初中数学组卷中考好题 50页

‎　‎ 一．填空题（共1小题）‎ ‎1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=　_________　，BOn=　_________　．‎ ‎　‎ 二．解答题（共29小题）‎ ‎2．已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．‎ ‎（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；‎ ‎（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．‎ ‎　‎ ‎3．如图，二次函数y1=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y2=mx+n的图象经过B、D两点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎4．（2008•泰州）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，﹣）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；‎ ‎（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；‎ ‎（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎5．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，请你根据图中信息解答问题：‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在其图象上，求出y1、y2、y3的大小关系．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：‎ ‎（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； ‎ ‎（2）若y1＜0，指出x的取值范围；‎ ‎（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎7．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；‎ ‎（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；‎ ‎（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．‎ ‎①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；‎ ‎②如图3，求证：MN2=DM•EN．‎ ‎　‎ ‎9．（2012•北京）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．‎ ‎　‎ ‎10．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BE与⊙O相切；‎ ‎（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．‎ ‎　‎ ‎11．（2012•北京）操作与探究：‎ ‎（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．‎ 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是　_________　；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是　_________　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　_________　．‎ ‎（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．‎ ‎　‎ ‎12．（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．‎ ‎（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且 PQ=QD，请直接写出α的范围．‎ ‎　‎ ‎13．（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．‎ ‎　‎ ‎14．（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．‎ ‎（1）求m的值及直线AB的解析式；‎ ‎（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．‎ ‎　‎ ‎15．（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．‎ ‎（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎16．（2008•北京）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．‎ ‎（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．‎ ‎　‎ ‎17．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；‎ ‎（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q为lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点分别移动ts（0＜t＜5）后，P点到BC的距离为dm，四边形ABQP的面积为S㎡ ‎（1）求距离d关于时间t的函数关系式；‎ ‎（2）求面积S关于时间t的函数关系式；‎ ‎（3＞在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP的面积能否是△CPQ面积的3倍？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎19．已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．‎ ‎（1）求证：△ADB∽△OBC；‎ ‎（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的正方向上，将△OAB折叠，使点B落在边OA上，记为B′，折痕为EF．‎ ‎（1）设OB′的长为x，△OB′E的周长为c，求c关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当B′E∥y轴时，求点B′和点E的坐标；‎ ‎（3）当B′在OA上运动但不与O、A重合时，能否使△EB′F成为直角三角形？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎21．（2007•河北）在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．‎ 操作示例：‎ 当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．‎ 思考发现：‎ 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．‎ 实践探究：‎ ‎（1）正方形FGCH的面积是　_________　；（用含a，b的式子表示）‎ ‎（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．‎ 联想拓展：‎ 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．‎ ‎　‎ ‎22．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．‎ ‎（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：‎ ‎①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF　_________　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；‎ ‎②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是　_________　；‎ ‎（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．‎ ‎　‎ ‎23．已知抛物线y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（1）求抛物线顶点M的坐标；‎ ‎（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎24．（2010•汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．‎ ‎（1）求证：△EGB是等腰三角形；‎ ‎（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小　_________　度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．‎ ‎　‎ ‎25．