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- 2021-05-10 发布
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历年中考数学压轴题及答案（精选）
1.
（2011 年四川省宜宾市）
已知
:
如图
,
抛物线
y=-x
2
+bx+c
与
x
轴、
y
轴分别相交于点
A
（
-1
，
0
）、
B
（
0
，
3
）两点，
其顶点为
D.（
1
） 求该抛物线的解析式；
（
2
） 若该抛物线与
x
轴的另一个交点为
E.
求四边形
ABDE
的面积；
（
3
） △
AOB
与△
BDE
是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由
.
2.
（
11
浙江衢州）已知直角梯形纸片
OABC
在平面直角坐标系中的位置如图所
示，四个顶点的坐标分别为
O(0
，
0)
，
A(10
，
0)
，
B(8
， 32
)
，
C(0
， 32
)
，点
T
在线段
OA
上
(
不与线段端点重合
)
，将纸片折叠，使点
A
落在射线
AB
上
(
记为
点
A
′
)
，折痕经过点
T
，折痕
TP
与射线
AB
交于点
P
，设点
T
的横坐标为
t
，折
叠后纸片重叠部分
(
图中的阴影部分
)
的面积为
S
；
(1)
求∠
OAB
的度数，并求当点
A
′在线段
AB
上时，
S
关于
t
的函数关系式；
(2)
当纸片重叠部分的图形是四边形时，求
t
的取值范围；
(3)S
存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时
t
的值；若不存在，请
说明理由
.
3.
（
11
浙江温州）如图，在 Rt ABC△ 中， 90A ， 6AB ， 8AC ，D E， 分别
是边 AB AC， 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于Q ，过
点Q 作QR BA∥ 交 AC 于
R ，当点Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ x ，QR y ．
（
1
）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；
（
2
）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（
3
）是否存在点 P ，使 PQR△ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；
若不存在，请说明理由．
4.
（
11
山东省日照市）在△ABC 中，
∠
A＝
90°
，AB＝
4
，AC＝
3
，M 是 AB 上的动点（不
与 A，B 重合），过 M 点作 MN
∥
BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作
⊙
O，并在
⊙
O 内作
内接矩形 AMPN．令 AM＝x．
（
1
）用含 x 的代数式表示△ＭNP 的面积 S；
（
2
）当 x 为何值时，
⊙
O 与直线 BC 相切？
（
3
）在动点 M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关
于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=
x
k (k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在
第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若
点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=
x
k (k>0)于P，Q两点，点P在第一
象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，
四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；
若不可能，请说明理由.
6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点
A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP
绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（ 3 ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点
P，使ΔOPD的面积等于
4
3 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由.
7.(2011
浙江义乌
)
如图
1
，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点
(
点 G 与 C、
D 不重合
)
，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE．我们探究下
列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（
1
）①猜想如图
1
中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图
1
中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针
(
或逆时针
)
方向旋转任意角度 ，
得到如图
2
、如图
3
情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论
是否仍然成立,并选取图
2
证明你的判断．
（
2
）将原题中正方形改为矩形（如图
4
—
6
），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb
(
a b，
k
0)
，第
(1)
题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图
5
为例简
要说明理由
.
（
3
）在第
(2)
题图
5
中，连结 DG 、 BE ，且 a
=3
，b
=2
，k
=
1
2
，求 2 2BE DG 的值．
8.
(2011
浙江义乌
)
如图
1
所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在
y
轴正半轴与 x 轴
负半轴上.过点 B、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与 x 轴交于点 D，与 y 轴
交于点 E．
（
1
）将直线l 向右平移，设平移距离 CD 为t
(
t
0)
，直角梯形 OABC 被直线l 扫过的
面积（图中阴影部份）为 s ， s 关于t 的函数图象如图
2
所示， OM 为线段，
MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为
4
．
①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积；
②当 42 t 时，求
S
关于t 的函数解析式；
（
2
）在第（
1
）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线 BC 重合），
在直线．．AB．．上是否存在点 P，使 PDE 为等腰直角三角形
?
若存在，请直接写出
所有满足条件的点 P 的坐标
;
若不存在，请说明理由．
9.(2011
山东烟台
)
如图，菱形
ABCD
的边长为
2
，
BD=2
，
E
、
F
分别是边
AD
，
CD
上的
两个动点，且满足
AE+CF=2.（
1
）求证：△
BDE
≌△
BCF
；
（
2
）判断△
BEF
的形状，并说明理由；
（
3
）设△
BEF
的面积为
S
，求
S
的取值范围
.
