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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题压轴题汇编

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‎2010年中考数学试题压轴题汇编(一)‎ ‎1.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.‎ ‎(1)求弦AB的长;‎ ‎(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;‎ ‎(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎【分析】(1)连接OA,OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=,借助勾股定理可求得AF的长;‎ F C P D O B A E H G ‎(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;‎ ‎(3)由题可知=DE (AB+AC+BC),又因为,所以,所以AB+AC+BC=,由于DH=DG=DE,所以在Rt△CDH中,CH=DH=DE,同理可得CG=DE,又由于AG=AE,BE=‎ BH,所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=DE+,可得=DE+,解得:DE=,代入AB+AC+BC=,即可求得周长为.‎ ‎【答案】解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.‎ 在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.‎ ‎(2)∠ACB是定值.‎ 理由:由(1)易知,∠AOB=120°,‎ 因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,‎ 因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;‎ ‎(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.‎ ‎∵=4,∴=4,∴l=8DE.‎ ‎∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,‎ ‎∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.‎ 又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,‎ ‎∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,‎ ‎∴△ABC的周长为.‎ ‎ 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题 ‎2.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1,试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.‎ C D B A E O ‎【分析】(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积; ‎ ‎(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.‎ ‎【答案】(1)由题意得B(3,1).‎ 若直线经过点A(3,0)时,则b=‎ 若直线经过点B(3,1)时,则b=‎ 若直线经过点C(0,1)时,则b=1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,‎ 图1‎ ‎ 此时E(2b,0)‎ ‎∴S=OE·CO=×2b×1=b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2‎ 图2‎ 此时E(3,),D(2b-2,1)‎ ‎∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )‎ ‎= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=‎ ‎∴‎ ‎(2)如图3,设O‎1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!‎ 图3‎ 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.‎ 过点D作DH⊥OA,垂足为H,‎ 由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,‎ 设菱形DNEM 的边长为a,‎ 则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴‎ ‎∴S四边形DNEM=NE·DH=‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.‎ ‎ 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.‎ ‎3、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G。‎ ‎(1)求的度数;‎ ‎(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎(图1)‎ x C D A O B E G H F y ‎(图2)‎ x C D A O B E y ‎(图3)‎ ‎②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标。‎ 解:(1)‎ ‎(2)(2,)‎ ‎(3)①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎(图3)‎ M ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时,设,‎ ‎∴‎ 解:‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 当点H在点G的左侧时,设,‎ ‎∴‎ 解:,(舍)‎ ‎∵△DEG≌△AEF ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)‎ ‎4.(重庆市)已知:如图(1),在平面直角坐标xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.‎ ‎(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;‎ ‎(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;‎ ‎(3)如图(2),现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.‎ 解:(1)过点作于点.(如图①)‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,, ∴.‎ ‎ 在Rt中,. (1分)‎ ‎ (ⅰ)当时,,,;‎ 过点作于点.(如图①)‎ ‎ 在Rt中,∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎ 即 . (3分)‎ ‎26题答图②‎ ‎ (ⅱ)当时,(如图②)‎ ‎,.‎ ‎∵,,∴.‎ ‎∴.‎ 即.‎ 故当时,,当时,. (5分)‎ ‎(2)或或或. (9分)‎ ‎(3)的周长不发生变化.‎ ‎26题答图③‎ 延长至点,使,连结.(如图③)‎ ‎∵,‎ ‎∴≌.‎ ‎∴,.…(10分)‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ 又∵.‎ ‎ ∴≌.∴. (11分)‎ ‎∴.‎ ‎∴的周长不变,其周长为4. (12分)‎ ‎5.(义乌市卷)如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B ‎(6,3).‎ ‎(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O‎1A1B‎1C1.设梯形O‎1A1B‎1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;‎ 图2‎ O1‎ A1‎ O y x B1‎ C1‎ D M C B A O y x 图1‎ D M ‎(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)对称轴:直线…………………………………………………….. 1分 解析式:或…………………………2分 ‎ 顶点坐标:M(1,)……….……………………………………3分 ‎ (2)由题意得 ‎ ‎3……………………………….1分 得:①…………….………………….2分 ‎ ‎ 得: ②….………………………………………..……3分 把②代入①并整理得:(S>0) (事实上,更确切为S>6)4分 当时, 解得:(注:S>0或S>6不写不扣 分) ‎ 把代入抛物线解析式得 ∴点A1(6,3)………5分 ‎(3)存在………………………………………………………………….….…1分 解法一:易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G 交点E的坐标为 ‎∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ= t 当∥时,‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时,如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA=∠FEQ ‎ ∴∠DPQ=∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时,如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG=∠FQE ‎ ∵∠DQP=∠FQE ∠FAG=∠EBD ‎∴∠DQP=∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴, ∴‎ ‎ ∴当秒时,使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ 解法二:可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴‎ ‎6.(湖州卷)(本小题12分)如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;‎ ‎(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.‎ 第24题 B C A x y F O D E ‎ 解:(1)由题意可得A(0,2), B(2,2), C(3,0),‎ ‎ 设所求抛物线的解析式为,‎ ‎ 则 解得 . ………………..3分 ‎ ∴ 抛物线的解析式为 . ….