已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．‎ ‎（1）求切线BC的解析式；‎ ‎（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标．‎ ‎　‎ ‎26．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．‎ 求证：EF=BE+FD；‎ ‎（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．‎ ‎　‎ ‎27．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．‎ ‎（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是　_________　；‎ ‎（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：　_________　；α的取值范围是　_________　．‎ ‎　‎ ‎28．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；‎ ‎（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．‎ ‎　‎ ‎29．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．‎ ‎（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=　_________　；‎ ‎（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；‎ ‎（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．‎ ‎　‎ ‎30．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．‎ ‎（1）求此抛物线和直线的解析式；‎ ‎（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；‎ ‎（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．‎ ‎　‎ ‎2012年10月1077676的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（共1小题）‎ ‎1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=　2　，BOn=　　．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。1077676‎ 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ ‎（1）结合图形和已知条件，可以推出BD的长度，根据轴对称的性质，即可得出O1点为BD的中点，很容易就可推出O1B=2；‎ ‎（2）依据第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，可以推出O2D1=BO2==；以此类推，即可推出：BOn=．‎ 解答：‎ 解：∵矩形纸片ABCD中，，‎ ‎∴BD=4，‎ ‎（1）当n=1时，‎ ‎∵第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1，‎ ‎∴O1D=O1B=2，‎ ‎∴BO1=2=；‎ ‎（2）当n=2时，‎ ‎∵第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2，O1D的中点为D1，‎ ‎∴O2D1=BO2===，‎ ‎∵设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，‎ ‎∴O3D2=O3B==，‎ ‎∴以此类推，当n次折叠后，BOn=．‎ 点评：‎ 本题考查图形的翻折变换，解直角三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质推出结论 ‎　‎ 二．解答题（共29小题）‎ ‎2．已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．‎ ‎（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；‎ ‎（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）令抛物线的y=x2+（a﹣2）x﹣2a的y值等于0，证所得方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0的△＞0即可；‎ ‎（2）令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，﹣2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0‎ ‎△=（a﹣2）2+8a=（a+2）2；‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a+2＞0‎ ‎∴△＞0‎ ‎∴方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0有两个不相等的实数根；‎ ‎∴抛物线与x轴有两个交点；‎ ‎（2）令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0，‎ 解方程，得x1=2，x2=﹣a ‎∵A在B左侧，且a＞0，‎ ‎∴抛物线与x轴的两个交点为A（﹣a，0），B（2，0）．‎ ‎∵抛物线与y轴的交点为C，‎ ‎∴C（0，﹣2a）（3分）‎ ‎∴AO=a，CO=2a；‎ 在Rt△AOC中，AO2+CO2=（2）2，即a2+（2a）2=20，‎ 可得a=±2；‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=2‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣4．‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与x轴交点．解题时，利用了根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的求法等知识点．‎ ‎　‎ ‎3．如图，二次函数y1=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y2=mx+n的图象经过B、D两点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式。1077676‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标；‎ ‎（2）联立两函数的解析式，即可求得B、D的坐标，进而可判断出y2＞y1时x的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）二次函数y1=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）；‎ ‎∴，‎ 解得；‎ ‎∴二次函数图象的解析式为y1=﹣x2﹣2x+3；（2分）‎ ‎∴点D的坐标为（﹣2，3）；（3分）‎ ‎（2）y2＞y1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．（5分）‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小的能力．‎ ‎　‎ ‎4．（2008•泰州）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，﹣）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；‎ ‎（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；‎ ‎（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。1077676‎ 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）已知了抛物线与x轴的交点，可用交点式来设二次函数的解析式．然后将另一点的坐标代入即可求出函数的解析式．‎ ‎（2）可根据（1）的抛物线的解析式和反比例函数的解析式来联立方程组，求出的方程组的解就是两函数的交点坐标，然后找出第一象限内交点的坐标，即可得出符合条件的x0的值，进而可写出所求的两个正整数．‎ ‎（3）点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，可通过x=2，x=3两个点上抛物线与反比例函数的大小关系即可求出k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+3），‎ 将（0，﹣）代入，解得a=．‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x﹣．‎ ‎（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象，‎ 由图象可知，交点的横坐标x0落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2．