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- 2021-05-10 发布
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专题复习(七)几何综合题
类型 1 类比探究的几何综合题
类型 2 与图形变换有关的几何综合题
类型 3 与动点有关的几何综合题
类型 4 与实际操作有关的几何综合题
类型 5 其他类型的几何综合题
类型 1 类比探究的几何综合题
(2018 苏州)
(2018 烟台)
(2018 东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图 1,在△ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO= 33 ,BO:CO=1:3,求 AB 的长.
经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造△ABD 就可以解决问题(如图 2).
请回答:∠ADB= °,AB= .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC⊥AD,
AO= 33 ,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求 DC 的长.
(2018 长春)
(第 24 题图 1) (第 24 题图 2) (第 24 题图 3)
(2018 陕西)
(2018 齐齐哈尔)
(2018 河南)
(2018 仙桃)
问题:如图①,在 Rt△ABC 中,AB AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B,C 重合),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转
90°得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系式为 ;
探索:如图②,在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中,AB AC,AD AE,将△ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边上,试探
索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:如图③,在四边形 ABCD 中,∠ABC ∠ACB ∠ADC 45°.若 BD 9,CD 3,求 AD 的长.
(2018 襄阳)如图(1),已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,GE⊥BC,垂足为点 E,GF⊥CD, 垂足为点 F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形 CEGF 是正方形;
②推断: AG
BE
的值为 ;
(2)探究与证明:
将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关
系,并说明理由;
(3)拓展与运用
正方形 CEGF 在旋转过程中,当 B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长 CG 交 AD 于点H.若 AG=6,
GH=2 2 ,则 BC= .
(2018 淮安)
(2018 咸宁)
(2018 黄石)在△ABC 中,E、F 分别为线段 AB、AC 上的点(不与 A、B、C 重合).
(1)如图 1,若 EF∥BC,求证: AEF
ABC
S AE AF
S AB AC
(2)如图 2,若 EF 不与 BC 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图 3,若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心, 3
4
AE
AB
,求 AEF
ABC
S
S
的值.
(2018 山西)
(2018 盐城)【发现】如图①,已知等边 ABC ,将直 角三角形的 60 角顶点 D 任意放在 BC 边上(点 D 不与点 B 、
C 重合),使两边分别交线段 AB 、 AC 于点 E 、 F .
(1)若 6AB , 4AE , 2BD ,则CF _______;
(2)求证: EBD DCF .
【思考】若将图①中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动,保持三角板与 AB 、 AC 的两个交点 E 、 F 都存在,连
接 EF ,如图②所示.问点 D 是否存在某一位置,使 ED 平分 BEF 且 FD 平分 CFE ?若存在,求出 BD
BC
的值;
若不存在,请说明理由.
【探索】如图③,在等腰 ABC 中, AB AC ,点O 为 BC 边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O 处
(其中 MON B ),使两条边分别交边 AB 、AC 于点 E 、F(点 E 、F 均不与 ABC 的顶点重合),连接 EF .
设 B ,则 AEF 与 ABC 的周长之比为________(用含 的表达式表示).
(2018 绍兴)
(2018 达州)
(2018 菏泽)
(2018 扬州)问题呈现
如图 1,在边长为 1 的正方形网格中,连接格点 D 、 N 和 E 、C , DN 与 EC 相交于点 P ,求 tan CPN 的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中 CPN 不在直角三角
形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点 M 、 N ,可得 / /MN EC ,则
DNM CPN ,连接 DM ,那么 CPN 就变换到中 Rt DMN .
问题解决
(1)直接写出图 1 中 tan CPN 的值为_________;
(2)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中, AN 与CM 相交于点 P ,求 cos CPN 的值;
思维拓展
(3)如图 3,AB BC , 4AB BC ,点 M 在 AB 上,且 AM BC ,延长CB 到 N ,使 2BN BC ,连接 AN
交CM 的延长线于点 P ,用上述方法构造网格求 CPN 的度数.
(2018 常德)已知正方形 ABCD 中 AC 与 BD 交于O 点,点 M 在线段 BD 上,作直线 AM 交直线 DC 于 E ,过 D
作 DH AE 于 H ,设直线 DH 交 AC 于 N .
(1)如图 14,当 M 在线段 BO 上时,求证: MO NO ;
(2)如图 15,当 M 在线段OD 上,连接 NE ,当 / /EN BD 时,求证: BM AB ;
(3)在图 16,当 M 在线段OD 上,连接 NE ,当 NE EC 时,求证: 2AN NC AC .
