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  • 2021-05-10 发布

中考数学一模试卷含解析31

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‎2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷 一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分 ‎1.2016的相反数是(  )‎ A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣‎ ‎2.下列运算正确的是(  )‎ A.x+x=x2 B.x6÷x2=x3 C.(2x2)3=6x5 D.x•x3=x4‎ ‎3.不等式组的解在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的是(  )‎ A.众数是80 B.中位数是75 C.平均数是80 D.极差是15‎ ‎5.面积为10m2的正方形地毯,它的边长介于(  )‎ A.2m与3m之间 B.3m与4m之间 C.4m与5m之间 D.5m与6m之间 ‎6.小张同学的座右铭是“态度决定一切”,他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“一”相对的字是(  )‎ A.态 B.度 C.决 D.切 ‎7.如图,圆O的半径为6,点A、B、C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是(  )‎ A.5 B.6 C.6 D.6‎ ‎8.一个矩形被一条直线分成面积为x,y的两部分,则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分 ‎9.9的算术平方根是______.‎ ‎10.第六次全国人口普查数据显示,盐城市常住人口约为821万人,用科学记数法表示821万为______.‎ ‎11.已知x﹣y=1,则x2﹣y2﹣2y的值为______.‎ ‎12.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=38°时,∠1=______.‎ ‎13.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已知取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是______.‎ ‎14.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为______cm.‎ ‎15.若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,则m的值为______.‎ ‎16.已知圆锥的底面直径为4cm,其母线长为10cm,沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为______.‎ ‎17.在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,则△ABC的面积为______.‎ ‎18.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为1的等边三角形,点A在x轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点A2016的坐标是______.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共10小题,共96分 ‎19.(1)计算: +cos60°﹣(π+2016)0+()﹣2‎ ‎(2)先化简÷(﹣),然后选取一个你喜欢的a值带入求值.‎ ‎20.“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注,某校利用“五一”假期,随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法,统计整理制作了如下的统计图,请回答下列问题:‎ ‎(1)这次共抽查了______个家长;‎ ‎(2)请补全条形统计图和扇形统计图(友情提醒:条形图补画家长持“反对”态度的人数条,扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数);‎ ‎(3)已知该校共有1200名学生,持“赞成”态度的学生估计约有______人.‎ ‎21.在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片,甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字,乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字,现分别从两个袋子中各抽出一张卡片,试解答下列问题:‎ ‎(1)分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字,请用树状图法或列表法写出(A,B)的所有取值;‎ ‎(2)求在(A,B)中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率.‎ ‎22.五一节,某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观,并测量其高度.如图,塔身BD与地面垂直,他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退16cm至C处,测得塔顶端点D的仰角为30°,求“海春轩塔”BD的高度.(≈1.73,结果保留一位小数)‎ ‎23.某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.‎ ‎24.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.‎ ‎(1)求证:AB=BE;‎ ‎(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.‎ ‎25.如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.‎ ‎(1)求n和k的值;‎ ‎(2)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣2时,请直接写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标.