‎ ‎（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，‎ 对y1=x2+x﹣，y1随着x增大而增大，‎ 对y2=（k＞0），y2随着x的增大而减小．‎ 因为A（x0，y0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，‎ 所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，‎ 即＞×22+2﹣，‎ 解得k＞5．‎ 同理，当x0=3时，由二次函数图象在反比例上方得y1＞y2，‎ 即×32+3﹣＞，‎ 解k＜18，‎ 所以K的取值范围为5＜k＜18．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数和反比例函数的相关知识以及在直角坐标系中作图、读图的能力．‎ ‎　‎ ‎5．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，请你根据图中信息解答问题：‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；‎ ‎（2）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在其图象上，求出y1、y2、y3的大小关系．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）由图象可得出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，设函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将（0，3）代入即可，再将对称轴x=1代入求得顶点坐标．‎ ‎（2）可将A、B、C三点横坐标代入求得各纵坐标，求出y1、y2、y3的大小关系．‎ 解答：‎ 解：（1）设函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将（0，3）代入，‎ 得：3=a（0+1）（0﹣3），‎ 解得：a=﹣1，‎ 则函数解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），‎ 化简得：y=﹣x2+2x+3，‎ 由于对称轴为x=1，代入得：y=4，‎ ‎∴其顶点坐标为（1，4）．‎ ‎（2）将A、B、C三点横坐标代入函数解析式，得：y1=4，y2=﹣5，y3=3，‎ 则比较可得：y2＜y3＜y1．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数解析式的求法以及对抛物线上点的纵坐标的比较．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：‎ ‎（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； ‎ ‎（2）若y1＜0，指出x的取值范围；‎ ‎（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象；二次函数的图象。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；‎ ‎（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；‎ ‎（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，‎ ‎∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，‎ ‎∴a﹣b+c＞0； ‎ ‎（2）结合图象可知，‎ 当1＜x＜4 时，y1＜0；‎ ‎（3）结合图象可知，‎ 当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握．‎ ‎　‎ ‎7．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；‎ ‎（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法将A（﹣1，0），B（0，3）两点代入解析式求出即可；‎ ‎（2）根据二次函数的对称性即可得出E点坐标，利用四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，求出即可；‎ ‎（3）利用勾股定理求出BD，BE，DE，得出△BDE是直角三角形，再利用，得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：（ 1）由已知得：，‎ 解得：c=3，b=2，‎ ‎∴抛物线的线的解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）‎ 所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，‎ 所以E（3，0），‎ 设对称轴与x轴的交点为F，‎ 所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，‎ ‎=‎ ‎==9；‎ ‎（3）相似．‎ 如图，BD=，‎ BE=，‎ DE=，‎ 所以BD2+BE2=20，DE2=20，‎ 即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形，‎ 所以∠AOB=∠DBE=90°，且，‎ 所以△AOB∽△DBE．‎ 点评：‎ 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及四边形面积求法和勾股定理、相似三角形的判定等知识，根据已知结合坐标系得出BD，BE，DE的长，利用数形结合得出是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；‎ ‎（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．‎ ‎①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；‎ ‎②如图3，求证：MN2=DM•EN．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；正方形的性质。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；‎ ‎（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；‎ ‎②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在△ABQ和△ADP中，‎ ‎∵DP∥BQ，‎ ‎∴△ADP∽△ABQ，‎ ‎∴=，‎ 同理在△ACQ和△APE中，‎ ‎=，‎ ‎∴=．‎ ‎（2）①BC边上的高为，‎ DE：BC=AD：AB=1：3，‎ AD=，‎ DE=，‎ DE边上的高为，‎ MN：GF=：，‎ MN：=：，‎ MN=．‎ 故答案为：．‎ ‎②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，‎ ‎∴∠B=∠CEF，‎ 又∵∠BGD=∠EFC，‎ ‎∴△BGD∽△EFC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DG•EF=CF•BG，‎ 又∵DG=GF=EF，‎ ‎∴GF2=CF•BG，‎ 由（1）得==，‎ ‎∴×=•，‎ ‎∴（）2=•，‎ ‎∵GF2=CF•BG，‎ ‎∴MN2=DM•EN．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．‎ ‎　‎ ‎9．（2012•北京）如图在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题。1077676‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）将A点坐标代入y=（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y=kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；‎ ‎（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（m，2）代入y=（x＞0）得，‎ m=2，‎ 则A点坐标为A（2，2），‎ 将A（2，2）代入y=kx﹣k得，2k﹣k=2，‎ 解得k=2，则一次函数解析式为y=2x﹣2；‎ ‎（2）∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为（0，﹣2），‎ ‎∴×2CP+×2CP=4，解得CP=2，‎ 则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BE与⊙O相切；‎ ‎（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．‎ 考点：‎ 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。1077676‎ 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．‎ ‎（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．