(2018 滨州)
(2018 湖州)
(2018 自贡)如图,已知 AOB 60 ,在 AOB 的平分线 OM 上有一点C ,将一个 120°角的顶点与点C 重合,
它的两条边分别与直线OA OB、 相交于点 D E、 .
⑴当 DCE 绕点 C 旋转到CD与OA垂直时(如图 1),请猜想OE OD 与OC 的数量关系,并说明理由;
⑵当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA不垂直时,到达图 2 的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由;
⑶当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图 3 中画出图形,若成立,
请给于证明;若不成立,线段OD OE、 与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
(2018 嘉兴、舟山)
.(2018 淄博)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形 ABC ,其中 AB AC ,在 ABC 的外侧分别以
,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD ACE, ,分别取 ,BD CE , BC 的中点 , ,M N G ,连接 ,GM GN .小
明发现了:线段 GM 与GN 的数量关系是 ;位置关系是 .
(2)类比思考:
如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形,其中 AB AC ,其它条件
不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.
(3)深入研究:
如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向 ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ,ABD ACE ,其它
条件不变,试判断 GMN 的形状,并给与证明.
类型 2 与图形变换有关的几何综合题
(2018 宜昌)在矩形 ABCD 中, 12AB , P 是边 AB 上一点,把 PBC 沿直线 PC 折叠,顶点 B 的对应点是点
G ,过点 B 作 BE CG ,垂足为 E 且在 AD 上, BE 交 PC 于点 F .
(1)如图 1,若点 E 是 AD 的中点,求证: AEB DEC ≌ ;
(2) 如图 2,①求证: BP BF ;
②当 AD 25 ,且 AE DE 时,求 cos PCB 的值;
③当 BP 9 时,求 BE EF 的值.
图 1 图 2 图 2 备用图
23.(1)证明:在矩形 ABCD 中, 90 ,A D AB DC ,
如图 1,又 AE DE ,
图 1
ABE DCE ,
(2)如图 2,
图 2
①在矩形 ABCD 中, 90ABC ,
BPC 沿 PC 折叠得到 GPC
90PGC PBC , BPC GPC
BE CG
/ /BE PG ,
GPF PFB
BPF BFP
BP BF
②当 25AD 时,
90BEC
90AEB CED ,
90AEB ABE ,
CED ABE
又 90A D ,
ABE DEC ∽
AB DE
AE CD
∴设 AE x ,则 25DE x ,
12 25
12
x
x
,
解得 1 9x , 2 16x
AE DE
9, 16AE DE ,
20, 15CE BE ,
由折叠得 BP PG ,
BP BF PG ,
/ /BE PG ,
ECF GCP ∽
EF CE
PG CG
设 BP BF PG y ,
15 20
25
y
y
25
3y 则 25
3BP
在 Rt PBC 中, 25 10
3PC , 25 3 10cos 1025 10
3
BCPCB PC
③若 9BP ,
解法一:连接GF ,(如图 3)
90GEF BAE ,
/ / ,BF PG BF PG
∴四边形 BPGF 是平行四边形
BP BF ,
平行四边形 BPGF 是菱形
/ /BP GF ,
GFE ABE ,
GEF EAB ∽
EF AB
GF BE
12 9 108BE EF AB GF
解法二:如图 2,
90FEC PBC ,
EFC PFB BPF ,
EFC BPC ∽
EF CE
BP CB
又 90BEC A ,
由 / /AD BC 得 AEB EBC ,
AEB EBC ∽
AB CE
BE CB
AE EF
BE BP
12 9 108BE EF AE BP
解法三:(如图 4)过点 F 作 FH BC ,垂足为 H BPF
PFEG
S BF BF
S EF PG BE
四边形
图 4
12 12
BFC
BEC
SBF EF BC EF
BE S BC
9
12
EF
BE
12 9 108BE EF
(2018 邵阳)
(2018 永州)
(2018 无锡)
(2018 包头)
(2018 赤峰)
(2018 昆明)
(2018 岳阳)
(2018 宿迁)
(2018 绵阳)
(2018 南充)
(2018 徐州)
类型 3 与动点有关的几何综合题
(2018 吉林)
(2018 黑龙江龙东)
(2018 黑龙江龙东)
(2018 广东)已知 Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边 OB=4,将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60o,如图 25-1 图,
连接 BC.
