⊥PN,‎ ‎(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE,‎ ‎∵AB=AC,AD=AE,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS),‎ ‎∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,‎ 同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,‎ ‎∴PM=PN,‎ ‎∴△PMN是等腰三角形,‎ 同(1)的方法得,PM∥CE,‎ ‎∴∠DPM=∠DCE,‎ 同(1)的方法得,PN∥BD,‎ ‎∴∠PNC=∠DBC,‎ ‎∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ACB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠MPN=90°,‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形,‎ ‎(3)如图2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,‎ ‎∴MN最大时,△PMN的面积最大,‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面,‎ ‎∴MN最大=AM+AN,‎ 连接AM,AN,‎ 在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,‎ ‎∴AM=2,‎ 在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,‎ ‎∴MN最大=2+5=7,‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.‎ ‎【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质,解(1)的关键是判断出PM=CE,PN=BD,解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE,解(3)的关键是判断出MN最大时,△PMN的面积最大,是一道基础题目.‎ ‎3. (2017年十堰市)已知为直线上一点,,在等腰中,,交于,为的中点,交于.‎ ‎(1)如图1,若点在上,则① (填“”,“”或“”);②线段、、满足的等量关系式是 ;‎ ‎(2)将图1中的等腰绕点顺时针旋转(),如图2,那么(1)中的结论②是否成立?请说明理由;‎ ‎(3)将图1中的等腰绕点顺时针旋转(),请你在图3中画出图形,并直接写出线段、、满足的等量关系式 .‎