‎ 解答：‎ 证明：（1）连接OC，‎ ‎∵OD⊥BC，‎ ‎∴OC=OB，CD=BD（垂径定理），‎ ‎∴∠OCD=∠OBD，‎ 在△OCE和△OBE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OCE≌△OBE，‎ ‎∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，‎ 故可证得BE与⊙O相切．‎ ‎（2）过点D作DH⊥AB，‎ ‎∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，‎ ‎∴△ODH∽△OBD，‎ ‎∴==‎ 又∵sin∠ABC=，OB=9，‎ ‎∴OD=6，‎ ‎∴OH=4，HB=5，DH=2，‎ 又∵△ADH∽△AFB，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴FB=．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．‎ ‎　‎ ‎11．（2012•北京）操作与探究：‎ ‎（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．‎ 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是　0　；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是　3　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　　．‎ ‎（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质。1077676‎ 专题：‎ 应用题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；‎ ‎（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）点A′：﹣3×+1=﹣1+1=0，‎ 设点B表示的数为a，则a+1=2，‎ 解得a=3，‎ 设点E表示的数为b，则b+1=b，‎ 解得b=；‎ 故答案为：0，3，；‎ ‎（2）根据题意得，，‎ 解得，‎ 设点F的坐标为（x，y），‎ ‎∵对应点F′与点F重合，‎ ‎∴x+=x，y+2=y，‎ 解得x=1，y=4，‎ 所以，点F的坐标为（1，4）．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．‎ ‎（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且 PQ=QD，请直接写出α的范围．‎ 考点：‎ 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。1077676‎ 分析：‎ ‎（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；‎ ‎（2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；‎ ‎（3）由（2）得出∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，得出α的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，‎ ‎∴BM⊥AC，AM=MC，‎ ‎∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，‎ ‎∴AM=MQ，∠AMQ=120°，‎ ‎∴CM=MQ，∠CMQ=60°，‎ ‎∴△CMQ是等边三角形，‎ ‎∴∠ACQ=60°，‎ ‎∴∠CDB=30°；‎ ‎（2）如图2，连接PC，AD，‎ ‎∵AB=BC，M是AC的中点，‎ ‎∴BM⊥AC，‎ ‎∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，‎ 在△APD与△CPD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APD≌△CPD，‎ ‎∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，‎ 又∵PQ=PA，‎ ‎∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠3=∠PAD，‎ ‎∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，‎ ‎∴∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠APQ=180°﹣2α，‎ ‎∴2∠CDB=180°﹣2α，‎ ‎∴∠CDB=90°﹣α；‎ ‎（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，‎ ‎∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，‎ ‎∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，‎ ‎∵点P不与点B，M重合，‎ ‎∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，‎ ‎∵点P在线段BM上运动，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，‎ ‎∴2α＞180°﹣2α＞α，‎ ‎∴45°＜α＜60°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°﹣（∠PAD+∠PQD）=180°是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2009•北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。1077676‎ 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；‎ ‎（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OM，则OM=OB ‎∴∠1=∠2‎ ‎∵BM平分∠ABC ‎∴∠1=∠3‎ ‎∴∠2=∠3‎ ‎∴OM∥BC ‎∴∠AMO=∠AEB 在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线 ‎∴AE⊥BC ‎∴∠AEB=90°‎ ‎∴∠AMO=90°‎ ‎∴OM⊥AE ‎∵点M在圆O上，‎ ‎∴AE与⊙O相切；‎ ‎（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线 ‎∴BE=BC，∠ABC=∠C ‎∵BC=4，cosC=‎ ‎∴BE=2，cos∠ABC=‎ 在△ABE中，∠AEB=90°‎ ‎∴AB==6‎ 设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r ‎∵OM∥BC ‎∴△AOM∽△ABE ‎∴‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴⊙O的半径为．‎ 点评：‎ 本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．‎ ‎　‎ ‎14．（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．‎ ‎（1）求m的值及直线AB的解析式；‎ ‎（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．‎ 考点：‎ 反比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式。1077676‎ 专题：‎ 数形结合；待定系数法。‎ 分析：‎ ‎（1）将A点或B点的坐标代入y=求出m，再将这两点的坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；‎ ‎（2）画出网格图帮助解答．‎ 解答：‎ 解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），‎ 可得m=6．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ ‎∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+7；‎ ‎（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．‎ ‎　‎ ‎15．（2009•北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．‎ ‎（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。1077676‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直，理由为：△P1EC按要求旋转后得到的△G1EF全等，再结合∠P1CE=∠G1FE=90°去说明；②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直；‎ ‎（2）①当点P1在线段CH的延长线上时，结合已知说明CE=4，且由四边形FECH是正方形，得CH=CE=4，再根据题设可得G1F=x．P1H=x﹣4，进而可得y与x之间的函数关系式；②当点P1在线段CH上时，同理可得FG1=x，P1H=4﹣x，进而可得y与x之间的函数关系式；③当点P1与点H重合时，说明△P1FG1不存在，再作综合说明即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．