(1)填空:∠OBC=_______o;
(2)如图 25-1 图,连接 AC,作 OP⊥AC,垂足为 P,求 OP 的长度;
(3)如图 25-2 图,点 M、N 同时从点 O 出发,在△OCB 边上运动,M 沿 O→C→B 路径匀速运动,N 沿 O→B→C 路径
匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒,点 N 的运动速度为 1 单位/秒.设运动时间
为 x 秒,△OMN 的面积为 y,求当 x 为何值时 y 取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)
(2018 衡阳)
(2018 黔东南)如图1,已知矩形 AOCB , 6AB cm , 16BC cm ,动点 P 从点 A 出发,以3 /cm s 的速度向
点O 运动,直到点 O 为止;动点Q 同时从点C 出发,以 2 /cm s 的速度向点 B 运动,与点 P 同时结束运动.
(1)点 P 到达终点O 的运动时间是________ s ,此时点Q 的运动距离是________cm ;
(2)当运动时间为 2s 时, P 、Q 两点的距离为________cm ;
(3)请你计算出发多久时,点 P 和点Q 之间的距离是10cm ;
(4)如图 2 ,以点O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,OA 所在直线为 y 轴,1cm 长为单位长度建立平面直角
坐标系,连结 AC ,与 PQ 相交于点 D ,若双曲线 ky x
过点 D ,问 k 的值是否会变化?若会变化,说明理由;若
不会变化,请求出 k 的值.
(2018 青岛)已知:如图,四边形 ABCD , / / ,AB DC CB AB , 16 , 6 , 8AB cm BC cm CD cm ,动点 P 从点 D 开
始沿 DA 边匀速运动,动点 Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动,它们的运动速度均为 2 /cm s .点 P 和点 Q 同时出发,
以 QA QP、 为边作平行四边形 AQPE ,设运动的时间为 t s , 0 5t .
根据题意解答下列问题:
(1)用含 t 的代数式表示 AP ;
(2)设四边形 CPQB 的面积为 2S cm ,求 S 与 t 的函数关系式;
(3)当QP BD 时,求t 的值;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使点 E 在 ABD 的平分线上?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明
理由.
(2018 广州)如图 12,在四边形 ABCD 中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C 的度数
(2)连接 BD,探究 AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由。
(3)若 AB=1,点 E 在四边形 ABCD 内部运动,且满足 2 2 2+CEAE BE ,求点 E 运动路径的长度。
(2018 温州)
(2018 江西)
(2018 潍坊)
类型 4 与实际操作有关的几何综合题
(2018 徐州)如图 1,一副直角三角板满足 AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°
【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上,再将三角板....DEF...绕点..E.旋转..,并使边 DE 与边
AB 交于点 P,边 EF 与边 BC 于点 Q
【探究一】在旋转过程中,
(1) 如图 2,当 CE 1EA
= 时,EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明.
(2) 如图 3,当 CE 2EA
= 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?,并说明理由.
(3) 根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当 CE
EA
=m 时,EP 与 EQ 满足的数量关系式
为_________,其中 m 的取值范围是_______(直接写出结论,不必证明)
【探究二】若,AC=30cm,连续 PQ,设△EPQ 的面积为 S(cm2),在旋转过程中:
(1) S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.
(2) 随着 S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化?不出相应 S 值的取值范围.
(2018 成都)
(2018 枣庄)
(2018 德州)
类型 5 其他类型的几何综合题
(2018 宁波)
(2018 安徽)如图 1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为边 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,点 M 为 BD 中点,CM 的延长线
交 AB 于点 F.
(1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF 的大小;
(3)如图 2,若△DAE≌△CEM,点 N 为 CM 的中点,求证:AN∥EM.
17. (1)证明:∵M 为 BD 中点
Rt△DCB 中,MC=
2
1 BD
Rt△DEB 中,EM= 2
1
BD
∴MC=ME
(2)∵∠BAC=50°
∴∠ADE=40°
∵CM=MB
∴∠MCB=∠CBM
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM
同理,∠DME=2∠EBM
∴∠CME=2∠CBA=80°
∴∠EMF=180°-80°=100°
(3)同(2)中理可得∠CBA=45°
∴∠CAB=∠ADE=45°
∵△DAE≌△CEM
∴DE=CM=ME= 2
1
BD=DM,∠ECM=45°
∴△DEM 等边
∴∠EDM=60°
∴∠MBE=30°
∵∠MCB+∠ACE=45°
∠CBM+∠MBE=45°
∴∠ACE=∠MBE=30°
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°
连接 AM,∵AE=EM=MB
∴∠MEB=∠EBM=30°
∠AME= 2
1
∠MEB=15°
∵∠CME=90°
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM
∴AC=AM
∵N 为 CM 中点
∴AN⊥CM
∵CM⊥EM
∴AN∥CM
(2018 金华、丽水)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12.点 D 在直线 CB 上,以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB 与
直线 CE,DE 的交点分别为 F,G.
