求解中考压轴题的四种常见思想方法 10页

求解中考压轴题的四种常见思想方法 1．中考数学压轴题概述 1.1 压轴题的概念 中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”的原则。中 考试题中按题型分类的排列顺序一般是：一、选择题（客观题，有些地方将其称作“第Ⅰ 卷”）；二、填空题（形式简单的主观题）；三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。在这三 类题型中，思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。 中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：选择题和填空题 型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷的最后一题），叫大压轴 题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。 1.2 压轴题的特点 中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系 复杂、思路难觅、解法灵活。纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面， 就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新 定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。 中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合 性强，往往都具有较强的选拔功能，是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试 题。 在课程改革不断向前推进的形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富 的、公平的背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、 关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华 创设了平台。 1.3 压轴题应对策略 针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落 实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地 解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练， 加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。 学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题 经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难则可能是：“不知 从何处下手，不知向何方前进”。 在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工 具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。本文就 2009 年全国各地部 分中考压轴题为例，简要分析一些重要的数学思想方法在求解中考压轴题时的重要作用。 2．求解中考压轴题的常见思想方法 2.1 分类讨论思想 代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。 例 1．（2009 年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的边 OA 在 轴的正半轴上，OC 在 轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA 于点 E。 （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 轴的正半轴交于点 F，另一边 与线段 OC 交于点 G。如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由。 解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知条件求得 E、D、C 坐标，进而求出过点 E、D、C 的 抛物线的解析式： （2）EF=2GO 成立． 点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 ， ∴点 M 的纵坐标为 ．设 DM 的解析式为 将点 D、M 的坐标分别代入，得 解得 ∴DM 的解析式为 ∴F（0，3） EF=2 过点 D 作 DK⊥OC 于点 K，则 DA=DK． △DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO （3） 点 P 在 AB 上，G（1，0），C（3，0），则设 P（t，2）． ∴PG =（t－1） +2 ，PC =（3－t） +2 ，GC=2 ①若 PG=PC，则（t－1） +2 =（3－t） +2 解得 t=2．∴P（2，2），此时点 Q 与点 P 重合．Q（2，2） ②若 PG=GC，则（t－1） +2 =2 ，解得 t=1，P（1，2） 此时 GP⊥x 轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1， ∴点 Q 的纵坐标为 ．Q（1， ） ③若 PC=GC，则（3－t） +2 =2 ，解得 t=3，∴P（3，2） 此时 PC=GC=2，P 与 D 重合 过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H， 则 QH=GH，设 QH=h，∴Q（h+1，h） ． 解得 （舍去）．∴Q（ ， ） 综上所述，存在三个满足条件的点 Q，即 Q（2，2）或 Q（1， ）或 Q（ ， ） 思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。 第⑴问结合“形”的特征，求出点 D、E、C 的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数 法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。 第⑵由 D、M 所在直线与 y 轴相交哦于 F，可求得 F 点坐标，并求出 EF 的长度，并由旋 转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出 OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将 EF、OG 转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。 本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG 是等腰三角形，其中 G、C 为定点，P 为不确 定的点，因此应考虑 GC 为腰、GC 为底，并考虑 G、C、P 分别为顶点等多种情况进行分类讨 论。假设存在 P 点，结合 P 点的位置，通过设置 P 点坐标参数，用所设参数表示出相应三角 形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出 P 点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨 论思想，还考察了用方程建模的能力。 2.2 转化思想 代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距 离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。 例 2．已知：Rt△ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直 角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0， n>0），连接 DP 交 BC 于点 E。 ①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标。（3 分） ②又连接 CD、CP（如图 3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和 此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。（3 分） 解析：⑴由 Rt△AOC∽Rt△COB 易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4 ∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为 y=a(x+1)(x-4)， 将点 C(0,2)代入，可求 a= ∴ 为所求 ⑵ ； 提示：①ED=EB 时，过 E 作 BD 垂线，可得 ②直线 BC 的解析式为 ，设 ，利用勾股定理和点 在直线 BC 上，可得两个方程组 分别可求 和 。 ⑶方法 1：连 OP。如图 4。 