10.(2011
山东烟台
)
如图，抛物线 2
1 : 2 3L y x x 交 x 轴于
A
、
B
两点，交 y 轴于
M点
.
抛物线 1L 向右平移
2
个单位后得到抛物线 2L ， 2L 交 x 轴于
C
、
D
两点
.
（
1
）求抛物线 2L 对应的函数表达式；
（
2
）抛物线 1L 或 2L 在 x 轴上方的部分是否存在点
N
，使以
A
，
C
，
M
，
N
为顶点的四边
形是平行四边形
.
若存在，求出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3
）若点
P
是抛物线 1L 上的一个动点（
P
不与点
A
、
B
重合），那么点
P
关于原点的
对称点
Q
是否在抛物线 2L 上，请说明理由
.
11.2011
淅江宁波
)2011
年
5
月
1
日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥
通车了．通车后，苏南 A 地到宁波港的路程比原来缩短了
120
千米．已知运输车速度不
变时，行驶时间将从原来的
3
时
20
分缩短到
2
时．
（
1
）求 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（
2
）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从 A 地到宁波港的运输
成本是每千米
1.8
元，时间成本是每时
28
元，那么该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥
到宁波港的运输费用是多少元？
（
3
）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，
再从宁波港运到 B 地．若有一批货物（不超过
10
车）从 A 地按外运路线运到 B 地的运
费需
8320
元，其中从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（
2
）中相同，
从宁波港到 B 地的海上运费对一批不超过
10
车的货物计费方式是：一车
800
元，当货
物每增加
1
车时，每车的海上运费就减少
20
元，问这批货物有几车？
12.(2011
淅江宁波
)
如图
1
，把一张标准纸一次又一次对开，得
到“
2
开”纸、“
4
开”纸、“
8
开”纸、“
16
开”纸…．已知
标准纸．．．的短边长为 a ．
（
1
）如图
2
，把这张标准纸对开得到的“
16
开”张纸按如下步
骤折叠：
第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，铺平后得
折痕 AE ；
第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠，点 D 正好与点 E 重合，铺平后得折痕 AF ．
则 :AD AB 的值是 ， AD AB， 的长分别是 ， ．
（
2
）“
2
开”纸、“
4
开”纸、“
8
开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写
出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（
3
）如图
3
，由
8
个大小相等的小正方形构成“ L ”型图案，它的四个顶点 E F G H， ， ，
分别在“
16
开”纸的边 AB BC CD DA， ， ， 上，求 DG 的长．
①标准纸“
2
开”纸、“
4
开”纸、“
8
开”纸、“
16
开”纸……都是矩形．
②本题中所求边长或面积
都用含 a 的代数式表示．
（
4
）已知梯形 MNPQ 中， MN PQ∥ ， 90M ∠ ， 2MN MQ PQ ，且四个顶点
M N P Q， ， ， 都在“
4
开”纸的边上，请直接写出
2
个符合条件且大小不同的直角梯
形的面积．
13.
（
2011
山东威海）如图，在梯形 ABCD 中，AB
∥
CD，AB＝
7
，CD＝
1
，AD＝BC＝
5
．点
M，N 分别在边 AD，BC 上运动，并保持 MN
∥
AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为 E，F．
（
1
）求梯形 ABCD 的面积；
（
2
）求四边形 MEFN 面积的最大值．
（
3
）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，
求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由．
14
．（
2011
山东威海）如图，点 A（m，m＋
1
），B（m＋
3
，m－
1
）都在反比例函数
x
ky 的图象上．
（
1
）求 m，k 的值；
（
2
）如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，
以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线 MN 的函数表达式．
（
3
）选做题：在平面直角坐标系中，点 P 的坐标
为（
5
，
0
），点 Q 的坐标为（
0
，
3
），把线段 PQ 向右平
移
4
个单位，然后再向上平移
2
个单位，得到线段 P
1
Q
1
，
则点 P
1
的坐标为 ，点 Q
1
的坐标为 ．
15
．（
2011
湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，
如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图
12
，点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为(0，
-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心 M 的坐标为(1,0)，半圆半径为 2.
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)你能求出经过点 C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
(3)
开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D 的“蛋圆”切线的解析式.
16.
