中考数学一模试卷含解析4 13页

‎2016年天津市东丽区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．计算（﹣2）+（﹣4）的结果等于（　　）‎ A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．8‎ ‎2．sin30°的值等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．截止到‎2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106‎ ‎5．如图所示的立体图形的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．实数在哪两个整数之间（　　）‎ A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）‎ A．（﹣4，3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）‎ ‎8．方程﹣=0的解是（　　）‎ A．x=3 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=5‎ ‎9．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎10．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）‎ A．3 B．9 C．18 D．36‎ ‎11．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（　　）‎ A．90° B．100° C．110° D．120°‎ ‎12．已知抛物线y=2x2﹣8x+6与x轴相交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，BC的中点为M，点B关于y轴的对称点为N，则MN的长度等于（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．计算3x2•x3的结果等于　　　　　　．‎ ‎14．若一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，则b的取值范围是　　　　　　．‎ ‎15．一个不透明的盒子中装有7个大小相同的乒乓球，其中5个是黄球，2个是白球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是　　　　　　．‎ ‎16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为　　　　　　．‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是　　　　　　cm．‎ ‎18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．‎ ‎（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；‎ ‎（2）点B的运动路径的长；‎ ‎（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎19．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．‎ 根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）此次调查抽取的学生人数为a=　　　　　　人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b=　　　　　　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？‎ ‎21．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D．‎ ‎（1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为　　　　　　；‎ ‎（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长；‎ ‎（3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．‎ ‎22．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．‎ ‎23．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：‎ 售价（元/件）‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎…‎ 月销量（件）‎ ‎200‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎…‎ 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．‎ ‎（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　　　　　　）元；②月销量是 （　　　　　　）件；（直接写出结果）‎ ‎（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎24．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．‎ ‎（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；‎ ‎（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．‎ ‎25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．‎ ‎（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年天津市东丽区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．计算（﹣2）+（﹣4）的结果等于（　　）‎ A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．8‎ ‎【考点】有理数的加法．‎ ‎【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=﹣（2+4）‎ ‎=﹣6，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．sin30°的值等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值来解本题．‎ ‎【解答】解：sin30°=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；‎ B、不是轴对称图形，故B不符合题意；‎ C、不是轴对称图形，故C不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，故D不符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．截止到‎2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】将140000用科学记数法表示即可．‎ ‎【解答】解：140000=1.4×105，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示的立体图形的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】分别找出此几何体从正面看所得到的视图即可．‎ ‎【解答】解：此立体图形从正面看所得到的图形为矩形，里面有一条竖线，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．实数在哪两个整数之间（　　）‎ A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5‎ ‎【考点】估算无理数的大小．‎ ‎【分析】先求出的范围，即可得出选项．‎ ‎【解答】解：4＜＜5，‎ 即在4与5之间，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）‎ A．