- 561.19 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
动点专题
一、应用勾股定理建立函数解析式
例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,
垂足为 H,△OPH 的重心为 G.
(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线
段,并求出相应的长度.
(2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.
二、应用比例式建立函数解析式
例 2(2006 年·山东)如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= ,x CE= y .
(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函
数解析式还成立?试说明理由. A
ED
CB
图 2
HM
N
G
P
O A
B
图 1
xy
F
A
B
C
E
D
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4(2004 年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 22 ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上
运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,
△AOC 的面积.
一、以动态几何为主线的压轴题
(一)点动问题.
1.(09 年徐汇区)如图, ABC 中, 10 ACAB , 12BC ,点 D 在边 BC 上,且 4BD ,
以点 D 为顶点作 BEDF ,分别交边 AB 于点 E ,交射线CA 于点 F .
(1)当 6AE 时,求 AF 的长;
(2)当以点C 为圆心 CF 长为半径的⊙C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时,
求 BE 的长;
(3)当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时,求 BE
的长.
A
B CO
图 8
H
A
B C
DE
O
l
A′
(二)线动问题
2,在矩形 ABCD 中,AB=3,点 O 在对角线 AC 上,直线 l 过点 O,且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若
直线 l 过点 B,把△ABE 沿直线 l 翻折,点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A'重合,求 BC 的长;
(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F,且 AO=
4
1 AC,设 AD 的长为 x ,五边
形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范
围;
②探索:是否存在这样的 x ,以 A 为圆心,以 x 4
3 长为半径的圆与
直线 l 相切,若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由.
(三)面动问题
3.如图,在 ABC 中, 6,5 BCACAB , D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上
的两个动点( D 不与 A 、 B 重合),且保持 BCDE∥ ,以 DE 为边,在点 A
的异侧作正方形 DEFG .
(1)试求 ABC 的面积;
(2)当边 FG 与 BC 重合时,求正方形 DEFG 的边长;
(3)设 xAD , ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ,试求 y 关
于 x 的函数关系式,并写出定义域;
(4)当 BDG 是等腰三角形时,请直接写出 AD 的长.
F
G
E
C
A
B
D
解决动态几何问题的常见方法有:
一、 特殊探路,一般推证
例 2:(2004 年广州市中考题第 11 题)如图,⊙O1 和⊙O2 内切于 A,
⊙O1 的半径为 3,⊙O2 的半径为 2,点 P 为⊙O1 上的任一点(与点 A
不重合),直线 PA 交⊙O2 于点 C,PB 切⊙O2 于点 B,则 PC
BP
的值为
(A) 2 (B) 3 (C) 2
3
(D) 2
6
二、 动手实践,操作确认
例 4(2003 年广州市中考试题)在⊙O 中,C 为弧 AB 的中点,D 为弧 AC 上任一点(与 A、C 不重
合),则
(A)AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定
例 5:如图,过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD,延长 CA 和 CD
与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是( * )
(A) ABDE (B) ABDE
(C) ABDE (D) ABDE, 的大小不确定
三、 建立联系,计算说明
例 6:如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,且 DM=1,
N 为对角线 AC 上任意一点,则 DN+MN 的最小值为 .
C
O
1
O
2
P
B
A
E
D
C
B
A
O
M
N
D
C
B
A
以圆为载体的动点问题
例 1. 在 Rt ABC 中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P 是 AB 边上的动点(与点 A、B 不重合),
Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合),当 PQ 与 AC 不平行时,△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能,
请求出线段 CQ 的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03 年广州市中考)
例 2. 如图 2,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC<DC,若腰 DC 上有动点 P,使 AP⊥
BP,则这样的点有多少个?
练习.
