本溪市2013年中考数学卷 22页

辽宁省本溪市2013年中考数学试卷 ‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2013•本溪）的绝对值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 绝对值 分析：‎ 计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：‎ 解：|﹣|=．‎ 故﹣的绝对值是．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•本溪）如图放置的圆柱体的左视图为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图 分析：‎ 左视图是从左边看所得到的视图，根据左视图所看的位置找出答案即可．‎ 解答：‎ 解：圆柱的左视图是矩形．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•本溪）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a3•a2=a6‎ B．‎ ‎2a（3a﹣1）=6a3﹣1‎ C．‎ ‎（3a2）2=6a4‎ D．‎ ‎2a+3a=5a 考点：‎ 单项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；‎ B、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；‎ C、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；‎ D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：A、a3•a2=a5，本选项错误；‎ B、2a（3a﹣1）=6a2﹣2a，本选项错误；‎ C、（3a2）2=9a4，本选项错误；‎ D、2a+3a=5a，本选项正确，‎ 故选D 点评：‎ 此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•本溪）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎15°‎ B．‎ ‎30°‎ C．‎ ‎45°‎ D．‎ ‎60°‎ 考点：‎ 平行线的性质．3718684‎ 分析：‎ 根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．‎ 解答：‎ 解：如图，∠3=∠1=60°（对顶角相等），‎ ‎∵AB∥CD，EC⊥EF，‎ ‎∴∠3+90°+∠2=180°，‎ 即60°+90°+∠2=180°，‎ 解得∠2=30°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•本溪）下列说法中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样调查的方式 ‎　‎ B．‎ 某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨 ‎　‎ C．‎ 第一枚硬币，正面朝上的概率为 ‎　‎ D．‎ 若甲组数据的方差=0.1，乙组数据的方差=0.01，则甲组数据比乙组数据稳定 考点：‎ 方差；全面调查与抽样调查；概率的意义；概率公式 分析：‎ 根据普查和抽样调查的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C的正误；根据方差的意义，方差大则数据不稳定可判断出D的正误．‎ 解答：‎ 解：A、对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面调查的方式，故此选项错误；‎ B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，故此选项错误；‎ C、一枚硬币，正面朝上的概率为，故此选项正确；‎ D、若甲组数据的方差=0.1，乙组数据的方差=0.01，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了方差、概率、全面调查和抽样调查，关键是掌握概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•本溪）甲、乙两盒中各放入分别写有数字1，2，3的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同．从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是3的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和为3的情况数，求出所求的概率即可．‎ 解答：‎ 解：列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ 所有等可能的情况数有9种，其中数字之和为3的有2种，‎ 则P数字之和为3=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•本溪）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 菱形的性质；全等三角形的判定 分析：‎ 先由菱形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得到∠BAD+∠B=180°，又∠BAD=2∠B，求出∠B=60°，则∠D=∠B=60°，△ABC与△ACD是全等的等边三角形，再根据E，F分别为BC，CD的中点，即可求出与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有△ACE，△ACF，△ADF．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B，AD∥BC，‎ ‎∴∠BAD+∠B=180°，‎ ‎∵∠BAD=2∠B，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴∠D=∠B=60°，‎ ‎∴△ABC与△ACD是全等的等边三角形．‎ ‎∵E，F分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴BE=CE=CF=DF=AB．‎ 在△ABE与△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACE（SAS），‎ 同理，△ACF≌△ADF≌△ABE，‎ ‎∴图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有3个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，难度适中，根据菱形的性质求出∠D=∠B=60°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎　‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程 专题：‎ 工程问题．‎ 分析：‎ 关键描述语为：“共用了18天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．‎ 解答：‎ 解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．‎ 方程可表示为：，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•本溪）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ 考点：‎ 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理 分析：‎ 先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．