‎ ‎26.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是60件,而销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具.‎ ‎(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),写出销售玩具获得的利润W(元)与x之间的函数关系式,并计算若该商场获得了800元的销售利润,则该玩具销售单价x应定为多少元?‎ ‎(2)在(1)的条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且该商场要完成不少于48件的销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?‎ ‎27.问题背景:(1)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,作DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,写出MD和ME之间的数量关系是______.‎ 数学思考:(2)如图2,在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请写出证明过程.‎ 拓展探究:(3)如图3,在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状,并说明理由.‎ ‎28.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的横坐标为3,点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.‎ ‎(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分 ‎1.2016的相反数是(  )‎ A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣‎ ‎【考点】相反数.‎ ‎【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.‎ ‎【解答】解:2016的相反数是﹣2016,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.下列运算正确的是(  )‎ A.x+x=x2 B.x6÷x2=x3 C.(2x2)3=6x5 D.x•x3=x4‎ ‎【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加;同底数幂的除法底数不变指数相减;积的乘方等于乘方的积;同底数幂的乘法底数不变指数相加;可得答案.‎ ‎【解答】解:A、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故A错误;‎ B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B错误;‎ C、积的乘方等于乘方的积,故C错误;‎ D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.不等式组的解在数轴上表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】在数轴上表示不等式的解集.‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.‎ ‎【解答】解:由3x+2>5,解得x>1,‎ 由3﹣x≥1,解得x≤2,‎ 不等式组的解集是1<x≤2,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的是(  )‎ A.众数是80 B.中位数是75 C.平均数是80 D.极差是15‎ ‎【考点】算术平均数;中位数;众数;极差.‎ ‎【分析】根据平均数,中位数,众数,极差的概念逐项分析.‎ ‎【解答】解:A、80出现的次数最多,所以众数是80,A正确;‎ B、把数据按大小排列,中间两个数为80,80,所以中位数是80,B错误;‎ C、平均数是=80,C正确;‎ D、极差是90﹣75=15,D正确.‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.面积为10m2的正方形地毯,它的边长介于(  )‎ A.2m与3m之间 B.3m与4m之间 C.4m与5m之间 D.5m与6m之间 ‎【考点】估算无理数的大小.‎ ‎【分析】易得正方形的边长,看在哪两个正整数之间即可.‎ ‎【解答】解:正方形的边长为,‎ ‎∵<<,‎ ‎∴3<4,‎ ‎∴其边长在3m与4m之间.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.小张同学的座右铭是“态度决定一切”,他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“一”相对的字是(  )‎ A.态 B.度 C.决 D.切 ‎【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.‎ ‎【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,据此可得和“一”相对的字.‎ ‎【解答】解:正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,所以和“一”相对的字是:态.故选A.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,圆O的半径为6,点A、B、C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是(  )‎ A.5 B.6 C.6 D.6‎ ‎【考点】圆周角定理;等腰直角三角形.‎ ‎【分析】首先连接OA,OB,由∠ACB=45°,可得△AOB是等腰直角三角形,继而求得答案.‎ ‎【解答】解:连接OA,OB,‎ ‎∵∠ACB=45°,‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=90°,‎ ‎∵⊙O的半径为6,‎ ‎∴OA=OB=6,‎ ‎∴AB=OA=6.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.一个矩形被一条直线分成面积为x,y的两部分,则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】矩形的性质;函数的图象.