中考数学试题压轴题汇编 95页

‎2010年中考数学试题压轴题汇编(一)‎ ‎1．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．‎ ‎（1）求弦AB的长；‎ ‎（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；‎ ‎（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；‎ F C P D O B A E H G ‎（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；‎ ‎（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝‎ BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．‎ ‎【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．‎ 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．‎ ‎（2）∠ACB是定值.‎ 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，‎ 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，‎ 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；‎ ‎（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．‎ ‎∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.‎ ‎∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．‎ 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，‎ ‎∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，‎ ‎∴△ABC的周长为．‎ ‎ 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 ‎2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1，试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.‎ C D B A E O ‎【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； ‎ ‎（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．‎ ‎【答案】（1）由题意得B（3，1）．‎ 若直线经过点A（3，0）时，则b＝‎ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝‎ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，‎ 图1‎ ‎ 此时E（2b，0）‎ ‎∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2‎ 图2‎ 此时E（3，），D（2b－2，1）‎ ‎∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )‎ ‎＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝‎ ‎∴‎ ‎（2）如图3，设O‎1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！‎ 图3‎ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．‎ 过点D作DH⊥OA，垂足为H，‎ 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，‎ 设菱形DNEM 的边长为a，‎ 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴‎ ‎∴S四边形DNEM＝NE·DH＝‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．‎ ‎ 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 ‎【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．‎ ‎3、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。‎ ‎（1）求的度数;‎ ‎（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎（图1）‎ x C D A O B E G H F y ‎（图2）‎ x C D A O B E y ‎（图3）‎ ‎②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。‎ 解：（1）‎ ‎（2）（2，）‎ ‎（3）①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎（图3）‎ Ｍ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：‎ ‎∴点F的坐标为（，0）‎ 当点H在点Ｇ的左侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：，（舍）‎ ‎∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点Ｆ的坐标为（，0）‎ 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）‎ ‎4．(重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.‎ ‎（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；‎ ‎（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．‎ 解：（1）过点作于点．（如图①）‎ ‎∵，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵，， ∴．‎ ‎ 在Rt中，． （1分）‎ ‎ （ⅰ）当时，,,；‎ 过点作于点．（如图①）‎ ‎ 在Rt中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎ 即 ． （3分）‎ ‎26题答图②‎ ‎ （ⅱ）当时，（如图②）‎ ‎，．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 故当时，，当时，． （5分）‎ ‎（2）或或或． （9分）‎ ‎（3）的周长不发生变化．‎ ‎26题答图③‎ 延长至点，使，连结．（如图③）‎ ‎∵，‎ ‎∴≌．‎ ‎∴，．…（10分）‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ 又∵．‎ ‎ ∴≌．∴． （11分）‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长不变，其周长为4． （12分）‎ ‎5．(义乌市卷)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B ‎（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O‎1A1B‎1C1．设梯形O‎1A1B‎1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；‎ 图2‎ O1‎ A1‎ O y x B1‎ C1‎ D M C B A O y x 图1‎ D M ‎（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）对称轴：直线…………………………………………………….. 1分 解析式：或…………………………2分 ‎ 顶点坐标：M（1，）……….……………………………………3分 ‎ （2）由题意得 ‎ ‎3……………………………….1分 得：①…………….………………….2分 ‎ ‎ 得： ②….………………………………………..……3分 把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分 当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 分) ‎ 把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5分 ‎（3）存在………………………………………………………………….….…1分 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的 C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G 交点E的坐标为 ‎∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t 当∥时，‎ ‎ 得 ………2分 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎①当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ‎ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分 C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G ② 当时，如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ‎ ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ‎∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴， ∴‎ ‎ ∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分 ‎ 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴‎ ‎6．（湖州卷）（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；‎ ‎（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．‎ 第24题 B C A x y F O D E ‎ 解：（1）由题意可得A(0，2)， B(2，2)， C(3，0),‎ ‎ 设所求抛物线的解析式为,‎ ‎ 则 解得 . ………………..3分 ‎ ∴ 抛物线的解析式为 . ….……………………..1分 ‎ （2）设抛物线的顶点为G，则.过点G作GH⊥AB，垂足为H，‎ ‎ 则AH=BH=1，GH=.‎ ‎ ∵ EA⊥AB, GH⊥AB, ∴ EA∥GH ,‎ ‎ ∴ GH是△EBA的中位线， ‎ ‎ ∴ . ………………2分 ‎ 过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB.‎ ‎ ∵ ∠EBF=∠ABM=90 º， ∴ ∠EBA=∠FBM=90 º-∠ABF，‎ ‎ ∴ Rt△EBA≌Rt△FBM ，∴ .‎ ‎ ∵ CM=OC-OM=3-2=1，∴ CF=FM+CM=. …………….2分 ‎ （3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，‎ ‎ ∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2‎-2a+5 .‎ ‎ ∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF. ‎ ‎ 则， ….1分 ‎ 又∵， ……….1分 ‎ ∴，即， ….1分 ‎∴当a=2（在0 PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，‎ 解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x =时， 得t =–8. ---2分 ‎ ‎14.（兰州市 本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）‎ ‎（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．‎ 图1 第28题图 图2‎ ‎ 解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎（2）① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=－2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=－2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,－t 2+4t) ………………………6分 ‎∴ AN=－t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN－AP=(－t 2+4 t)－ t=－t 2+3 t=t(3－t)≥0 , ∴ PN=－t 2+3 t ‎ ‎………………………………………………………………………7分 ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(－t 2+3 t)]×2=－t 2+3 t+3……………8分 当－t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，‎ 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）‎ ‎15．（盐城市本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎（1）求这个函数关系式；‎ ‎（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；‎ ‎（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．‎ A x y O B ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ A x y O B P M C Q E D 解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)‎ 当a≠0时，△=1- ‎4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．‎ ‎∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）‎ ‎ （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x ‎ 轴于点C．‎ ‎∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：‎ y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点 坐标为A（0，1）………（4分）‎ ‎∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ‎ ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ‎ ∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）‎ 设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2‎ ‎∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)‎ ‎∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）‎ 解之得：x1=-2，x2=-10‎ ‎∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）‎ ‎（3）点M不在抛物线上……………………………………………‎ ‎（8分）‎ 由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ‎ ‎∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE ‎∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ‎∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB = CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE= ‎∴Q点的坐标为(-，)‎ 可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）‎ ‎∵=≠ ‎∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）‎ ‎(其它解法，仿此得分)‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ ‎ 16. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ ‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. ‎ 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 而，∴,‎ ‎ 由得 ；…………………1分 ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ 即，解得．…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）………………………1‎ 分 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分 ‎17.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.‎ 第24题图 ‎ （1）求的值及点B的坐标； ‎ ‎（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2)，求点N的横坐标；‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ 解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . ‎ ‎（2）①如图1，‎ ‎∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，‎ 第24题图1‎ ‎∴ ME＝4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为． ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，‎ 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．