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  • 2021-05-10 发布

中考数学真题分类汇编专题复习七几何综合题答案不全

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专题复习(七)几何综合题 类型 1 类比探究的几何综合题 类型 2 与图形变换有关的几何综合题 类型 3 与动点有关的几何综合题 类型 4 与实际操作有关的几何综合题 类型 5 其他类型的几何综合题 类型 1 类比探究的几何综合题 (2018 苏州) (2018 烟台) (2018 东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目: 如图 1,在△ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO= 33 ,BO:CO=1:3,求 AB 的长. 经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造△ABD 就可以解决问题(如图 2). 请回答:∠ADB= °,AB= . (2)请参考以上解决思路,解决问题: 如图 3,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC⊥AD, AO= 33 ,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求 DC 的长. (2018 长春) (第 24 题图 1) (第 24 题图 2) (第 24 题图 3) (2018 陕西) (2018 齐齐哈尔) (2018 河南) (2018 仙桃) 问题:如图①,在 Rt△ABC 中,AB  AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B,C 重合),将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系式为 ; 探索:如图②,在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中,AB  AC,AD  AE,将△ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边上,试探 索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论; 应用:如图③,在四边形 ABCD 中,∠ABC  ∠ACB  ∠ADC  45°.若 BD  9,CD  3,求 AD 的长. (2018 襄阳)如图(1),已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,GE⊥BC,垂足为点 E,GF⊥CD, 垂足为点 F. (1)证明与推断: ①求证:四边形 CEGF 是正方形; ②推断: AG BE 的值为 ; (2)探究与证明: 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关 系,并说明理由; (3)拓展与运用 正方形 CEGF 在旋转过程中,当 B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长 CG 交 AD 于点H.若 AG=6, GH=2 2 ,则 BC= . (2018 淮安) (2018 咸宁) (2018 黄石)在△ABC 中,E、F 分别为线段 AB、AC 上的点(不与 A、B、C 重合). (1)如图 1,若 EF∥BC,求证: AEF ABC S AE AF S AB AC      (2)如图 2,若 EF 不与 BC 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由; (3)如图 3,若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心, 3 4 AE AB  ,求 AEF ABC S S   的值. (2018 山西) (2018 盐城)【发现】如图①,已知等边 ABC ,将直 角三角形的 60 角顶点 D 任意放在 BC 边上(点 D 不与点 B 、 C 重合),使两边分别交线段 AB 、 AC 于点 E 、 F . (1)若 6AB  , 4AE  , 2BD  ,则CF  _______; (2)求证: EBD DCF  . 【思考】若将图①中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动,保持三角板与 AB 、 AC 的两个交点 E 、 F 都存在,连 接 EF ,如图②所示.问点 D 是否存在某一位置,使 ED 平分 BEF 且 FD 平分 CFE ?若存在,求出 BD BC 的值; 若不存在,请说明理由. 【探索】如图③,在等腰 ABC 中, AB AC ,点O 为 BC 边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O 处 (其中 MON B   ),使两条边分别交边 AB 、AC 于点 E 、F(点 E 、F 均不与 ABC 的顶点重合),连接 EF . 设 B   ,则 AEF 与 ABC 的周长之比为________(用含 的表达式表示). (2018 绍兴) (2018 达州) (2018 菏泽) (2018 扬州)问题呈现 如图 1,在边长为 1 的正方形网格中,连接格点 D 、 N 和 E 、C , DN 与 EC 相交于点 P ,求 tan CPN 的值. 方法归纳 求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中 CPN 不在直角三角 形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点 M 、 N ,可得 / /MN EC ,则 DNM CPN   ,连接 DM ,那么 CPN 就变换到中 Rt DMN . 