‎ 证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．‎ ‎∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，‎ ‎∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC．‎ ‎∵∠G1EF=90°﹣∠P1EF，∠P1EC=90°﹣∠P1EF，‎ ‎∴∠G1EF=∠P1EC．‎ ‎∴△G1EF≌△P1EC．‎ ‎∴∠G1FE=∠P1CE．‎ ‎∵EC⊥CD，‎ ‎∴∠P1CE=90°，‎ ‎∴∠G1FE=90度．‎ ‎∴∠EFH=90度．‎ ‎∴∠FHC=90度．‎ ‎∴FG1⊥CD．‎ ‎②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B=∠ADC．‎ ‎∵AD=6，AE=1，tanB=，‎ ‎∴DE=5，tan∠EDC=tanB=．‎ 可得CE=4．‎ 由（1）可得四边形EFCH为正方形．‎ ‎∴CH=CE=4．‎ ‎①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，‎ ‎∵FG1=CP1=x，P1H=x﹣4，‎ ‎∴S△P1FG1=×FG1×P1H=．‎ ‎∴y=x2﹣2x（x＞4）．‎ ‎②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，‎ ‎∵FG1=CP1=x，P1H=4﹣x，‎ ‎∴S△P1FG1=×FG1×P1H=．‎ ‎∴y=﹣x2+2x（0＜x＜4）．‎ ‎③当P1点与H点重合时，即x=4时，△P1FG1不存在．‎ 综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=x2﹣2x（x＞4）或y=﹣x2+2x（0＜x＜4）．‎ 点评：‎ 本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎16．（2008•北京）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．‎ ‎（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形。1077676‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；‎ ‎（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）直线BD与⊙O相切．（1分）‎ 证明：如图，连接OD．‎ ‎∵OA=OD ‎∴∠A=∠ADO ‎∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°‎ 又∵∠CBD=∠A ‎∴∠ADO+∠CDB=90°‎ ‎∴∠ODB=90°‎ ‎∴直线BD与⊙O相切．（2分）‎ ‎（2）解法一：如图，连接DE．‎ ‎∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°‎ ‎∵AD：AO=8：5‎ ‎∴（3分）‎ ‎∵∠C=90°，∠CBD=∠A ‎（4分）‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴‎ ‎（5分）‎ 解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．‎ ‎∴AH=DH=‎ ‎∵AD：AO=8：5‎ ‎∴cosA=（3分）‎ ‎∵∠C=90°，∠CBD=∠A ‎∴（4分）‎ ‎∵BC=2‎ ‎∴（5分）‎ 点评：‎ 本题考查圆的切线的判定、圆的有关性质如垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，应对其熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎17．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；‎ ‎（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点。1077676‎ 专题：‎ 计算题；证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）的解的情况；‎ ‎（2）用十字相乘法来转换y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，即y=[（m﹣1）x+1]（x﹣1），则易解；‎ ‎（3）利用（2）的解题结果x=﹣1，再根据两根之积等于﹣是整数，得出m的值，进而得出平移后的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意，得 ‎△=（m﹣2）2﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＞0，即m2＞0‎ 解得，m＞0或m＜0 ①‎ 又∵m﹣1≠0，‎ ‎∴m≠1 ②‎ 由①②，得 m＜0，0＜m＜1或m＞1．‎ 证明：（2）由y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1，得 y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）‎ 抛物线y=[（m﹣1）x﹣1]（x+1）与x轴的交点就是方程[（m﹣1）x﹣1]（x+1）=0的两根．‎ 解方程，得，‎ 由（1）得，x=﹣1，即一元二次方程的一个根是﹣1，‎ ‎∴无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点（﹣1，0）．‎ ‎（3）∵x=﹣1是整数，‎ ‎∴只需﹣是整数．‎ ‎∵m是整数，且m≠1，m≠0，‎ ‎∴m=2，‎ 当m=2时，抛物线的解析式为y=x2﹣1，‎ 把它的图象向右平移3个单位长度，‎ 则平移后的解析式为y=（x﹣3）2﹣1．‎ 点评：‎ ‎（1）在解一元二次方程的根时，利用根的判别式△=b2﹣4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；‎ ‎（2）用十字相乘法对多项式进行分解，可以降低题的难度；‎ ‎（3）函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|；向上或向下平移时Y=|y+d|．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q为lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点分别移动ts（0＜t＜5）后，P点到BC的距离为dm，四边形ABQP的面积为S㎡ ‎（1）求距离d关于时间t的函数关系式；‎ ‎（2）求面积S关于时间t的函数关系式；‎ ‎（3＞在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP的面积能否是△CPQ面积的3倍？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 矩形的性质；根的判别式；二次函数的应用；三角形的面积；勾股定理；平行线分线段成比例。1077676‎ 专题：‎ 动点型。‎ 分析：‎ ‎（1）过点P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的长，AP=2t，CQ=t，则PC=10﹣2t，又PE∥AB，根据平行线分线段成比例列出比例式，继而代入求解即可；‎ ‎（2）根据S=S△ABC﹣S△PQC，直接计算即可；‎ ‎（3）假设四边形ABQP的面积是△CPQ面积的3倍，则有：，通过判断方程无解，继而得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）过点P作PE⊥BC于E，Rt△ABC中，AC=（m）‎ 由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10﹣2t． …（1分）‎ 由AB⊥BC，PE⊥BC，得PE∥AB，‎ ‎∴，即…（2分）‎ ‎∴‎ 即…••（3分）‎ ‎（2）∵S△ABC=24，S△PQC=×PE×CQ=×t×（﹣t+6）=﹣t2+3t…（4分）‎ ‎∴S=S△ABC﹣S△PQC=，‎ 即…（6分）‎ ‎（3）假设四边形ABQP的面积是△CPQ面积的3倍，则有：‎ ‎，‎ 即b2﹣4ac=﹣15＜0…（7分）‎ ‎∵b2﹣4ac=﹣15＜0，方程无解，…（8分）‎ ‎∴在P，Q两点移动的过程中，四边形ABQP的面积不可能是△CPQ面积的3倍…（9分）‎ 点评：‎ 本题考查矩形的性质，同时涉及到了勾股定理、根的判别式、三角形的面积公式及平行线分线段成比例，是一道小的综合题，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用．‎ ‎　‎ ‎19．已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．‎ ‎（1）求证：△ADB∽△OBC；‎ ‎（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；圆周角定理。1077676‎ 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC；‎ ‎（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB．