- 443.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年湖北省黄石市大冶市金湖街办中考数学模拟试卷
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.在数﹣3,﹣2,0,3中,大小在﹣1和2之间的数是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.0 D.3
2.下列运算正确的是( )
A.a3+a3=2a6 B.(x2)3=x5 C.2a6÷a3=2a2 D.x3•x2=x5
3.2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为( )
A.0.6×1013元 B.60×1011元 C.6×1012元 D.6×1013元
4.下列四个立体图形中,左视图为矩形的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
5.某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图,用一个半径为30cm,面积为300πcm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为( )
A.5cm B.10cm C.20cm D.5πcm
8.在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.m> B.m< C.m≥ D.m≤
9.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1,则原抛物线的解析式不可能的是( )
A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17
10.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知a+b=3,a﹣b=5,则代数式a2﹣b2的值是 .
12.在函数中,自变量x的取值范围是 .
13.二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 .
14.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是 .
15.从2、3、4、5中任意选两个数,记作a和b,那么点(a,b)在函数y=图象上的概率是 .
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=﹣x﹣1,双曲线y=,在l上取一点A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2,请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,An,…记点An的横坐标为an,若a1=2,则a2= ,a2016= ;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不可能取的值是 .
三、解答题(本题有19个小题,共72分)
17.计算:﹣+|﹣|+2sin45°+π0+()﹣1.
18.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.
19.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径r.
20.解方程组:.
21.在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;
(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是:三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.
22.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题:
(1)求A、C之间的距离;(参考数据=4.6)
(2)若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间到达武昌客运站,小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间)
23.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
24.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若==2,求的值;
(3)若==n,当n为何值时,MN∥BE?
25.如图,已知双曲线y=与直线y=x相交于A、B两点,点C(2,2)、D(﹣2,﹣2)在直线y=x上.
(1)若点P(1,m)为双曲线y=上一点,求PD﹣PC的值(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N两点间的距离为)
(2)若点P(x,y)(x>0)为双曲线上一动点,请问PD﹣PC的值是否为定值?请说明理由.(参考公式:若a≥0,b≥0,则a+b≥2)
(3)若点P(x,y)(x>0)为双曲线上一动点,连接PC并延长PC交双曲线另一点E,当P点使得PE=4时,求P的坐标.
2016年湖北省黄石市大冶市金湖街办中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.在数﹣3,﹣2,0,3中,大小在﹣1和2之间的数是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.0 D.3
【考点】有理数大小比较.
【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可.
【解答】解:根据0大于负数,小于正数,可得0在﹣1和2之间,
故选:C.
2.下列运算正确的是( )
A.a3+a3=2a6 B.(x2)3=x5 C.2a6÷a3=2a2 D.x3•x2=x5
【考点】整式的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项的法则,幂的乘方,单项式乘单项式,单项式除以单项式的法则进行解答..
【解答】解:A、应为a3+a3=2a3,故本选项错误;
B、应为(x2)3=x6,故本选项错误;
C、应为2a6÷a3=2a3,故本选项错误;
D、x3•x2=x5正确.
故选D.
3.2015年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为( )
A.0.6×1013元 B.60×1011元 C.6×1012元 D.6×1013元
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将6万亿用科学记数法表示为:6×1012.
故选:C.
4.下列四个立体图形中,左视图为矩形的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
【考点】简单几何体的三视图.
【分析】根据左视图是分别从物体左面看,所得到的图形,即可解答.
【解答】解:长方体左视图为矩形;球左视图为圆;圆锥左视图为三角形;圆柱左视图为矩形;
因此左视图为矩形的有①④.
故选:B.
5.某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【考点】中位数;算术平均数.
【分析】本题可先算出x的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最中间的数,即为中位数.
【解答】解:∵某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,
∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3,
∴这一组数从小到大排列为:3,4,4,5,6,6,7,
∴这组数据的中位数是:5.
故选C.
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
【分析】根据不等式的基本性质来解不等式组,两个不等式的解集的交集,就是该不等式组的解集;然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示.
【解答】解:不等式组的解集是﹣1≤x≤3,其数轴上表示为:
故选B
7.如图,用一个半径为30cm,面积为300πcm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为( )
A.5cm B.10cm C.20cm D.5πcm
【考点】圆锥的计算.
【分析】由圆锥的几何特征,我们可得用半径为30cm,面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,则圆锥的底面周长等于扇形的弧长,据此求得圆锥的底面圆的半径.
