2020年江苏省盐城市中考数学试卷(含解析） 25页

‎2020年江苏省盐城市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）（2020•盐城）2020的相反数是（　　）‎ A．﹣2020 B．2020 C．‎1‎‎2020‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2020‎ ‎2．（3分）（2020•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•盐城）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a﹣a＝2 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（2a2）3＝6a5‎ ‎4．（3分）（2020•盐城）实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则（　　）‎ A．a＞0 B．a＞b C．a＜b D．|a|＜|b|‎ ‎5．（3分）（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）（2020•盐城）2019年7月盐城黄海湿地申遗成功，它的面积约为400000万平方米．将数据400000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.4×106 B．4×109 C．40×104 D．4×105‎ ‎7．（3分）（2020•盐城）把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．1 B．3 C．4 D．6‎ ‎8．（3分）（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）‎ A．‎12‎‎5‎ B．‎5‎‎2‎ C．3 D．5‎ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．‎ ‎9．（3分）（2020•盐城）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，那么∠2＝　 　°．‎ ‎10．（3分）（2020•盐城）一组数据1、4、7、﹣4、2的平均数为　 　．‎ ‎11．（3分）（2020•盐城）因式分解：x2﹣y2＝　 　．‎ ‎12．（3分）（2020•盐城）分式方程x-1‎x‎=‎0的解为x＝　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•盐城）一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•盐城）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC 第25页（共25页）‎ ‎＝　 　°．‎ ‎15．（3分）（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AEAC的值为　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m‎＜‎‎5‎‎2‎，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上，则k的值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）（2020•盐城）计算：23‎-‎4‎+‎（‎2‎‎3‎‎-‎π）0．‎ ‎18．（6分）（2020•盐城）解不等式组：‎3x-2‎‎3‎‎≥1‎‎4x-5＜3x+2‎．‎ ‎19．（8分）（2020•盐城）先化简，再求值：mm‎2‎‎-9‎‎÷‎（1‎+‎‎3‎m-3‎），其中m＝﹣2．‎ ‎20．（8分）（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA‎=‎‎3‎‎3‎，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD‎=‎‎3‎，求AB的长？‎ 第25页（共25页）‎ ‎21．（8分）（2020•盐城）如图，点O是正方形ABCD的中心．‎ ‎（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．‎ ‎22．（10分）（2020•盐城）在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如图统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统计图，图②为B地区新增确诊人数的折线统计图．‎ ‎（1）根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为　 　，新增确诊人数为　 　；‎ ‎（2）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图．‎ ‎（3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断．‎ ‎23．（10分）（2020•盐城）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．‎ ‎（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）‎ ‎（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为　 　；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为　 　．‎ ‎24．（10分）（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．‎ ‎25．（10分）（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2‎=‎‎5‎‎2‎S1．‎ ‎（1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）；‎ ‎（2）求直线l相应的函数表达式；‎ ‎（3）求该二次函数的表达式．‎ ‎26．（12分）（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．‎ ‎（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100‎ 第25页（共25页）‎ 厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；‎ ‎（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30‎3‎厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．‎ ‎27．（14分）（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．‎ ‎（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2‎2‎，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米） ‎ AC ‎2.8‎ ‎2.7‎ ‎2.6‎ ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎0.4‎ BC ‎0.4‎ ‎0.8‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ AC+BC ‎3.2‎ ‎3.5‎ ‎3.8‎ ‎3.9‎ ‎4‎ ‎3.9‎ ‎3.2‎ ‎（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：‎ ‎①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：‎ ‎②连线：‎ 第25页（共25页）‎ 观察思考 ‎（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；‎ ‎（Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．