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- 2021-05-10 发布
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2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分
1.2016的相反数是( )
A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣
2.下列运算正确的是( )
A.x+x=x2 B.x6÷x2=x3 C.(2x2)3=6x5 D.x•x3=x4
3.不等式组的解在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
4.某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的是( )
A.众数是80 B.中位数是75 C.平均数是80 D.极差是15
5.面积为10m2的正方形地毯,它的边长介于( )
A.2m与3m之间 B.3m与4m之间 C.4m与5m之间 D.5m与6m之间
6.小张同学的座右铭是“态度决定一切”,他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“一”相对的字是( )
A.态 B.度 C.决 D.切
7.如图,圆O的半径为6,点A、B、C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是( )
A.5 B.6 C.6 D.6
8.一个矩形被一条直线分成面积为x,y的两部分,则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
9.9的算术平方根是______.
10.第六次全国人口普查数据显示,盐城市常住人口约为821万人,用科学记数法表示821万为______.
11.已知x﹣y=1,则x2﹣y2﹣2y的值为______.
12.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=38°时,∠1=______.
13.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已知取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是______.
14.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为______cm.
15.若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,则m的值为______.
16.已知圆锥的底面直径为4cm,其母线长为10cm,沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为______.
17.在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,则△ABC的面积为______.
18.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为1的等边三角形,点A在x轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点A2016的坐标是______.
三、解答题:本大题共10小题,共96分
19.(1)计算: +cos60°﹣(π+2016)0+()﹣2
(2)先化简÷(﹣),然后选取一个你喜欢的a值带入求值.
20.“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注,某校利用“五一”假期,随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法,统计整理制作了如下的统计图,请回答下列问题:
(1)这次共抽查了______个家长;
(2)请补全条形统计图和扇形统计图(友情提醒:条形图补画家长持“反对”态度的人数条,扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数);
(3)已知该校共有1200名学生,持“赞成”态度的学生估计约有______人.
21.在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片,甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字,乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字,现分别从两个袋子中各抽出一张卡片,试解答下列问题:
(1)分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字,请用树状图法或列表法写出(A,B)的所有取值;
(2)求在(A,B)中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率.
22.五一节,某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观,并测量其高度.如图,塔身BD与地面垂直,他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退16cm至C处,测得塔顶端点D的仰角为30°,求“海春轩塔”BD的高度.(≈1.73,结果保留一位小数)
23.某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
24.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.
25.如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)求n和k的值;
(2)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣2时,请直接写出自变量x的取值范围;
(3)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标.
26.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是60件,而销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具.
(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),写出销售玩具获得的利润W(元)与x之间的函数关系式,并计算若该商场获得了800元的销售利润,则该玩具销售单价x应定为多少元?
(2)在(1)的条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且该商场要完成不少于48件的销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
27.问题背景:(1)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,作DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,写出MD和ME之间的数量关系是______.
数学思考:(2)如图2,在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请写出证明过程.
拓展探究:(3)如图3,在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状,并说明理由.
28.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的横坐标为3,点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
2016年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分
1.2016的相反数是( )
A.2016 B.﹣2016 C. D.﹣
【考点】相反数.
【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
【解答】解:2016的相反数是﹣2016,
故选:B.
2.下列运算正确的是( )
A.x+x=x2 B.x6÷x2=x3 C.(2x2)3=6x5 D.x•x3=x4
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加;同底数幂的除法底数不变指数相减;积的乘方等于乘方的积;同底数幂的乘法底数不变指数相加;可得答案.
【解答】解:A、不是同底数幂的乘法指数不能相加,故A错误;
B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B错误;
C、积的乘方等于乘方的积,故C错误;
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D正确;
故选:D.
3.不等式组的解在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
【考点】在数轴上表示不等式的解集.
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集表示在数轴上即可.
【解答】解:由3x+2>5,解得x>1,
由3﹣x≥1,解得x≤2,
不等式组的解集是1<x≤2,
故选:C.
4.某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:80,90,75,75,80,80.下列表述错误的是( )
A.众数是80 B.中位数是75 C.平均数是80 D.极差是15
【考点】算术平均数;中位数;众数;极差.
【分析】根据平均数,中位数,众数,极差的概念逐项分析.
【解答】解:A、80出现的次数最多,所以众数是80,A正确;
B、把数据按大小排列,中间两个数为80,80,所以中位数是80,B错误;
C、平均数是=80,C正确;
D、极差是90﹣75=15,D正确.