‎ 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,‎ 设Ｎ（x，0），‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF，‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3，‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),‎ 设N（x，0）， ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎18. (丽水市卷)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不 可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 解：‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎19.（益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；‎ ‎(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.‎ 解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为 ‎，则，　　　　　　　　　‎ ‎　解得 ‎∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎　由 ‎　求得交点的坐标为　　　　　　　 ……………………………8分 ‎⑶　连结交于，的坐标为 又∵，‎ ‎　　∴，且 ‎　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分 ‎20．(丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．‎ ‎（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；‎ ‎（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； ‎ ‎（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．‎ 解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分 ‎∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，‎ ‎∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分 ‎（写错一个点的坐标扣1分）‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎－8‎ ‎(－6，－4)‎ x y ‎（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，‎ ‎∵抛物线过点A（0，4）， ‎ ‎∴．则抛物线关系式为． 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为：． 7分 ‎（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ （ 0＜＜4） 10分 ‎∵． ∴当时，S的取最小值．‎ 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分 ‎（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分 ‎21.（威海市12分） ‎ ‎（1）探究新知：‎ ‎①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证：△ABM与△ABN的面积相等． ‎ ‎②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎（2）结论应用： ‎ 如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ‎ ‎﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y 解：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC，AD＝BC， ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ‎ ‎∴ ME= NF． ‎ ‎∵S△ABM＝，S△ABN＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分 ‎②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°． ‎ ‎∵ AD∥BE， ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK． ‎ ‎∵ AD＝BE， ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK． ‎ ‎∴ DH=EK． ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF， ‎ ‎∴S△ABM＝，S△ABG＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分 ‎∴ D点坐标为（0，3）．‎ 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为． ‎ 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ‎ ‎∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为． ‎ 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，‎ 则PF=，EF＝． ‎ ‎∴ EP＝EF－PF＝=． ‎ ‎∴ ． ‎ 解得，． ……………………………7分 ‎ 当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ‎ ‎∴ E点坐标为（2，3）． ‎ 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， ‎ 则． ……………………………………………9分 ‎∴．解得，． ………………………………10分 当时，E点的纵坐标为； ‎ 当时，E点的纵坐标为． ‎ ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ A 图③－3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③－2‎ C D B O x y H P G F P E ‎ ‎ ‎22.( 湖北省恩施自治州 12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ ‎ 图11‎ 解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分 解得： ‎ 所以二次函数的表达式为： ……………………………3分 ‎（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），‎ PP交CO于E 若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．‎ 连结PP 则PE⊥CO于E，‎ ‎∴OE=EC=‎ ‎∴=．…………………6分 ‎∴= ‎ 解得=，=（不合题意，舍去）‎ ‎∴P点的坐标为（，）…………………………8分 ‎（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），‎ 易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.‎ ‎= ……………10分 当时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为，四边形ABPC的 面积． ………………12分 ‎23．（河南省11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C 三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎24．（贵州省遵义市14分）如图，已知抛物线的顶点坐 ‎（27题图）‎ 标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两 点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，‎ 交AC于点D．‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式；‎ ‎(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，‎ 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，‎ 求点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）（3分）‎ ‎∵抛物线的顶点为Q（2，-1）‎ ‎∴设 将C（0，3）代入上式，得 ‎∴， 即 ‎ ‎ ‎（2）（7分）分两种情况：‎ ‎ ①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)‎ ‎ 令=0, 得 解之得, ‎ ‎∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)‎ ‎∴P1(1,0)‎ ‎②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)‎ ‎∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=‎ 当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2‎ 又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.