……………………..1分 ‎ (2)设抛物线的顶点为G,则.过点G作GH⊥AB,垂足为H,‎ ‎ 则AH=BH=1,GH=.‎ ‎ ∵ EA⊥AB, GH⊥AB, ∴ EA∥GH ,‎ ‎ ∴ GH是△EBA的中位线, ‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ 过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB.‎ ‎ ∵ ∠EBF=∠ABM=90 º, ∴ ∠EBA=∠FBM=90 º-∠ABF,‎ ‎ ∴ Rt△EBA≌Rt△FBM ,∴ .‎ ‎ ∵ CM=OC-OM=3-2=1,∴ CF=FM+CM=. …………….2分 ‎ (3)设CF=a,则FM=a-1或1- a,‎ ‎ ∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2‎-2a+5 .‎ ‎ ∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF. ‎ ‎ 则, ….1分 ‎ 又∵, ……….1分 ‎ ∴,即, ….1分 ‎∴当a=2(在0 PQ时,则点P在线段OC上, ‎ ‎ ∵ CM∥PQ,CM = 2PQ ,‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2(+1),解得x = 0 ,‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2)当CM < PQ时,则点P在OC的延长线上,‎ ‎ ∵CM∥PQ,CM = PQ,‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´2,‎ 解得: x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时,得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x =时, 得t =–8. ---2分 ‎ ‎14.(兰州市 本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)‎ ‎(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.‎ 图1 第28题图 图2‎ ‎ 解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎(2)① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ,解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时,点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎………………………………………………………………………7分 ‎(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD,AD⊥CD,‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3……………8分 当-t 2+3 t+3=5时,解得t=1、2………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,‎ 当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分 当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分 说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)‎ ‎15.(盐城市本题满分12分)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.‎ ‎(1)求这个函数关系式;‎ ‎(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;‎ ‎(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.‎ A x y O B ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D 解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时,△=1- ‎4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点.‎ ‎∴函数的解析式为:y=x+1 或`y=x2+x+1……(3分)‎ ‎ (2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C.‎ ‎∵是二次函数,由(1)知该函数关系式为:‎ y=x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点 坐标为A(0,1)………(4分)‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴,故PC=2BC,……………………………………………………(5分)‎ 设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上,∴-4-2x=x2+x+1…………………(6分)‎ 解之得:x1=-2,x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)…………………………………(7分)‎ ‎(3)点M不在抛物线上……………………………………………‎ ‎(8分)‎ 由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD,QE=MD,QE⊥CE ‎∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,故BE=,QE= ‎∴Q点的坐标为(-,)‎ 可求得M点的坐标为(,)…………………………………………………(11分)‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………(12分)‎ ‎(其它解法,仿此得分)‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ ‎ 16. (金华卷)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.‎ ‎ 请解答下列问题:‎ ‎ (1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;‎ ‎(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合; ‎ ‎ (3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. ‎ 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?‎ ‎② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 解:(1);………4分 (2)(0,),;……4分(各2分)‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ (3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△,∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎(图2)‎ ‎ 而,∴,‎ ‎ 由得 ;…………………1分 ‎ 当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;‎ ‎ 当点P在线段上时,‎ 过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴, 又∵‎ ‎ 在Rt△中,‎ ‎ 即,解得.…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下:‎ ‎ ∵,∴,,‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°,得到 ‎△(如图3)‎ ‎ ∵⊥,∴点在直线上,‎ ‎ C点坐标为(,-1)‎ ‎ 过作∥,交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由,可得Q的坐标为(-,)………………………1‎ 分 根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件.……1分 ‎17.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.‎ 第24题图 ‎ (1)求的值及点B的坐标; ‎ ‎(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2),求点N的横坐标;‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ 解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . ‎ ‎(2)①如图1,‎ ‎∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,‎ 第24题图1‎ ‎∴ ME=4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为. ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点D移到与点A重合时,如图2,‎ 直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.‎ 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,‎ 设N(x,0),‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF,‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3,‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),‎ 设N(x,0), ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎18. (丽水市卷)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都 在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不 可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;‎ 若不存在,请说明理由.‎ 解:‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎19.