‎ 推理证明 ‎（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．‎ 问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；‎ 问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）　 　；（Ⅳ）　 　；‎ 问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；‎ 问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年江苏省盐城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）（2020•盐城）2020的相反数是（　　）‎ A．﹣2020 B．2020 C．‎1‎‎2020‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2020‎ ‎【解答】解：2020的相反数是﹣2020．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）（2020•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A．此图案不是中心对称图形，不符合题意；‎ B．此图案是中心对称图形，符合题意；‎ C．此图案不是中心对称图形，不符合题意；‎ D．此图案不是中心对称图形，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）（2020•盐城）下列运算正确的是（　　）‎ A．2a﹣a＝2 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a＝a2 D．（2a2）3＝6a5‎ ‎【解答】解：A、2a﹣a＝a，故此选项错误；‎ B、a3•a2＝a5，故此选项错误；‎ C、a3÷a＝a2，正确；‎ D、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）（2020•盐城）实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则（　　）‎ A．a＞0 B．a＞b C．a＜b D．|a|＜|b|‎ ‎【解答】解：根据实数a，b在数轴上表示的位置可知：a＜0，b＞0，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴a＜b．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是．‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）（2020•盐城）2019年7月盐城黄海湿地申遗成功，它的面积约为400000万平方米．将数据400000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.4×106 B．4×109 C．40×104 D．4×105‎ ‎【解答】解：400000＝4×105．‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）（2020•盐城）把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（　　）‎ A．1 B．3 C．4 D．6‎ ‎【解答】解：由题意，可得8+x＝2+7，‎ 解得x＝1．‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中 第25页（共25页）‎ 点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）‎ A．‎12‎‎5‎ B．‎5‎‎2‎ C．3 D．5‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，OB＝OD‎=‎‎1‎‎2‎BD＝4，OC＝OA‎=‎‎1‎‎2‎AC＝3，‎ 在Rt△BOC中，BC‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5，‎ ‎∵H为BC中点，‎ ‎∴OH‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎‎5‎‎2‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）．‎ ‎9．（3分）（2020•盐城）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，那么∠2＝　60　°．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠2＝∠1＝60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎10．（3分）（2020•盐城）一组数据1、4、7、﹣4、2的平均数为　2　．‎ ‎【解答】解：数据1、4、7、﹣4、2的平均数为‎1+4+7-4+2‎‎5‎‎=‎2，‎ 故答案为：2．‎ ‎11．（3分）（2020•盐城）因式分解：x2﹣y2＝　（x﹣y）（x+y）　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．‎ 故答案为：（x+y）（x﹣y）．‎ ‎12．（3分）（2020•盐城）分式方程x-1‎x‎=‎0的解为x＝　1　．‎ ‎【解答】解：分式方程x-1‎x‎=‎0，‎ 去分母得：x﹣1＝0，‎ 解得：x＝1，‎ 经检验x＝1是分式方程的解．‎ 故答案为：1．‎ ‎13．（3分）（2020•盐城）一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为　‎2‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，‎ ‎∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：‎2‎‎5‎．‎ 故答案为：‎2‎‎5‎．‎ ‎14．（3分）（2020•盐城）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝　130　°．‎ ‎【解答】解：如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，‎ ‎∵∠BOC＝100°，‎ ‎∴∠D＝50°，‎ ‎∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，‎ 故答案为：130．‎ 第25页（共25页）‎ ‎15．（3分）（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则AEAC的值为　2　．‎ ‎【解答】解：∵BC∥DE，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴ADAB‎=DEBC=‎AEAC，即‎4‎AB‎=DE‎4‎=‎AEAC，‎ ‎∴AB•DE＝16，‎ ‎∵AB+DE＝10，‎ ‎∴AB＝2，DE＝8，‎ ‎∴AEAC‎=DEBC=‎8‎‎4‎=2‎，‎ 故答案为：2．‎ ‎16．（3分）（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m‎＜‎‎5‎‎2‎，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上，则k的值为　﹣6或﹣4　．