中考复习三角形专题一含答案 40页

‎2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．无法确定 ‎2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）‎ A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的角平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）‎ ‎3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）‎ A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC ‎4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎　‎ 二．填空题（共14小题）‎ ‎11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　 　．‎ ‎12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　 　．‎ ‎14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　 　．‎ ‎15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为　 　（用含a的式子表示）．‎ ‎16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　 　．‎ ‎17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　 　cm．‎ ‎18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　 　．‎ ‎19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为　 　．‎ ‎20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　 　．‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．‎ ‎22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　 　．‎ ‎23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为　 　．‎ ‎24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=　 　，BD的长为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．‎ ‎（1）若AD=2，求AB；‎ ‎（2）若AB+CD=2+2，求AB．‎ ‎26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；‎ 请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．‎ ‎27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD=，求BE的值．‎ ‎28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证：AD=BE；‎ ‎②求∠AEB的度数．‎ ‎（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．‎ ‎　‎ ‎2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．无法确定 ‎【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．‎ ‎【解答】解：设空白出图形的面积为x，‎ 根据题意得：m+x=9，n+x=6，‎ 则m﹣n=9﹣6=3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）‎ A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的角平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）‎ ‎【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD．‎ ‎【解答】解：作∠E的平分线，‎ 可得点P到AB和CD的距离相等，‎ 因为AB=CD，‎ 所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可．‎ ‎　‎ ‎3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）‎ A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC ‎【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．‎ ‎【解答】解：如图 过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，‎ ‎∵BE∥AC，‎ ‎∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，‎ ‎∴△BDE∽△CDA，‎ ‎∴=，‎ 又∵AD是角平分线，‎ ‎∴∠E=∠DAC=∠BAD，‎ ‎∴BE=AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB：AC=BD：CD．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形；‎ ‎∵AB=AC，∠A=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°，‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，‎ ‎∴∠A=∠ABD=36°，‎ ‎∴BD=AD，‎ ‎∴△ABD是等腰三角形；‎ 在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，‎ ‎∴∠C=∠BDC=72°，‎ ‎∴BD=BC，‎ ‎∴△BCD是等腰三角形；‎ ‎∵BE=BC，‎ ‎∴BD=BE，‎ ‎∴△BDE是等腰三角形；‎ ‎∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，‎ ‎∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，‎ ‎∴∠A=∠ADE，‎ ‎∴DE=AE，‎ ‎∴△ADE是等腰三角形；‎ ‎∴图中的等腰三角形有5个．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．‎ ‎　‎ ‎5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．‎ ‎【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．‎ ‎∴AB=2，‎ ‎①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），‎ ‎∵点（0，4）与直线AB共线，‎ ‎∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；‎ ‎②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；‎ ‎③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；‎ 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．‎ 故选A ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△‎ ADC的面积是（　　）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．‎ ‎【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，‎ ‎∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，‎ ‎∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，‎ 在△ABD和△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△AED（ASA），‎ ‎∴BD=DE，‎ ‎∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，‎ ‎∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，‎ ‎∴S△ADC═S△ABC=×12=6，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．‎ ‎【解答】解：A、中作∠B的角平分线即可；‎ C、过A点作BC的垂线即可；‎ D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；‎ 只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【分析】首先连接PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为2的正三角形的面积是多少；然后判断出SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF，据此求出PD+PE+PF的值为多少即可．‎ ‎【解答】解：如图，连接PA、PB、PC，，‎ ‎∵△ABC是边长为2的正三角形，‎ ‎∴△ABC的面积为：‎ ‎；‎ ‎∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC ‎=×2×PD+×2×PF+×2×PE ‎=PD+PE+PF ‎∴PD+PE+PF=，‎ 即PD+PE+PF的值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．‎ ‎（2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：边长是a的等边三角形的面积是a2．‎ ‎　‎ ‎9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，‎ 则有h=h1+h2，S△ABC=BC•h=2，‎ ‎∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．‎ ‎∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，‎ ‎∴GH=BD=BC，‎ ‎∴S阴影=×（ BC•h）=S△ABC=5．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．