故选:B
5.面积为10m2的正方形地毯,它的边长介于( )
A.2m与3m之间 B.3m与4m之间 C.4m与5m之间 D.5m与6m之间
【考点】估算无理数的大小.
【分析】易得正方形的边长,看在哪两个正整数之间即可.
【解答】解:正方形的边长为,
∵<<,
∴3<4,
∴其边长在3m与4m之间.
故选:B.
6.小张同学的座右铭是“态度决定一切”,他将这几个字写在一个正方体纸盒的每个面上,其平面展开图如图所示,那么在该正方体中,和“一”相对的字是( )
A.态 B.度 C.决 D.切
【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.
【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,据此可得和“一”相对的字.
【解答】解:正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,所以和“一”相对的字是:态.故选A.
7.如图,圆O的半径为6,点A、B、C在圆O上,且∠ACB=45°,则弦AB的长是( )
A.5 B.6 C.6 D.6
【考点】圆周角定理;等腰直角三角形.
【分析】首先连接OA,OB,由∠ACB=45°,可得△AOB是等腰直角三角形,继而求得答案.
【解答】解:连接OA,OB,
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=90°,
∵⊙O的半径为6,
∴OA=OB=6,
∴AB=OA=6.
故选C.
8.一个矩形被一条直线分成面积为x,y的两部分,则y与x之间的函数关系用图象表示只可能是( )
A. B. C. D.
【考点】矩形的性质;函数的图象.
【分析】因为一个矩形被直线分成面积为x,y的两部分,矩形的面积一定,y随着x的增大而减小,但是x+y=k(矩形的面积是一定值),由此可以判定答案.
【解答】解:因为x+y=k(矩形的面积是一定值),
整理得y=﹣x+k,
由此可知y是x的一次函数,图象经过第一、二、四象限,x、y都不能为0,且x>0,y>0,图象位于第一象限,
所以只有A符合要求.
故选A.
二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分
9.9的算术平方根是 3 .
【考点】算术平方根.
【分析】9的平方根为±3,算术平方根为非负,从而得出结论.
【解答】解:∵(±3)2=9,
∴9的算术平方根是|±3|=3.
故答案为:3.
10.第六次全国人口普查数据显示,盐城市常住人口约为821万人,用科学记数法表示821万为 8.21×106 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:将821万用科学记数法表示为8.21×106.
故答案为:8.21×106.
11.已知x﹣y=1,则x2﹣y2﹣2y的值为 1 .
【考点】平方差公式.
【分析】首先利用平方差公式,求得x2﹣y2﹣2y=(x+y)(x﹣y)﹣2y,继而求得答案.
【解答】解:∵x﹣y=1,
∴x2﹣y2﹣2y=(x+y)(x﹣y)﹣2y=x+y﹣2y=x﹣y=1.
故答案为:1.
12.如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,当∠2=38°时,∠1= 52° .
【考点】平行线的性质.
【分析】先求出∠3,再由平行线的性质可得∠1.
【解答】解:如图:
∠3=∠2=38°°(两直线平行同位角相等),
则∠1=90°﹣∠3=52°.
故答案为:52°.
13.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已知取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是 .
【考点】概率公式;勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】由取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的有4种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的有4种情况,
∴使△ABC为直角三角形的概率是:.
故答案为:.
14.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为 18 cm.
【考点】相似三角形的应用.
【分析】根据题意可画出图形,再根据相似三角形的性质对应边成比例解答.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△AED∽△ABC
∴=
设屏幕上的小树高是x,则=
解得x=18cm.故答案为:18.
15.若反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,则m的值为 ﹣1 .
【考点】反比例函数的性质.
【分析】根据反比例函数的图象,可得比例系数小于零且次数是﹣1,可得答案.
【解答】解:由反比例函数y=mx|m|﹣2的图象分布于第二、四象限,得
|m|﹣2=﹣1且m<0,
解得m=﹣1.
故答案为:﹣1.
16.已知圆锥的底面直径为4cm,其母线长为10cm,沿着它的一条母线剪开后得到的扇形的圆心角的度数为 72° .
【考点】圆锥的计算.
【分析】首先求得圆锥的底面周长,即扇形的弧长,然后利用弧长公式即可求解.
【解答】解:∵圆锥的底面直径为4cm,
∴底面周长是4πcm.
设侧面展开图的圆心角度数是n°,
∵母线长为10cm,
∴=4π,
解得:n=72,
故答案是:72°.
17.在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,则△ABC的面积为 30 .
【考点】三角形的重心.
