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  • 2021-05-10 发布

中考数学动点问题专题练习含答案

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动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年·上海)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA, 垂足为 H,△OPH 的重心为 G. (1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线 段,并求出相应的长度. (2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例 2(2006 年·山东)如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= ,x CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式; (2)如果∠BAC 的度数为 ,∠DAE 的度数为  ,当 ,  满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函 数解析式还成立?试说明理由. A ED CB 图 2 HM N G P O A B 图 1 xy F A B C E D 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4(2004 年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 22 ,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上 运动(与点 B、C 不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题. 1.(09 年徐汇区)如图, ABC 中, 10 ACAB , 12BC ,点 D 在边 BC 上,且 4BD , 以点 D 为顶点作 BEDF  ,分别交边 AB 于点 E ,交射线CA 于点 F . (1)当 6AE 时,求 AF 的长; (2)当以点C 为圆心 CF 长为半径的⊙C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时, 求 BE 的长; (3)当以边 AC 为直径的⊙O 与线段 DE 相切时,求 BE 的长. A B CO 图 8 H A B C DE O l A′ (二)线动问题 2,在矩形 ABCD 中,AB=3,点 O 在对角线 AC 上,直线 l 过点 O,且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若 直线 l 过点 B,把△ABE 沿直线 l 翻折,点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A'重合,求 BC 的长; (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F,且 AO= 4 1 AC,设 AD 的长为 x ,五边 形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范 围; ②探索:是否存在这样的 x ,以 A 为圆心,以 x 4 3 长为半径的圆与 直线 l 相切,若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由. (三)面动问题 3.如图,在 ABC 中, 6,5  BCACAB , D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上 的两个动点( D 不与 A 、 B 重合),且保持 BCDE∥ ,以 DE 为边,在点 A 的异侧作正方形 DEFG . (1)试求 ABC 的面积; (2)当边 FG 与 BC 重合时,求正方形 DEFG 的边长; (3)设 xAD  , ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ,试求 y 关 于 x 的函数关系式,并写出定义域; (4)当 BDG 是等腰三角形时,请直接写出 AD 的长. F G E C A B D 解决动态几何问题的常见方法有: 一、 特殊探路,一般推证 例 2:(2004 年广州市中考题第 11 题)如图,⊙O1 和⊙O2 内切于 A, ⊙O1 的半径为 3,⊙O2 的半径为 2,点 P 为⊙O1 上的任一点(与点 A 不重合),直线 PA 交⊙O2 于点 C,PB 切⊙O2 于点 B,则 PC BP 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 3 (D) 2 6 二、 动手实践,操作确认 例 4(2003 年广州市中考试题)在⊙O 中,C 为弧 AB 的中点,D 为弧 AC 上任一点(与 A、C 不重 合),则 (A)AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 例 5:如图,过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD,延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、E,则下列结论中正确的是( * ) (A) ABDE  (B) ABDE  (C) ABDE  (D) ABDE, 的大小不确定 三、 建立联系,计算说明 例 6:如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,且 DM=1, N 为对角线 AC 上任意一点,则 DN+MN 的最小值为 . C O 1 O 2 P B A E D C B A O M N D C B A 以圆为载体的动点问题 例 1. 在 Rt ABC 中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P 是 AB 边上的动点(与点 A、B 不重合), Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合),当 PQ 与 AC 不平行时,△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能, 请求出线段 CQ 的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03 年广州市中考) 例 2. 如图 2,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC<DC,若腰 DC 上有动点 P,使 AP⊥ BP,则这样的点有多少个? 