(益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;‎ ‎(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.‎ 解:⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为 ‎,则,         ‎ ‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为   ……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎ 由 ‎ 求得交点的坐标为        ……………………………8分 ‎⑶ 连结交于,的坐标为 又∵,‎ ‎  ∴,且 ‎    ∴四边形是菱形          ……………………………12分 ‎20.(丹东市)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).‎ ‎(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);‎ ‎(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; ‎ ‎(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎ (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.‎ 解:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分 ‎∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,‎ ‎∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分 ‎(写错一个点的坐标扣1分)‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎-8‎ ‎(-6,-4)‎ x y ‎(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,‎ ‎∵抛物线过点A(0,4), ‎ ‎∴.则抛物线关系式为. 4分 将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为:. 7分 ‎(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ ( 0<<4) 10分 ‎∵. ∴当时,S的取最小值.‎ 又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分 ‎(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分 ‎21.(威海市12分) ‎ ‎(1)探究新知:‎ ‎①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证:△ABM与△ABN的面积相等. ‎ ‎②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由. ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎(2)结论应用: ‎ 如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由. ‎ ‎﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y 解:﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F. ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC,AD=BC, ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形. ‎ ‎∴ AB∥CD. ‎ ‎∴ ME= NF. ‎ ‎∵S△ABM=,S△ABN=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分 ‎②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°. ‎ ‎∵ AD∥BE, ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK. ‎ ‎∵ AD=BE, ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK. ‎ ‎∴ DH=EK. ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF, ‎ ‎∴S△ABM=,S△ABG=, ‎ ‎∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为,即. ………………………5分 ‎∴ D点坐标为(0,3).‎ 设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为. ‎ 过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为. ‎ ‎∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为. ‎ 过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为,EF∥CG.‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等. ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,‎ 则PF=,EF=. ‎ ‎∴ EP=EF-PF==. ‎ ‎∴ . ‎ 解得,. ……………………………7分 ‎ 当时,PF=3-2=1,EF=1+2=3. ‎ ‎∴ E点坐标为(2,3). ‎ 同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚, ‎ 则. ……………………………………………9分 ‎∴.解得,. ………………………………10分 当时,E点的纵坐标为; ‎ 当时,E点的纵坐标为. ‎ ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;. ………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ A 图③-3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③-2‎ C D B O x y H P G F P E ‎ ‎ ‎22.( 湖北省恩施自治州 12分) 如图11,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式.‎ ‎(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎ 图11‎ 解:(1)将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分 解得: ‎ 所以二次函数的表达式为: ……………………………3分 ‎(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.‎ 连结PP 则PE⊥CO于E,‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=.…………………6分 ‎∴= ‎ 解得=,=(不合题意,舍去)‎ ‎∴P点的坐标为(,)…………………………8分 ‎(3)过点P作轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,),‎ 易得,直线BC的解析式为 则Q点的坐标为(x,x-3).‎ ‎= ……………10分 当时,四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为,四边形ABPC的 面积. ………………12分 ‎23.(河南省11分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A,B,C 三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.‎ ‎(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎24.(贵州省遵义市14分)如图,已知抛物线的顶点坐 ‎(27题图)‎ 标为Q,且与轴交于点C,与轴交于A、B两 点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥轴,‎ 交AC于点D.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在问题(2)的结论下,若点E在轴上,点F在抛物线上,‎ 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,‎ 求点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)(3分)‎ ‎∵抛物线的顶点为Q(2,-1)‎ ‎∴设 将C(0,3)代入上式,得 ‎∴, 即 ‎ ‎ ‎(2)(7分)分两种情况:‎ ‎ ①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)‎ ‎ 令=0, 得 解之得, ‎ ‎∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)‎ ‎∴P1(1,0)‎ ‎②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)‎ ‎∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=‎ 当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2‎ 又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.‎ 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ‎, ∴‎ ‎∴‎ ‎∵D2在上, P2在上,‎ ‎∴设D2(,), P2(,)‎ ‎∴()+()=0‎ ‎, ∴, (舍)‎ ‎∴当=2时, ‎ ‎==-1‎ ‎ ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)‎ ‎∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)‎ ‎ (3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,‎ 平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.‎ 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ‎∵P(2,-1), ∴可令F(,1)‎ ‎∴‎ 解之得: , ‎ ‎∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)‎ ‎25.