‎ 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ‎, ∴‎ ‎∴‎ ‎∵D2在上, P2在上,‎ ‎∴设D2(,), P2(,)‎ ‎∴()+()=0‎ ‎, ∴, (舍)‎ ‎∴当=2时, ‎ ‎==-1‎ ‎ ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)‎ ‎∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)‎ ‎ (3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,‎ 平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.‎ 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ‎∵P(2,-1), ∴可令F(,1)‎ ‎∴‎ 解之得: , ‎ ‎∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)‎ ‎25．（龙岩市14分）如图①，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A1B‎1C，A‎1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1．‎ ‎（1）求证：△ADC∽△A1DF；‎ ‎（2）若α=30°，求∠AB‎1A1的度数；‎ ‎（3）如图②，当α=45°时，将△A1B‎1C沿C→A方向平移得△A2B‎2C2，A‎2C2交AB于点G，B‎2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x＜），△ABC与△A2B‎2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．‎ 图①　　 图② 备用图 ‎（第25题图）‎ 解：‎ ‎ （1）证明：如图①，根据旋转变换的性质易知 ‎ ∠CAD=∠FA1D 1分 ‎ ∵ ∠1=∠2 2分 ‎ ∴ △ADC∽△A1DF 4分 ‎ （2）解：‎ 图①‎ ‎（法一） ∵ CA=CA1=CB=CB1=‎ ‎∵ 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为的圆上， 2分 ‎∴ ∠AB‎1A1= 4分 ‎ （法二） 如图①，‎ ‎∵ AC=B‎1C ‎ ∴ ∠4=∠3 1分 ‎ ∵ ，∠A1CB1=90°‎ ‎ ∴ ∠ACB1=120° 2分 ‎ ∴ ∠4==30° 3分 ‎ ∴ ∠AB‎1A1=∠CB‎1A1∠4=45°30°=15° 4分 ‎ （法三）如图①，‎ ‎∵ AC=B‎1C ‎ ∴ ∠4=∠3 1分 ‎ ∵ ∠CAB=∠CB‎1A1 ‎ ‎∴ ∠CAB∠3=∠CB‎1A1∠4‎ 即 ∠B1AB=∠AB‎1A1 2分 ‎∵ ∠5=∠B1AB+∠AB‎1A1‎ ‎∴ ∠5=2∠AB‎1A1 3分 ‎∵ △ADC∽△A1DF ‎ ‎∴ ∠5= ‎ ‎∴ ∠AB‎1A1= 4分 ‎ （3）解：△A1B‎1C在平移的过程中，易证得△AC‎2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、 ‎ ‎△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B‎2F是平行四边形 1分 ‎ ∵ AB==2‎ ‎ ∴ 当α=45°时，CE=CD=AB=1‎ 情形①：当0＜x＜1时（如图②所示），‎ ‎△A2B‎2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG 2分 ‎（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B‎2FSRt△AC‎2GSRt△HB2E ‎∵ C‎2C=x ‎∴ CH=x，AC2=，B2E=HE=‎ ‎∴ AG=C‎2G=AC2=‎ ‎∴ S平行四边形AC2B‎2F=AC2·CE=（）·1=‎ 图②‎ ‎ SRt△AC‎2G=·AG2=‎ ‎ SRt△HB2E=·B2E2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 ‎（法二） S五边形C2HEFG= SRt△A2B‎2C2SRt△A2FGSRt△HB2E ‎∵ C‎2C=x ‎∴ AC2=，B2E=‎ ‎∴ C‎2G=AC2=‎ A‎2G=A‎2C2‎C‎2G =‎ ‎∴ SRt△A2B‎2C2=A2==1‎ ‎ SRt△A2FG=A‎2G2=‎ ‎ SRt△HB2E =B2E2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 ‎（法三） S五边形C2HEFG= SRt△ABCSRt△AC‎2GSRt△C2HCSRt△FBE ‎∵ C‎2C=x ‎∴ AC2=，CH=，BE=‎ ‎∴ AG=C‎2G=AC2=‎ ‎∴ SRt△ABC=A==1‎ ‎ SRt△ AC‎2G =AG2=‎ ‎ SRt△C2HC =C‎2C2=‎ ‎ SRt△FBE =BE2= 3分 ‎∴ S五边形C2HEFG=‎ ‎ = 4分 情形②：当1≤x＜时（如图③所示）， ‎ ‎△A2B‎2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG 5分 ‎（法一） S直角梯形C2B2FG ‎=S平行四边形C2B2FASRt△AC‎2G ‎=AC2·CEAG2‎ ‎=‎ ‎= 6分 ‎（法二） S直角梯形C2B2FG ‎= SRt△A2B‎2C2SRt△A2FG 图③‎ ‎=‎ ‎= 6分 ‎26. (湖南省郴州市)如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？‎ ‎（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. ‎ 第26题 图（1）‎ 图（2）‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）………..2分 ‎（2）当b＝0时，直线为，由解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） ‎ ‎，‎ 所以（利用同底等高说明面积相等亦可） ……..4分 当时，仍有成立. 理由如下 由，解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），‎ 作轴，轴，垂足分别为F、G，则，‎ 而和是同底的两个三角形，‎ 所以. …………………..6分 ‎（3）存在这样的b.‎ 因为 所以 所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，为直角三角形 …………………..8分 因为 所以 ，而 所以，解得，‎ 所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ………………….10分 ‎ ‎27. (湖南省怀化市本题满分10分)‎ 图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； ‎ 图9‎ ‎（2）在二次函数的图象上是否存在点P，‎ 使,若存在，求出P点的 坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）将二次函数的图象在轴下方的部分 沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，‎ 得到一个新的图象，请你结合这个 新的图象回答：当直线与此 图象有两个公共点时，的取值范围.‎ 解:(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，‎ 所以 ………………………………………2分 令解之得.‎ ‎∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）………………………………4分 ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P，使…………………………5分 设则，又,‎ ‎∴‎ 图1‎ ‎∵二次函数的最小值为-4，∴.‎ 当时，.‎ 故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 ‎（3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分 ‎ 当直线经过B点时，可得…………9分 由图可知符合题意的的取值范围为……10分 ‎28．（湖南省株洲市本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：‎ ‎① 量得；‎ ‎② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．‎ 请完成下列问题：‎ ‎（1）写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．‎ 图1‎ 图2‎ ‎·‎ B 解：（1）　　　　　　……… 2分 ‎（2）设抛物线的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：．‎ ‎∴抛物线的解析式为：． ……… 6分 ‎（3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： ①‎ ‎ ②‎ 又，得，分别代入①、②得：，‎ ‎∴‎ 得：‎ 又 ‎∴ ………10分 方法二：过点作，垂足为，设，则，得：‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴ ………10分 ‎2010年中考数学试题压轴题汇编(二)‎ ‎29．