1 已知,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上的动点(点 P 异于 C、D 两
点)。连接 PM,过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E(如图)。设 CP=x,DE=y。
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式 ;
(2)若点 E 与点 A 重合,则 x 的值为 ;
(3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上?若存在,求 x 的值;若不存在,
请说明理由。
2
如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点 P、Q 分别是 AB 边和 CD 边上的动点,点 P 从点 A 向点 B
运动,点 Q 从点 C 向点 D 运动,且保持 AP-CQ。设 AP= x
(1)当 PQ∥AD 时,求 x 的值;
(2)当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 边相交时,求 x 的取值范围;
(3)当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 相交时,设交点为 E,连接 EP、EQ,设△EPQ 的面积为 S,求 S 关
于 x 的函数关系式,并写出 S 的取值范围。
3、在平面直角坐标系 XOY 中,一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、
B 两点.直线 l2 过点 C(a,0)且与直线 l1 垂直,其中 a>0.点 P、Q 同时从 A 点出发,其中点 P 沿射
线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为每秒 5 个单位.
(1)写出 A 点的坐标和 AB 的长;
(2)当点 P、Q 运动了多少秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切,求此时 a 的
值.
考点:一次函数综合题;切线的性质;相似三角形的判定与性质。
专题:几何动点问题;分类讨论。
分析:(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法,分别求出坐标即可;
(2)根据相似三角形的判定得出
△
APQ∽△AOB,以及当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,当⊙Q 在 y 轴
的左侧与 y 轴相切时,分别分析得出答案.
例题 4 如图 1,已知抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。
⑴求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为
xx4
1y 2
)
⑵若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四
边形,求 D 点的坐标;
⑶连接 OA、AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得△OBP 与△OAB 相似?若存
在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。
例 1 题图图 1 图 2
练习 5、已知抛物线 2y ax bx c 经过 5 3( 3 3) 02P E
,, , 及原点 (0 0)O , .
(1)求抛物线的解析式.(由一般式...得抛物线的解析式为 22 5 3
3 3y x x )
(2)过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛
物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于 B 点,直线QA 与直
线 PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点 Q ,使得 OPC△ 与 PQB△ 相似?若存在,求出Q 点
的坐标;若不存在,说明理由.
(3)如果符合(2)中的Q 点在 x 轴的上方,连结OQ ,矩形
OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA, , ,△ △ △ △ 之间存在
怎样的关系?为什么?
练习 6、如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,
将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 5 5CE ,且 3tan 4EDA 。
(1)判断 OCD△ 与 ADE△ 是否相似?请说明理由;
(2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标;
(3)是否存在过点 D 的直线 l,使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的
三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直
接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。
O x
y
练习 2 图
C B
E
D A
练习 7、在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象与 x 轴交于 A B, 两
点(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为 1,且过点 (2 3), 和 ( 3 12) , .
(1)求此二次函数的表达式;(由一般式...得抛物线的解析式为 2 2 3y x x )
(2)若直线 : ( 0)l y kx k 与线段 BC 交于点 D(不与点 B C, 重合),则是否存在这样的直线l ,
使得以 B O D, , 为顶点的三角形与 BAC△ 相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标;若
不存在,请说明理由; ( 1 0) (3 0), (0 3)A B C ,, , ,
(3)若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角 PCO 与
ACO 的大小(不必证明),并写出此时点 P 的横坐标 px 的取值范围.
O
y
C
lx
BA
1x
练习 3 图
练习 8 (2008 广东湛江市) 如图所示,已知抛物线 2 1y x 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C.
(1)求 A、B、C 三点的坐标.
(2)过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积.
(3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点
的三角形与 PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由.
o
C
BA x
练习 4 图
P
y
练习 9、已知:如图,在平面直角坐标系中, ABC△ 是直角三角形, 90ACB ,点 A C, 的坐标分
别为 ( 3 0)A , , (1 0)C , , 3tan 4BAC .
(1)求过点 A B, 的直线的函数表达式;点 ( 3 0)A , , (1 0)C , ,
B (13), , 3 9
4 4y x
(2)在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得 ADB△ 与 ABC△ 相似(不
包括全等),并求点 D 的坐标;
(3)在(2)的条件下,如 P Q, 分别是 AB 和 AD 上的动点,连接
PQ ,设 AP DQ m ,问是否存在这样的 m 使得 APQ△ 与 ADB△
相似,如存在,请求出 m 的值;如不存在,请说明理由.