‎ 解答：‎ 解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，‎ ‎∵OP=4，∠APO=30°，‎ ‎∴OC=sin30°×4=2，‎ ‎∵OB=3，‎ ‎∴BC===，‎ ‎∴AB=2；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•本溪）如图，在矩形OABC中，AB=2BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，连接OB，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，则k的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式 分析：‎ 首先根据E点横坐标得出D点横坐标，再利用AB=2BC，得出D点纵坐标，进而得出k的值．‎ 解答：‎ 解：∵在矩形OABC中，AB=2BC，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过OB的中点D，与BC边交于点E，点E的横坐标是4，‎ ‎∴D点横坐标为：2，AB=OC=4，BC=AB=2，‎ ‎∴D点纵坐标为：1，‎ ‎∴k=xy=1×2=2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了点的坐标性质以及k与点的坐标性质，得出D点坐标是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．（3分）（2013•本溪）在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件 分析：‎ 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：2x﹣1≥0，‎ 解得，x≥．‎ 点评：‎ 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•本溪）一种花粉颗粒的直径约为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示为　6.5×10﹣6　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据科学记数法和负整数指数的意义求解．‎ 解答：‎ 解：0.0000065=6.6×10﹣6．‎ 故答案为6.5×10﹣6．‎ 点评：‎ 本题考查了科学记数法﹣表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•本溪）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　（﹣5，3）　．‎ 考点：‎ 关于原点对称的点的坐标 分析：‎ 根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．‎ 解答：‎ 解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，3）．‎ 故答案为：（﹣5，3）．‎ 点评：‎ 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•本溪）在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有　6　个．‎ 考点：‎ 利用频率估计概率 分析：‎ 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ 解答：‎ 解：设袋中黄色球可能有x个．‎ 根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=，‎ 解得：x=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=‎ 是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•本溪）在平面直角坐标系中，把抛物线y=﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是　y=﹣（x+1）2+4　．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换 分析：‎ 先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y=﹣x2+1的顶点坐标为（0，1），‎ ‎∴向上平移3个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），‎ ‎∴所得抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4．‎ 故答案为y=﹣（x+1）2+4．‎ 点评：‎ 本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•本溪）已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是　8　cm．‎ 考点：‎ 圆锥的计算 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则l•2π•6=60π，然后利用勾股定理计算圆 锥的高．‎ 解答：‎ 解：设圆锥的母线长为l，‎ 根据题意得l•2π•6=60π，‎ 解得l=10，‎ 所以圆锥的高==8（cm）．‎ 故答案为8．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•本溪）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有　3　个．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 设AP为x，表示出PB=10﹣x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．‎ 解答：‎ 解：设AP为x，‎ ‎∵AB=10，‎ ‎∴PB=10﹣x，‎ ‎①AD和PB是对应边时，‎ ‎∵△APD与△BPC相似，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 整理得，x2﹣10x+16=0，‎ 解得x1=2，x2=8，‎ ‎②AD和BC是对应边时，‎ ‎∵△APD与△BPC相似，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得x=5，‎ 所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，‎ 满足条件的点P有3个．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn 与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　　．‎ 考点：‎ 等边三角形的性质．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 由于点B1是△OBA两条中线的交点，则点B1是△OBA的重心，而△OBA是等边三角形，所以点B1也是△OBA的内心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，由△OB1A1与△OBA的面积比为，求得构造出的最后一个三角形的面积．‎ 解答：‎ 解：∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，‎ ‎∴点B1是△OBA的重心，也是内心，‎ ‎∴∠BOB1=30°，‎ ‎∵△OB1A1是等边三角形，‎ ‎∴∠A1OB=60°+30°=90°，‎ ‎∵每构造一次三角形，OBi 边与OB边的夹角增加30°，‎ ‎∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合，‎ ‎∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10．‎ 如图，过点B1作B1M⊥OB于点M，‎ ‎∵cos∠B1OM=cos30°==，‎ ‎∴===，即=，‎ ‎∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=，‎ 同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=，‎ ‎…，‎ ‎∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即构造出的最后一个三角形的面积是．