【解答】解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容器底面半径为r,
则由题意得R=30,由Rl=300π得l=20π;
由2πr=l得r=10cm;
故选B.
8.在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.m> B.m< C.m≥ D.m≤
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】首先根据当x1<0<x2时,有y1<y2则判断函数图象所在象限,再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围.
【解答】解:∵x1<0<x2时,y1<y2,
∴反比例函数图象在第一,三象限,
∴1﹣3m>0,
解得:m<.
故选B.
9.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1,则原抛物线的解析式不可能的是( )
A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据图象左移加,右移减,图象上移加,下移减,可得答案.
【解答】解:A、y=x2﹣1,先向上平移1个单位得到y=x2,再向上平移1个单位可以得到y=x2+1,故A正确;
B、y=x2+6x+5=(x+3)2﹣4,无法经两次简单变换得到y=x2+1,故B错误;
C、y=x2+4x+4=(x+2)2,先向右平移2个单位得到y=(x+2﹣2)2=x2,再向上平移1个单位得到y=x2+1,故C正确;
D、y=x2+8x+17=(x+4)2+1,先向右平移2个单位得到y=(x+4﹣2)2+1=(x+2)2+1,再向右平移2个单位得到y=x2+1,故D正确.
故选:B.
10.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q,然后结合函数图象进行判断.利用排除法即可得出答案.
【解答】解:A、假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;
B、假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;
C、,
假设这个位置在点P,则由函数图象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离,而点P不符合这个条件,故本选项错误;
D、经判断点Q符合函数图象,故本选项正确;
故选:D.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知a+b=3,a﹣b=5,则代数式a2﹣b2的值是 15 .
【考点】平方差公式.
【分析】原式利用平方差公式化简,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:∵a+b=3,a﹣b=5,
∴原式=(a+b)(a﹣b)=15,
故答案为:15
12.在函数中,自变量x的取值范围是 x≥ .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
【解答】解:根据题意得,2x﹣3≥0,
解得x≥.
故答案为:x≥.
13.二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 (1,﹣2) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其顶点的坐标.
【解答】解:∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣(x2﹣2x+1)﹣2
=﹣(x﹣1)2﹣2,
故顶点的坐标是(1,﹣2).
故答案为(1,﹣2).
14.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D,若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是 8 .
【考点】切线的性质.
【分析】如图,连接OC,在在Rt△ACO中,由tan∠OAB=,求出AC即可解决问题.
【解答】解:如图,连接OC.
∵AB是⊙O切线,
∴OC⊥AB,AC=BC,
在Rt△ACO中,∵∠ACO=90°,OC=OD=2
tan∠OAB=,
∴=,
∴AC=4,
∴AB=2AC=8,
故答案为8
15.从2、3、4、5中任意选两个数,记作a和b,那么点(a,b)在函数y=图象上的概率是 .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与点(a,b)在函数y=图象上的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,点(a,b)在函数y=图象上的有(3,4),(4,3);
∴点(a,b)在函数y=图象上的概率是: =.
故答案为:.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=﹣x﹣1,双曲线y=,在l上取一点A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2
,请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,An,…记点An的横坐标为an,若a1=2,则a2= ﹣ ,a2016= ﹣ ;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不可能取的值是 0或﹣1 .
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】根据点的寻找规律,列出部分an值,可以发现规律“a3n+1=a1,a3n+2=﹣,a3n=﹣(n为正整数)”,根据该规律即可解决问题.
【解答】解:当a1=2时,a2=﹣,a3=﹣,a4=2,…,
∴a3n+1=2,a3n+2=﹣,a3n=﹣(n为正整数).
∵2016=3×672,
∴a2016=﹣.
观察,发现:a1,a2=﹣1﹣=﹣,a3=﹣1﹣=﹣,a4=﹣1﹣=a1,…,
∴a3n+1=a1,a3n+2=﹣,a3n=﹣(n为正整数).
若要an有意义,只需a1≠0,a1+1≠0.
即a1≠0且a1≠﹣1.
故答案为:﹣;﹣;0或﹣1.
三、解答题(本题有19个小题,共72分)
17.计算:﹣+|﹣|+2sin45°+π0+()﹣1.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】原式第一项化为最简二次根式,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣2++2×+1+2=3.
18.先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=•
=,
当x=﹣1时,原式==.