（﹣4，3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】将OA绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点A关于原点的对称点的坐标．‎ ‎【解答】解：根据题意得，点A关于原点的对称点是点A′，‎ ‎∵A点坐标为（3，4），‎ ‎∴点A′的坐标（﹣3，﹣4）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．方程﹣=0的解是（　　）‎ A．x=3 B．x=﹣2 C．x=2 D．x=5‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【分析】观察可得最简公分母是3（5﹣x），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎【解答】解：方程两边都乘以3（5﹣x），得 ‎3x=2（5﹣x）．‎ 解得x=2‎ 检验：x=2时，3（5﹣x）≠0，‎ ‎∴x=2时原分式方程的解，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，‎ ‎∴1﹣k＞0，‎ 解得k＜1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）‎ A．3 B．9 C．18 D．36‎ ‎【考点】正多边形和圆．‎ ‎【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．‎ ‎【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，‎ 等边三角形的边长是2，高为3，‎ 因而等边三角形的面积是3，‎ ‎∴正六边形的面积=18，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（　　）‎ A．90° B．100° C．110° D．120°‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．‎ ‎【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，‎ ‎∴△BCD为等腰三角形，‎ ‎∴∠1==70°，‎ ‎∵∠BEC为△ACE的外角，‎ ‎∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，‎ ‎∴∠2=∠ACE=40°，‎ ‎∴∠1+∠2=70°+40°=110°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知抛物线y=2x2﹣8x+6与x轴相交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，BC的中点为M，点B关于y轴的对称点为N，则MN的长度等于（　　）‎ A． B． C． D．6‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】求出A，B．C的坐标，根据中点公式求出点M坐标，根据对称求出点N坐标，运用两点距离公式即可求解．‎ ‎【解答】解：y=2x2﹣8x+6，‎ 当x=0时，y=6，‎ ‎∴点C（0，6），‎ 当y=0时，2x2﹣8x+6=0，‎ 解得：x=1或x=3，‎ ‎∴点A（1，0），点B（3，0），‎ 可求BC的中点为M（，3），点B关于y轴的对称点为N（﹣3，0），‎ MN=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎13．计算3x2•x3的结果等于　3x5　．‎ ‎【考点】单项式乘单项式．‎ ‎【分析】根据单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的幂相乘，可得答案．‎ ‎【解答】解：3x2•x3=3x2+3=3x5，‎ 故答案为：35．‎ ‎　‎ ‎14．若一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，则b的取值范围是　b≤　．‎ ‎【考点】一次函数的性质．‎ ‎【分析】根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于b的不等式，求出b的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=﹣x+b﹣的图象不过第三象限，‎ ‎∴b﹣≤0，解得b≤．‎ 故答案为：b≤．‎ ‎　‎ ‎15．一个不透明的盒子中装有7个大小相同的乒乓球，其中5个是黄球，2个是白球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：‎ ‎①全部情况的总数；‎ ‎②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解：∵盒子中装有7个大小相同的乒乓球，其中5个是黄球，2个是白球，‎ ‎∴该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为　6　．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】根据平行线分线段成比例，即可解答．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是　8　cm．‎ ‎【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．‎ ‎【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，‎ ‎∵AB=AC，AE平分∠BAC，‎ ‎∴AN⊥BC，BN=CN，‎ ‎∵∠DBC=∠D=60°，‎ ‎∴△BDM为等边三角形，‎ ‎∴△EFD为等边三角形，‎ ‎∵BD=5，DE=3，‎ ‎∴EM=2，‎ ‎∵△BDM为等边三角形，‎ ‎∴∠DMB=60°，‎ ‎∵AN⊥BC，‎ ‎∴∠ENM=90°，‎ ‎∴∠NEM=30°，‎ ‎∴NM=1，‎ ‎∴BN=4，‎ ‎∴BC=2BN=8（cm），‎ 故答案为8．‎ ‎　‎ ‎18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．‎ ‎（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；‎ ‎（2）点B的运动路径的长；‎ ‎（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）利用弧长公式列式计算即可得解；‎ ‎（3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）△A1B1O如图所示；‎ ‎（2）点B的运动路径的长==2π；‎ ‎（3）扫过的面积=S扇形B1OB+S△AOB，‎ ‎=+×4×2，‎ ‎=4π+4．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎19．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x≥﹣3，‎ 解②得：x＜2．‎ 不等式组的解集是：﹣3≤x＜2．‎ ‎　‎ ‎20．某校计划开设4门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后，绘制了如下不完整的两个统计图．‎ 根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）此次调查抽取的学生人数为a=　100　人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b=　40%　；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）用音乐的人数除以所占的百分比计算即可求出a，再用绘画的人数除以总人数求出b；‎ ‎（2）求出体育的人数，然后补全统计图即可；‎ ‎（3）用总人数乘以“绘画”所占的百分比计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）a=20÷20%=100人，‎ b=×100%=40%；‎ 故答案为：100；40%；‎ ‎（2）体育的人数：100﹣20﹣40﹣10=30人，‎ 补全统计图如图所示；‎ ‎（3）选择“绘画”的学生共有2000×40%=800（人）．‎ 答：估计全校选择“绘画”的学生大约有800人．‎ ‎　‎ ‎21．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D．