【分析】先根据点O是△ABC的重心得出OD=AD,再由△BOD的面积等于5得出△ABD的面积等于15,再由点D时BC的中点可得出S△ABC=2S△ABD,故可得出结论.
【解答】解:∵ABC中,中线AD、BE相交于点O,
∴点O是△ABC的重心,
∴OD=AD.
∵S△BOD=5,
∴S△ABD=15.
∵点D时BC的中点,
∴S△ABC=2S△ABD=30.
故答案为:30.
18.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为1的等边三角形,点A在x轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点A2016的坐标是 .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.
【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为:y=x,进而得出B,B1,B2,B3坐标,进而得出坐标变化规律,进而得出答案.
【解答】解:过B1向x轴作垂线B1C,垂足为C,
由题意可得:A(1,0),AO∥A1B1,∠B1OC=30°,
∴CB1=OB1cos30°=,
∴B1的横坐标为:,则B1的纵坐标为:,
∴点B1,B2,B3,…都在直线y=x上,
∴B1(,),
同理可得出:A的横坐标为:1,
∴y=,
∴A2(2,),
…
An(1+,).
∴A2016,
故答案为:
三、解答题:本大题共10小题,共96分
19.(1)计算: +cos60°﹣(π+2016)0+()﹣2
(2)先化简÷(﹣),然后选取一个你喜欢的a值带入求值.
【考点】分式的化简求值;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)首先进行0次幂和负整数指数次幂以及开方运算,代入特殊角的三角函数值,再进行加减计算即可;
(2)首先把分式的分子分母分解因式,化简分式,然后计算括号内的分式,进行分式的除法计算即可.
【解答】解:(1)原式=2+﹣1+4=;
(2)原式=÷[﹣]
=÷(﹣)
=•
=a,
当a=2时,原式=2.
20.“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注,某校利用“五一”假期,随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法,统计整理制作了如下的统计图,请回答下列问题:
(1)这次共抽查了 100 个家长;
(2)请补全条形统计图和扇形统计图(友情提醒:条形图补画家长持“反对”态度的人数条,扇形图填上“反对”及“赞成”的百分数);
(3)已知该校共有1200名学生,持“赞成”态度的学生估计约有 300 人.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据“无所谓”的人数除以占的百分比得到调查的总家长数;
(2)由调查家长的总数求出“反对”的人数,补全条形统计图,求出“反对”与“赞成”的百分比,补全扇形统计图即可;
(3)求出学生中“赞成”的百分比,乘以1200即可得到结果.
【解答】解:(1)根据题意得:20÷20%=100(个),
则这次调查了100个家长;
(2)家长“反对”的人数为100﹣(10+20)=70(个);占的百分比为70÷100=70%;“赞成”占的百分比为10÷100=10%;
补全统计图,如图所示:
(3)根据题意得:1200×=300(个),
则持“赞成”态度的学生估计约有300个,
故答案为:(1)100;(3)300
21.在两只不透明的袋子中分别装有4张和3张除数字外完全相同的卡片,甲袋中的卡片上分别标有1、2、3、4四个数字,乙袋中的卡片上分别标有1、2、3三个数字,现分别从两个袋子中各抽出一张卡片,试解答下列问题:
(1)分别用A、B表示从甲、乙两个袋子中抽出的卡片上的数字,请用树状图法或列表法写出(A,B)的所有取值;
(2)求在(A,B)中使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的概率.
【考点】列表法与树状图法;根的判别式.
【分析】(1)分2步实验,利用树状图列举出所有情况即可;
(2)看使关于x的一元二次方程x2﹣Ax+2B=0有实数根的情况数占总情况数的多少即可.
【解答】解:(1)画树状图如下:
;
(2)∵方程x2﹣Ax+2B=0有实数根,
∴△=A2﹣8B≥0,
∴使A2﹣8B≥0的(A,B)有(3,1),(4,1),(4,2),
∴P(△≥0)==.
22.五一节,某校数学兴趣小组的同学相约去东台西溪“海春轩塔”参观,并测量其高度.如图,塔身BD与地面垂直,他们先在A处测得塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退16cm至C处,测得塔顶端点D的仰角为30°,求“海春轩塔”BD的高度.(≈1.73,结果保留一位小数)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】先根据题意得出∠BAD、∠BCD的度数及AC的长,再在Rt△ABD中可得出AB=BD,利用锐角三角函数的定义可得出BD的长.
【解答】解:根据题意可知:
∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=12m.
在Rt△ABD中,
∵∠BAD=∠BDA=45°,
∴AB=BD.