‎ ‎【解答】解：∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m‎＜‎‎5‎‎2‎，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，‎ ‎∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），‎ ‎∵A′、B′的横坐标相同，‎ ‎∴在函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，‎ 第25页（共25页）‎ 当A′、C′在函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，‎ ‎∴k＝﹣6；‎ 当B′、C′在函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，‎ ‎∴k＝﹣4，‎ 综上，k的值为﹣6或﹣4，‎ 故答案为﹣6或﹣4．‎ 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）（2020•盐城）计算：23‎-‎4‎+‎（‎2‎‎3‎‎-‎π）0．‎ ‎【解答】解：原式＝8﹣2+1‎ ‎＝7．‎ ‎18．（6分）（2020•盐城）解不等式组：‎3x-2‎‎3‎‎≥1‎‎4x-5＜3x+2‎．‎ ‎【解答】解：解不等式‎3x-2‎‎3‎‎≥‎1，得：x‎≥‎‎5‎‎3‎，‎ 解不等式4x﹣5＜3x+2，得：x＜7，‎ 则不等式组的解集为‎5‎‎3‎‎≤‎x＜7．‎ ‎19．（8分）（2020•盐城）先化简，再求值：mm‎2‎‎-9‎‎÷‎（1‎+‎‎3‎m-3‎），其中m＝﹣2．‎ ‎【解答】解：原式‎=m‎(m+3)(m-3)‎÷‎（m-3‎m-3‎‎+‎‎3‎m-3‎）‎ ‎=m‎(m+3)(m-3)‎÷‎mm-3‎‎ ‎ ‎=‎m‎(m+3)(m-3)‎‎•m-3‎m ‎ ‎=‎‎1‎m+3‎‎，‎ 当m＝﹣2时，‎ 原式‎=‎1‎‎-2+3‎=‎1．‎ 第25页（共25页）‎ ‎20．（8分）（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA‎=‎‎3‎‎3‎，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD‎=‎‎3‎，求AB的长？‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝60°，‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠CBD＝∠ABD＝30°，‎ 又∵CD‎=‎‎3‎，‎ ‎∴BC‎=CDtan30°‎=‎3，‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴AB‎=BCsin30°‎=‎6．‎ 答：AB的长为6．‎ ‎21．（8分）（2020•盐城）如图，点O是正方形ABCD的中心．‎ ‎（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．‎ ‎（2）证明：连结OB，OC，‎ ‎∵点O是正方形ABCD的中心，‎ ‎∴OB＝OC，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∵EB＝EC，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠EBC＝∠ECB，‎ ‎∴∠BEO＝∠CEO．‎ ‎22．（10分）（2020•盐城）在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如图统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统计图，图②为B地区新增确诊人数的折线统计图．‎ ‎（1）根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为　41　，新增确诊人数为　13　；‎ ‎（2）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图．‎ ‎（3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析、推断．‎ ‎【解答】解：（1）41﹣28＝13（人），‎ 故答案为：41，13；‎ ‎（2）分别计算A地区一周每一天的“新增确诊人数”为：14，13，16，17，14，10；‎ 绘制的折线统计图如图所示：‎ ‎（3）A 第25页（共25页）‎ 地区的累计确诊人数可能还会增加，防控形势十分严峻，并且每一天的新增确诊人数均在10人以上，变化不明显，‎ 而B地区的“新增确诊人数”不断减少，疫情防控向好的方向发展，说明防控措施落实的比较到位．‎ ‎23．（10分）（2020•盐城）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．‎ ‎（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）‎ ‎（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为　16　；‎ ‎（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为　3　．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图如下：‎ 共有4种等可能结果，‎ ‎∴图③可表示不同信息的总个数为4；‎ ‎（2）画树状图如下：‎ 第25页（共25页）‎ 共有16种等可能结果，‎ 故答案为：16；‎ ‎（3）由图①得：当n＝1时，21＝2，‎ 由图④得：当n＝2时，22×22＝16，‎ ‎∴n＝3时，23×23×23＝512，‎ ‎∵16＜492＜512，‎ ‎∴n的最小值为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎24．（10分）（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OC，‎ ‎∵OC＝OA，‎ ‎∴∠OCA＝∠A，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠BCA＝90°，‎ ‎∴∠A+∠B＝90°，‎ ‎∵∠DCA＝∠B，‎ ‎∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，‎ ‎∴∠A+∠DCA＝90°，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠A+∠EFA＝90°，‎ ‎∴∠DCA＝∠EFA，‎ ‎∵∠EFA＝∠DFC，‎ ‎∴∠DCA＝∠DFC，‎ ‎∴△DCF是等腰三角形．‎ ‎25．（10分）（2020•盐城）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2‎=‎‎5‎‎2‎S1．‎ ‎（1）抛物线的开口方向　上　（填“上”或“下”）；‎ ‎（2）求直线l相应的函数表达式；‎ ‎（3）求该二次函数的表达式．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．