‎ ‎【分析】因为一个矩形被直线分成面积为x,y的两部分,矩形的面积一定,y随着x的增大而减小,但是x+y=k(矩形的面积是一定值),由此可以判定答案.‎ ‎【解答】解:因为x+y=k(矩形的面积是一定值),‎ 整理得y=﹣x+k,‎ 由此可知y是x的一次函数,图象经过第一、二、四象限,x、y都不能为0,且x>0,y>0,图象位于第一象限,‎ 所以只有A符合要求.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分 ‎9.9的算术平方根是 3 .‎ ‎【考点】算术平方根.‎ ‎【分析】9的平方根为±3,算术平方根为非负,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:∵(±3)2=9,‎ ‎∴9的算术平方根是|±3|=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎10.第六次全国人口普查数据显示,盐城市常住人口约为821万人,用科学记数法表示821万为 8.21×106 .‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将821万用科学记数法表示为8.21×106.‎ 故答案为:8.21×106.‎ ‎ ‎ ‎11.已知x﹣y=1,则x2﹣y2﹣2y的值为 1 .‎ ‎【考点】平方差公式.‎ ‎【分析】首先利用平方差公式,求得x2﹣y2﹣2y=(x+y)(x﹣y)﹣2y,继而求得答案.‎ ‎【解答】解:∵x﹣y=1,‎ ‎∴x2﹣y2﹣2y=(x+y)(x﹣y)﹣2y=x+y﹣2y=x﹣y=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=38°时,∠1= 52° .‎ ‎【考点】平行线的性质.‎ ‎【分析】先求出∠3,再由平行线的性质可得∠1.‎ ‎【解答】解:如图:‎ ‎∠3=∠2=38°°(两直线平行同位角相等),‎ 则∠1=90°﹣∠3=52°.‎ 故答案为:52°.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已知取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是  .‎ ‎【考点】概率公式;勾股定理;勾股定理的逆定理.‎ ‎【分析】由取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的有4种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:∵取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的有4种情况,‎ ‎∴使△ABC为直角三角形的概率是:.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为 18 cm.‎ ‎【考点】相似三角形的应用.‎ ‎【分析】根据题意可画出图形,再根据相似三角形的性质对应边成比例解答.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴△AED∽△ABC ‎∴=‎ 设屏幕上的小树高是x,则=‎ 解得x=18cm.故答案为:18.‎ ‎ ‎ ‎15.若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,则m的值为 ﹣1 .‎ ‎【考点】反比例函数的性质.‎ ‎【分析】根据反比例函数的图象,可得比例系数小于零且次数是﹣1,可得答案.‎ ‎【解答】解:由反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,得 ‎|m|﹣2=﹣1且m<0,‎ 解得m=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎16.已知圆锥的底面直径为4cm,其母线长为10cm,沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为 72° .‎ ‎【考点】圆锥的计算.‎ ‎【分析】首先求得圆锥的底面周长,即扇形的弧长,然后利用弧长公式即可求解.‎ ‎【解答】解:∵圆锥的底面直径为4cm,‎ ‎∴底面周长是4πcm.‎ 设侧面展开图的圆心角度数是n°,‎ ‎∵母线长为10cm,‎ ‎∴=4π,‎ 解得:n=72,‎ 故答案是:72°.‎ ‎ ‎ ‎17.在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,则△ABC的面积为 30 .‎ ‎【考点】三角形的重心.‎ ‎【分析】先根据点O是△ABC的重心得出OD=AD,再由△BOD的面积等于5得出△ABD的面积等于15,再由点D时BC的中点可得出S△ABC=2S△ABD,故可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵ABC中,中线AD、BE相交于点O,‎ ‎∴点O是△ABC的重心,‎ ‎∴OD=AD.‎ ‎∵S△BOD=5,‎ ‎∴S△ABD=15.‎ ‎∵点D时BC的中点,‎ ‎∴S△ABC=2S△ABD=30.‎ 故答案为:30.‎ ‎ ‎ ‎18.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为1的等边三角形,点A在x轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点A2016的坐标是  .‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.‎ ‎【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为:y=x,进而得出B,B1,B2,B3坐标,进而得出坐标变化规律,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:过B1向x轴作垂线B1C,垂足为C,‎ 由题意可得:A(1,0),AO∥A1B1,∠B1OC=30°,‎ ‎∴CB1=OB1cos30°=,‎ ‎∴B1的横坐标为:,则B1的纵坐标为:,‎ ‎∴点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,‎ ‎∴B1(,),‎ 同理可得出:A的横坐标为:1,‎ ‎∴y=,‎ ‎∴A2(2,),‎ ‎…‎ An(1+,).‎ ‎∴A2016,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共10小题,共96分 ‎19.