P（m，n）在抛物线 上 ∴P（m， ） S△CPO=S 四边形 ODPC－S△OCD =S△POC+ S△PDO－S△OCD= OC·|xp|+ OD·|yp|— OC·OD = ×2m+ ×2（ ）－ ×2×2 =－ m + m=－ （m－ ） + 当 m= 时，S△CPO 面积最大，此时 P（ ， ） 方法 2：过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，如图 5。 易求 PC 的解析式为 ，且 ，故 ∴当 时， ， 思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题 第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活 设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。 第⑵问，虽然题目要求是直接写出点 E 的坐标。但点 E 的坐标必须通过计算得到。而在 计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。 第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合 P（m，n）在抛物线上，充分利用点的 坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD 的面积，将不能直接表示的三 角形面积转化为能用已知线段和 P 点坐标表示的面积。方法 1 是将四边形分割成两个三角形 △POC、△POD，方法 2，是通过过 D 点作垂线，直接将△BDC 转化为△PDM、△CDM。 2．3 极端值思想 代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。 例 3．已知 为线段 上的动点，点 在射线 上，且满足 （如图 1 所示）． （1）当 ，且点 与点 重合时（如图 2 所示），求线段 的长； （2）在图 1 中，联结 ．当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距 离为 ， ，其中 表示 的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图 3 所示），求 的大小。 解析：（1）AD=2，且 Q 点与 B 点重合。由 =1，∴PB（Q）=PC，△PQC 为等 腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3× = 。 （2）如图：作 PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则 AQ=2－x。 由△BPF∽△BDP， = = ，又 BF=PE ∴ = ，∴PF= PE S△APQ= （2－x）PF，S△PBC= ×3PE ∴y= （2－x） P 点与 D 点重合时，此时 CQ 取最大值。过 D 作 DH⊥BC。 CD= ，此时 = ， = ，PQ= ，BQ=AB－AQ= ∴函数的定义域：0≤x≤ (3)方法 1：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交 于 Q′点，则：B，Q′，P，C 四点共圆。 由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB, 又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90° 方法 2：如图 3，作 PM⊥BC，PN⊥AB。由 = = ，即 == ∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90° 思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。 第⑴问，线段的比值 不变，Q 在特殊点（与 B 点重合），由 AD=AB=2，故 PQ （B）=PC，△PQC 为等腰直角三角形。利用几何性质可求出 PC。 第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC 高之 间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出 P 点 运动的极端情况，当 P 与 D 重合时，BQ 取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的 固定线段比，求出此时 BQ 的长度，既为 BQ 的最大值。体现极端值思想。 ⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。 2．4 数形结合思想（用好几何性质） 代表性题型：函数与几何综合题。 例 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=a（x+1） +c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为 ,与 x 轴的交点为 N，且 COS∠BCO＝ 。 ⑴求次抛物线的函数表达式。 (2)在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为 一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物 线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个 单位长度? 解析：⑴由直线 y=kx－3 与 y 轴交点坐标为 C（0，－3） 抛物线 y=a（x+1） +c（a＞0）开口向上，过 C（0，－3） ∴A、B 在 y 轴两侧，B 在 y 轴右侧。如图。 Rt△AOC 中，OC=3，cos∠BCO= ∴BC= ，OB=1 ∴B（1，0） 又 B（1，0），C（0，－3）在 y=a（x+1） +c 上 ∴抛物线解析式 y=x +2x－3 ⑵由⑴抛物线顶点 M（－1，－4），直线 y=kx－3 过 M，∴直线解析式 y=x－3 ∴N（3，0） ∴△NOC 为等腰直角三角形 假设抛物线上存在点 P 使△NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形。 ①PC 为另一条直角边。PC⊥CN，而 A 与 N 关于 y 轴对称在抛物线上。 ∴存在 P1（－3，0）使△NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形 ②PN 为另一条直角边。PN⊥CN，则∠PNO=45°设 PN 交 y 轴于点 D，则 D（0，3） PN 所在直线 y=－x+3 由 解得 ∴存在 P2（ ， ），P3（ ， ）使△NPC 为以 NC 为一条直角边的直角三角形。 满足条件的点有 P1（－3，0），P 2（ ， ），P3（ ， ） ⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移 b 个单位（b＞0）。 此时抛物线的解析式为：y=x +2x－3+b 抛物线与线段 NQ 总有交点，即由抛物线解析式、直线 MC 所在直线解析式组成的方程组 有解。由 消除 y 得 x +x+b=0， Δ=1－4b≥0， ∴0＜b≤ ∴向上最多可平移 个单位 ②若向下平移 b 个单位（b＞0），设 y=x +2x－3－b 由 y=－x+3，可求得 Q（－3，－6），N（3，0） 对于抛物线 y=x +2x－3－b 当 x＝－3，y=－b，抛物线与直线 y=－x+3 有交点，则需－b≥-6，b≤6 当 x=3 时，y=12－b，抛物线与直线 y=－x+3 有交点，则 12-b≥0，b≤12。 ∴向下最多可平移 12 个单位。 思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。 第⑴问中，由直线解析式求出 C 点坐标，由 C 点坐标结合 a＞0，判定抛物线与 x 轴交 点的大致位置。并结合 cos∠BCO= ，求出 B 点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的 解析式。 第⑵问，以 NC 为直角边的直角三角形，应分 C、N 分别为直角顶点分类讨论。结合相应 点的坐标及垂直条件，利用 45°角的几何性质，分析得到 A 点满足条件，并求出 PN⊥NC 时， PN 所在直线的解析式，是解题的关键。 第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直 线 NQ 有交点，由判别式可确定平移 b 的范围；向下平移时，线段 NQ 是否与抛物线相交，关 键是两个端点 N、Q 是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行 分别判断，求出满足条件的 b 的范围即可，体现出用极端值解题的思想。 由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一的，一般每 道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。我们在求解压轴题时，一定要结 合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。 作者简介：宋毓彬，男，43 岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数 理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、 《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博 士报》等报刊发表教学辅导类文章 60 多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等 教学方面的研究。