练习. 1 已知,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上的动点(点 P 异于 C、D 两 点)。连接 PM,过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E(如图)。设 CP=x,DE=y。 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式 ; (2)若点 E 与点 A 重合,则 x 的值为 ; (3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上?若存在,求 x 的值;若不存在, 请说明理由。 2 如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点 P、Q 分别是 AB 边和 CD 边上的动点,点 P 从点 A 向点 B 运动,点 Q 从点 C 向点 D 运动,且保持 AP-CQ。设 AP= x (1)当 PQ∥AD 时,求 x 的值; (2)当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 边相交时,求 x 的取值范围; (3)当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 相交时,设交点为 E,连接 EP、EQ,设△EPQ 的面积为 S,求 S 关 于 x 的函数关系式,并写出 S 的取值范围。 3、在平面直角坐标系 XOY 中,一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、 B 两点.直线 l2 过点 C(a,0)且与直线 l1 垂直,其中 a>0.点 P、Q 同时从 A 点出发,其中点 P 沿射 线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为每秒 5 个单位. (1)写出 A 点的坐标和 AB 的长; (2)当点 P、Q 运动了多少秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切,求此时 a 的 值. 考点:一次函数综合题;切线的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:几何动点问题;分类讨论。 分析:(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法,分别求出坐标即可; (2)根据相似三角形的判定得出 △ APQ∽△AOB,以及当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,当⊙Q 在 y 轴 的左侧与 y 轴相切时,分别分析得出答案. 例题 4 如图 1,已知抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。 ⑴求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为 xx4 1y 2  ) ⑵若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四 边形,求 D 点的坐标; ⑶连接 OA、AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得△OBP 与△OAB 相似?若存 在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。 例 1 题图图 1 图 2 练习 5、已知抛物线 2y ax bx c   经过 5 3( 3 3) 02P E       ,, , 及原点 (0 0)O , . (1)求抛物线的解析式.(由一般式...得抛物线的解析式为 22 5 3 3 3y x x   ) (2)过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛 物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于 B 点,直线QA 与直 线 PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点 Q ,使得 OPC△ 与 PQB△ 相似?若存在,求出Q 点 的坐标;若不存在,说明理由. (3)如果符合(2)中的Q 点在 x 轴的上方,连结OQ ,矩形 OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA, , ,△ △ △ △ 之间存在 怎样的关系?为什么? 练习 6、如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上, 将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 5 5CE  ,且 3tan 4EDA  。 (1)判断 OCD△ 与 ADE△ 是否相似?请说明理由; (2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标; (3)是否存在过点 D 的直线 l,使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的 三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直 接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。 O x y 练习 2 图 C B E D A 练习 7、在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x 轴交于 A B, 两 点(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点C ,其顶点的横坐标为 1,且过点 (2 3), 和 ( 3 12) , . (1)求此二次函数的表达式;(由一般式...得抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ) (2)若直线 : ( 0)l y kx k  与线段 BC 交于点 D(不与点 B C, 重合),则是否存在这样的直线l , 使得以 B O D, , 为顶点的三角形与 BAC△ 相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标;若 不存在,请说明理由; ( 1 0) (3 0), (0 3)A B C ,, , , (3)若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角 PCO 与 ACO 的大小(不必证明),并写出此时点 P 的横坐标 px 的取值范围. O y C lx BA 1x  练习 3 图 练习 8 (2008 广东湛江市) 如图所示,已知抛物线 2 1y x  与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C. (1)求 A、B、C 三点的坐标. (2)过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积. (3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG  x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点 的三角形与  PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由. o C BA x 练习 4 图 P y 练习 9、已知:如图,在平面直角坐标系中, ABC△ 是直角三角形, 90ACB   ,点 A C, 的坐标分 别为 ( 3 0)A  , , (1 0)C , , 3tan 4BAC  . (1)求过点 A B, 的直线的函数表达式;点 ( 3 0)A  , , (1 0)C , , B (13), , 3 9 4 4y x  (2)在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得 ADB△ 与 ABC△ 相似(不 包括全等),并求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,如 P Q, 分别是 AB 和 AD 上的动点,连接 PQ ,设 AP DQ m  ,问是否存在这样的 m 使得 APQ△ 与 ADB△ 相似,如存在,请求出 m 的值;如不存在,请说明理由. A CO B x y 例 10 (2008 福建福州)如图,已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点 出发,分别沿 AB、BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当点 Q 到达 点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s),解答下列问题: (1)当 t=2 时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为 S(cm2),求 S 与 t 的函数关系式; (3)作 QR//BA 交 AC 于点 R,连结 PR,当 t 为何值时,△APR∽△PRQ? 分析:由 t=2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状; 作 QE⊥BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 BPQS  = 2 1 ×BP×QE 可得 S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求. 例 11(2008 浙江温州)如图,在 Rt ABC△ 中, 90A   , 6AB  , 8AC  ,D E, 分别是边 AB AC, 的中点,点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ BC 于Q ,过点 Q 作QR BA∥ 交 AC 于 R , 当点Q 与点C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ x ,QR y .(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点 P ,使 PQR△ 为等腰三角形?若存在,请求出所有 满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由. 分析:由△BHD∽△BAC,可得 DH;由△RQC∽△ABC,可得 y 关于 x 的函数关系式;由腰相等列方程可得 x 的值;注意需分类讨论. 中考动点专题答案 一、应用勾股定理建立函数解析式 1.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是 GH= 3 2 NH= 2 1 3 2  OP=2. (2)在 Rt△POH 中, 222 36 xPHOPOH  , ∴ 2362 1 2 1 xOHMH  . 在 Rt△MPH 中, . ∴ y =GP= 3 2 MP= 23363 1 x (0< x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时, xx  23363 1 ,解得 6x . 经检验, 6x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 1 2  x ,解得 0x . 经检验, 0x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时, 2x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 6 或 2. 二、应用比例式建立函数解析式 2.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ AC BD CE AB  , ∴ 1 1 x y  , ∴ xy 1 . (2)由于∠DAB+∠CAE=   ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 290  ,且函数关系式成立, ∴ 290  =   , 整理得  2  90 .当  2  90 时,函数解析式 xy 1 成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H. ∵∠BAC=90°,AB=AC= 22 , ∴BC=4,AH= 2 1 BC=2. ∴OC=4- x . ∵ AHOCS AOC  2 1 , ∴ 4 xy ( 40  x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时, 在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= x2 , ∴ 222 )2(2)1( xx  . 解得 6 7x . 22222 3362 1 4 19 xxxMHPHMP  A ED CB 图 2 F A B C E D A B C DE O l A′ 此时,△AOC 的面积 y = 6 17 6 74  . ②当⊙O 与⊙A 内切时, 在 Rt△AOH 中,OA= 1x ,OH= 2x , ∴ 222 )2(2)1(  xx . 解得 2 7x . 此时,△AOC 的面积 y = 2 1 2 74  .综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为 6 17 或 2 1 . 专题二:动态几何型压轴题 一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题. 1.