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)‎ ‎(1)求二次函数的解析式；‎ ‎(2)求四边形BDEC的面积S；‎ ‎(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．‎ 第24题图 解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得 得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0，y0)，则有 解得∴C(4，3)．……………………………………………6分 由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．‎ ‎∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分 第24题图 当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．‎ 整理得a2－‎4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)‎ 综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：‎ ‎30．（济宁市10分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎(第23题)‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ 解：（1）设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(第23题)‎ ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 ‎31．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：‎ ‎（1）说明△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？‎ ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．‎ 第22题图（2）‎ A B C D F 第22题图（1）‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎32．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = ‎ ‎8 cm‎，BC = ‎6 cm，EF = ‎9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ A B C 图（3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎33、（南充市）已知抛物线上有不同的两点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．‎ ‎（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．‎ B A M C D O P Q x y 解：（1）抛物线的对称轴为．　……..（1分） ∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2． ∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　……..（2分） （2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， ∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴　∠BCM＝∠AMD． 故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分） ∴　，即　，． 故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分） （3）∵　F在上， 　　 ∴　，‎ ‎　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　 　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分） 　　①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为， ‎ ‎　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分） 　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）． 　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝； 　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　……..（8分） 　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎34. (（衢州卷）本题12分)‎ O y x C B A ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分 设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分 解得　，(舍去)． ‎ ‎∴　点B的横坐标是． ……2分 ‎(2)　①　当，，时，得　　……(＊)‎ ‎． ……1分 以下分两种情况讨论．‎ 情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎35.（莱芜市本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；‎ ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎（第24题图）‎ x y O A C B D E F 解：（1）∵抛物线经过点，，．‎ ‎∴， 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为：. …………………………3分 ‎（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．‎ ‎∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．‎ 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．‎ ‎∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为：‎ ‎． …………………………7分 ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分 设点，PG交直线AC于N，‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.‎ 即=.‎ 解得：m1=－3， m2=2（舍去）.‎ 当m=－3时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得：，（舍去）.当时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分 ‎36. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ 解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分 设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分 解得　，(舍去)． ‎ ‎∴　点B的横坐标是． ……2分 ‎(2)　①　当，，时，得　　……(＊)‎ ‎． ……1分 以下分两种情况讨论．‎ 情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎37．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.‎ ‎（2）若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.‎ 解：（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[－（‎3m－1）]2－‎4m（‎2m－2）=m2+‎2m+1=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0恒有实数根.‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=，x1·x2=‎ 由| x1－x2|====，‎ 由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.‎ ‎，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；‎ 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.‎ 观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时，有x=2或x=1‎ 当x=1时，y=－1‎ 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，‎ 综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ ‎38．