(龙岩市14分)如图①,将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°),得△A1B‎1C,A‎1C交AB于点D,A1B1分别交于BC、AB于点E、F,连接AB1.‎ ‎(1)求证:△ADC∽△A1DF;‎ ‎(2)若α=30°,求∠AB‎1A1的度数;‎ ‎(3)如图②,当α=45°时,将△A1B‎1C沿C→A方向平移得△A2B‎2C2,A‎2C2交AB于点G,B‎2C2交BC于点H,设CC2=x(0<x<),△ABC与△A2B‎2C2的重叠部分面积为S,试求S与x的函数关系式.‎ 图①   图② 备用图 ‎(第25题图)‎ 解:‎ ‎ (1)证明:如图①,根据旋转变换的性质易知 ‎ ∠CAD=∠FA1D 1分 ‎ ∵ ∠1=∠2 2分 ‎ ∴ △ADC∽△A1DF 4分 ‎ (2)解:‎ 图①‎ ‎(法一) ∵ CA=CA1=CB=CB1=‎ ‎∵ 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为的圆上, 2分 ‎∴ ∠AB‎1A1= 4分 ‎ (法二) 如图①,‎ ‎∵ AC=B‎1C ‎ ∴ ∠4=∠3 1分 ‎ ∵ ,∠A1CB1=90°‎ ‎ ∴ ∠ACB1=120° 2分 ‎ ∴ ∠4==30° 3分 ‎ ∴ ∠AB‎1A1=∠CB‎1A1∠4=45°30°=15° 4分 ‎ (法三)如图①,‎ ‎∵ AC=B‎1C ‎ ∴ ∠4=∠3 1分 ‎ ∵ ∠CAB=∠CB‎1A1 ‎ ‎∴ ∠CAB∠3=∠CB‎1A1∠4‎ 即 ∠B1AB=∠AB‎1A1 2分 ‎∵ ∠5=∠B1AB+∠AB‎1A1‎ ‎∴ ∠5=2∠AB‎1A1 3分 ‎∵ △ADC∽△A1DF ‎ ‎∴ ∠5= ‎ ‎∴ ∠AB‎1A1= 4分 ‎ (3)解:△A1B‎1C在平移的过程中,易证得△AC‎2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、 ‎ ‎△FBE均是等腰直角三角形,四边形AC2B‎2F是平行四边形 1分 ‎ ∵ AB==2‎ ‎ ∴ 当α=45°时,CE=CD=AB=1‎ 情形①:当0<x<1时(如图②所示),‎ ‎△A2B‎2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG 2分 ‎(法一) S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B‎2FSRt△AC‎2GSRt△HB2E ‎∵ C‎2C=x ‎∴ CH=x,AC2=,B2E=HE=‎ ‎∴ AG=C‎2G=AC2=‎ ‎∴ S平行四边形AC2B‎2F=AC2·CE=()·1=‎ 图②‎ ‎ SRt△AC‎2G=·AG2=‎ ‎ SRt△HB2E=·B2E2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 ‎(法二) S五边形C2HEFG= SRt△A2B‎2C2SRt△A2FGSRt△HB2E ‎∵ C‎2C=x ‎∴ AC2=,B2E=‎ ‎∴ C‎2G=AC2=‎ A‎2G=A‎2C2‎C‎2G =‎ ‎∴ SRt△A2B‎2C2=A2==1‎ ‎ SRt△A2FG=A‎2G2=‎ ‎ SRt△HB2E =B2E2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 ‎(法三) S五边形C2HEFG= SRt△ABCSRt△AC‎2GSRt△C2HCSRt△FBE ‎∵ C‎2C=x ‎∴ AC2=,CH=,BE=‎ ‎∴ AG=C‎2G=AC2=‎ ‎∴ SRt△ABC=A==1‎ ‎ SRt△ AC‎2G =AG2=‎ ‎ SRt△C2HC =C‎2C2=‎ ‎ SRt△FBE =BE2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 情形②:当1≤x<时(如图③所示), ‎ ‎△A2B‎2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG 5分 ‎(法一) S直角梯形C2B2FG ‎=S平行四边形C2B2FASRt△AC‎2G ‎=AC2·CEAG2‎ ‎=‎ ‎= 6分 ‎(法二) S直角梯形C2B2FG ‎= SRt△A2B‎2C2SRt△A2FG 图③‎ ‎=‎ ‎= 6分 ‎26. (湖南省郴州市)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎(1)求点A的坐标;‎ ‎(2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么?‎ ‎(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由. ‎ 第26题 图(1)‎ 图(2)‎ ‎ ‎ 解:‎ ‎(1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4)………..2分 ‎(2)当b=0时,直线为,由解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2) ‎ ‎,‎ 所以(利用同底等高说明面积相等亦可) ……..4分 当时,仍有成立. 理由如下 由,解得, ‎ 所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b),‎ 作轴,轴,垂足分别为F、G,则,‎ 而和是同底的两个三角形,‎ 所以. …………………..6分 ‎(3)存在这样的b.‎ 因为 所以 所以,即E为BC的中点 所以当OE=CE时,为直角三角形 …………………..8分 因为 所以 ,而 所以,解得,‎ 所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形. ………………….10分 ‎ ‎27. (湖南省怀化市本题满分10分)‎ 图9是二次函数的图象,其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎(1)求出图象与轴的交点A,B的坐标; ‎ 图9‎ ‎(2)在二次函数的图象上是否存在点P,‎ 使,若存在,求出P点的 坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)将二次函数的图象在轴下方的部分 沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,‎ 得到一个新的图象,请你结合这个 新的图象回答:当直线与此 图象有两个公共点时,的取值范围.‎ 解:(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标,‎ 所以 ………………………………………2分 令解之得.‎ ‎∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)………………………………4分 ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P,使…………………………5分 设则,又,‎ ‎∴‎ 图1‎ ‎∵二次函数的最小值为-4,∴.‎ 当时,.‎ 故P点坐标为(-2,5)或(4,5)……………7分 ‎(3)如图1,当直线经过A点时,可得……………8分 ‎ 当直线经过B点时,可得…………9分 由图可知符合题意的的取值范围为……10分 ‎28.(湖南省株洲市本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,且与轴交于另一点,其顶点为.孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量:‎ ‎① 量得;‎ ‎② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为.‎ 请完成下列问题:‎ ‎(1)写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2),直尺的两边交轴于点、,交抛物线于点、.求证:.‎ 图1‎ 图2‎ ‎·‎ B 解:(1)      ……… 2分 ‎(2)设抛物线的解析式为:,当时,,即;当时,,即,依题意得:,解得:.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. ……… 6分 ‎(3)方法一:过点作,垂足为,设, ,得: ①‎ ‎ ②‎ 又,得,分别代入①、②得:,‎ ‎∴‎ 得:‎ 又 ‎∴ ………10分 方法二:过点作,垂足为,设,则,得:‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴ ………10分 ‎2010年中考数学试题压轴题汇编(二)‎ ‎29.(荆门市本题满分12分)已知:如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求四边形BDEC的面积S;‎ ‎(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.‎ 第24题图 解:(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=x2+bx+c得 得解析式y=x2-x+1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0,y0),则有 解得∴C(4,3).……………………………………………6分 由图可知:S=S△ACE-S△ABD.又由对称轴为x=可知E(2,0).‎ ‎∴S=AE·y0-AD×OB=×4×3-×3×1=…………………………………8分 第24题图 当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴.即.‎ 整理得a2-‎4a+3=0.解得a=1或a=3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)‎ 综上所述:满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎(3)设符合条件的点P存在,令P(a,0):‎ ‎30.(济宁市10分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;‎ ‎(第23题)‎ ‎(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ 解:(1)设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,.‎ ‎ ∴为(2,0),为(6,0).∴.‎ 设⊙与相切于点,连接,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(第23题)‎ ‎(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时,的面积最大为.‎ ‎ 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 ‎31.