A CO
B
x
y
例 10 (2008 福建福州)如图,已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点
出发,分别沿 AB、BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达
点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s),解答下列问题:
(1)当 t=2 时,判断△BPQ 的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式;
(3)作 QR//BA 交 AC 于点 R,连结 PR,当 t 为何值时,△APR∽△PRQ?
分析:由 t=2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状;
作 QE⊥BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 BPQS =
2
1 ×BP×QE 可得
S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE,
再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求.
例 11(2008 浙江温州)如图,在 Rt ABC△ 中, 90A , 6AB , 8AC ,D E, 分别是边 AB AC,
的中点,点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ BC 于Q ,过点 Q 作QR BA∥ 交 AC 于 R ,
当点Q 与点C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ x ,QR y .(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长;
(2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点 P ,使 PQR△ 为等腰三角形?若存在,请求出所有
满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由.
分析:由△BHD∽△BAC,可得 DH;由△RQC∽△ABC,可得
y 关于 x 的函数关系式;由腰相等列方程可得 x 的值;注意需分类讨论.
中考动点专题答案
一、应用勾股定理建立函数解析式
1.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是
GH=
3
2 NH=
2
1
3
2 OP=2.
(2)在 Rt△POH 中, 222 36 xPHOPOH , ∴ 2362
1
2
1 xOHMH .
在 Rt△MPH 中,
.
∴ y =GP=
3
2 MP= 23363
1 x (0< x <6).
(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH 时, xx 23363
1 ,解得 6x . 经检验, 6x 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH 时, 23363
1 2 x ,解得 0x . 经检验, 0x 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH 时, 2x .
综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2.
二、应用比例式建立函数解析式
2.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴
AC
BD
CE
AB ,
∴
1
1 x
y
, ∴
xy 1 .
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=
290 ,且函数关系式成立,
∴
290 = , 整理得
2
90 .当
2
90 时,函数解析式
xy 1 成立.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.
∵∠BAC=90°,AB=AC= 22 , ∴BC=4,AH=
2
1 BC=2. ∴OC=4- x .
∵ AHOCS AOC 2
1 , ∴ 4 xy ( 40 x ).
(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,
在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= x2 , ∴ 222 )2(2)1( xx . 解得
6
7x .
22222 3362
1
4
19 xxxMHPHMP
A
ED
CB
图 2
F
A
B
C
E
D
A
B C
DE
O
l
A′
此时,△AOC 的面积 y =
6
17
6
74 .
②当⊙O 与⊙A 内切时,
在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= 2x , ∴ 222 )2(2)1( xx . 解得
2
7x .
此时,△AOC 的面积 y =
2
1
2
74 .综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为
6
17 或
2
1 .
专题二:动态几何型压轴题
一、以动态几何为主线的压轴题
(一)点动问题.
1.解:(1) 证明 CDF ∽ EBD ∴
BE
CD
BD
CF ,代入数据得
8CF ,∴AF=2
(2) 设 BE= x ,则 ,10 ACd ,10 xAE 利用(1)的
方法
xCF 32 ,
相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切,
xx 321010 ,
24x ;
内切,
xx 321010 , 17210 x . 100 x
∴当⊙ C 和⊙ A 相切时, BE 的长为 24 或 17210 .
(3)当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时,
3
20BE .
(二)线动问题
[ 略解]
(1)∵A’是矩形 ABCD 的对称中心∴A’B=AA’=
2
1 AC
∵AB=A’B,AB=3∴AC=6 33BC
(2) ① 92 xAC , 94
1 2 xAO , )9(12
1 2 xAF ,
x
xAE 4
92
∴ AF2
1 AES AEF x
x
96
)9( 22 ,
x
xxS 96
)9(3
22
x
xx
96
81270 24 ( 333 x )
②若圆 A 与直线 l 相切,则 94
1
4
3 2 xx , 01 x (舍去),
5
8
2 x ∵ 35
8
2 x ∴不存在这样的 x ,
使圆 A 与直线 l 相切.