‎ AB是直径，∴∠D=∠OBC=90°，∴△ADB∽△OBC．‎ ‎（2）∵△ADB∽△OBC，‎ ‎∴=；而OC=2，‎ ‎∴AD=．‎ 点评：‎ 本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的正方向上，将△OAB折叠，使点B落在边OA上，记为B′，折痕为EF．‎ ‎（1）设OB′的长为x，△OB′E的周长为c，求c关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当B′E∥y轴时，求点B′和点E的坐标；‎ ‎（3）当B′在OA上运动但不与O、A重合时，能否使△EB′F成为直角三角形？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 等边三角形的性质；反证法；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形。1077676‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据折叠的性质可知BE=B′E，那么三角形OB′E的周长就等于OB′+OB，已知等边三角形OBA的边长，那么就可以表示出c与x的函数关系式了．‎ ‎（2）当B′E∥y轴时，EB′⊥x轴，那么本题的关键就是求出直角三角形OB′E的两条直角边，可根据OE+EB′=2+，而我们还可以通过∠EOB′的正弦函数得出OE，EB′的比例关系，然后根据这两个关系可得出OE，B′E的长，进而可求出OB′的长．也就得出了点B′和E点的坐标．‎ ‎（3）要想使三角形EB′F是直角三角形，已知∠EB′F=60°，那么只有∠B′EF和∠B′FE为直角，当∠B′EF是直角时，那么∠AEF也是直角，那么A，E，B′在一条直线上，B′与O重合，那么与已知矛盾，因此不成立，同理可得出∠B′FE是直角的情况下也不成立，因此三角形EB′F不可能是直角三角形．‎ 解答：‎ 解：（1）∵B′和B关于EF对称，‎ ‎∴B′E=BE，‎ ‎∴c=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB=．‎ ‎（2）当B′E∥y轴时，∠EB′O=90°．‎ ‎∵△OAB为等边三角形，‎ ‎∴∠EOB′=60°，OB′=EO．‎ 设OB′=a，则OE=2a．‎ 在Rt△OEB′中，tan∠EOB′=，‎ ‎∴B′E=B′Otan∠EOB′=；‎ ‎∵B′E+OE=BE+OE=2+，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴B′（1，0），E（1，）．‎ ‎（3）答：不能．‎ 理由如下：‎ ‎∵∠EB′F=∠B=60°，‎ ‎∴要使△EB′F成为直角三角形，则90°角只能是∠B′EF或∠B′FE．‎ 假设∠B′EF=90°，‎ ‎∵△FB′E与△FBE关于FE对称，‎ ‎∴∠BEF=∠B′EF=90°，‎ ‎∴∠BEB′=180°，‎ 则B′、E、B三点在同一直线上，B′与O重合．‎ 这与题设矛盾．‎ ‎∴∠B′EF≠90°．‎ 即△EB′F不能为直角三角形．‎ 同理，∠B′FE=90°也不成立．‎ ‎∴△EB′F不能成为直角三角形．‎ 点评：‎ 本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质等知识点，根据折叠的性质得出线段和角相等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（2007•河北）在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．‎ 操作示例：‎ 当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．‎ 思考发现：‎ 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．‎ 实践探究：‎ ‎（1）正方形FGCH的面积是　a2+b2　；（用含a，b的式子表示）‎ ‎（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．‎ 联想拓展：‎ 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图。1077676‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）正方形FGCH的面积=BG2+BC2=b2+a2；‎ ‎（2）应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．‎ 解答：‎ 解：实践探究：（1）a2+b2；（1分）‎ ‎（2）剪拼方法如图3﹣图5．（每图3分）（10分）‎ 联想拓展：能，（11分）‎ 剪拼方法如图6（图中BG=DH=b）．（13分）‎ ‎（注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均给分）‎ 点评：‎ 本题考查学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．‎ ‎　‎ ‎22．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．‎ ‎（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：‎ ‎①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF　=　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；‎ ‎②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是　∠α+∠BCA=180°　；‎ ‎（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。1077676‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF﹣CE，所以EF=|BE﹣AF|；‎ ‎②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．‎ ‎（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．‎ 解答：‎ 解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠ACD，‎ 在△BEC与△CDA中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BEC≌△CFA（AAS），‎ ‎∴BE=CF，EC=FA，‎ ‎∵EF=CF﹣CE，‎ ‎∴EF=|BE﹣AF|；‎ ‎②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为：‎ ‎∵∠α+∠BCA=180°，‎ ‎∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，‎ ‎∴∠α+∠BCE+∠CBE=180°，又三角形内角和等于180°，‎ ‎∴∠CBE=∠ACD，又∠BEC=∠CFA，CA=CB，‎ ‎∴△BEC≌△CFA（AAS），‎ ‎∴BE=CF，EC=FA，‎ ‎∵EF=CF﹣CE，‎ ‎∴EF=|BE﹣AF|；‎ 则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；‎ ‎（2）探究结论：EF=BE+AF，‎ 证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°‎ 又∵∠BCA=∠α=∠CFA，‎ ‎∴∠1=∠3；‎ 又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，‎ ‎∴△BEC≌△CFA（AAS），‎ ‎∴BE=CF，EC=FA，‎ ‎∴EF=EC+CF=BE+AF．‎ 点评：‎ 本题主要考查全等三角形全等的判定，涉及到三角形内角和定理，线段比较长短等知识点．同学们要仔细阅读题意方能解题，属于一道较复杂的基础题．‎ ‎　‎ ‎23．已知抛物线y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（1）求抛物线顶点M的坐标；‎ ‎（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。1077676‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）将已知的抛物线解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．‎ ‎（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为﹣t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．‎ ‎（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：‎ ‎①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；‎ ‎②∠PCA=90°，解法同①．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，‎ ‎∴顶点M的坐标为．（1分）‎ ‎（2）抛物线与y=x2﹣x﹣2与x轴的两交点为A（﹣1，0），B（2，0），‎ 设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得；‎ ‎∴线段BM所在直线的解析式为，（2分）‎ 设点N的坐标为（x，﹣t）．