（河北省本小题满分12分）‎ 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．‎ 若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，‎ 成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．‎ 若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为 常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．‎ ‎（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；‎ ‎（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；‎ ‎（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；‎ ‎（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？‎ 参考公式：抛物线的顶点坐标是．‎ 解：（1）140 57500；‎ ‎（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，‎ w外 = x2＋（150）x．‎ ‎（3）当x = = 6500时，w内最大；分 由题意得 ， ‎ 解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30． ‎ ‎（4）当x  = 5000时，w内 = 337500， w外 =．‎ 若w内 ＜ w外，则a＜32.5；‎ 若w内 = w外，则a = 32.5；‎ 若w内 ＞ w外，则a＞32.5．‎ 所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；‎ 当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；‎ 当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．‎ ‎39． (德州市本题满分11分) ‎ 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．‎ ‎(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；‎ ‎(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；‎ x y O A B C P Q D E G M N F x y O A B C P Q M N 第23题图 ‎②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．‎ ‎ ‎ 解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，‎ ‎∴c =-3．‎ 将点A(3，0)，B(2，-3)代入得 解得：a=1，b=-2．‎ ‎∴．-------------------2分 配方得：，所以对称轴为x=1．-------------------3分 ‎(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．‎ ‎∵点B，点C的纵坐标相等，‎ ‎∴BC∥OA．‎ 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．‎ 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．‎ 即QE=AD=1．‎ 又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，‎ ‎∴2-0.2t=1．‎ 解得t=5．‎ 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分 ‎②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．‎ ‎∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，‎ ‎∴BF=CF=OG=1．‎ 又∵BP=OQ，‎ ‎∴PF=QG．‎ 又∵∠PMF=∠QMG，‎ ‎∴△MFP≌△MGQ．‎ ‎∴MF=MG．‎ ‎∴点M为FG的中点 -------------------8分 ‎∴S=，‎ ‎=．‎ 由=．‎ ‎．‎ ‎∴S=．-------------------10分 又BC=2，OA=3，‎ ‎∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．‎ ‎∴04.8，x<12,所以.‎ 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 ‎(0< x≤4.8)‎ ‎ ……………………8分 当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04‎ 当时，因为，所以当时，‎ ‎△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.‎ 因为24>23.04，‎ 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …10分 C E D G A x y O B F ‎48．(绵阳市)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；‎ ‎（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，‎ ‎△EFK的面积最大？并求出最大面积．‎ 解：（1）由题意，得 解得，b =－1．‎ 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3．‎ 由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，‎ 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +．‎ 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．‎ ‎（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．‎ 则 KN = yK－yN =－（t +）=．‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．‎ 即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．‎ ‎49．（钦州市本题满分10分）‎ 如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．‎ ‎ （1）点B的坐标为　▲ ；用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ；(3分)‎ ‎（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)‎ ‎（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分) ‎ ‎（备用图）‎ 解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） 3分 ‎（2）∵S△OMP =×OM×， 4分 ‎∴S =×（6 -t）×=+2t．‎ ‎ ＝（0 < t <6）． 6分 ‎∴当时，S有最大值． 7分 ‎ （3）存在．‎ ‎ 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），‎ 则直线ON的函数关系式为：．‎ ‎（备用图）‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ ‎ 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为．‎ ‎∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． 8分 ‎① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.‎ ‎∴， b =.‎ ‎∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）‎ 此时点T1的坐标为（0，）. 9分 ‎② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2.‎ ‎∴，b=.‎ ‎∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．‎ ‎∴此时点T2的坐标为（0，）．‎ 综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．…10分 ‎50.( 福建省南平市14分)如图1，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.‎ ‎（1）填空：A点坐标为（____，____），D点坐标为（____，____）；‎ ‎（2）若抛物线y= x2+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.