‎ ‎∴抛物线开口向上，‎ 故答案为：上；‎ ‎（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，‎ 因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；‎ ‎②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；‎ ‎③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，‎ ‎∴C（﹣2，0），N（2，0），‎ 设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得b=2‎‎-2k+b=0‎，‎ 解得k=1‎b=2‎，‎ ‎∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；‎ ‎（3）过B点作BH⊥x轴于H，‎ S1‎=‎1‎‎2‎MN⋅OA，S2‎=‎1‎‎2‎MN⋅BH，‎ ‎∵S2‎=‎‎5‎‎2‎S1，‎ ‎∴OA‎=‎‎5‎‎2‎BH，‎ ‎∵OA＝2，‎ ‎∴BH＝5，‎ 即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，‎ ‎∴B（3，5），‎ 第25页（共25页）‎ 将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得c=2‎‎4a+2b+c=0‎‎9a+3b+c=5‎，‎ 解得a=2‎b=-5‎c=2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．‎ ‎26．（12分）（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．‎ ‎（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；‎ ‎（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30‎3‎厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：（1）如图①，过点P作PE⊥CD于点E，‎ ‎∵点P是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心，‎ ‎∴PE＝15cm，‎ 同理：A′B′与AB之间的距离为15cm，‎ A′D′与AD之间的距离为15cm，‎ B′C′与BC之间的距离为15cm，‎ ‎∴A′B′＝C′D′＝200﹣15﹣15＝170（cm），‎ B′C′＝A′D′＝100﹣15﹣15＝70（cm），‎ ‎∴C四边形A′B′C′D′＝（170+70）×2＝480cm，‎ 答：图案的周长为480cm；‎ ‎（2）连接PE、PF、PG，过点P作PQ⊥CD于点Q，如图②‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵P点是边长为30‎3‎cm的等边三角形模具的中心，‎ ‎∴PE＝PG＝PF，∠PGF＝30°，‎ ‎∵PQ⊥GF，‎ ‎∴GQ＝FQ＝15‎3‎cm，‎ ‎∴PQ＝GQ•tan30°＝15cm，‎ PG‎=GQcos30°‎=‎30cm，‎ 当△EFG向上平移至点G与点D重合时，‎ 由题意可得，△E′F′G′绕点D顺时针旋转30°，使得E′G′与AD边重合，‎ ‎∴DP′绕点D顺时针旋转30°到DP″，‎ ‎∴lp'p″‎‎=‎30π×30‎‎180‎=5πcm，‎ 同理可得其余三个角均为弧长为5πcm的圆弧，‎ ‎∴C=(200-30‎3‎+100-30‎3‎)×2+5π×4=‎600﹣120‎3‎‎+‎20π（cm），‎ 答：雕刻所得图案的周长为（600﹣120‎3‎‎+20π）cm．‎ ‎27．（14分）（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．‎ ‎（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2‎2‎，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米） ‎ AC ‎2.8‎ ‎2.7‎ ‎2.6‎ ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎0.4‎ BC ‎0.4‎ ‎0.8‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ AC+BC ‎3.2‎ ‎3.5‎ ‎3.8‎ ‎3.9‎ ‎4‎ ‎3.9‎ ‎3.2‎ 第25页（共25页）‎ ‎（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：‎ ‎①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：‎ ‎②连线：‎ 观察思考 ‎（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；‎ ‎（Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．‎ 推理证明 ‎（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．‎ 问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；‎ 问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）　2　；（Ⅳ）　BC‎=‎‎2‎a　；‎ 问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；‎ 问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．‎ ‎【解答】解：问题1：函数图象如图所示：‎ 第25页（共25页）‎ 问题2：（Ⅲ）观察图象可知，x＝2时，y有最大值．‎ ‎（Ⅳ）猜想：BC‎=‎‎2‎a．‎ 故答案为：2，BC‎=‎‎2‎a．‎ 问题3：设BC＝x，AC﹣BC＝y，‎ 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°‎ ‎∴AC‎=AB‎2‎-BC‎2‎=‎‎4a‎2‎-‎x‎2‎，‎ ‎∴y＝x‎+‎‎4a‎2‎-‎x‎2‎，‎ ‎∴y﹣x‎=‎‎4a‎2‎-‎x‎2‎，‎ ‎∴y2﹣2xy+x2＝4a2﹣x2，‎ ‎∴2x2﹣2xy+y2﹣4a2＝0，‎ ‎∵关于x的一元二次方程有实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac＝4y2﹣4×2×（y2﹣4a2）≥0，‎ ‎∴y2≤8a2，‎ ‎∵y＞0，a＞0，‎ ‎∴y≤2‎2‎a，‎ 当y＝2‎2‎a时，2x2﹣4‎2‎ax+4a2＝0‎ ‎∴（‎2‎x﹣2a）2＝0，‎ ‎∴x1＝x2‎=‎‎2‎a，‎ ‎∴当BC‎=‎‎2‎a时，y有最大值．‎ 问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．‎ 第25页（共25页）‎ 在Rt△BNE中，∠E＝90°，∠BNE＝60°，BE＝1cm，‎ ‎∴tan∠BNE‎=‎BEEN，‎ ‎∴NE‎=‎‎3‎‎3‎（cm），‎ ‎∵AM∥BN，‎ ‎∴∠C＝60°，‎ ‎∵∠GFE＝90°，‎ ‎∴∠CMF＝30°，‎ ‎∴∠AMG＝30°，‎ ‎∵∠G＝90°，AG＝1cm，∠AMG＝30°，‎ ‎∴在Rt△AGM中，tan∠AMG‎=‎AGGM，‎ ‎∴GM‎=‎‎3‎（cm），‎ ‎∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，‎ ‎∴四边形AGFH为矩形，‎ ‎∴AH＝FG，‎ ‎∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°‎ ‎∴四边形BKFE是矩形，‎ ‎∴BK＝FE，‎ ‎∵FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH‎-‎3‎‎3‎-‎3‎=‎BQ+AQ+KQ+QH‎-‎4‎‎3‎‎3‎=‎BQ+AQ+2‎-‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ 在Rt△ABQ中，AB＝4cm，‎ 由问题3可知，当BQ＝AQ＝2‎2‎cm时，AQ+BQ的值最大，‎ ‎∴BQ＝AQ＝2‎2‎时，FN+FM的最大值为（4‎2‎‎+‎2‎-‎‎4‎‎3‎‎3‎）cm．‎ 第25页（共25页）‎