‎ ‎∵点N在线段BM上，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC ‎=．（3分）‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为，自变量t的取值范围为．（4分）‎ ‎（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则且n=m2﹣m﹣2；‎ PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，‎ 分以下几种情况讨论：‎ ‎①若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2．‎ ‎∴，‎ 解得，m2=﹣1；‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；（6分）‎ ‎②若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2‎ ‎∴，‎ 解得，m4=0，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，‎ 所以边AC的对角∠APC不可能是直角，‎ ‎∴存在符合条件的点P，且坐标为，．（8分）‎ 点评：‎ 此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．‎ ‎　‎ ‎24．（2010•汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．‎ ‎（1）求证：△EGB是等腰三角形；‎ ‎（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小　30　度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．‎ 考点：‎ 梯形；等腰三角形的判定。1077676‎ 专题：‎ 计算题；证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，从而证明结论；‎ ‎（2）要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根据30°的直角三角形的性质即可求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，‎ ‎∴∠EBF=60°，‎ ‎∴∠EBG=∠EBF﹣∠ABC=60°﹣30°=∠E．‎ ‎∴GE=GB，‎ 则△EGB是等腰三角形；‎ ‎（2）解：要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，‎ 则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．‎ 设BC与DE的交点是H．‎ 在直角三角形DFH中，∠FDH=60°，DF=DE=2，‎ 则FH=DF•cos∠BFD=2×cos30°=2×=．‎ 则CH=BC﹣BH=AB•cos∠ABC﹣（BF﹣FH）=2﹣（2﹣）=3﹣2．‎ 即此梯形的高是3﹣2．‎ 故答案为：3﹣2．‎ 点评：‎ 此题主要是考查了30°的直角三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎25．已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．‎ ‎（1）求切线BC的解析式；‎ ‎（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标．‎ 考点：‎ 切线的性质；待定系数法求一次函数解析式；含30度角的直角三角形；锐角三角函数的定义。1077676‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）连接AC，由于BC与⊙A相切，则AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，进而用待定系数法求出直线BC的解析式．‎ ‎（2）可设出G点的坐标（设横坐标，利用直线BC的解析式表示纵坐标），连接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切线，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的长易求得，根据∠AGC的度数，即可求得AG的长；过G作GH⊥x轴于H，在Rt△GAH中，可根据G点的坐标表示出AH、GH的长，进而由勾股定理求得G点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=．‎ 在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2，‎ ‎∴点C的坐标为（0，2）．‎ 设切线BC的解析式为y=kx+b，‎ 它过点C（0，2），B（﹣4，0），‎ 则有，‎ 解之得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），‎ ‎∵点G在直线y=x+2上，‎ ‎∴c=a+2，‎ 过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH=a，GH=c=a+2，连接AP，AG．‎ ‎∵AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），‎ ‎∴∠AGC=×120°=60°．‎ 在Rt△ACG中，‎ ‎∵∠AGC=60°，AC=，‎ ‎∴sin60°=，‎ ‎∴AG=．‎ 在Rt△AGH中，AH=OH﹣OA=a﹣1，GH=a+2，‎ ‎∵AH2+GH2=AG2，‎ ‎∴（a﹣1）2+=，‎ 解之得：a1=，a2=﹣（舍去），‎ 点G的坐标为（，+2 ）．‎ 点评：‎ 此题考查的知识点有：一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质等，本题难度较大．‎ ‎　‎ ‎26．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．‎ 求证：EF=BE+FD；‎ ‎（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。1077676‎ 专题：‎ 证明题；探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．‎ ‎（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．‎ ‎（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．‎ 解答：‎ 证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．‎ ‎∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，‎ ‎∴△ABG≌△ADF．‎ ‎∴AG=AF，∠1=∠2．‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．‎ ‎∴∠GAE=∠EAF．‎ 又AE=AE，‎ ‎∴△AEG≌△AEF．‎ ‎∴EG=EF．‎ ‎∵EG=BE+BG．‎ ‎∴EF=BE+FD ‎（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．‎ ‎（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．‎ 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．‎ ‎∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，‎ ‎∴∠B=∠ADF．‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴△ABG≌△ADF．‎ ‎∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．‎ ‎∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD ‎=∠EAF=∠BAD．‎ ‎∴∠GAE=∠EAF．‎ ‎∵AE=AE，‎ ‎∴△AEG≌△AEF．‎ ‎∴EG=EF ‎∵EG=BE﹣BG ‎∴EF=BE﹣FD．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．‎ ‎　‎ ‎27．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．‎ ‎（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是　垂直　；‎ ‎（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：　CM=m•tan　；α的取值范围是　0°＜α＜90°　．‎ 考点：‎ 锐角三角函数的定义；正方形的性质；旋转的性质。1077676‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；‎ ‎（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）连接CD，OM．