中考辅导分类三角形全等中考专题 10页

‎ ‎ 三角形全等 ‎【知识要点】‎ ‎1．两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等．‎ ‎2．全等三角形的判定方法有（1）SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS．（5）HL．‎ ‎3．两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等．‎ ‎【复习指导】‎ ‎1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：‎ ‎（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．‎ ‎ 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，‎ 说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．‎ ‎2．判定两个三角形全等的解题思路：‎ ‎ 找夹角——SAS ‎ 已知两边 找另一边——SSS ‎ 边为角的对边——找任一角——AAS ‎ 找夹角的另一边——SAS ‎ 已知一边一角 ‎ 边为角的邻边 找夹边的另一角——ASA ‎ ‎ 找边的对角——AAS ‎ 找夹边——ASA ‎ 已知两角 ‎ 找任一边——AAS ‎3．运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1．转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用．‎ ‎2．运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决．‎ ‎3．构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形．‎ ‎4．分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法．‎ ‎【证明三角形全等】‎ 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法。‎ ‎（1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．‎ 例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，‎ BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．‎ 那么图中全等的三角形有___对．‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎（2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，‎ 需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．‎ 例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，‎ 还需添加的条件是（只需填一个）_____．‎ ‎（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加 辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用 全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．‎ 例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．‎ 求证：AO平分∠BAC．‎ ‎（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，‎ 一般需要作辅助线来构造全等三角形． ‎ 例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，‎ AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．‎ 求证：∠ADC=∠BDF．‎ 说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．‎ ‎（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．‎ 例5 要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A，B两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒‎ ‎(1)画出测量图案﹒‎ ‎(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 ‎ ‎(3)计算A、B的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎【三角形全等的应用】‎ （1） 证明线段（或角）相等 ‎ 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC ‎（2）证明线段平行 例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD ‎（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE ‎(4)证明线段相互垂直 例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。‎ ‎【全等三角形辅助线的做法】‎ 常见辅助线的作法有以下几种：‎ 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．‎ 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．‎ 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“‎ - 10 -‎ ‎ ‎ 对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．‎ 1) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”‎ 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．‎ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．‎ 一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.‎ 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.‎ 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.‎ 二、截长补短 ‎1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC - 10 -‎ ‎ ‎ ‎2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD ‎3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP ‎4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，‎ 求证： ‎ ‎ ‎ 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.‎ 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.‎ - 10 -‎ ‎ ‎ 四、借助角平分线造全等 ‎1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD ‎2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ‎ ‎（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.‎ 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.‎ ‎ ‎ 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。‎ （1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。‎ （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。‎ ‎【基础练习】‎ 判断题 - 10 -‎ ‎ ‎ ‎1. 两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形( )‎ ‎2. 有三个角对应相等的两个三角形全等 ( )‎ 单选题 ‎1. 已知：如图 , ∠BAC=∠EDF , ∠C=∠F , 要使△ABC≌△DEF , 所缺条件是 [ ]‎ A.∠B=∠E B.∠1=∠2 C.AC=DF D.∠C=∠F ‎2. 已知：如图 , AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是 [ ]‎ A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED D.∠1=∠2‎ ‎3. 下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和底边上的高 , 能确定一个等腰三角形的是 [ ]‎ A.①和② B.③和④ C.②和④ D.①和④‎ 填空题 ‎4. 如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB≌△A EC , 根据是_________再证△BDE≌△______ , 根据是__________．‎ ‎ ‎ 5. 已知：如图 , AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________．‎ 证明题 ‎6. 已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．‎ - 10 -‎ ‎ ‎ 求证：△ABD≌△CDB ‎7. 如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．‎ ‎8. 如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF ‎【综合测试】‎ D C A B 一、 选择题 ‎1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。‎ 如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（ ）。‎ ‎ (A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)无法确定 ‎ ‎2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，‎ 则∠MAC的度数等于（ ）‎ A．120° B.70° C.60° D.50°.‎ ‎3.使两个直角三角形全等的条件是（　　）‎ Ａ.一锐角对应相等　Ｂ.两锐角对应相等　Ｃ.一条边对应相等　Ｄ.两条边对应相等 ‎4.在△ＡBC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判断中错误的是（ ）‎ B C D A. 若添加条件AC=AˊCˊ，则△ABC≌△A′B′C′‎ B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′‎ C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′‎ D. 若添加条件 ∠C=∠C ′，则△ABC≌△A′B′C′ ‎ ‎5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）‎ A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去 ‎6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，‎ 则的度数为（　　）‎ A．60°　　　B．75°　　　C．90°　　　D．95°‎ ‎7. 下列说法中不正确的是（ ）‎ A.全等三角形一定能重合　 B.全等三角形的面积相等 - 10 -‎ ‎ ‎ C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等 ‎8．（2004·山东潍坊市）如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　 ） ‎ ‎ A．甲和乙 　Ｂ．乙和丙 　Ｃ．只有乙 　Ｄ．只有丙 A． ‎9．‎ ‎9.根据图中所给条件 , 判定____这两个三角形全等． （ ）‎ A. ‎①和② B.②和④ C.①和④ D.②和③‎ 10. 如右图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。则下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（ ）‎ A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 二．填空题 ‎11．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为 ‎______________________，对应边分别为_____________________.‎ 图5‎ A D C B 第12题图 ‎ A D B C O 第11题图 第13题图 ‎12．如图示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是______；‎ ‎13.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可） ‎ ‎14．如图5，于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对。‎ ‎15.如右图示,正方形ABCD中,E、F分别在AB、BC上，AC、BD交 于O点且AC⊥BD,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则S△BEF为＿＿＿.‎ A B D C ‎16.如右图示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，‎ AC=4，则AD的取值范围是 ‎ ‎17.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，‎ 那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.　　‎ - 10 -‎ ‎ ‎ A D C B 第19题图 E ‎18.如图10，E点为ΔABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线 交AB与M点，交CN于N点，若MB=6cm，CN=4cm，则AB=_____.‎ ‎19.如图示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，‎ ‎△ABD的面积为16，则的面积为______ ．‎ ‎20．如右图示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度 ‎ 数为（ ）‎ ‎　A．80°　　　B．100°　　　C．60°　　D．45°．‎ 三、证明题 ‎21. 如图示，已知AB=AC，BD=DC，图中有相等的角吗？请找出来，并说明理由。‎ ‎22、如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.‎ A B C D E ‎23. 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD.求证：D点在∠BAC的平分线上 四、试试看 ‎24、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=AB，‎ 已知△ABE≌△ADF. （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；‎ ‎（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。‎ - 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