(中山市)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:‎ ‎(1)说明△FMN∽△QWP;‎ ‎(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?‎ ‎(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.‎ 第22题图(2)‎ A B C D F 第22题图(1)‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎32.(青岛市本小题满分12分)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = ‎ ‎8 cm‎,BC = ‎6 cm,EF = ‎9 cm.‎ 如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?‎ ‎(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.‎ A D B C F ‎(‎ E ‎)‎ 图(1)‎ A D B C F E 图(2)‎ P Q ‎(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)‎ A B C 图(3)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ 图(2)‎ Q A D B C F E P M ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知:CE = t,BP =2 t, ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8-t.‎ ‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10-2 t.‎ ‎ ∴10-2 t = 8-t.‎ ‎ 解得:t = 2.‎ ‎ 答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 ‎ (2)过P作,交BE于M,‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中,,‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.‎ ‎ ∴y = S△ABC-S△BPE =-= -‎ ‎= = .‎ ‎∵,∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时,y最小=.‎ 答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分 ‎ (3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作,交AC于N,‎ C E A D B F 图(3)‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵,∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∵NQ = AQ-AN,‎ ‎∴NQ = 8-t-() = .‎ ‎∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,‎ ‎∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN,‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得:t = 1.‎ 答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎33、(南充市)已知抛物线上有不同的两点E和F.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.‎ ‎(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.‎ B A M C D O P Q x y 解:(1)抛物线的对称轴为. ……..(1分) ∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同, ∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则 ,且k≠-2. ∴ 抛物线的解析式为.            ……..(2分) (2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4), ∴ AB=,AM=BM=.                ……..(3分) 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°, 在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°, 在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°. ∴ ∠BCM=∠AMD. 故 △BCM∽△AMD.                     ……..(4分) ∴ ,即 ,. 故n和m之间的函数关系式为(m>0).          ……..(5分) (3)∵ F在上,    ∴ ,‎ ‎  化简得,,∴ k1=1,k2=3.       即F1(-2,0)或F2(-4,-8).             ……..(6分)   ①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为, ‎ ‎  则   解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).   若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=;   若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=.   ……..(7分)   ②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为,   则  解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,).   若MP过点F(-4,-8),则n=4-()=,m=;   若MQ过点F(-4,-8),则m=4-=,n=.  ……..(8分)  故当  或时,∠PMQ的边过点F.‎ ‎34. ((衢州卷)本题12分)‎ O y x C B A ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 解:(1)  ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分 设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分 解得 ,(舍去). ‎ ‎∴ 点B的横坐标是. ……2分 ‎(2) ① 当,,时,得  ……(*)‎ ‎. ……1分 以下分两种情况讨论.‎ 情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎35.(莱芜市本题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;‎ ‎(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎(第24题图)‎ x y O A C B D E F 解:(1)∵抛物线经过点,,.‎ ‎∴, 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. …………………………3分 ‎(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).‎ ‎∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分 连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.‎ 在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=.‎ ‎∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为:‎ ‎. …………………………7分 ‎(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ………8分 设点,PG交直线AC于N,‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.‎ 即=.‎ 解得:m1=-3, m2=2(舍去).‎ 当m=-3时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得:,(舍去).当时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分. …………………12分 ‎36. (舟山卷 本题12分)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.‎ ‎(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;‎ ‎(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:‎ ‎① 当,,时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;‎ ‎② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ 解:(1)  ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分 设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分 解得 ,(舍去). ‎ ‎∴ 点B的横坐标是. ……2分 ‎(2) ① 当,,时,得  ……(*)‎ ‎. ……1分 以下分两种情况讨论.‎ 情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎. ……1分 由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分 点A的坐标为(,),‎ ‎∵ A,B两点关于原点对称,‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴ 点B的坐标为(,).‎ 将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;‎ 将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.‎ ‎∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上.  ……2分 情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),‎ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).