在Rt△BDC中,
∵tan∠BCD=,
∴=,
则BC=BD,
又∵BC﹣AB=AC,
∴BD﹣BD=16,
解得:BD=8+8.
答:古塔BD的高度为(8+8)米.
23.某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元,2班的人数比1班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
【考点】分式方程的应用.
【分析】以人均捐款数为问题,等量关系为:1班人数×90%=2班人数;
以人数为问题,等量关系为:1班人均捐款数+4=2班人均捐款数.
【解答】解法一:求两个班人均捐款各多少元?
设1班人均捐款x元,则2班人均捐款(x+4)元.
根据题意得:×(1﹣10%)=,
解得:x=36,
经检验x=36是原方程的根.
∴x+4=40,
答:1班人均捐36元,2班人均捐40元.
解法二:求两个班人数各多少人?
设1班有x人,则2班为(1﹣10%)x人,
则根据题意得: +4=.
解得:x=50,
经检验x=50是原方程的根,
∴90%x=45,
答:1班有50人,2班有45人.
24.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.
【考点】切线的性质;解直角三角形.
【分析】(1)本题可连接OD,由PD切⊙O于点D,得到OD⊥PD,由于BE⊥PC,得到OD∥BE,得出∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果;
(2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得到结果.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵PD切⊙O于点D,
∴OD⊥PD,
∵BE⊥PC,
∴OD∥BE,
∴ADO=∠E,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴∠OAD=∠E,
∴AB=BE;
(2)解:由(1)知,OD∥BE,
∴∠POD=∠B,
∴cos∠POD=cosB=,
在Rt△POD中,cos∠POD==,
∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,
∴,
∴OA=3,
∴⊙O半径=3.
25.如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)求n和k的值;
(2)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣2时,请直接写出自变量x的取值范围;
(3)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;菱形的性质.
【分析】(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,得到n的值为3;再把点A(4,3)代入反比例函数y=,得到k的值为12;
(2)根据反比函数的性质即可得到当y≥﹣2时,自变量x的取值范围;
(3)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2,0),过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,根据勾股定理得到AB=,根据AAS可得△ABE≌△DCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.
【解答】解:(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,可得n=×4﹣3=3;
把点A(4,3)代入反比例函数y=,可得3=,
解得k=12;
(2)当y=﹣2时,﹣2=,解得x=﹣6.
故当y≥﹣2时,自变量x的取值范围是x≤﹣6或x>0;
(3)∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B,
∴x﹣3=0,
解得x=2,
∴点B的坐标为(2,0),
如图,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,
过点D作DF⊥x轴,垂足为F,
∵A(4,3),B(2,0),
∴OE=4,AE=3,OB=2,
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2,
在Rt△ABE中,
AB==,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=BC=,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
∵AE⊥x轴,DF⊥x轴,
∴∠AEB=∠DFC=90°,
在△ABE与△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(ASA),
∴CF=BE=2,DF=AE=3,
∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+,
∴点D的坐标为(4+,3).
26.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是60件,而销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具.
(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),写出销售玩具获得的利润W(元)与x之间的函数关系式,并计算若该商场获得了800元的销售利润,则该玩具销售单价x应定为多少元?
(2)在(1)的条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且该商场要完成不少于48件的销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)利用已知结合销售单价每涨1元,就会少售出2件玩具,表示出涨价后的销量即可,进而得出W与x的函数关系,再利用W=800,得出关于x的等式方程求出即可;
(2)利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于48件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围,再利用二次函数性质求出最值即可.
【解答】解:(1)由题意可得:销量=60﹣2(x﹣40)=140﹣2x,
w=(x﹣30)=﹣2x2+200x﹣4200,
根据题意得出:﹣2x2+200x﹣4200=800,
解得:x1=x2=50.
答:玩具销售单价为50元时,可获得800元销售利润.
(2)根据题意得:
,
解得:44≤x≤46,
W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2(x﹣50)2+800,
∵a=﹣2<0,对称轴是直线x=50,
∴当44≤x≤46时,W随x增大而增大.
∴当x=46时,W最大值=768(元).
答:商场销售该品牌玩具获得的最大利润为768元.
27.问题背景:(1)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,作DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,写出MD和ME之间的数量关系是 相等 .
数学思考:(2)如图2,在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请写出证明过程.