解:(1) 证明 CDF ∽ EBD ∴ BE CD BD CF  ,代入数据得 8CF ,∴AF=2 (2) 设 BE= x ,则 ,10 ACd ,10 xAE  利用(1)的 方法 xCF 32 , 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切, xx 321010  , 24x ; 内切, xx 321010  , 17210 x . 100  x ∴当⊙ C 和⊙ A 相切时, BE 的长为 24 或 17210  . (3)当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时, 3 20BE . (二)线动问题 [ 略解] (1)∵A’是矩形 ABCD 的对称中心∴A’B=AA’= 2 1 AC ∵AB=A’B,AB=3∴AC=6 33BC (2) ① 92  xAC , 94 1 2  xAO , )9(12 1 2  xAF , x xAE 4 92  ∴ AF2 1  AES AEF x x 96 )9( 22  , x xxS 96 )9(3 22  x xx 96 81270 24  ( 333  x ) ②若圆 A 与直线 l 相切,则 94 1 4 3 2  xx , 01 x (舍去), 5 8 2 x ∵ 35 8 2 x ∴不存在这样的 x , 使圆 A 与直线 l 相切. 练习 1. 解: (1)y=-x2+4x。 (2)2+ 2或。2- 2 (3)存在。 过点 P 作 PH⊥AB 于点 H。则 ∵点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上, ∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。 在 Rt△D′P H 中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H= (4-x)²-2²= x²-8x+12。 ∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900, ∴△E D′A∽△D′P H。∴ED′ D′P = EA D′H ,即-x²+4x 4-x = x²-4x+2 x²-8x+12 , 即x= x²-4x+2 x²-8x+12 ,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得 x=2± 2 2 。 ∵当x=2+ 2 2 时,y=- 2+ 2 2 ²+4×2+ 2 2 = 5+2 2 2 > 2. ∴此时,点 E 已在边 DA 延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。 ∵当x=2- 2 2 时,y=- 2- 2 2 ²+4×2- 2 2 = 5-2 2 2 <2. ∴此时,点 E 在边 AD 上,符合题意。 ∴当x=2- 2 2 时,点 D 关于直线 PE 的对称点 D′落在边 AB 上。 法二 三角形 DAD’相似三角形 PDE. ED’= 表达式 ; AD’=表达式,利用勾股定理 2 .解:(1)当 PQ∥AD 时,x=4. (2)如图,连接 EP、EQ,则 EP=EQ,设 BE=y, ∴ 2222 )6()8( xyyx  得 3 74  xy ∵0≤y≤6 ∴0≤ 3 74 x ≤6 ∴ 4 7 ≤x≤ 4 25 (3) 6 56394)8(3 74 2 1 2 1 2  xxxxBPBES BPE 6 254)3 746(2 1 2 1 2 xxxxCQCES ECQ  由题意 ∵AP=CQ,∴ 24S2 1 ABCDBPQC  矩形梯形S ∴ 6 x25x4 6 56x39x424SSS 22 BPEBPQC  梯形 整理得: )()( 4 25x4 7124x3 4 3 100x32x4S 2 2  当 x=4 时,S 有最小值 12. 当 x= 4 7 或 x= 4 25 时,S 有最大值 4 75 ∴12≤S≤ 4 75 【涉及知识点】动点问题,方程,勾股定理,三角形的面积,梯形的面积 【点评】本题主要考查学生对动点问题的理解掌握情况。第一个问题要求学生能够根据问题列出符 合题意的方程,在第二个问题中,学生必须利用边的相等关系,再利用勾股定理求出 x 的取值范围,第 三个问题根据面积关系列出函数关系式,进而取出 S 的取值,本题难度较大. 3 在平面直角坐标系 XOY 中,一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点.直线 l2 过点 C(a,0)且与直线 l1 垂直,其中 a>0.点 P、Q 同时从 A 点出发,其中点 P 沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为每秒 5 个单位. (1)写出 A 点的坐标和 AB 的长; (2)当点 P、Q 运动了多少秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2、y 轴都相切,求此时 a 的 值. 考点:一次函数综合题;切线的性质;相似三角形的判定与性质。 专题:几何动点问题;分类讨论。 分析:(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法,分别求出坐标即可; (2)根据相似三角形的判定得出 △ APQ∽△AOB,以及当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,当⊙Q 在 y 轴 的左侧与 y 轴相切时,分别分析得出答案. 解答:解:(1)∵一次函数 的图象是直线 l1,l1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点, ∴y=0 时,x=﹣4, ∴A(﹣4,0),AO=4, ∵图象与 y 轴交点坐标为:(0,3),BO=3, ∴AB=5; (2)由题意得:AP=4t,AQ=5t, = =t, 又∠PAQ=∠OAB, ∴△APQ∽△AOB, ∴∠APQ=∠AOB=90°, ∵点 P 在 l1 上, ∴⊙Q 在运动过程中保持与 l1 相切,(没发掘这一条件) ①当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,设 l2 与⊙Q 相切于 F,由 △ APQ∽△AOB,得: ∴ , ∴PQ=6; 连接 QF,则 QF=PQ,由 △ QFC∽△APQ∽△AOB, 得: , ∴ , ∴ , ∴QC= , ∴a=OQ+QC= , ②当⊙Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时,设 l2 与⊙Q 相切于 E,由 △ APQ∽△AOB 得: = , ∴PQ= , 连接 QE,则 QE=PQ,由 △ QEC∽△APQ∽△AOB 得: = , ∴ , = , ∴QC= ,a=QC﹣OQ= , ∴a 的值为 和 , 点评:此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质,利用数形结合进行分析注意分类讨论 才能得出正确答案.