‎ 经计算,A,B两点都不在这条抛物线上.    ……1分 ‎(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎② 存在.m的值是1或-1.  ……2分 ‎(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎37.(2010.十堰)(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0‎ ‎(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.‎ ‎(2)若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.‎ ‎(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.‎ 解:(1)分两种情况讨论:‎ ‎①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[-(‎3m-1)]2-‎4m(‎2m-2)=m2+‎2m+1=(m+1)2≥0‎ 不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根 综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2=0恒有实数根.‎ ‎(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(‎3m-1)x+‎2m-2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=,x1·x2=‎ 由| x1-x2|====,‎ 由| x1-x2|=2得=2,∴=2或=-2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x- 即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其图象如右图所示.‎ ‎(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.‎ ‎,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;‎ 同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.‎ 观察函数图象可知当b<-或b>-时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时,有x=2或x=1‎ 当x=1时,y=-1‎ 所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,‎ 综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ ‎38.(河北省本小题满分12分)‎ 某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.‎ 若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y =x+150,‎ 成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).‎ 若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为 常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2 元的附加费,设月利润为w外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费).‎ ‎(1)当x = 1000时,y = 元/件,w内 = 元;‎ ‎(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);‎ ‎(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;‎ ‎(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?‎ 参考公式:抛物线的顶点坐标是.‎ 解:(1)140 57500;‎ ‎(2)w内 = x(y -20)- 62500 = x2+130 x,‎ w外 = x2+(150)x.‎ ‎(3)当x = = 6500时,w内最大;分 由题意得 , ‎ 解得a1 = 30,a2 = 270(不合题意,舍去).所以 a = 30. ‎ ‎(4)当x  = 5000时,w内 = 337500, w外 =.‎ 若w内 < w外,则a<32.5;‎ 若w内 = w外,则a = 32.5;‎ 若w内 > w外,则a>32.5.‎ 所以,当10≤ a <32.5时,选择在国外销售;‎ 当a = 32.5时,在国外和国内销售都一样;‎ 当32.5< a ≤40时,选择在国内销售.‎ ‎39. (德州市本题满分11分) ‎ 已知二次函数的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).‎ ‎(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;‎ ‎(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;‎ x y O A B C P Q D E G M N F x y O A B C P Q M N 第23题图 ‎②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.‎ ‎ ‎ 解:(1)∵二次函数的图象经过点C(0,-3),‎ ‎∴c =-3.‎ 将点A(3,0),B(2,-3)代入得 解得:a=1,b=-2.‎ ‎∴.-------------------2分 配方得:,所以对称轴为x=1.-------------------3分 ‎(2) 由题意可知:BP= OQ=0.1t.‎ ‎∵点B,点C的纵坐标相等,‎ ‎∴BC∥OA.‎ 过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E.‎ 要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB.‎ 即QE=AD=1.‎ 又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,‎ ‎∴2-0.2t=1.‎ 解得t=5.‎ 即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.-------------------6分 ‎②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.‎ ‎∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,‎ ‎∴BF=CF=OG=1.‎ 又∵BP=OQ,‎ ‎∴PF=QG.‎ 又∵∠PMF=∠QMG,‎ ‎∴△MFP≌△MGQ.‎ ‎∴MF=MG.‎ ‎∴点M为FG的中点 -------------------8分 ‎∴S=,‎ ‎=.‎ 由=.‎ ‎.‎ ‎∴S=.-------------------10分 又BC=2,OA=3,‎ ‎∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.‎ ‎∴04.8,x<12,所以.‎ 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 ‎(0< x≤4.8)‎ ‎ ……………………8分 当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04‎ 当时,因为,所以当时,‎ ‎△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.‎ 因为24>23.04,‎ 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …10分 C E D G A x y O B F ‎48.(绵阳市)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;‎ ‎(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;‎ ‎(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,‎ ‎△EFK的面积最大?并求出最大面积.‎ 解:(1)由题意,得 解得,b =-1.‎ 所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =.‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3.‎ 由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,‎ 得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +.‎ 联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).‎ ‎(3)设K(t,),xF<t<xE.过K作x轴的垂线交EF于N.‎ 则 KN = yK-yN =-(t +)=.‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +.‎ 即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).‎ ‎49.(钦州市本题满分10分)‎ 如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.‎ ‎ (1)点B的坐标为 ▲ ;用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ;(3分)‎ ‎(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)‎ ‎(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分) ‎ ‎(备用图)‎ 解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分) 3分 ‎(2)∵S△OMP =×OM×, 4分 ‎∴S =×(6 -t)×=+2t.‎ ‎ =(0 < t <6). 6分 ‎∴当时,S有最大值. 7分 ‎ (3)存在.‎ ‎ 由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),‎ 则直线ON的函数关系式为:.‎ ‎(备用图)‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ ‎ 设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为.‎ ‎∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. 