(2011 年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中， (0 0)O ， ，
(6 0)A ， ， (0 3)C ， ．动点Q 从点O 出发以每秒
1
个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，
运动 2
3
秒时，动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 AO 向终点O 运动．当其中一点到达
终点时，另一点也停止运动．设点 P 的运动时间为t （秒）．
（
1
）用含t 的代数式表示OP OQ， ；
（
2
）当 1t 时，如图
1
，将 OPQ△ 沿 PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点 D 处，求
点 D 的坐标；
（
4
） 连结 AC ，将 OPQ△ 沿 PQ 翻折，得到 EPQ△ ，如图
2
．问： PQ 与 AC 能否
平行？ PE 与 AC
能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
17.
(2011 年辽宁省十二市)如图
16
，在平面直角坐标系中，直线 3 3y x 与 x 轴
交于点 A ，与 y 轴交于点C ，抛物线 2 2 3 ( 0)3y ax x c a 经过 A B C， ， 三点．
（
1
）求过 A B C， ， 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标；
（
2
）在抛物线上是否存在点 P ，使 ABP△ 为直角三角形，若存在，直接写出 P 点坐标；
若不存在，请说明理由；
（
3
）试探究在直线 AC 上是否存在一点 M ，使得 MBF△ 的周长最小，若存在，求出 M
点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.(2011 年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负
半轴上，边OC 在 y 轴的正半轴上，且 1AB ， 3OB ，矩形 ABOC 绕点O 按顺时
针方向旋转60 后得到矩形 EFOD ．点 A 的对应点为点 E ，点 B 的对应点为点 F ，点C
的对应点为点 D ，抛物线 2y ax bx c 过点 A E D， ， ．
（
1
）判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由；
（
2
）求抛物线的函数表达式；
（
3
）在 x 轴的上方是否存在点 P ，点Q ，使以点O B P Q， ， ， 为顶点的平行四边形的
面积是矩形 ABOC 面积的
2
倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点 P ，点Q 的坐
标；若不存在，请说明理由．
19.(
2011 年四川省巴中市
)
已知：如图
14
，抛物线 23 34y x 与 x 轴交于点 A ，点 B ，
与直线 3
4y x b 相交于点 B ，点C ，直线 3
4y x b 与 y 轴交于点 E ．
（
1
）写出直线 BC 的解析式．
（
2
）求 ABC△ 的面积．
（
3
）若点 M 在线段 AB 上以每秒
1
个单位长度的速度从 A 向 B 运动（不与 A B， 重合），
同时，点 N 在射线 BC 上以每秒
2
个单位长度的速度从 B 向C 运动．设运动时间为t 秒，
请写出 MNB△ 的面积 S 与t 的函数关系式，并求出点 M 运动多少时间时， MNB△ 的
面积最大，最大面积是多少？
20.(2011 年成都市)如图，在平面直角坐标系
xOy
中，△
OAB
的顶点Ａ的坐标为（
10
，
0
），顶点
B
在第一象限内，且 AB
=3
5 ，
sin
∠
OAB=
5
5
.
（
1
）若点
C
是点
B
关于
x
轴的对称点，求经过
O
、
C
、
A
三点的抛物线的函数表达式；
（
2
）在
(1)
中，抛物线上是否存在一点
P
，使以
P
、
O
、
C
、
A
为顶点的四边形为梯形？
若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3
）若将点
O
、点
A
分别变换为点
Q
（
-2k ,0
）、点
R
（
5k
，
0
）（
k>1
的常数），设
过
Q
、
R
两点，且以
QR
的垂直平分线为对称轴的抛物线与
y
轴的交点为
N
，其顶点为
M
，记△
QNM
的面积为 QMNS ，△
QNR
的面积 QNRS ，求 QMNS ∶ QNRS 的值
.
21.(2011
年乐山市
)
在平面直角坐标系中△
ABC
的边
AB
在
x
轴上，且
OA>OB,
以
AB
为
直径的圆过点
C
若
C
的坐标为
(0,2),AB=5, A,B
两点的横坐标
XA
,XB
是关于
X
的方程
2 ( 2) 1 0x m x n 的两根
:
(1)
求
m
，
n
的值
(2)
若∠
ACB
的平分线所在的直线 l 交
x
轴于点
D
，试求直线 l 对应的一次函数的解析
式
(3)
过点
D
任作一直线 `l 分别交射线
CA
，
CB
（点
C
除外）于点
M
，
N
，则 1 1
CM CN
的
值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由
22.(2011 年四川省宜宾市)已知
:
如图
,
抛物线
y=-x
2
+bx+c
与
x
轴、
y
轴分别相交于点
A（
-1
，
0
）、
B
（
0
，
3
）两点，其顶点为
D.