(1)计算: +cos60°﹣(π+2016)0+()﹣2‎ ‎(2)先化简÷(﹣),然后选取一个你喜欢的a值带入求值.‎ ‎【考点】分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】(1)首先进行0次幂和负整数指数次幂以及开方运算,代入特殊角的三角函数值,再进行加减计算即可;‎ ‎(2)首先把分式的分子分母分解因式,化简分式,然后计算括号内的分式,进行分式的除法计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)原式=2+﹣1+4=;‎ ‎(2)原式=÷[﹣]‎ ‎=÷(﹣)‎ ‎=•‎ ‎=a,‎ 当a=2时,原式=2.‎ ‎ ‎ ‎20.“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注,某校利用“五一”假期,随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法,统计整理制作了如下的统计图,请回答下列问题:‎ ‎(1)这次共抽查了 100 个家长;‎ ‎(2)请补全条形统计图和扇形统计图(友情提醒:条形图补画家长持“反对”态度的人数条,扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数);‎ ‎(3)已知该校共有1200名学生,持“赞成”态度的学生估计约有 300 人.‎ ‎【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)根据“无所谓”的人数除以占的百分比得到调查的总家长数;‎ ‎(2)由调查家长的总数求出“反对”的人数,补全条形统计图,求出“反对”与“赞成”的百分比,补全扇形统计图即可;‎ ‎(3)求出学生中“赞成”的百分比,乘以1200即可得到结果.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意得:20÷20%=100(个),‎ 则这次调查了100个家长;‎ ‎(2)家长“反对”的人数为100﹣(10+20)=70(个);占的百分比为70÷100=70%;“赞成”占的百分比为10÷100=10%;‎ 补全统计图,如图所示:‎ ‎(3)根据题意得:1200×=300(个),‎ 则持“赞成”态度的学生估计约有300个,‎ 故答案为:(1)100;(3)300‎ ‎ ‎ ‎21.在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片,甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字,乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字,现分别从两个袋子中各抽出一张卡片,试解答下列问题:‎ ‎(1)分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字,请用树状图法或列表法写出(A,B)的所有取值;‎ ‎(2)求在(A,B)中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;根的判别式.‎ ‎【分析】(1)分2步实验,利用树状图列举出所有情况即可;‎ ‎(2)看使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的情况数占总情况数的多少即可.‎ ‎【解答】解:(1)画树状图如下:‎ ‎;‎ ‎(2)∵方程x2﹣Ax+2B=0有实数根,‎ ‎∴△=A2﹣8B≥0,‎ ‎∴使A2﹣8B≥0的(A,B)有(3,1),(4,1),(4,2),‎ ‎∴P(△≥0)==.‎ ‎ ‎ ‎22.五一节,某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观,并测量其高度.如图,塔身BD与地面垂直,他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退16cm至C处,测得塔顶端点D的仰角为30°,求“海春轩塔”BD的高度.(≈1.73,结果保留一位小数)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】先根据题意得出∠BAD、∠BCD的度数及AC的长,再在Rt△ABD中可得出AB=BD,利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.‎ ‎【解答】解:根据题意可知:‎ ‎∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=12m.‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎∵∠BAD=∠BDA=45°,‎ ‎∴AB=BD.‎ 在Rt△BDC中,‎ ‎∵tan∠BCD=,‎ ‎∴=,‎ 则BC=BD,‎ 又∵BC﹣AB=AC,‎ ‎∴BD﹣BD=16,‎ 解得:BD=8+8.‎ 答:古塔BD的高度为(8+8)米.‎ ‎ ‎ ‎23.某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.‎ ‎【考点】分式方程的应用.‎ ‎【分析】以人均捐款数为问题,等量关系为:1班人数×90%=2班人数;‎ 以人数为问题,等量关系为:1班人均捐款数+4=2班人均捐款数.‎ ‎【解答】解法一:求两个班人均捐款各多少元?‎ 设1班人均捐款x元,则2班人均捐款(x+4)元.‎ 根据题意得:×(1﹣10%)=,‎ 解得:x=36,‎ 经检验x=36是原方程的根.‎ ‎∴x+4=40,‎ 答:1班人均捐36元,2班人均捐40元.‎ 解法二:求两个班人数各多少人?‎ 设1班有x人,则2班为(1﹣10%)x人,‎ 则根据题意得: +4=.‎ 解得:x=50,‎ 经检验x=50是原方程的根,‎ ‎∴90%x=45,‎ 答:1班有50人,2班有45人.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.‎ ‎(1)求证:AB=BE;‎ ‎(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.‎ ‎【考点】切线的性质;解直角三角形.‎ ‎【分析】(1)本题可连接OD,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果;‎ ‎(2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得到结果.