8分 ‎① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.‎ ‎∴, b =.‎ ‎∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)‎ 此时点T1的坐标为(0,). 9分 ‎② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.‎ ‎∴,b=.‎ ‎∴b1=,b2=(不合题意,舍去).‎ ‎∴此时点T2的坐标为(0,).‎ 综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件.…10分 ‎50.( 福建省南平市14分)如图1,已知点B(1,3)、C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.‎ ‎(1)填空:A点坐标为(____,____),D点坐标为(____,____);‎ ‎(2)若抛物线y= x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由.‎ ‎(提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,)‎ O y x A D B C 图1‎ O y x A B C 备用图 ‎·‎ 解:(1) A(-2,0) ,D(-2,3)‎ ‎ (2)∵抛物线y= x2+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3)‎ ‎ 代入,解得:b=- ,c= ‎ ‎∴ 所求抛物线解析式为:y= x2 - x+ (3) 答:存在 解法一: 设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴,‎ 则平移后的解析式为:y= x2 - x++h =(x -1)² + h 此时抛物线与y轴交点E(0,+h)‎ 当点M在直线y=x+2上,且满足直线EM∥x轴时 则点M的坐标为()‎ 又 ∵M在平移后的抛物线上,则有 ‎ +h=(h--1)²+h 解得: h= 或 h=‎ ‎(і)当 h= 时,点E(0,2),点M的坐标为(0,2)此时,点E,M重合,不合题意舍去。‎ ‎(ii)当 h=时,E(0,4)点M的坐标为(2,4)符合题意 综合(i)(ii)可知,抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴。‎ 解法二:∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时,仅当M,E重合时,它们的纵坐标相等。‎ ‎∴EM不会与x轴平行 当点M在抛物线的右侧时,设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴 则平移后的抛物线的解析式为∵y=x²++h =(x - 1)² + h ‎∴ 抛物线与Y轴交点E(0,+h)‎ ‎∵抛物线的对称轴为:x=1‎ 根据抛物线的对称性,可知点M的坐标为(2,+h)时,直线EM∥x轴 将(2,+h)代入y=x+2得,+h=2+2 解得:h=‎ ‎∴ 抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴 ‎51. (河池市 本小题满分12分) ‎ 如图11,在直角梯形中,∥,,点为坐标原点,点在轴的正半轴上,对角线,相交于点,,.‎ ‎(1)线段的长为 ,点的坐标为 ;‎ M C B O A 图11‎ ‎(2)求△的面积;‎ ‎(3)求过,,三点的抛物线的解析式;‎ ‎(4)若点在(3)的抛物线的对称轴上,点为该 抛物线上的点,且以,,,四点为顶点的四边形 为平行四边形,求点的坐标.‎ ‎ ‎ M C B O A D 解:(1)4 ;. …………………(2分)‎ ‎(2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4,‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………(3分)‎ ‎ 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM=‎2CM ,CM=AC ………………(4分)‎ ‎ 所以 ………(5分)‎ ‎(注:另有其它解法同样可得结果,正确得本小题满分.)‎ ‎(3)设抛物线的解析式为 ‎   由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎      ……………………………(6分)‎ ‎   解这个方程组,得,, ………………(7分)‎ 所以抛物线的解析式为 ………………(8分)‎ ‎ (4)∵ 抛物线的对称轴是CD,‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时,CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形,此时点F和点C重合,点F的坐标即为点; …(9分)‎ ‎② 当点E在轴的下方,点F在对称轴的右侧,存在平行四边形,‎ ‎∥,且,此时点F的横坐标为6,将代入,可得.所以. ………………………………………(11分)‎ ‎ 同理,点F在对称轴的左侧,存在平行四边形,∥,且,此时点F的横坐标为,将代入,可得.所以.(12分)‎ 综上所述,点F的坐标为,. ………(12分)‎ ‎  ‎ ‎52.(安徽省)如图,已知,相似比为k(k>1),且的三边长分别为a、b、c(a>b>c),的三边长分别为、、.‎ ‎(1)若c=a1,求证:a=kc;‎ ‎[证]‎ ‎(2)若c=a1,试给出符合条件的一对,使得a、b、c和、、都是正整数,并加以说明;‎ ‎[解]‎ ‎(3)若b=a1,c=b1,是否存在使得k=2?请说明理由.‎ ‎[解]‎ 第23题图 解:(1)证:,且相似比为 又 (3分)‎ ‎(2)解:取 (8分)‎ 此时且 (10分)‎ 注:本题也是开放型的,只要给出的和符合要求就相应赋分.‎ ‎(3)解:不存在这样的和.理由如下:‎ 若则 又,‎ ‎ (12分)‎ ‎,而 故不存在这样的和,使得 (14分)‎ 注:本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.‎ ‎53.(芜湖市 本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-3,1)、C(-3,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-,1)、F(-,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.‎ ‎(1)求折痕所在直线EF的解析式;‎ ‎(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;‎ ‎(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.‎ 解:‎ ‎(2)设矩形沿直线向右下方翻折后,、的对应点为.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎[此时需说明]. 6分 设二次函数解析式为:‎ 抛物线经过、、.‎ 得到解得 ‎. 9分 ‎(3)能,可以在直线上找到点,连接.‎ 由于、在一条直线上,故的和最小,‎ 由于为定长,所以满足周长最小. 10分 设直线的解析式为:‎ ‎. 12分 ‎. 14分 ‎[注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!]‎ ‎54.( 重庆市綦江县) 已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在请说明理由.‎ 解:方法一:∵抛物线过C(0,-6)‎ ‎∴c=-6, 即y=ax2+bx-6‎ 由 解得:a= ,b=-‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=x2-x-6 -----------------3分 方法二:∵A、B关于x=2对称 ‎∴A(-8,0) 设y=a(x+8)(x-12) ‎ ‎ C在抛物线上 ∴-6=a×8×(-12) 即a=‎ ‎∴该抛物线的解析式为:y=x2-x-6 --------3分 ‎(2)存在,设直线CD垂直平分PQ, ‎ 在Rt△AOC中,AC==10=AD ‎∴点D在对称轴上,连结DQ 显然∠PDC=∠QDC,-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD ‎∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分 DB=AB-AD=20-10=10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5‎ ‎∴t=5÷1=5(秒) ‎ ‎∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分 在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 ‎ ‎ ∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分 ‎(3)存在 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9‎ 在Rt△PQH中,PQ==3 --------------------9分 ‎①当MP=MQ,即M为顶点,‎ 设直线CD的直线方程为:y=kx+b(k≠0),则:‎ ‎ 解得:‎ ‎∴y=3x-6‎ 当x=1时,y=-3 ∴M1(1, -3) ------------------------10分 ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点.‎ 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得:‎ ‎42+y2=90 即y=±‎ ‎∴M2(1,) M3(1,-) -----------------------11分 ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.‎ 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1, -3)‎ 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得:‎ ‎(y+3)2+52=90 即y=-3±‎ ‎∴M4(1, -3+) M5((1, -3-) --------------------12分 综上所述:存在这样的五点:‎ M1(1, -3), M2(1,), M3(1,-), M4(1, -3+),‎ M5((1, -3-).‎ ‎55.(山东省滨州市 本题满分l0分)‎ 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标;‎ ‎(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?‎ 解:①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中,‎ ‎∵OD=MC,AD=BC,‎ ‎∴△AOD≌△BMC.