2020届中考数学全程演练 第一部分 数与代数 第五单元 函数及其图象 第18课时 二次函数的应用 8页

第18课时　二次函数的应用 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题6分，共12分)‎ ‎1．[2016·铜仁]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是‎4 m时，这时水面宽度AB为 (C)‎ 图18－1‎ A．－‎20 m B．‎‎10 m C．‎20 m D．－‎‎10 m ‎【解析】　根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－x2，得x＝±10，‎ ‎∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝‎20 m．即水面宽度AB为‎20 m.‎ ‎2．[2016·金华]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝‎10 m，则桥面离水面的高度AC为(B)‎ A．‎16 m B. m C．‎16 m D. m 图18－2‎ ‎【解析】　∵AC⊥x轴，OA＝‎10 m，‎ 8‎ ‎∴点C的横坐标为－10，‎ 当x＝－10时，y＝－(x－80)2＋16＝－(－10－80)2＋16＝－，‎ ‎∴C，∴桥面离水面的高度AC为 m.‎ 二、填空题(每题6分，共18分)‎ ‎3．[2017·咸宁]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：‎ 温度T/℃‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ 植物高度增长量l/mm ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎46‎ ‎25‎ 科学家经过猜想，推测出l与T之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃.‎ ‎【解析】　设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(1，46)，‎ ‎(4，25)代入后得方程组 解得 所以y与x之间的二次函数解析式为y＝－x2－2x＋49，‎ 当x＝－＝－1时，y有最大值50，‎ 即说明最适合这种植物生长的温度是－‎1℃‎.‎ 图18－3‎ ‎4．[2016·温州]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留‎1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为‎27 m，则能建成的饲养室面积最大为__75__m2.‎ ‎【解析】　设垂直于墙的材料长为x m，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝30－3x，‎ 则总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故饲养室的最大面积为‎75 m2‎.‎ 图18－4‎ ‎5．如图18－4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝‎12 mm，BC＝‎24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以‎2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过__3__s，四边形APQC的面积最小．‎ 8‎ ‎【解析】　S四边形APQC＝×12×24－(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144，‎ ‎∴当t＝－＝－＝3时，S四边形APQC最小．‎ 三、解答题(共30分)‎ ‎6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为‎30 m的篱笆围成．已知墙长为‎18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.‎ ‎(1)若平行于墙的一边的长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；‎ ‎(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；‎ ‎(3)当这个苗圃园的面积不小于‎88 m2‎时，试结合函数的图象，直接写出x的取值范围．‎ 图18－5‎ ‎【解析】　(1)用x表示y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y＝88，求x的值，根据图象写出符合要求的x的取值范围．‎ 解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)；‎ ‎(2)设矩形苗圃园的面积为S，则 S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，由(1)知6≤x＜15；‎ ‎∴当x＝7.5时，S最大＝112.5，‎ 即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为‎7.5 m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为‎112.5 m2‎；‎ ‎(3)图象略.6≤x≤11.‎ ‎7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图18－6所示的关系．‎ 8‎ 图18－6‎ ‎(1)求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？‎ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得 解得 ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180；‎ ‎(2)w＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)‎ ‎＝－x2＋280x－18 000‎ ‎＝－(x－140)2＋1 600，‎ 当售价x定为140元/件时，w最大＝1 600元，‎ ‎∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元．‎ ‎(25分)‎ ‎8．(10分)[2017·天水]如图18－7，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方‎2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为‎9 m，高度为‎2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为‎18 m.‎ 图18－7‎ 8‎ ‎(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；‎ ‎(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；‎ ‎(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．‎ 解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方‎2 m的A处发出，∴抛物线y＝a(x－6)2＋2.6过(0，2)点，‎ ‎∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－，‎ 故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6；‎ ‎(2)当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；‎ 当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，‎ 解得x1＝6＋2＞18，x2＝6－2(舍去)，‎ ‎∴球会出界；‎ ‎(3)由题意，抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，‎ 代入点(0，2)的坐标得a(0－6)2＋h＝2，‎ 即‎36a＋h＝2且a＜0，∴a＝，且h＞2.‎ 若球一定能越过球网，则当x＝9时，y≥2.43，‎ 即‎9a＋h≥2.43，①‎ 若球不出边界，则当x＝18时，‎ y≤0，即‎144a＋h≤0，②‎ 将a＝代入①②解得h≥.‎ 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥.‎ ‎9．(15分)[2016·丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(m)，与桌面的高度为y(m)，运动时间为t(s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：‎ t(s)‎ ‎0‎ ‎0.16‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.64‎ ‎0.8‎ ‎…‎ x(m)‎ ‎0‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎2‎ ‎…‎ y(m)‎ ‎0.25‎ ‎0.378‎ ‎0.4‎ ‎0.45‎ ‎0.4‎ ‎0.378‎ ‎0.25‎ ‎…‎ 8‎ ‎(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？‎ ‎(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？‎ ‎(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.‎ ‎①用含a的代数式表示k；‎ ‎②球网高度为‎0.14 m，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．‎ 图18－8‎ 解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)由表格中的数据，可得t＝0.4(s)．‎ 答：当t为0.4 s时，乒乓球达到最大高度；‎ ‎(2)由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数，设y＝a(x－1)2＋0.45.‎ 将(0，0.25)代入，可得a＝－0.2.‎ ‎∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.‎ 当y＝0时，x1＝，x2＝－(舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是 m；‎ ‎(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为.‎ 代入y＝a(x－3)2＋k，得a×＋k＝0，化简整理，得k＝－a；‎ ‎②由题意，可知扣杀路线在直线y＝x上．‎ 由①得y＝a(x－3)2－a.‎ 令a(x－3)2－a＝x，‎ 整理得20ax2－(‎120a＋2)x＋‎175a＝0.‎ 当Δ＝(‎120a＋2)2－4×‎20a×‎175a＝0时符合题意．‎ 8‎ 解方程，得a1＝，a2＝.‎ 当a1＝时，求得x＝－，不符合题意，舍去；‎ 当a2＝时，求得x＝，符合题意．‎ 答：当a＝时，能恰好将球沿直线扣杀到点A.‎ ‎(15分)‎ 图18－9‎ ‎10．(15分)[2016·南京]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．‎ ‎(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；‎ ‎(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；‎ ‎(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为‎130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；‎ ‎(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x＋b1，‎ ‎∵y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；‎ ‎(3)设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x＋b2，‎ ‎∵y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)．‎ ‎∴ 解得 ‎∴这个一次函数的表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)，‎ 设产量为x kg时，获得的利润为w元，‎ 当0≤x≤90时，w＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250，‎ 8‎ ‎∴当x＝75时，w的值最大，最大值为2 250；‎ 当90≤x≤130时，w＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2 535，‎ 当x＝90时，w＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，‎ 由－0.6＜0知，当x＞65时，w随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，w≤2 160，‎ 因此当该产品产量为‎75 kg时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．‎ 8‎