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,‎ ‎∵PD切⊙O于点D,‎ ‎∴OD⊥PD,‎ ‎∵BE⊥PC,‎ ‎∴OD∥BE,‎ ‎∴ADO=∠E,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ADO,‎ ‎∴∠OAD=∠E,‎ ‎∴AB=BE;‎ ‎(2)解:由(1)知,OD∥BE,‎ ‎∴∠POD=∠B,‎ ‎∴cos∠POD=cosB=,‎ 在Rt△POD中,cos∠POD==,‎ ‎∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,‎ ‎∴,‎ ‎∴OA=3,‎ ‎∴⊙O半径=3.‎ ‎ ‎ ‎25.如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.‎ ‎(1)求n和k的值;‎ ‎(2)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣2时,请直接写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标.‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;菱形的性质.‎ ‎【分析】(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,得到n的值为3;再把点A(4,3)代入反比例函数y=,得到k的值为12;‎ ‎(2)根据反比函数的性质即可得到当y≥﹣2时,自变量x的取值范围;‎ ‎(3)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2,0),过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,根据勾股定理得到AB=,根据AAS可得△ABE≌△DCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,可得n=×4﹣3=3;‎ 把点A(4,3)代入反比例函数y=,可得3=,‎ 解得k=12;‎ ‎(2)当y=﹣2时,﹣2=,解得x=﹣6.‎ 故当y≥﹣2时,自变量x的取值范围是x≤﹣6或x>0;‎ ‎(3)∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B,‎ ‎∴x﹣3=0,‎ 解得x=2,‎ ‎∴点B的坐标为(2,0),‎ 如图,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,‎ 过点D作DF⊥x轴,垂足为F,‎ ‎∵A(4,3),B(2,0),‎ ‎∴OE=4,AE=3,OB=2,‎ ‎∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2,‎ 在Rt△ABE中,‎ AB==,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=CD=BC=,AB∥CD,‎ ‎∴∠ABE=∠DCF,‎ ‎∵AE⊥x轴,DF⊥x轴,‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°,‎ 在△ABE与△DCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△DCF(ASA),‎ ‎∴CF=BE=2,DF=AE=3,‎ ‎∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+,‎ ‎∴点D的坐标为(4+,3).‎ ‎ ‎ ‎26.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是60件,而销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具.‎ ‎(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),写出销售玩具获得的利润W(元)与x之间的函数关系式,并计算若该商场获得了800元的销售利润,则该玩具销售单价x应定为多少元?‎ ‎(2)在(1)的条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且该商场要完成不少于48件的销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)利用已知结合销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具,表示出涨价后的销量即可,进而得出W与x的函数关系,再利用W=800,得出关于x的等式方程求出即可;‎ ‎(2)利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于48件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围,再利用二次函数性质求出最值即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得:销量=60﹣2(x﹣40)=140﹣2x,‎ w=(x﹣30)=﹣2x2+200x﹣4200,‎ 根据题意得出:﹣2x2+200x﹣4200=800,‎ 解得:x1=x2=50.‎ 答:玩具销售单价为50元时,可获得800元销售利润.‎ ‎(2)根据题意得:‎ ‎,‎ 解得:44≤x≤46,‎ W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2(x﹣50)2+800,‎ ‎∵a=﹣2<0,对称轴是直线x=50,‎ ‎∴当44≤x≤46时,W随x增大而增大.‎ ‎∴当x=46时,W最大值=768(元).‎ 答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为768元.‎ ‎ ‎ ‎27.问题背景:(1)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,作DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,写出MD和ME之间的数量关系是 相等 .‎ 数学思考:(2)如图2,在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请写出证明过程.‎ 拓展探究:(3)如图3,在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状,并说明理由.