‎ ‎【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，‎ ‎∵∠ABC=90°，AB=BC=2，‎ ‎∴AC===4，‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，‎ ‎∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，‎ ‎∴AG=BG=2‎ ‎∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4，‎ ‎∴S△ADC=2，‎ ‎∵=2，‎ ‎∵△DEF∽△DAC，‎ ‎∴GH=BG=，‎ ‎∴BH=，‎ 又∵EF=AC=2，‎ ‎∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，‎ 故选C．‎ 方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，‎ 易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，‎ ‎∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共14小题）‎ ‎11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　3　．‎ ‎【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．‎ ‎【解答】解：△ABE和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（AAS），‎ ‎∴AD=AE=2，AC=AB=5，‎ ‎∴CE=BD=AB﹣AD=3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．‎ ‎【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．‎ ‎【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，‎ ‎∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，‎ ‎∴OD=OE=OF，‎ ‎∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，‎ ‎∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．‎ 故答案为：4：5：6．‎ ‎【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=　70°　．‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．‎ ‎【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，‎ ‎∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；‎ 又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），‎ ‎∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），‎ ‎∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．‎ 故答案为：70°．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　．‎ ‎【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，‎ ‎∴EH∥BC，‎ ‎∴△AEH∽△ABC，‎ ‎∵AM⊥EH，AD⊥BC，‎ ‎∴，‎ 设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，‎ ‎∴，‎ 解得：x=，‎ 则EH=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为　3a　（用含a的式子表示）．‎ ‎【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．‎ ‎【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，‎ 则BE=EF=a，‎ ‎∴BF=2a，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴DF=BF=a，‎ ‎∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；‎ 故答案为：3a．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，Rt△ABC中，∠‎ B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　　．‎ ‎【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．‎ ‎【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴AB=BD+AD=BD+CD，‎ 设CD=x，则BD=4﹣x，‎ 在Rt△BCD中，‎ CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，‎ 解得x=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　4　cm．‎ ‎【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．‎ ‎【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，‎ ‎∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，‎ ‎∴∠ABC=∠A=45°，‎ ‎∵∠GMB=∠A，‎ ‎∴∠GMB=∠A=22.5°，‎ ‎∵BG⊥MG，‎ ‎∴∠BGM=90°，‎ ‎∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，‎ ‎∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．‎ ‎∵MD∥AC，‎ ‎∴∠BMD=∠A=45°，‎ ‎∴△BDM为等腰直角三角形 ‎∴BD=DM，‎ 而∠GBH=22.5°，‎ ‎∴GM平分∠BMD，‎ 而BG⊥MG，‎ ‎∴BG=EG，即BG=BE，‎ ‎∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，‎ ‎∴∠MHD=∠E，‎ ‎∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，‎ ‎∴∠GBD=∠HMD，‎ ‎∴在△BED和△MHD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BED≌△MHD（AAS），‎ ‎∴BE=MH，‎ ‎∴BG=MH=4．‎ 故答案是：4．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　π　．‎ ‎【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；‎ ‎（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；‎ ‎（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；‎ 综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．‎ ‎【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°‎ ‎∵∠C=90°‎ ‎∴四边形OECF为矩形 ‎∵OE=OF ‎∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r ‎∴3﹣r+4﹣r=5，r==1‎ ‎∴S1=π×12=π ‎（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD ‎∴CD=‎ 由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==‎ ‎∴S1+S2=π×+π×=π ‎（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD ‎∴MD=‎ 由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=‎ 由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==‎ ‎∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ‎∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为：π．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=（a、b是直角边，c为斜边）；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为　27　．‎ ‎【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵点A、D关于点F对称，‎ ‎∴点F是AD的中点．‎ ‎∵CD⊥AB，FG∥CD，‎ ‎∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，‎ ‎∴CG=AC=9．‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴GE是△ABC的中位线，‎ ‎∵CE=CB=12，‎ ‎∴GE=BC=6，‎ ‎∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．‎ 故答案为：27．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　（﹣2015，﹣﹣1）　．‎ ‎【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，‎ ‎∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，‎ 横坐标为2，‎ ‎∴C（2，+1），‎ 第2017次变换后的三角形在x轴下方，‎ 点C的纵坐标为﹣﹣1，‎ 横坐标为2﹣2017×1=﹣2015，‎ 所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2015，﹣﹣1），‎ 故答案为：（﹣2015，﹣﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　2或2或2　．‎ ‎【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．‎ ‎【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），‎ ‎∵AO=BO，‎ ‎∴PO=BO，‎ ‎∵∠AOC=60°，‎ ‎∴∠BOP=60°，‎ ‎∴△BOP为等边三角形，‎ ‎∵AB=BC=4，‎ ‎∴AP=AB•sin60°=4×=2；‎ 当∠ABP=90°时（如图2），‎ ‎∵∠AOC=∠BOP=60°，‎ ‎∴∠BPO=30°，‎ ‎∴BP===2，‎ 在直角三角形ABP中，‎ AP==2，‎ 情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，‎ ‎∴PO=AO，‎ ‎∵∠AOC=60°，‎ ‎∴△AOP为等边三角形，‎ ‎∴AP=AO=2，‎ 故答案为：2或2或2．