问题解决 (1)直接写出图 1 中 tan CPN 的值为_________; (2)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中, AN 与CM 相交于点 P ,求 cos CPN 的值; 思维拓展 (3)如图 3,AB BC , 4AB BC ,点 M 在 AB 上,且 AM BC ,延长CB 到 N ,使 2BN BC ,连接 AN 交CM 的延长线于点 P ,用上述方法构造网格求 CPN 的度数. (2018 常德)已知正方形 ABCD 中 AC 与 BD 交于O 点,点 M 在线段 BD 上,作直线 AM 交直线 DC 于 E ,过 D 作 DH AE 于 H ,设直线 DH 交 AC 于 N . (1)如图 14,当 M 在线段 BO 上时,求证: MO NO ; (2)如图 15,当 M 在线段OD 上,连接 NE ,当 / /EN BD 时,求证: BM AB ; (3)在图 16,当 M 在线段OD 上,连接 NE ,当 NE EC 时,求证: 2AN NC AC  . (2018 滨州) (2018 湖州) (2018 自贡)如图,已知 AOB 60   ,在 AOB 的平分线 OM 上有一点C ,将一个 120°角的顶点与点C 重合, 它的两条边分别与直线OA OB、 相交于点 D E、 . ⑴当 DCE 绕点 C 旋转到CD与OA垂直时(如图 1),请猜想OE OD 与OC 的数量关系,并说明理由; ⑵当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA不垂直时,到达图 2 的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由; ⑶当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图 3 中画出图形,若成立, 请给于证明;若不成立,线段OD OE、 与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. (2018 嘉兴、舟山) .(2018 淄博)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形 ABC ,其中 AB AC ,在 ABC 的外侧分别以 ,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD ACE, ,分别取 ,BD CE , BC 的中点 , ,M N G ,连接 ,GM GN .小 明发现了:线段 GM 与GN 的数量关系是 ;位置关系是 . (2)类比思考: 如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形,其中 AB AC ,其它条件 不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究: 如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向 ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ,ABD ACE ,其它 条件不变,试判断 GMN 的形状,并给与证明. 类型 2 与图形变换有关的几何综合题 (2018 宜昌)在矩形 ABCD 中, 12AB  , P 是边 AB 上一点,把 PBC 沿直线 PC 折叠,顶点 B 的对应点是点 G ,过点 B 作 BE CG ,垂足为 E 且在 AD 上, BE 交 PC 于点 F . (1)如图 1,若点 E 是 AD 的中点,求证: AEB DEC ≌ ; (2) 如图 2,①求证: BP BF ; ②当 AD 25 ,且 AE DE 时,求 cos PCB 的值; ③当 BP 9 时,求 BE EF 的值. 图 1 图 2 图 2 备用图 23.(1)证明:在矩形 ABCD 中, 90 ,A D AB DC     , 如图 1,又 AE DE , 图 1 ABE DCE   , (2)如图 2, 图 2 ①在矩形 ABCD 中, 90ABC   , BPC 沿 PC 折叠得到 GPC 90PGC PBC     , BPC GPC   BE CG / /BE PG , GPF PFB   BPF BFP   BP BF  ②当 25AD  时, 90BEC   90AEB CED     , 90AEB ABE     , CED ABE   又 90A D     , ABE DEC ∽ AB DE AE CD   ∴设 AE x ,则 25DE x  , 12 25 12 x x   , 解得 1 9x  , 2 16x  AE DE 9, 16AE DE   , 20, 15CE BE   , 由折叠得 BP PG , BP BF PG   , / /BE PG , ECF GCP ∽ EF CE PG CG   设 BP BF PG y   , 15 20 25 y y   25 3y  则 25 3BP  在 Rt PBC 中, 25 10 3PC  , 25 3 10cos 1025 10 3 BCPCB PC     ③若 9BP  , 解法一:连接GF ,(如图 3) 90GEF BAE     , / / ,BF PG BF PG ∴四边形 BPGF 是平行四边形 BP BF , 平行四边形 BPGF 是菱形 / /BP GF , GFE ABE   , GEF EAB ∽ EF AB GF BE   12 9 108BE EF AB GF      解法二:如图 2, 90FEC PBC     , EFC PFB BPF     , EFC BPC ∽ EF CE BP CB   又 90BEC A     , 由 / /AD BC 得 AEB EBC   , AEB EBC ∽ AB CE BE CB   AE EF BE BP   12 9 108BE EF AE BP      解法三:(如图 4)过点 F 作 FH BC ,垂足为 H BPF PFEG S BF BF S EF PG BE   四边形 图 4 12 12 BFC BEC SBF EF BC EF BE S BC      9 12 EF BE   12 9 108BE EF    (2018 邵阳) (2018 永州) (2018 无锡) (2018 包头) (2018 赤峰) (2018 昆明) (2018 岳阳) (2018 