‎ ‎【考点】三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)根据△ABD是等腰直角三角形,且DF⊥AB,所以得到DF=AB,根据点G为AC的中点,点M为BC的中点,所以MG为△ABC的中位线,所以MG∥AB,且MG=AB,同理FM∥AC,且FM=AC,得到DF=MG,FM=EG,根据MG∥AB,FM∥AC,所以四边形AFMG是平行四边形,所以∠AFM=∠AGM,证明∠DFM=∠MGE,所以△DFN≌△MGE.‎ ‎(2)DM⊥EM,且DM=EM,理由如下:设AB和DM交于点P,连接FM,GM,由(1)得:DF=MG,FM=EG,∠DFM=∠MGE,证明△DFM≌△MGE,得到DM=EM,由△DFM≌△MGE,得到∠FDM=∠EMG,所以∠DPA=∠DFP+∠FDM,根据MG∥AB,得到∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM,又由∠DMG=∠DM+∠EMG,得到∠DNE=∠DFP=90°,即可解答.‎ ‎(3)类比(1)(2)可得:△MDE是等腰直角三角形.‎ ‎【解答】解:(1)相等,‎ 理由:如图1,取BC的中点M,连接DM,EM,MG,FM,‎ ‎∵△ABD是等腰直角三角形,且DF⊥AB,‎ ‎∴BF=AF,∴DF=AB,‎ ‎∵点G为AC的中点,点M为BC的中点,‎ ‎∴MG为△ABC的中位线,‎ ‎∴MG∥AB,且MG=AB,同理FM∥AC,且FM=AC,‎ ‎∴DF=MG,FM=EG,‎ ‎∵MG∥AB,FM∥AC,‎ ‎∴四边形AFMG是平行四边形,‎ ‎∴∠AFM=∠AGM,‎ ‎∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°,‎ ‎∴∠BFM=∠CGM,‎ ‎∵DF⊥AB,‎ ‎∴∠DFB=90°,同理∠EGC=90°,‎ ‎∴∠DFB=∠EGC,‎ ‎∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM,‎ ‎∴∠DFM=∠MGE,‎ 在△DFM和△MGE中,‎ ‎,‎ ‎∴△DFM≌△MGE,‎ ‎∴MD=ME.‎ ‎(2)MD=ME,‎ 理由:作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,‎ ‎∴AF=AB,AG=AC.‎ ‎∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,‎ ‎∴DF⊥AB,DF=AB,EG⊥AC,EG=AC,‎ ‎∴∠AFD=∠AGE=90°,DF=AF,GE=AG.‎ ‎∵M是BC的中点,‎ ‎∴MF∥AC,MG∥AB,‎ ‎∴四边形AFMG是平行四边形,‎ ‎∴AG=MF,MG=AF,∠AFM=∠AGM.‎ ‎∴MF=GE,DF=MG,∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE,‎ ‎∴∠DFM=∠MGE.‎ ‎∵在△DFM和△MGE中,,‎ ‎∴△DFM≌△MGE(SAS),‎ ‎∴DM=ME;‎ ‎(3)作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,DE,线段DE与MG交于H,‎ ‎∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点,‎ ‎∴MF∥AC,MF=AC,MG∥AB,MG=AB,‎ ‎∴四边形MFAG是平行四边形,‎ ‎∴MG=AF,MF=AG.∠AFM=∠AGM.‎ ‎∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,‎ ‎∴DF=AF,GE=AG,∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°‎ ‎∴MF=EG,DF=MG,∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE,‎ 即∠DFM=∠MGE.‎ ‎∵在△DFM和△MGE中,,‎ ‎∴△DFM≌△MGE(SAS),‎ ‎∴MD=ME,∠MDF=∠EMG,‎ ‎∵MG∥AB,‎ ‎∴∠MHD=∠BFD=90°,‎ ‎∴∠HMD+∠MDH=90°‎ ‎∴∠HMD+∠EMG=90°,‎ 即∠DME=90°,‎ ‎∴△DME为等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎28.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的横坐标为3,点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.‎ ‎(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)先把点C,D坐标确定,再用待定系数法求出b,c;‎ ‎(2)设出点P的坐标,确定出PF∥CO,由PF=CO,求出m即可;‎ ‎(3)先判断出△PMF∽△CNF,得出PM=CM=2CF,由FP的长从两个角度计算建立方程即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线y=+2经过点C,D ‎∴C(0,2),D(3,),‎ ‎∵抛物y=﹣x2+bx+c经过点C(0,2),D(3,),‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的解析式y=﹣x2+x+2,‎ ‎(2)∵点P的横坐标为m,且在抛物线上 ‎∴P(m,﹣m2+m+2),F(m, m+2),‎ ‎∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形 ‎①当0<m<3时,PF=﹣m2+m+2﹣(m+2)=﹣m2+3m,‎ ‎∴m1=1,m2=2,‎ 即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形,‎ ‎②当m≥3时,PF=(m+2)﹣(﹣m2+m+2)=m2﹣3m,‎ ‎∴m1=,m2=(舍去),‎ 即当m=时,四边形OCFP是平行四边形,‎ 当m=1或2或时,四边形O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,‎ ‎(3)如图,‎ 当点P在CD上方且∠PCF=45°时,作PM⊥CD,CN⊥PF,‎ ‎∴△PMF∽△CNF,‎ ‎∴,‎ ‎∴PM=CM=2CF,‎ ‎∴PF=FM=CF=×CN=CN=m,‎ ‎∵PF=﹣m2+3m,‎ ‎∴﹣m2+3m=m,‎ ‎∴m1=,m2=0(舍去)‎ ‎∴P(,).‎ 同理可得:另外一点P(,).‎