‎ ‎（提示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=－，顶点坐标是（－，）‎ O y x A D B C 图1‎ O y x A B C 备用图 ‎·‎ 解：（1） A(-2,0) ,D(-2,3)‎ ‎ (2)∵抛物线y= x2+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3)‎ ‎ 代入，解得：b=- ,c= ‎ ‎∴ 所求抛物线解析式为：y= x2 － x+ （3） 答：存在 解法一： 设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，‎ 则平移后的解析式为：y= x2 － x++h =(x -1)² + h 此时抛物线与y轴交点E(0,+h)‎ 当点M在直线y=x+2上，且满足直线EM∥x轴时 则点M的坐标为（）‎ 又 ∵M在平移后的抛物线上，则有 ‎ +h=(h--1)²+h 解得： h= 或 h=‎ ‎（і）当 h= 时，点E（0，2），点M的坐标为（0，2）此时，点E,M重合，不合题意舍去。‎ ‎（ii）当 h=时，E（0，4）点M的坐标为（2，4）符合题意 综合（i）（ii）可知，抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴。‎ 解法二：∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M,E重合时，它们的纵坐标相等。‎ ‎∴EM不会与x轴平行 当点M在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴 则平移后的抛物线的解析式为∵y=x²++h =(x - 1)² + h ‎∴ 抛物线与Y轴交点E(0,+h)‎ ‎∵抛物线的对称轴为：x=1‎ 根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h)时，直线EM∥x轴 将（2，+h)代入y=x+2得，+h=2+2 解得：h=‎ ‎∴ 抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴 ‎51. (河池市 本小题满分12分) ‎ 如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．‎ ‎（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；‎ M C B O A 图11‎ ‎（2）求△的面积；‎ ‎（3）求过，，三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该 抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．‎ ‎ ‎ M C B O A D 解：（1）4 ；. …………………（2分）‎ ‎（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………（3分）‎ ‎ 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM＝‎2CM ，CM＝AC ………………（4分）‎ ‎ 所以 ………（5分）‎ ‎（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）‎ ‎（3）设抛物线的解析式为 ‎　　　由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎　　　　　 ……………………………（6分）‎ ‎　　　解这个方程组，得，， ………………（7分）‎ 所以抛物线的解析式为 ………………（8分）‎ ‎ （4）∵ 抛物线的对称轴是CD，‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； …（9分）‎ ‎② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，‎ ‎∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以. ………………………………………（11分）‎ ‎ 同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）‎ 综上所述，点F的坐标为，. ………（12分）‎ ‎　　‎ ‎52．(安徽省)如图，已知，相似比为k（k>1），且的三边长分别为a、b、c（a>b>c），的三边长分别为、、.‎ ‎（1）若c=a1，求证：a=kc；‎ ‎[证]‎ ‎（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、、都是正整数，并加以说明；‎ ‎[解]‎ ‎（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.‎ ‎[解]‎ 第23题图 解:（1）证：，且相似比为 又 （3分）‎ ‎（2）解：取 （8分）‎ 此时且 （10分）‎ 注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分.‎ ‎（3）解：不存在这样的和.理由如下：‎ 若则 又，‎ ‎ （12分）‎ ‎，而 故不存在这样的和，使得 （14分）‎ 注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.‎ ‎53．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．‎ ‎（1）求折痕所在直线EF的解析式；‎ ‎（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；‎ ‎（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．‎ 解：‎ ‎（2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎[此时需说明]. 6分 设二次函数解析式为：‎ 抛物线经过、、.‎ 得到解得 ‎. 9分 ‎（3）能，可以在直线上找到点，连接.‎ 由于、在一条直线上，故的和最小，‎ 由于为定长，所以满足周长最小. 10分 设直线的解析式为：‎ ‎. 12分 ‎. 14分 ‎[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]‎ ‎54.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式；‎ ‎(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.‎ 解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)‎ ‎∴c=－6, 即y=ax2+bx－6‎ 由 解得：a= ,b=－‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6 -----------------3分 方法二：∵A、B关于x=2对称 ‎∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12) ‎ ‎ C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=‎ ‎∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --------3分 ‎（2）存在，设直线CD垂直平分PQ, ‎ 在Rt△AOC中，AC==10=AD ‎∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD ‎∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分 DB=AB－AD=20-10=10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5‎ ‎∴t=5÷1=5(秒) ‎ ‎∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分 在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 ‎ ‎ ∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分 ‎（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9‎ 在Rt△PQH中，PQ==3 --------------------9分 ‎①当MP=MQ，即M为顶点，‎ 设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：‎ ‎ 解得：‎ ‎∴y=3x-6‎ 当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------10分 ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.‎ 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：‎ ‎42+y2=90 即y=±‎ ‎∴M2（1，） M3（1，－） -----------------------11分 ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.‎ 过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)‎ 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：‎ ‎(y＋3)2+52=90 即y=－3±‎ ‎∴M4(1, －3＋) M5((1, －3－) --------------------12分 综上所述：存在这样的五点：‎ M1(1, －3), M2（1，）, M3（1，－）, M4(1, －3＋),‎ M5((1, －3－).‎ ‎55．（山东省滨州市 本题满分l0分）‎ 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?‎ 解：①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中，‎ ‎∵OD=MC，AD=BC，‎ ‎∴△AOD≌△BMC．‎ ‎∴OA=MB=MA．