‎ 根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，‎ ‎∴△COM≌△DOM，‎ ‎∴∠COM=∠DOM，‎ 又∵OC=OD，‎ ‎∴CD⊥OM；‎ ‎（2）由（1）知∠COM=∠DOM，‎ ‎∴∠COM=，‎ 在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；‎ 因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．‎ 点评：‎ 解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．‎ ‎　‎ ‎28．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；‎ ‎（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点；解一元一次方程；根的判别式；解一元一次不等式；坐标与图形变化-对称。1077676‎ 专题：‎ 计算题；代数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）求出b2﹣4ac的值：（m﹣5）2≥0，即可判断方程总有两个实数根；‎ ‎（2）求出方程的两根x1=1，x2=m﹣4，根据已知方程有一个根大于4且小于8，列出不等式，求出解集即可；‎ ‎（3）求出抛物线与Y轴的交点坐标，由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m﹣4，0），根据它们关于直线y=﹣x的对称点分别为（0，﹣1）和（0，4﹣m），得出方程﹣1=m﹣4或4﹣m=m﹣4，求出即可得到答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：△=b2﹣4ac=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25=（m﹣5）2≥0，‎ 所以方程总有两个实数根．‎ ‎（2）解：由（1）△=（m﹣5）2，根据求根公式可知，‎ 方程的两根为：‎ 即：x1=1，x2=m﹣4，‎ 由题意，有4＜m﹣4＜8，即8＜m＜12．‎ 答：m的取值范围是8＜m＜12．‎ ‎（3）解：易知，抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交点为M（0，m﹣4），‎ 由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（m﹣4，0），‎ 它们关于直线y=﹣x的对称点分别为（0，﹣1）和（0，4﹣m），‎ 由题意，可得：﹣1=m﹣4或4﹣m=m﹣4，‎ 即m=3或m=4，‎ 答：m的值是3或4．‎ 点评：‎ 本题主要考查对抛物线与X轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．‎ ‎（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=　1　；‎ ‎（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；‎ ‎（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义。1077676‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）由F为BD中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CF=EF；‎ ‎（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC=，得到．证明△BCG∽△ACE，得到．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是，即可得到BE﹣DE=EG=2CF；‎ ‎（3）分类讨论：当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，计算出AC=12，AB=．M为AB中点，则CM=，FM==2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=；当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．即可得到线段CF长度的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，‎ ‎∴CF=BD，EF=BD，‎ ‎∴CF=EF，‎ ‎∴k=1；‎ 故答案为1．‎ ‎（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．‎ 由题意，tan∠BAC=，‎ ‎∴．‎ ‎∵D、E、B三点共线，‎ ‎∴AE⊥DB．‎ ‎∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠QBC=∠EAQ．‎ ‎∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，‎ ‎∴∠ECA=∠BCG．‎ ‎∴△BCG∽△ACE．‎ ‎∴‎ ‎∴GB=DE．‎ ‎∵F是BD中点，‎ ‎∴F是EG中点．‎ 在Rt△ECG中，，‎ ‎∴BE﹣DE=EG=2CF；‎ ‎（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，‎ ‎∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，‎ ‎∴AC=12，AB=．‎ ‎∵M为AB中点，‎ ‎∴CM=，‎ ‎∵AD=，‎ ‎∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，‎ ‎∴FM==2．‎ 如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，‎ 此时CF=CM+FM=．‎ 情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，‎ 类似于情况1，可知CF的最大值为．‎ 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了旋转的性质和三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎30．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．‎ ‎（1）求此抛物线和直线的解析式；‎ ‎（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；‎ ‎（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。1077676‎ 专题：‎ 综合题；代数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）由待定系数法可得出k和a；‎ ‎（2）设点P的坐标为（t，2t），则可得点Q的坐标，从而求出PQ，再根据二次函数的最值问题得出最大长度；‎ ‎（3）易求得点M的坐标，过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，则四边形AOMN为梯形．由平移的性质可得出直线MN的解析式，再由点M在直线MN上，求得点N的坐标．再用割补法和面积的求法得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，可得8=16a﹣4（a+1）及8=4k，‎ 解得a=1，k=2，‎ 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣2x，直线的解析式为y=2x．（2分）‎ ‎（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2﹣2t），‎ 则PQ=2t﹣（t2﹣2t）=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，‎ 所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．（4分）‎ ‎（3）易知点M的坐标为（1，﹣1）．过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形．直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x﹣b．因为点M在直线y=2x﹣b上，解得b=3，即直线MN的方程为y=2x﹣3，将其代入y=x2﹣2x，可得2x﹣3=x2﹣2x 即x2﹣4x+3=0‎ 解得x1=1，x2=3‎ 易得y1=﹣1，y2=3‎ 所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3，3）．（5分）‎ 如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，‎ 显然四边形MNHG是平行四边形．可得点G（1，2），H（3，6）．‎ S□MNHG=（3﹣1）×NH=2×3=6‎ 所以，梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S□MNHG+S△ANH=9．（7分）‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式、直线的解析式，以及梯形和三角形的面积求法．在求有关最值问题时要注意二次函数的顶点．‎ ‎　‎