(1)如图,点 D 在线段 CB 上,四边形 ACDE 是正方形.
①若点 G 为 DE 中点,求 FG 的长.
②若 DG=GF,求 BC 的长.
(2)已知 BC=9,是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
A
BDC
F
G
E
第 24 题图
(2018 金华(丽水))在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12.点 D 在直线 CB 上,以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB
与直线 CE,DE 的交点分别为 F,G.
(1)如图,点 D 在线段 CB 上,四边形 ACDE 是正方形.
①若点 G 为 DE 中点,求 FG 的长.
②若 DG=GF,求 BC 的长.
(2)已知 BC=9,是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
(2018 眉山)如图①,在四边形 ABCD 中,AC⊥BD 于点 E,AB=AC=BD,点 M 为 BC 中点,N 为线段 AM 上的点,且 MB=MN.
(1)求证:BN 平分∠ABE;
(2)若 BD=1,连结 DN,当四边形 DNBC 为平行四边形时,求线段 BC 的长;
(3)如图②,若点 F 为 AB 的中点,连结 FN、FM,求证:△MFN∽△BDC.
(2018 泰安)
(2018 威海)如图①,在四边形 BCDE 中, BC CD , DE CD , AB AE ,垂足分别为 ,C D , A , BC AC ,
点 , ,M N F 分别为 , ,AB AE BE 的中点,连接 , ,MN MF NF .
(1)如图②,当 4BC , 5DE , tan 1FMN ∠ 时,求 AC
AD
的值;
(2)若 1tan 2FMN ∠ , 4BC ,则可求出图中哪些线段的长?写出解答过程;
(3)连接 , , ,CM DN CF DF ,试证明 FMC△ 与 DNF△ 全等;
(4)在(3)的条件下,图中还有哪些其它的全等三角形?请直接写出.
解:(1)∵ , ,M N F 分别是 , ,AB AE BE 的中点,
∴ BM NF MA , MF AN NE .
∴四边形 MANF 是平行四边形.
又∵ BA AE .
∴平行四边形 MANF 是矩形.
又∵ tan 1FMN ∠ ,∴ 1FN
FM
,即 FN FM .
∴矩形 MANF 为正方形.
∴ AB AE .
∵ 1 2 90 ∠ ∠ ° , 2 3 90 ∠ ∠ ° ,
∴ 1 3∠ ∠ ,
∵ 90C D ∠ ∠ ° ,
∴ ABC EAD△ ≌△ (AAS)
∴ BC AD , CA DE .
∵ 4BC , 5DE .
∴ 5
4
AC
AD
.
(2)可求线段 AD 的长.
由(1)知,四边形 MANF 为矩形, 1
2FN AB , 1
2MF AE ,
∵ 1tan 2FMN ∠ ,即 1
2
FN
FM
,∴ 1
2
AB
AE
.
∵ 1 3∠ ∠ , 90BCA ADE ∠ ∠ ° ,
∴ ABC FAD△ △ .
∴ AB BC
AE AD
.
∵ 4BC ,∴ 1 4
2 AD
,
∴ 8AD .
(3)∵ BC CD , DE CD .
∴ ABC△ 与 ADE△ 都是直角三角形.
∵ ,M N 分别是 ,AB AE 中点.
∴ BM CM , NA ND .
∴ 4 2 1∠ ∠ , 5 2 3∠ ∠ .
∵ 1 3∠ ∠ ,∴ 4 5∠ ∠ .
∴ 90 4FMC ∠ ∠° , 90 5FND ∠ ∠° .
∴ FMC FND∠ ∠ .
∵ FM DN , CM NF .
∴ FMC DNF△ ≌△ (SAS).
(4) BMF NFM MAN FNE△ ≌△ ≌△ ≌△ .
(2018 武汉)在△ABC 中,∠ABC=90°、
(1) 如图 1,分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线,垂足分别为 M、N,求证:△ABM∽△BCN
(2) 如图 2,P 是边 BC 上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=
5
52 ,求 tanC 的值
(3) 如图 3,D 是边 CA 延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=
5
3 ,
5
2
AC
AD ,直接写出 tan∠CEB 的值
(2018 贵阳)
(2018 哈尔滨)
(2018 沈阳)