19.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径r.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OA、OD,求出∠D+∠OFD=90°,推出∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,求出∠OAD+∠CAF=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)OD=r,OF=8﹣r,在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+(8﹣r)2=()2,求出即可.
【解答】(1)证明:
连接OA、OD,
∵D为弧BE的中点,
∴OD⊥BC,
∠DOF=90°,
∴∠D+∠OFD=90°,
∵AC=FC,OA=OD,
∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,
∵∠CFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,
∴OA⊥AC,
∵OA为半径,
∴AC是⊙O切线;
(2)解:∵⊙O半径是r,
∴OD=r,OF=8﹣r,
在Rt△DOF中,r2+(8﹣r)2=()2,
r=6,r=2(舍),当r=2时,OB=OE=2,OF=BF﹣OB=8﹣2=6>OE,∴y舍去;
即⊙O的半径r为6.,
20.解方程组:.
【考点】高次方程.
【分析】由①得y=x﹣③,把③代入②得:x2﹣=1,求出x的值,把x的值代入③求出y即可.
【解答】解:,
由①得:y=x﹣③,
把③代入②得:x2﹣=1,
解得:x1=﹣3,x2=1,
代入③得:y1=﹣4,y2=0,
即方程组的解是,.
21.在阳光体育活动时间,小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球,当时只有一副空球桌,他们只能选两人打第一场.
(1)如果确定小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求恰好选中大刚的概率;
(2)如果确定小亮做裁判,用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场.游戏规则是:三人同时伸“手心、手背”中的一种手势,如果恰好有两人伸出的手势相同,那么这两人上场,否则重新开始,这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的,请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率.
【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【分析】(1)由小亮打第一场,再从其余三人中随机选取一人打第一场,求出恰好选中大刚的概率即可;
(2)画树状图得出所有等可能的情况数,找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)∵确定小亮打第一场,
∴再从小莹,小芳和大刚中随机选取一人打第一场,恰好选中大刚的概率为;
(2)列表如下:
所有等可能的情况有8种,其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不同的结果有2个,
则小莹与小芳打第一场的概率为=.
22.小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题:如图,以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km,∠ABC=120°.请你帮助小明解决以下问题:
(1)求A、C之间的距离;(参考数据=4.6)
(2)若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h,城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间到达武昌客运站,小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间)
【考点】勾股定理的应用.
【分析】(1)过点C作AB的垂线,交AB的延长线于E点,利用勾股定理求得AC的长即可;
(2)分别求得乘车时间,然后比较即可得到答案.
【解答】解:(1)过点C作AB的垂线,交AB的延长线于E点,
∵∠ABC=120°,BC=20,
∴BE=10,
在△ACE中,
∵AC2=8100+300,
∴;
(2)乘客车需时间(小时);
乘列车需时间(小时);
∴选择城际列车.
23.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可;
(3)利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数,求得最值即可.
【解答】解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,
∵y=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
∴
∴,
∴这个一次函数的表达式为;y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);
(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,
∵经过点(0,120)与,
∴,
解得:,
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120(0≤x≤130),
设产量为xkg时,获得的利润为W元,
当0≤x≤90时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣(﹣0.2x+60)]=﹣0.4(x﹣75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
当90≤x≤130时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣42]=﹣0.6(x﹣65)2+2535,
由﹣0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴90≤x≤130时,W≤2160,
∴当x=90时,W=﹣0.6(90﹣65)2+2535=2160,
因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.
24.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若==2,求的值;
(3)若==n,当n为何值时,MN∥BE?
【考点】相似形综合题;全等三角形的判定与性质;矩形的性质.
【分析】(1)如图1,易证△BMF≌△ECF,则有BM=EC,然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC;
(2)如图2,设MB=a,易证△ECF∽△BMF,根据相似三角形的性质可得EC=2a,由此可得AB=4a,AM=3a,BC=AD=2a.易证△AMN∽△BCM,根据相似三角形的性质即可得到AN=a,从而可得ND=AD﹣AN=a,就可求出的值;
(3)如图3,设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.由MN∥BE,MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°,从而可证到△MBC∽△BCE,然后根据相似三角形的性质即可求出n的值.
【解答】解:(1)当F为BE中点时,如图1,
则有BF=EF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴∠MBF=∠CEF,∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中,
,
∴△BMF≌△ECF,
∴BM=EC.