‎ ‎（1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为　90°　；‎ ‎（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长；‎ ‎（3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；‎ ‎（2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；‎ ‎（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°‎ 故答案为90°；‎ ‎（2）连接CD，如图2，‎ ‎∵AC与⊙O相切，BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，∠ACB=90°．‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴∠A=∠B=45°，‎ ‎∴∠DCB=∠B=45°，‎ ‎∴DC=DB．‎ ‎∵BC=5，‎ ‎∴BD2+DC2=2BD2=52，‎ ‎∴BD=；‎ ‎（3）连接CD，如图3，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∵∠A=45°，‎ ‎∴∠ACD=45°=∠A，‎ ‎∴DA=DC．‎ 设BD=x，则CD=AD=7﹣x．‎ 在Rt△BDC中，‎ x2+（7﹣x）2=52，‎ 解得x1=3，x2=4，‎ ‎∴BD的长为3或4．‎ ‎　‎ ‎22．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD﹣112，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵AD=AB+BD，‎ ‎∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），‎ ‎∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，‎ ‎∴tan36°=，‎ ‎∴BD=CD•tan36°，‎ ‎∴CD•tan36°=CD﹣112，‎ ‎∴CD=≈≈415（m）．‎ 答：天塔的高度CD约为：415m．‎ ‎　‎ ‎23．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：‎ 售价（元/件）‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎…‎ 月销量（件）‎ ‎200‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎…‎ 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．‎ ‎（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　x﹣60　）元；②月销量是 （　400﹣2x　）件；（直接写出结果）‎ ‎（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；‎ ‎（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；‎ ‎②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，‎ 由题意得，，‎ 解得，，‎ ‎∴W=﹣2x+400；‎ ‎（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）‎ ‎=﹣2x2+520x﹣24000‎ ‎=﹣2（x﹣130）2+9800，‎ ‎∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．‎ ‎　‎ ‎24．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．‎ ‎（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；‎ ‎（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；‎ ‎②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答；‎ ‎（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，‎ ‎∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，‎ ‎∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），‎ ‎∴∠B1CA1=∠AB1C，‎ ‎∴BB1∥CA1；‎ ‎②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：‎ ‎∵AB=AC，AF⊥BC，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∵cos∠ABC=，AB=5，‎ ‎∴BF=3，‎ ‎∴BC=6，‎ ‎∴B1C=BC=6，‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴BE=B1E=，‎ ‎∴BB1=，CE=，‎ ‎∴AB1=，‎ ‎∴△AB1C的面积为：；‎ ‎（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，‎ 此时在Rt△BFC中，CF=，‎ ‎∴CF1=，‎ ‎∴EF1的最小值为；‎ 如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；‎ 此时EF1=EC+CF1=3+6=9，‎ ‎∴线段EF1的最大值与最小值的差为．‎ ‎　‎ ‎25．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．‎ ‎（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；‎ ‎（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；‎ ‎（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则 ‎△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，‎ ‎∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，‎ ‎∴A（0，n），且n＞0，‎ 又∵m＜0，‎ ‎∴m﹣n＜0，‎ ‎∴△=（m﹣n）2＞0，‎ ‎∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；‎ ‎（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，‎ 解得：x1=1，x2=，‎ 由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），‎ 又因为∠ABO=45°，‎ 所以A（0，1），即n=1，‎ 则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．‎ 再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；‎ ‎（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．‎ ‎∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点，‎ ‎∴q=mp2﹣（m+1）p+1．‎ ‎∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．‎ ‎∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．‎ ‎∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，‎ 当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；‎ 结合图象可知：﹣（12m+4）＜2，‎ 解得：m＞﹣．‎ ‎∴m的取值范围为：﹣＜m＜0．‎