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB1A1与△OBA的面积比为，进而总结出规律是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共2小题，共22分）‎ ‎19．（10分）（2013•本溪）（1）计算：+（x﹣2）0﹣﹣2cos45°‎ ‎（2）先化简，再求值：（+）+（1+），其中m=﹣3．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）原式第一项利用立方根的定义化简，第二先利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=3+1﹣5+‎ ‎=﹣1；‎ ‎（2）原式=[+]÷‎ ‎=（+）÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当m=﹣3时，原式==．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•本溪）某校对九年级全体学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分为A，B，C，D四个等级（A，B，C，D分别代表优秀、良好、合格、不合格）该校从九年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成以下不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息解答下列问题；‎ ‎（1）本次调查中，一共抽取了　50　名学生的成绩；‎ ‎（2）将上面的条形统计图补充完整，写出扇形统计图中等级C的百分比　30%　．‎ ‎（3）若等级D的5名学生的成绩（单位：分）分别是55、48、57、51、55．则这5个数据的中位数是　55　分，众数是　55　分．‎ ‎（4）如果该校九年级共有500名学生，试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数 分析：‎ ‎（1）根据等级B中男女人数之和除以所占的百分比即可得到调查的总学生数；‎ ‎（2）根据总学生数乘以A占的百分比求出等级A中男女的学生总数，进而求出等级A男生的人数，求出等级D占的百分比，确定出等级C占的百分比，乘以总人数求出等级C的男女之和人数，进而求出等级C的女生人数，补全条形统计图即可；‎ ‎（3）将等级D的五人成绩按照从小到大的顺序排列，找出最中间的数字即为中位数，找出出现次数最多的数字为众数；‎ ‎（4）用500乘以等级A所占的百分比，即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：（12+8）÷40%=50（人），‎ 则本次调查了50名学生的成绩；‎ ‎（2）等级A的学生数为50×20%=10（人），即等级A男生为4人；‎ ‎∵等级D占的百分比为×100%=10%；‎ ‎∴等级C占的百分比为1﹣（40%+20%+10%）=30%，‎ ‎∴等级C的学生数为50×30%=15（人），即女生为7人，‎ 补全条形统计图，如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：500×20%=100（人），‎ 则在这次测试中成绩达到优秀的人数有100人．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎21．（12分）（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm ‎（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．‎ 考点：‎ 切线的判定；扇形面积的计算 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD 进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：‎ 连结OD，则∠ABD=∠ACD=45°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴△ADB为等腰直角三角形，‎ 而点O为AB的中点，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）∵BE∥AD，DE∥AB，‎ ‎∴四边形ABED为平行四边形，‎ ‎∴DE=AB=8cm，‎ ‎∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD ‎=（4+8）×4﹣‎ ‎=（24﹣4π）cm2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元．‎ ‎（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？‎ ‎（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过600元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？‎ 考点：‎ 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设购买一个足球需要x元，则购买一个排球也需要x元，购买一个篮球y元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，4个排球和5个篮球共需600元，可得出方程组，解出即可；‎ ‎（2）设该中学购买篮球m个，根据购买三种球的总费用不超过600元，可得出不等式，解出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设购买一个足球需要x元，则购买一个排球也需要x元，购买一个篮球y元，‎ 由题意得：，‎ 解得：，‎ 答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；‎ ‎（2）设该中学购买篮球m个，‎ 由题意得：80m+50（100﹣m）≤600，‎ 解得：m≤33，‎ ‎∵m是整数，‎ ‎∴m最大可取33．‎ 答：这所中学最多可以购买篮球33个．‎ 点评：‎ 本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系及不等关系，难度一般．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2013•本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）‎ 考点：‎ 勾股定理的应用 分析：‎ 过点D作DE⊥AB于点E，证明△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，继而可判断是否超速．‎ 解答：‎ 解：过点D作DE⊥AB于点E，‎ ‎∵∠CDB=75°，‎ ‎∴∠CBD=15°，∠EBD=15°（外角的性质），‎ 在Rt△CBD和Rt△EBD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CBD≌△EBD，‎ ‎∴CD=DE，‎ 在Rt△ADE中，∠A=60°，AD=40米，‎ 则DE=ADsin60°=20米，‎ 故AC=AD+CD=AD+DE=（40+20）米，‎ 在Rt△ABC中，BC=ACtan∠A=（40+60）米，‎ 则速度==4+6≈12.92米/秒，‎ ‎∵12.92米/秒=46.512千米/小时，‎ ‎∴该车没有超速．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要多次解直角三角形，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•本溪）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．‎ ‎（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：　y=﹣0.02x+8　．‎ ‎（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？‎ ‎（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？