中考汇编相似经典题型 16页

‎2017中考汇编--相似（及全等）（经典题型）‎ ‎1．（2017•绥化）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）‎ A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ ‎ ‎ ‎ ‎2．（2017•镇江）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：‎ ‎①S1：S3=1：n ‎②S1：S4=1：（2n+1）‎ ‎③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n ‎④（S3-S1）：（S2-S4）=n：（n+1）‎ 其中成立的有（　　）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④ ‎ ‎ ‎ ‎3．（2017•仙桃）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎4．（2017•枣庄）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△‎ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎6．（2017•牡丹江）如图，在正方形ABCD 中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF=2BM+2DN；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2 ‎ ‎ ‎ ‎7．（2017•朝阳）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF= DP；④DP•DE=DH•DC，其中一定正确的是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．③④ ‎ ‎8．（2017•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（　　）A．6 B．8 C．10 D．12 ‎ ‎9．（2017•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎ ‎ ‎ ‎10．（2017•滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ ‎ ‎ ‎11．（2017•大庆）如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎12．（2017•河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）‎ A．3 B．4 C．8 D．9 ‎ ‎13、（2017•株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　‎ A．5 B．4 C．3+ D．2+‎ ‎14．（2017•东营） 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：‎ ‎①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC 其中正确的是（　　）‎ A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④‎ ‎15． (2017．随州．10)．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：‎ ‎①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题） ‎ ‎1．（2017•桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为（ ） ． ‎ ‎2．（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于（ ） ． ‎ ‎3．（2017•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是（ ） ． ‎ ‎4．（2017•潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个） ‎ ‎5.(2017江苏苏州,18,3分)如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则 （结果保留根号）．‎ ‎6. （2017四川六盘水第18题5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= .‎ ‎7. (2017四川省绵阳市,17,7分)．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为　　．(2)‎ ‎ 三．解答题（共14小题） ‎ ‎1．（2017•宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CEF；‎ ‎（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． ‎ ‎2．（2017•眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．‎ ‎（1）求证：BG=DE；‎ ‎（2）若点G为CD的中点，求的值． ‎ ‎3．（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；‎ ‎（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥‎ BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎4．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）若AD=3，AB=5，求的值． ‎ ‎5．（2017•绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．‎ ‎（1）求证：DE=DC；‎ ‎（2）求证：AF⊥BF；‎ ‎（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长． ‎ ‎6．（2017•阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．‎ ‎（1）求证：BD=CE；‎ ‎（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；‎ ‎ ‎ ‎7．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；‎ ‎（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．‎ ‎ ‎ ‎8．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若AC=AE，求∠DEC的度数． ‎ ‎9．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．‎ ‎（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；‎ ‎（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．‎ ‎ ‎ ‎10．（2017•恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°． ‎ ‎11．（2017•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．‎ ‎（1）证明：△CFG≌△AEG．‎ ‎（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长． ‎ ‎12．（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．‎ ‎（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长． ‎ ‎13．（2017•贵阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．‎ ‎（1）证明：AF=CE；‎ ‎（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由． ‎ ‎14．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ ‎15. （12分）（2017•甘肃天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【来源：21c ‎16. (2017株洲第22题8分)如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．‎ ‎①求证：△DAE≌△DCF； ‎ ‎②求证：△ABG∽△CFG．‎ ‎17.（2017˙常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．‎ ‎（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；‎ ‎（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．‎ ‎18. （10分）（2017•岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．‎ ‎（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S1•S2=　12　；‎ ‎（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1•S2的值；‎ ‎（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．‎ ‎（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1•S2的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．‎ ‎（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1•S2的表达式，不必写出解答过程．‎ ‎19. (2017.随州.24)．如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．‎ ‎（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路：‎ 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；‎ 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…‎ 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；‎ ‎（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．‎ ‎20.（2017江苏南通，27,13分）我们知道，三角形的内心是三条角平分的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫这个三角形的“内似线”.‎ ‎(1)等边三角形“内似线”的条数为__________;‎ ‎(2)如图，中，AB=AC,点D在AC上，‎ 且BD=BC=AD.求证：BD是的“内似线”;‎ ‎(3)在Rt中，,AC=4，BC=3，‎ E,F分别在边AC,BC上，且EF是的“内似线”，‎ 求EF的长.‎ ‎ ‎ ‎21.（2017安徽第23题14分）已知正方形，点为边的中点.‎ ‎（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.‎ ‎ ‎ ‎①求证：；‎ ‎②求证：.‎ ‎（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值.‎ ‎22. （12分）（2017•遵义）边长为的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．‎ ‎（1）连接CQ，证明：CQ=AP；‎ ‎（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；‎ ‎（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎23、已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD=AB•BC ‎（1）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（2）求证：BE•CF=BC•EF