宿迁) (2018 绵阳) (2018 南充) (2018 徐州) 类型 3 与动点有关的几何综合题 (2018 吉林) (2018 黑龙江龙东) (2018 黑龙江龙东) (2018 广东)已知 Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边 OB=4,将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60o,如图 25-1 图, 连接 BC. (1)填空:∠OBC=_______o; (2)如图 25-1 图,连接 AC,作 OP⊥AC,垂足为 P,求 OP 的长度; (3)如图 25-2 图,点 M、N 同时从点 O 出发,在△OCB 边上运动,M 沿 O→C→B 路径匀速运动,N 沿 O→B→C 路径 匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒,点 N 的运动速度为 1 单位/秒.设运动时间 为 x 秒,△OMN 的面积为 y,求当 x 为何值时 y 取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号) (2018 衡阳) (2018 黔东南)如图1,已知矩形 AOCB , 6AB cm , 16BC cm ,动点 P 从点 A 出发,以3 /cm s 的速度向 点O 运动,直到点 O 为止;动点Q 同时从点C 出发,以 2 /cm s 的速度向点 B 运动,与点 P 同时结束运动. (1)点 P 到达终点O 的运动时间是________ s ,此时点Q 的运动距离是________cm ; (2)当运动时间为 2s 时, P 、Q 两点的距离为________cm ; (3)请你计算出发多久时,点 P 和点Q 之间的距离是10cm ; (4)如图 2 ,以点O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,OA 所在直线为 y 轴,1cm 长为单位长度建立平面直角 坐标系,连结 AC ,与 PQ 相交于点 D ,若双曲线 ky x  过点 D ,问 k 的值是否会变化?若会变化,说明理由;若 不会变化,请求出 k 的值. (2018 青岛)已知:如图,四边形 ABCD , / / ,AB DC CB AB , 16 , 6 , 8AB cm BC cm CD cm   ,动点 P 从点 D 开 始沿 DA 边匀速运动,动点 Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动,它们的运动速度均为 2 /cm s .点 P 和点 Q 同时出发, 以 QA QP、 为边作平行四边形 AQPE ,设运动的时间为  t s , 0 5t  . 根据题意解答下列问题: (1)用含 t 的代数式表示 AP ; (2)设四边形 CPQB 的面积为  2S cm ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)当QP BD 时,求t 的值; (4)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使点 E 在 ABD 的平分线上?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明 理由. (2018 广州)如图 12,在四边形 ABCD 中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数 (2)连接 BD,探究 AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由。 (3)若 AB=1,点 E 在四边形 ABCD 内部运动,且满足 2 2 2+CEAE BE ,求点 E 运动路径的长度。 (2018 温州) (2018 江西) (2018 潍坊) 类型 4 与实际操作有关的几何综合题 (2018 徐州)如图 1,一副直角三角板满足 AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30° 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上,再将三角板....DEF...绕点..E.旋转..,并使边 DE 与边 AB 交于点 P,边 EF 与边 BC 于点 Q 【探究一】在旋转过程中, (1) 如图 2,当 CE 1EA = 时,EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明. (2) 如图 3,当 CE 2EA = 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?,并说明理由. (3) 根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当 CE EA =m 时,EP 与 EQ 满足的数量关系式 为_________,其中 m 的取值范围是_______(直接写出结论,不必证明) 【探究二】若,AC=30cm,连续 PQ,设△EPQ 的面积为 S(cm2),在旋转过程中: (1) S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由. (2) 随着 S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化?