练习
1. 解:
(1)y=-x2+4x。
(2)2+ 2或。2- 2
(3)存在。
过点 P 作 PH⊥AB 于点 H。则
∵点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上,
∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。
在 Rt△D′P H 中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H= (4-x)²-2²= x²-8x+12。
∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900,
∴△E D′A∽△D′P H。∴ED′
D′P
= EA
D′H
,即-x²+4x
4-x
= x²-4x+2
x²-8x+12
,
即x= x²-4x+2
x²-8x+12
,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得 x=2± 2
2
。
∵当x=2+ 2
2
时,y=-
2+ 2
2 ²+4×2+ 2
2
= 5+2 2
2
> 2.
∴此时,点 E 已在边 DA 延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当x=2- 2
2
时,y=-
2- 2
2 ²+4×2- 2
2
= 5-2 2
2
<2.
∴此时,点 E 在边 AD 上,符合题意。
∴当x=2- 2
2
时,点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上。
法二 三角形 DAD’相似三角形 PDE.
ED’= 表达式 ; AD’=表达式,利用勾股定理
2 .解:(1)当 PQ∥AD 时,x=4.
(2)如图,连接 EP、EQ,则 EP=EQ,设 BE=y,
∴ 2222 )6()8( xyyx
得
3
74 xy
∵0≤y≤6
∴0≤
3
74 x ≤6
∴
4
7 ≤x≤
4
25
(3)
6
56394)8(3
74
2
1
2
1 2
xxxxBPBES BPE
6
254)3
746(2
1
2
1 2 xxxxCQCES ECQ
由题意 ∵AP=CQ,∴ 24S2
1
ABCDBPQC 矩形梯形S
∴
6
x25x4
6
56x39x424SSS
22
BPEBPQC
梯形
整理得: )()(
4
25x4
7124x3
4
3
100x32x4S 2
2
当 x=4 时,S 有最小值 12.
当 x=
4
7 或 x=
4
25 时,S 有最大值
4
75
∴12≤S≤
4
75
【涉及知识点】动点问题,方程,勾股定理,三角形的面积,梯形的面积
【点评】本题主要考查学生对动点问题的理解掌握情况。第一个问题要求学生能够根据问题列出符
合题意的方程,在第二个问题中,学生必须利用边的相等关系,再利用勾股定理求出 x 的取值范围,第
三个问题根据面积关系列出函数关系式,进而取出 S 的取值,本题难度较大.
3 在平面直角坐标系 XOY 中,一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于
A、B 两点.直线 l2 过点 C(a,0)且与直线 l1 垂直,其中 a>0.点 P、Q 同时从 A 点出发,其中点 P
沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为每秒 5 个单位.
(1)写出 A 点的坐标和 AB 的长;
(2)当点 P、Q 运动了多少秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切,求此时 a 的
值.
考点:一次函数综合题;切线的性质;相似三角形的判定与性质。
专题:几何动点问题;分类讨论。
分析:(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法,分别求出坐标即可;
(2)根据相似三角形的判定得出
△
APQ∽△AOB,以及当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,当⊙Q 在 y 轴
的左侧与 y 轴相切时,分别分析得出答案.
解答:解:(1)∵一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,
∴y=0 时,x=﹣4,
∴A(﹣4,0),AO=4,
∵图象与 y 轴交点坐标为:(0,3),BO=3,
∴AB=5;
(2)由题意得:AP=4t,AQ=5t, = =t,
又∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
∵点 P 在 l1 上,
∴⊙Q 在运动过程中保持与 l1 相切,(没发掘这一条件)
①当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,设 l2 与⊙Q 相切于 F,由
△
APQ∽△AOB,得:
∴ ,
∴PQ=6;
连接 QF,则 QF=PQ,由
△
QFC∽△APQ∽△AOB,
得: ,
∴ ,
∴ ,
∴QC= ,
∴a=OQ+QC= ,
②当⊙Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时,设 l2 与⊙Q 相切于 E,由
△
APQ∽△AOB 得: = ,
∴PQ= ,
连接 QE,则 QE=PQ,由
△
QEC∽△APQ∽△AOB 得: = ,
∴ , = ,
∴QC= ,a=QC﹣OQ= ,
∴a 的值为 和 ,
点评:此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质,利用数形结合进行分析注意分类讨论
才能得出正确答案.