中考数学压轴题解题思路与应试技巧 6页

中考数学压轴题解题思路与应试技巧 压轴题解题思路与应试技巧 ‎ ‎ 数学压轴题常分为两类：函数型压轴题和几何型压轴题.‎ ‎ 1.函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质.初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线.求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）.此类题基本在第最后两题中出现，基本设置2~3小问来呈现.‎ ‎ 2.几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等.求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式.一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求.找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法.求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解.而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值.几何型综合题基本是做为压轴题出现，一般设置3小问.‎ ‎ 解中考数学压轴题秘诀:数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高.‎ ‎ 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活. 解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略.现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考:‎ ‎ 1.以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：‎ ‎　　纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答.‎ ‎　　2.以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：‎ ‎　　直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形.因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想.例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得.‎ ‎　　3.利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：‎ ‎　　分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点.‎ ‎　　4.综合多个知识点，运用等价转换思想：‎ ‎　　任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用.中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面.因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略.‎ ‎　　5.分问得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小问，难易程度是第（1）小问较易，第（2）小问中等，第（3）小问偏难，在解答时要把第（1）小题问的分数一定拿到，第（2）小问的分数要力争拿到，第（3）小问的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.‎ ‎6.分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分.因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏.‎ 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型.综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现.压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质.下面结合实例谈谈解题方法：‎ ‎1.利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 ‎ 【例1】在△ABC中，∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ ‎(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？‎ ‎(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？‎ 点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置，有三种情况.‎ ‎①当0﹤t≦6时，P、Q分别在AB、BC边上；‎ ‎②当6﹤t≦8时，P、Q分别在AB延长线上和BC边上；‎ ‎③当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.‎ 然后分别用第一步的方法列方程求解.‎ ‎ 【例2】已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y. ‎ ‎（1）写出y与x的关系式； ‎ ‎(2)求当y＝时，x的值等于多少？ ‎ 点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.‎ ‎ 2.利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程.‎ ‎ 【例3】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ ‎【参考答案】（1）①∵秒，∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，∴厘米．‎ 又∵厘米，∴厘米，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．‎ （2） 设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，‎ 得，解得秒．‎ ‎∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，∴点、点在边上相遇， ∴经过秒点与点第一次在边上相遇．‎ 第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性.第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来.中等的动点题也就没问题了.但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内.‎ ‎ 练一练 ‎1.对称翻折平移旋转 ‎【练一练1】如图12，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.‎ ‎（1）分别写出抛物线与的解析式；‎ ‎（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.‎ ‎2.动态：动点、动线 ‎【练一练2】如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于 点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式；‎ ‎(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.比例比值取值范围 ‎【练一练3】图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； ‎ ‎（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.‎ ‎4.探究型 ‎【练一练4】如图，抛物线与轴交于两点，‎ 与轴交于点.‎ ‎（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；‎ ‎（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；‎ ‎（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说 明理由.‎ ‎5.最值类 ‎【练一练5】如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四 边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在 请说明理由．‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