‎ ‎∴OA=MB=MA.………………………………………l分 设菱形的边长为‎2m,‎ 在Rt△AOD中,‎ 解得m=1. http://www.czsx.com.cn ‎∴DC=2,OA=1,OB=3.‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,)………………… 4分 ‎②设抛物线的解析式为y=(—2)2+ ‎ 代入A点坐标可得=—‎ 抛物线的解析式为y=—(—2)2+……………………………………7分 ‎③设抛物线的解析式为y=—(一2)2+k 代入D(0,)可得k=5 ‎ 所以平移后的抛物线的解析式为y=—(一2)2+5…………………………9分 平移了5一=4个单位.…………………………………………………l0分 ‎ ‎ ‎56.(山东省烟台市 本题满分14分)‎ 如图,已知抛物线y=x2+bx-‎3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x2+bx-‎3a中,得 ‎1+b-‎3a=0‎ ‎ -‎3a=-3 ‎ a=1‎ 解得 b=2‎ ‎∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-3………………………………………4分 ‎(2)令y=0,得x2+2x-3=0,‎ 解得x1=-3,x2=1‎ ‎∴点C(-3,0)……………………………………………………5分∵B(0,-3) ‎∴△BOC为等腰直角三角形.‎ ‎∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴,垂足为D, ‎∵PB⊥BC,∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分 所以可设点P(x,-3+x)‎ 则有-3+x=x2+2x-3,∴x=-1,所以P点坐标为(-1,-4)………………………10分 ‎(3)由(2)知,BC⊥BP 当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上.‎ 若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,‎ ‎∵B(0,-3),C(-3,0),‎ ‎∴直线BC的解析式为y=-x-3…………………………11分 ‎∵直线PQ∥BC,且P(-1,-4), ‎∴直线PQ的解析式为y=-(x+1)-3-1 即y=-x-5…………………………………………………12分 ‎ y=-x-5‎ 联立方程组得  y=x2+2x-3‎ 解得x1=-1,x2=-2…………………………………………………………………………13分 ‎∴x=-2,y=-3,即点Q(-2,-3)‎ ‎∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3)………………………………………………14分 ‎57.(四川省成都市)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.‎ ‎(1)求直线及抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;‎ ‎(3)设的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?‎ 解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,‎ ‎ ∴,。‎ ‎ 将 代入,得。解得。‎ ‎ ∴直线AC的函数表达式为。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得 ‎∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E,‎ ‎∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴,解得 ‎∴点P的坐标为 ‎(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。‎ ‎ 设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。‎ 当时,得,∴‎ 当时,得,∴‎ ① 当⊙Q与x轴相切时,有,即 当时,得,即,解得,∴‎ 当时,得,即,解得,∴,。‎ 综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。‎ ‎(Ⅱ)设点Q的坐标为。‎ 当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。‎ 由,得,即,‎ ‎∵△=‎ ‎∴此方程无解。‎ 由,得,即,‎ 解得 ‎∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。‎ ‎58.(四川省泸州市本题满分l2分)‎ ‎ 已二次函数及一次函数.‎ ‎ (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;‎ ‎ (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值:‎ ‎ (3)当时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.‎ 解:(1)二次函数图象的顶点坐标为,与轴的交点坐标为 ‎ (2)①当直线位于时,此时过点,‎ ‎ ∴,即。‎ ‎②当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点。‎ ‎∴方程有一根,‎ ‎∴,即 当时,满足,‎ 由①②知,或。‎ ‎(3)∵‎ ‎∵当时,函数的图象与x轴有两个不同交点,‎ ‎∴应同时满足下列三方面的条件:‎ ‎①方程的判别式△=,‎ ‎②抛物线的对称轴满足,‎ ‎③当时,函数值,当时,函数值 即,解得。‎ ‎∴当时,函数图象()的图象与轴有两个不同公共点.‎ ‎59.( 珠海市)如图,平面直角坐标系中有一矩形ABCD(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6);将BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在OA边的E点上,并将BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD的点F上.‎ ‎(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数,并求折痕BD所在直线的函数解析式;‎ ‎(2)过F点作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线经过B、H、D三点,求抛物线的函数解析式;‎ ‎(3)若点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M,设h=PM-MN,试求出h与P点横坐标x的函数解析式,并画出该函数的简图,分别写出使PMMN成立的x的取值范围。‎ 解:(1)∠ABE=∠CBD=30° ‎ 在△ABE中,AB=6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(,6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG=EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H(,) …………4分 ‎∵B(,6) 、 D(0,2)、 H(,)在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示:‎ 当00,即HP>MN ‎60.(山西省)在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90º,CB=3,OA=6,BA=3.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;‎ ‎(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N ‎.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ A B D E ‎(第26题 图1)‎ F C O M N x y 解:(1)作轴于点则四边形为矩形,‎ ‎∴ (1分)‎ ‎∴‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ (2分)‎ ‎∴点的坐标为 (3分)‎ ‎(2)作轴于点则 ‎∴ (4分)‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎∴点的坐标为 (5分)‎ 又∵点的坐标为 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 (7分)‎ ‎(3)答:存在 (8分)‎ ‎①如图1,当时,四边形为菱形.‎ 作轴于点,则轴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵当时,解得 ‎∴点的坐标为∴‎ 在中,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴点的坐标为 (10分)‎ ‎②如图2,当时,四边形为菱形.延长交轴于点则轴.‎ ‎∵点在直线上,‎ ‎∴设点坐标为 在中,‎ ‎∴‎ 解得(舍去),‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴点的坐标为 (12分)‎ ‎③如图3,当时,四边形为菱形.连接交于点则与互相垂直平分,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴点的坐标为 (14分)‎ 综上所述,轴上方的点有三个,分别为 ‎(其它解法可参照给分).‎ ‎61.(湖北省襄樊市 本小题满分12分)‎ 如图7,四边形是平行四边形,抛物线过三点,与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动,运动到点停止,同时一动点从点出发,以每秒3个单位长度的速度沿向点运动,与点同时停止.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若抛物线的对称轴与交于点,与轴交于点,当点运动时间为何值时,四边形是等腰梯形?‎ 图7‎ ‎(3)当为何值时,以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似?‎ 解:(1)四边形是平行四边形,‎ ‎   ‎ ‎ 1分 抛物线过点, 2分 由题意,有解得 3分 所求抛物线的解析式为 4分 ‎(2)将抛物线的解析式配方,得 抛物线的对称轴为 5分 欲使四边形为等腰梯形,则有 ‎ 7分 ‎(3)欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似,‎ 有或 即或 ‎①若在轴的同侧.当时,=, 8分 当时,即 解得 9分 ‎②若在轴的异侧.当时,, 10分 当时,,即.解得 ‎.故舍去. 11分 当或或或秒时,以为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形相似. 12分