拓展探究:(3)如图3,在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状,并说明理由.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)根据△ABD是等腰直角三角形,且DF⊥AB,所以得到DF=AB,根据点G为AC的中点,点M为BC的中点,所以MG为△ABC的中位线,所以MG∥AB,且MG=AB,同理FM∥AC,且FM=AC,得到DF=MG,FM=EG,根据MG∥AB,FM∥AC,所以四边形AFMG是平行四边形,所以∠AFM=∠AGM,证明∠DFM=∠MGE,所以△DFN≌△MGE.
(2)DM⊥EM,且DM=EM,理由如下:设AB和DM交于点P,连接FM,GM,由(1)得:DF=MG,FM=EG,∠DFM=∠MGE,证明△DFM≌△MGE,得到DM=EM,由△DFM≌△MGE,得到∠FDM=∠EMG,所以∠DPA=∠DFP+∠FDM,根据MG∥AB,得到∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM,又由∠DMG=∠DM+∠EMG,得到∠DNE=∠DFP=90°,即可解答.
(3)类比(1)(2)可得:△MDE是等腰直角三角形.
【解答】解:(1)相等,
理由:如图1,取BC的中点M,连接DM,EM,MG,FM,
∵△ABD是等腰直角三角形,且DF⊥AB,
∴BF=AF,∴DF=AB,
∵点G为AC的中点,点M为BC的中点,
∴MG为△ABC的中位线,
∴MG∥AB,且MG=AB,同理FM∥AC,且FM=AC,
∴DF=MG,FM=EG,
∵MG∥AB,FM∥AC,
∴四边形AFMG是平行四边形,
∴∠AFM=∠AGM,
∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°,
∴∠BFM=∠CGM,
∵DF⊥AB,
∴∠DFB=90°,同理∠EGC=90°,
∴∠DFB=∠EGC,
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM,
∴∠DFM=∠MGE,
在△DFM和△MGE中,
,
∴△DFM≌△MGE,
∴MD=ME.
(2)MD=ME,
理由:作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,
∴AF=AB,AG=AC.
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,
∴DF⊥AB,DF=AB,EG⊥AC,EG=AC,
∴∠AFD=∠AGE=90°,DF=AF,GE=AG.
∵M是BC的中点,
∴MF∥AC,MG∥AB,
∴四边形AFMG是平行四边形,
∴AG=MF,MG=AF,∠AFM=∠AGM.
∴MF=GE,DF=MG,∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE,
∴∠DFM=∠MGE.
∵在△DFM和△MGE中,,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴DM=ME;
(3)作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,DE,线段DE与MG交于H,
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
∴MF∥AC,MF=AC,MG∥AB,MG=AB,
∴四边形MFAG是平行四边形,
∴MG=AF,MF=AG.∠AFM=∠AGM.
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴DF=AF,GE=AG,∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG,DF=MG,∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE,
即∠DFM=∠MGE.
∵在△DFM和△MGE中,,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴MD=ME,∠MDF=∠EMG,
∵MG∥AB,
∴∠MHD=∠BFD=90°,
∴∠HMD+∠MDH=90°
∴∠HMD+∠EMG=90°,
即∠DME=90°,
∴△DME为等腰直角三角形.
28.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的横坐标为3,点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先把点C,D坐标确定,再用待定系数法求出b,c;
(2)设出点P的坐标,确定出PF∥CO,由PF=CO,求出m即可;
(3)先判断出△PMF∽△CNF,得出PM=CM=2CF,由FP的长从两个角度计算建立方程即可.
【解答】解:(1)∵直线y=+2经过点C,D
∴C(0,2),D(3,),
∵抛物y=﹣x2+bx+c经过点C(0,2),D(3,),
∴,
∴,
∴抛物线的解析式y=﹣x2+x+2,
(2)∵点P的横坐标为m,且在抛物线上
∴P(m,﹣m2+m+2),F(m, m+2),
∵PF∥CO,∴当PF=CO时,以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形
①当0<m<3时,PF=﹣m2+m+2﹣(m+2)=﹣m2+3m,
∴m1=1,m2=2,
即当m=1或2时,四边形OCPF是平行四边形,
②当m≥3时,PF=(m+2)﹣(﹣m2+m+2)=m2﹣3m,
∴m1=,m2=(舍去),
即当m=时,四边形OCFP是平行四边形,
当m=1或2或时,四边形O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形,
(3)如图,
当点P在CD上方且∠PCF=45°时,作PM⊥CD,CN⊥PF,
∴△PMF∽△CNF,
∴,
∴PM=CM=2CF,
∴PF=FM=CF=×CN=CN=m,
∵PF=﹣m2+3m,
∴﹣m2+3m=m,
∴m1=,m2=0(舍去)
∴P(,).
同理可得:另外一点P(,).