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　8cm2或2cm2或2cm2　．‎ ‎【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：‎ ‎（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；‎ ‎（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；‎ ‎（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．‎ ‎【解答】解：分三种情况计算：‎ ‎（1）当AE=AF=4时，如图：‎ ‎∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8（cm2）；‎ ‎（2）当AE=EF=4时，如图：‎ 则BE=5﹣4=1，‎ BF===，‎ ‎∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2（cm2）；‎ ‎（3）当AE=EF=4时，如图：‎ 则DE=7﹣4=3，‎ DF===，‎ ‎∴S△AEF=AE•DF=×4×=2（cm2）；‎ 故答案为：8或2或2．‎ ‎【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为　126或66　．‎ ‎【分析】分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，‎ 在Rt△ABD中，‎ BD===5，‎ 在Rt△ADC中，‎ CD===16，‎ ‎∴BC=BD+CD=21，‎ ‎∴△ABC的面积为×21×12=126；‎ ‎②当∠B为钝角时，如图2所示，‎ 在Rt△ABD中，‎ BC=CD﹣BD=16﹣5=11，‎ 所以△ABC的面积为×11×12=66；‎ 故答案为：126或66．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=　31　，BD的长为　2　．‎ ‎【分析】连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，利用勾股定理的逆定理，说明△ACD是直角三角形．利用Rt△ABC和Rt△ACD的面积和求出四边形ABCD的面积．过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．易证明△ABC∽△CED，求出DE、CE的长，再利用勾股定理求出BD的长，‎ ‎【解答】解：连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．‎ 因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4，‎ ‎∴AC==5，‎ 由于AC2+CD2=25+100=125，AD2=（5）2=125，‎ ‎∴AC2+CD2=AD2．‎ 所以∠ACD=90°．‎ 所以S四边形ABCD=S△ABD+S△ACD ‎=‎ ‎=×3×4+×5×10‎ ‎=6+25=31．‎ ‎∵∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°，‎ 所以∠DCE+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CDE=∠ACB，又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴△ABC∽△CED ‎∴CE=6，DE=8．‎ ‎∴BE=BC+CE=10，‎ 在Rt△DEB中，‎ DB=‎ ‎==2‎ 故答案为：31，2‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定．解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积．‎ ‎　‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．‎ ‎（1）若AD=2，求AB；‎ ‎（2）若AB+CD=2+2，求AB．‎ ‎【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；‎ ‎（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．‎ ‎【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，‎ ‎∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，‎ ‎∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，‎ ‎∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，‎ ‎△ADE与△BCF为等腰直角三角形，‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴AE=DE==，‎ ‎∵∠ABC=105°，‎ ‎∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，‎ ‎∴BE===，‎ ‎∴AB=；‎ ‎（2）设DE=x，则AE=x，BE===，‎ ‎∴BD==2x，‎ ‎∵∠BDF=60°，‎ ‎∴∠DBF=30°，‎ ‎∴DF==x，‎ ‎∴BF===，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∵AB=AE+BE=，‎ CD=DF+CF=x，‎ AB+CD=2+2，‎ ‎∴AB=+1‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．‎ ‎　‎ ‎26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；‎ 请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．‎ ‎【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；‎ ‎△PMF的面积为400．（求解过程如下）．‎ 连接PE，‎ ‎∵△MEF和△PMN为等边三角形，‎ ‎∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，ME=MF，‎ ‎∴∠PME=∠NMF，‎ 在△MPE和△MNF中，‎ ‎，‎ ‎∴△MPE≌△MNF（SAS），‎ ‎∴∠MEP=∠MFE=60°，‎ ‎∴∠PEN=60°，‎ ‎∴PE∥MF，‎ ‎∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．‎ ‎【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定，利用全等证得PE∥MF，得到S△PMF=S△MEF是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）如果CD=，求BE的值．‎ ‎【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=‎ ‎∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；‎ ‎（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∴∠B=∠BCD，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ 又∠ACB=90°‎ ‎∴∠BCD+∠ACH=90°‎ ‎∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，‎ ‎∵AH=2CH，‎ ‎∴由勾股定理得AC=CH，‎ ‎∴CH：AC=1：，‎ ‎∴sinB=；‎ ‎（2）∵sinB=，‎ ‎∴AC：AB=1：，‎ ‎∴AC=2．‎ ‎∵∠CAH=∠B，‎ ‎∴sin∠CAH=sinB==，‎ 设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，‎ ‎∴CE=x=1，AC=2，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ ‎∵AB=2CD=2，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=3．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．‎ ‎　‎ ‎28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ ‎（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证：AD=BE；‎ ‎②求∠AEB的度数．‎ ‎（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．‎ ‎【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；‎ ‎②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．‎ ‎【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．‎ ‎∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE．‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，‎ ‎∴AC=BC，DC=EC．‎ 在△ACD和△BCE中，有，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS），‎ ‎∴AD=BE．‎ ‎②解：∵△ACD≌△BCE，‎ ‎∴∠ADC=∠BEC．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，‎ ‎∴∠BEC=130°．‎ ‎∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．‎ ‎（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，‎ ‎∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．‎ ‎∵CM⊥DE，‎ ‎∴∠CMD=90°，DM=EM．‎ 在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，‎ ‎∴DE=2DM=2×=2CM．‎ ‎∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，‎ ‎∴∠BEN=180°﹣120°=60°．‎ 在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，‎ ‎∴BE==BN．‎ ‎∵AD=BE，AE=AD+DE，‎ ‎∴AE=BE+DE=BN+2CM．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．‎ ‎　‎