‎ 考点：‎ 二次函数的应用 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；‎ ‎（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；‎ ‎（3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）2+450=418求出即可．‎ 解答：‎ 解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8；‎ 故答案为：y=﹣0.02x+8；‎ ‎（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，‎ 当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x，‎ 当x=100时，W有最大值400元，‎ 当100＜x≤200时，‎ W=（y﹣2）x ‎=（﹣0.02x+6）x ‎=﹣0.02（x﹣150）2+450，‎ ‎∵当x=150时，W有最大值为450元，‎ 综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；‎ ‎（3）∵418＜450，‎ ‎∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418‎ 解得：x1=110，x 2=190，‎ 答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•本溪）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．‎ ‎（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；‎ ‎（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；‎ ‎（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？‎ 答：　不成立　（填“成立”或“不成立”）‎ 考点：‎ 相似形综合题 分析：‎ ‎（1）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；‎ ‎（2）过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；‎ ‎（3）结论依然成立．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC∥AF，‎ ‎∴△BOC∽△AOF，‎ ‎∴==，‎ ‎∵O为AB中点，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴AF=BC，CO=OF，‎ ‎∵∠MOC=90°，‎ ‎∴OM是CF的垂直平分线，‎ ‎∴CM=MF，‎ 在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，‎ 即MC2=AM2+BC2；‎ ‎（2）解：还成立，‎ 理由是：如图2，‎ 过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC∥AF，‎ ‎∴△BOC∽△AOF，‎ ‎∴==，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴AF=BC，CO=OF，‎ ‎∵∠MOC=90°，‎ ‎∴OM是CF的垂直平分线，‎ ‎∴CM=MF，‎ 在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，‎ 即MC2=AM2+BC2；‎ ‎（3）成立．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2013•本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；‎ ‎（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解；‎ ‎（3）△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：‎ ‎①若PD=PQ，如答图2所示；‎ ‎②若PD=DQ，如答图3所示；‎ ‎③若PQ=DQ，如答图4所示．‎ 解答：‎ 解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），‎ ‎∴A（5，0），C（0，3）．‎ ‎∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线y=x2+bx+c上，‎ ‎∴，解得：b=，c=3．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2x+3．‎ ‎（2）如答图1所示，‎ ‎∵y=x2x+3=（x﹣3）2﹣，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=3．‎ 如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）．‎ 令y=0，即x2x+3=0，解得x=1或x=5．‎ ‎∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．‎ ‎∵tan∠ADB==，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=，‎ ‎∴G（3，）．‎ ‎∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，‎ ‎∴MG•DH+MG•AH=6，‎ 即：MG×2+MG×2=6，‎ 解得：MG=3．‎ ‎∴点M的坐标为（3，）或（3，）．‎ ‎（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=．‎ 以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：‎ ‎①若PD=PQ，如答图2所示：‎ 此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，‎ 则BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，‎ ‎∴DE=t+t=t．‎ 由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，‎ 即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，‎ 整理得：11t2+6t﹣25=0，‎ 解得：t=或t=﹣5（舍去），‎ ‎∴t=；‎ ‎②若PD=DQ，如答图3所示：‎ 此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，‎ ‎∴t=7﹣t，‎ ‎∴t=；‎ ‎③若PQ=DQ，如答图4所示：‎ ‎∵PD=t，∴BP=5﹣t；‎ ‎∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．‎ 过点P作PF⊥AB于点F，则PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t．‎ ‎∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．‎ 过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，‎ ‎∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．‎ 在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，‎ 即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，‎ 整理得：13t2﹣56t=0，‎ 解得：t=0（舍去）或t=．‎ ‎∴t=．‎ 综上所述，当t=，t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点．分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2）（3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算．‎ ‎　‎