………………………………………l分 设菱形的边长为‎2m，‎ 在Rt△AOD中，‎ 解得m=1． http://www.czsx.com.cn ‎∴DC=2，OA=1，OB=3．‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）………………… 4分 ‎②设抛物线的解析式为y=（—2）2+ ‎ 代入A点坐标可得=—‎ 抛物线的解析式为y=—（—2）2+……………………………………7分 ‎③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k 代入D（0，）可得k=5 ‎ 所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5…………………………9分 平移了5一=4个单位．…………………………………………………l0分 ‎ ‎ ‎56.（山东省烟台市 本题满分14分）‎ 如图，已知抛物线y=x2+bx－‎3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x2+bx－‎3a中，得 ‎1+b－‎3a=0‎ ‎ －‎3a=－3 ‎ a=1‎ 解得 b=2‎ ‎∴抛物线的解析式为 y=x2+2x－3………………………………………4分 ‎（2）令y=0，得x2+2x－3=0，‎ 解得x1=－3，x2=1‎ ‎∴点C（－3，0）……………………………………………………5分∵B（0，－3） ‎∴△BOC为等腰直角三角形.‎ ‎∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴，垂足为D， ‎∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分 所以可设点P（x，－3+x）‎ 则有－3+x=x2+2x－3，∴x=－1，所以P点坐标为（－1，－4）………………………10分 ‎（3）由（2）知，BC⊥BP 当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.‎ 若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，‎ ‎∵B（0，－3），C（－3，0），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=－x－3…………………………11分 ‎∵直线PQ∥BC，且P（－1，－4）， ‎∴直线PQ的解析式为y=－（x+1）－3－1 即y=－x－5…………………………………………………12分 ‎ y=－x－5‎ 联立方程组得  y=x2+2x－3‎ 解得x1=－1，x2=－2…………………………………………………………………………13分 ‎∴x=－2，y=－3，即点Q（－2，－3）‎ ‎∴符合条件的点Q的坐标为（－2，－3）………………………………………………14分 ‎57．(四川省成都市)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．‎ ‎（1）求直线及抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；‎ ‎（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？‎ 解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，‎ ‎ ∴，。‎ ‎ 将 代入，得。解得。‎ ‎ ∴直线AC的函数表达式为。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得 ‎∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，‎ ‎∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，解得 ‎∴点P的坐标为 ‎（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。‎ ‎ 设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时，有，即。‎ 当时，得，∴‎ 当时，得，∴‎ ① 当⊙Q与x轴相切时，有，即 当时，得，即，解得，∴‎ 当时，得，即，解得，∴，。‎ 综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。‎ ‎（Ⅱ）设点Q的坐标为。‎ 当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。‎ 由，得，即，‎ ‎∵△=‎ ‎∴此方程无解。‎ 由，得，即，‎ 解得 ‎∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。‎ ‎58．(四川省泸州市本题满分l2分)‎ ‎ 已二次函数及一次函数.‎ ‎ (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；‎ ‎ (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：‎ ‎ (3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．‎ 解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为 ‎ (2)①当直线位于时，此时过点,‎ ‎ ∴，即。‎ ‎②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。‎ ‎∴方程有一根，‎ ‎∴，即 当时，满足，‎ 由①②知，或。‎ ‎（3）∵‎ ‎∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，‎ ‎∴应同时满足下列三方面的条件：‎ ‎①方程的判别式△=，‎ ‎②抛物线的对称轴满足，‎ ‎③当时，函数值，当时，函数值 即，解得。‎ ‎∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点．‎ ‎59.( 珠海市)如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.‎ ‎(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；‎ ‎(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；‎ ‎(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。‎ 解：（1）∠ABE＝∠CBD=30° ‎ 在△ABE中，AB＝6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(，6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H（，） …………4分 ‎∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示：‎ 当00，即HP>MN ‎60．(山西省)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N ‎．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B D E ‎（第26题 图1）‎ F C O M N x y 解：（1）作轴于点则四边形为矩形，‎ ‎∴ （1分）‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ （2分）‎ ‎∴点的坐标为 （3分）‎ ‎（2）作轴于点则 ‎∴ （4分）‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎∴点的坐标为 （5分）‎ 又∵点的坐标为 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 （7分）‎ ‎（3）答：存在 （8分）‎ ‎①如图1，当时，四边形为菱形.‎ 作轴于点，则轴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵当时，解得 ‎∴点的坐标为∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴点的坐标为 （10分）‎ ‎②如图2，当时，四边形为菱形.延长交轴于点则轴.‎ ‎∵点在直线上，‎ ‎∴设点坐标为 在中，‎ ‎∴‎ 解得（舍去），‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴点的坐标为 （12分）‎ ‎③如图3，当时，四边形为菱形.连接交于点则与互相垂直平分，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴点的坐标为 （14分）‎ 综上所述，轴上方的点有三个，分别为 ‎（其它解法可参照给分）.‎ ‎61.（湖北省襄樊市 本小题满分12分）‎ 如图7，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？‎ 图7‎ ‎（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？‎ 解：（1）四边形是平行四边形，‎ ‎　　　‎ ‎ 1分 抛物线过点， 2分 由题意，有解得 3分 所求抛物线的解析式为 4分 ‎（2）将抛物线的解析式配方，得 抛物线的对称轴为 5分 欲使四边形为等腰梯形，则有 ‎ 7分 ‎（3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，‎ 有或 即或 ‎①若在轴的同侧.当时，=， 8分 当时，即 解得 9分 ‎②若在轴的异侧.当时，， 10分 当时，，即.解得 ‎.故舍去. 11分 当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形相似. 12分