不出相应 S 值的取值范围. (2018 成都) (2018 枣庄) (2018 德州) 类型 5 其他类型的几何综合题 (2018 宁波) (2018 安徽)如图 1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 为边 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,点 M 为 BD 中点,CM 的延长线 交 AB 于点 F. (1)求证:CM=EM; (2)若∠BAC=50°,求∠EMF 的大小; (3)如图 2,若△DAE≌△CEM,点 N 为 CM 的中点,求证:AN∥EM. 17. (1)证明:∵M 为 BD 中点 Rt△DCB 中,MC= 2 1 BD Rt△DEB 中,EM= 2 1 BD ∴MC=ME (2)∵∠BAC=50° ∴∠ADE=40° ∵CM=MB ∴∠MCB=∠CBM ∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM 同理,∠DME=2∠EBM ∴∠CME=2∠CBA=80° ∴∠EMF=180°-80°=100° (3)同(2)中理可得∠CBA=45° ∴∠CAB=∠ADE=45° ∵△DAE≌△CEM ∴DE=CM=ME= 2 1 BD=DM,∠ECM=45° ∴△DEM 等边 ∴∠EDM=60° ∴∠MBE=30° ∵∠MCB+∠ACE=45° ∠CBM+∠MBE=45° ∴∠ACE=∠MBE=30° ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75° 连接 AM,∵AE=EM=MB ∴∠MEB=∠EBM=30° ∠AME= 2 1 ∠MEB=15° ∵∠CME=90° ∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM ∴AC=AM ∵N 为 CM 中点 ∴AN⊥CM ∵CM⊥EM ∴AN∥CM (2018 金华、丽水)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12.点 D 在直线 CB 上,以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB 与 直线 CE,DE 的交点分别为 F,G. (1)如图,点 D 在线段 CB 上,四边形 ACDE 是正方形. ①若点 G 为 DE 中点,求 FG 的长. ②若 DG=GF,求 BC 的长. (2)已知 BC=9,是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由. A BDC F G E 第 24 题图 (2018 金华(丽水))在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12.点 D 在直线 CB 上,以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB 与直线 CE,DE 的交点分别为 F,G. (1)如图,点 D 在线段 CB 上,四边形 ACDE 是正方形. ①若点 G 为 DE 中点,求 FG 的长. ②若 DG=GF,求 BC 的长. (2)已知 BC=9,是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由. (2018 眉山)如图①,在四边形 ABCD 中,AC⊥BD 于点 E,AB=AC=BD,点 M 为 BC 中点,N 为线段 AM 上的点,且 MB=MN. (1)求证:BN 平分∠ABE; (2)若 BD=1,连结 DN,当四边形 DNBC 为平行四边形时,求线段 BC 的长; (3)如图②,若点 F 为 AB 的中点,连结 FN、FM,求证:△MFN∽△BDC. (2018 泰安) (2018 威海)如图①,在四边形 BCDE 中, BC CD , DE CD , AB AE ,垂足分别为 ,C D , A , BC AC , 点 , ,M N F 分别为 , ,AB AE BE 的中点,连接 , ,MN MF NF . (1)如图②,当 4BC  , 5DE  , tan 1FMN ∠ 时,求 AC AD 的值; (2)若 1tan 2FMN ∠ , 4BC  ,则可求出图中哪些线段的长?写出解答过程; (3)连接 , , ,CM DN CF DF ,试证明 FMC△ 与 DNF△ 全等; (4)在(3)的条件下,图中还有哪些其它的全等三角形?请直接写出. 解:(1)∵ , ,M N F 分别是 , ,AB AE BE 的中点, ∴ BM NF MA  , MF AN NE  . ∴四边形 MANF 是平行四边形. 又∵ BA AE . ∴平行四边形 MANF 是矩形. 又∵ tan 1FMN ∠ ,∴ 1FN FM  ,即 FN FM . ∴矩形 MANF 为正方形. ∴ AB AE . ∵ 1 2 90 ∠ ∠ ° , 2 3 90 ∠ ∠ ° , ∴ 1 3∠ ∠ , ∵ 90C D ∠ ∠ ° , ∴ ABC EAD△ ≌△ (AAS) ∴ BC AD , CA DE . ∵ 4BC  , 5DE  . ∴ 5 4 AC AD  . (2)可求线段 AD 的长. 由(1)知,四边形 MANF 为矩形, 1 2FN AB , 1 2MF AE , ∵ 1tan 2FMN ∠ ,即 1 2 FN FM  ,∴ 1 2 AB AE  . ∵ 1 3∠ ∠ , 90BCA ADE ∠ ∠ ° , ∴ ABC FAD△ △ . ∴ AB BC AE AD  . ∵ 4BC  ,∴ 1 4 2 AD  , ∴ 8AD  . (3)∵ BC CD , DE CD . ∴ ABC△ 与 ADE△ 都是直角三角形. ∵ ,M N 分别是 ,AB AE 中点. ∴ BM CM , NA ND . ∴ 4 2 1∠ ∠ , 5 2 3∠ ∠ . ∵ 1 3∠ ∠ ,∴ 4 5∠ ∠ . ∴ 90 4FMC  ∠ ∠° , 90 5FND  ∠ ∠° . ∴ FMC FND∠ ∠ . ∵ FM DN , CM NF . ∴ FMC DNF△ ≌△ (SAS). (4) BMF NFM MAN FNE△ ≌△ ≌△ ≌△ . (2018 武汉)在△ABC 中,∠ABC=90°、 (1) 如图 1,分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线,垂足分别为 M、N,求证:△ABM∽△BCN (2) 如图 2,P 是边 BC 上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC= 5 52 ,求 tanC 的值 (3) 如图 3,D 是边 CA 延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC= 5 3 , 5 2 AC AD ,直接写出 tan∠CEB 的值 (2018 贵阳) (2018 哈尔滨) (2018 沈阳)