∵E为CD的中点,
∴EC=DC,
∴BM=EC=DC=AB,
∴AM=BM=EC;
(2)如图2,
设MB=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AB∥DC,
∴△ECF∽△BMF,
∴==2,
∴EC=2a,
∴AB=CD=2CE=4a,AM=AB﹣MB=3a.
∵=2,
∴BC=AD=2a.
∵MN⊥MC,
∴∠CMN=90°,
∴∠AMN+∠BMC=90°.
∵∠A=90°,
∴∠ANM+∠AMN=90°,
∴∠BMC=∠ANM,
∴△AMN∽△BCM,
∴=,
∴=,
∴AN=a,ND=AD﹣AN=2a﹣a=a,
∴==3;
(3)当==n时,如图3,
设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.
∵MN∥BE,MN⊥MC,
∴∠EFC=∠HMC=90°,
∴∠FCB+∠FBC=90°.
∵∠MBC=90°,
∴∠BMC+∠FCB=90°,
∴∠BMC=∠FBC.
∵∠MBC=∠BCE=90°,
∴△MBC∽△BCE,
∴=,
∴=,
∴n=4.
25.如图,已知双曲线y=与直线y=x相交于A、B两点,点C(2,2)、D(﹣2,﹣2)在直线y=x上.
(1)若点P(1,m)为双曲线y=上一点,求PD﹣PC的值(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N两点间的距离为)
(2)若点P(x,y)(x>0)为双曲线上一动点,请问PD﹣PC的值是否为定值?请说明理由.(参考公式:若a≥0,b≥0,则a+b≥2)
(3)若点P(x,y)(x>0)为双曲线上一动点,连接PC并延长PC交双曲线另一点E,当P点使得PE=4时,求P的坐标.
【考点】反比例函数综合题;高次方程;根与系数的关系;反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)只需求出点P的坐标,然后用两点间的距离公式就可求出PD﹣PC的值;
(2)由题可得点P(x,),然后运用两点间的距离公式可得PD=|x++2|,PC=|x+﹣2|.由x>0可推出x++2>0,x+﹣2>0,从而可求出PD﹣PC的值;
(3)设直线PE的解析式为y=kx+b,由点C(2,2)在直线PE上可得b=2﹣2k,即得直线PE的解析式为y=kx+2﹣2k,则x1、x2是方程kx+2﹣2k=即kx2+(2﹣2k)x﹣2=0的两根,然后结合条件PE=4,运用两点间的距离公式和根与系数的关系求出k的值,代入方程kx2+(2﹣2k)x﹣2=0,解这个方程就可得到点P的坐标.
【解答】解:(1)∵点P(1,m)为双曲线y=上一点,
∴m=2,P(1,2).
∵C(2,2)、D(﹣2,﹣2),
∴PD==5,
PC==1,
∴PD﹣PC=5﹣1=4;
(2)PD﹣PC的值是定值4.
理由:∵点P(x,y)(x>0)为双曲线y=上一动点,
∴y=,P(x,),
∴PD==
===|x++2|.
同理PC=|x+﹣2|.
∵x>0,∴>0,
∴x++2>0,x+≥2=2,
∴x+﹣2>0,
∴PD﹣PC=(x++2)﹣(x+﹣2)=4;
(3)设直线PE的解析式为y=kx+b,
∵点C(2,2)在直线PE上,
∴2k+b=2,
∴b=2﹣2k,
∴直线PE的解析式为y=kx+2﹣2k,
设x1、x2是方程kx+2﹣2k=即kx2+(2﹣2k)x﹣2=0的两根,
则有x1+x2==2﹣,x1•x2=﹣,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1•x2=(2﹣)2﹣4(﹣)=4+,
∴PE2=(x1﹣x2)2+(﹣)2=(x1﹣x2)2+4•
=(4+)+4•=4++4k2+4=+4k2+8.
∵PE=4,∴+4k2+8=16,
∴+4k2﹣8=0,
整理得(k2﹣1)2=0,
解得k1=1,k2=﹣1.
由条件“延长PC交双曲线另一点E”可得k<0,
∴k=﹣1,
代入kx2+(2﹣2k)x﹣2=0得,
﹣x2+4x﹣2=0,
解得x1=2+,x2=2﹣.
当x=2+时, ==2﹣,点P(2+,2﹣).
当x=2﹣时, ==2+,点P(2﹣,2+).
∴点P的坐标为(2+,2﹣)或(2﹣,2+).