(1)
求该抛物线的解析式；
(2)
若该抛物线与
x
轴的另一个交点为
E.
求四边形
ABDE
的面积；
(3)
△
AOB
与△
BDE
是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由
.
（注：抛物线
y=ax
2
+bx+c(a
≠
0)
的顶点坐标为
a
bac
a
b
4
4,2
2
）
23.(天津市 2011 年)已知抛物线 cbxaxy 23 2 ，
（Ⅰ）若 1 ba ， 1c ，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若 1 ba ，且当 11 x 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范
围；
（Ⅲ）若 0 cba ，且 01 x 时，对应的 01 y ； 12 x 时，对应的 02 y ，试判断当
10 x 时，抛物线与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
24.(2011 年大庆市)
如图①，四边形 AEFG 和 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a b， （ 2b a≥ ），
且点 F 在 AD 上（以下问题的结果均可用 a b， 的代数式表示）．
（
1
）求 DBFS△ ；
（
2
）把正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转
45
°得图②，求图②中的 DBFS△ ；
（
3
）把正方形 AEFG 绕点 A 旋转一周，在旋转的过程中， DBFS△ 是否存在最大值、最
小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
25.
（2011 年上海市）已知 2 4AB AD ， ， 90DAB ，AD BC∥ （如图
13
）．E
是射线 BC 上的动点（点 E 与点 B 不重合）， M 是线段 DE 的中点．
（
1
）设 BE x ， ABM△ 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义
域；
（
2
）如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长；
（
3
）联结 BD ，交线段 AM 于点 N ，如果以 A N D， ， 为顶点的三角形与 BME△ 相似，
求线段 BE 的长．
26.
（2011 年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一
所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站
直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为30 的两条公路的 AB 段和CD 段（村子和公路的宽均
不计），点 M 表示这所中学．点 B 在点 M 的北偏西30 的
3km
处，点 A 在点 M 的正
西方向，点 D 在点 M 的南偏西60 的 2 3
km
处．
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点 M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的
最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道建设到 A 处，请你在图①中，
画出铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段 AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点
M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
27.
（2011 年山东省青岛市）已知：如图①，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC
＝3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC
方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ．若设运动的时间为 t（s）（0＜t＜2），
解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP 的面积为 y（ 2cm ），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，
求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接 PC，并把△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，那么是否存在某一
时刻 t，使四边形 PQP′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
28.
（2011 年江苏省南通市）已知双曲线 ky x
与直线 1
4y x 相交于 A、B 两点.第一
象限上的点 M（m，n）（在 A 点左侧）是双曲线 ky x
上的动点.过点 B 作 BD∥y 轴于点
D.过 N（0，－n）作 NC∥x 轴交双曲线 ky x
于点 E，交 BD 于点 C.
（1）若点 D 坐标是（－8，0），求 A、B 两点坐标及 k 的值.
（2）若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式.
（3）设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点，且 MA＝pMP，MB＝qMQ，求 p－q 的值.
29.
（2011 年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为
31km
．现要求：在
一边长为
30km
的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这
些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（
1
）能否找到这样的
4
个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要
求？
（
2
）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要
求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你
的理由．（下面给出了几个边长为
30km
的正方形城区示意图，供解题时选用）
压轴题答案
1.
解：（
1
）由已知得： 3
1 0
c
b c
解得
c=3,b
=2
∴抛物线的线的解析式为 2 2 3y x x
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以 E(3,0)
设对称轴与 x 轴的交点为 F
所以四边形 ABDE 的面积= ABO DFEBOFDS S S 梯形
= 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF
= 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2
=9
（3）相似
如图，BD= 2 2 2 21 1 2BG DG
BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE
DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF
所以 2 2 20BD BE , 2 20DE 即： 2 2 2BD BE DE ,所以 BDE 是直角三角形
所以 90AOB DBE ,且 2
2
AO BO
BD BE
,
所以 AOB DBE .
2. (1)
∵
A
，
B
两点的坐标分别是
A(10
，
0)
和
B(8
， 32
)
，
∴ 3810
32OABtan ，
∴ 60OAB
当点
A
´在线段
AB
上时，∵ 60OAB ，
TA=TA
´，
∴△
A
´
TA
是等边三角形，且 ATTP ，
∴ )t10(2
360sin)t10(TP ， )t10(2
1AT2
1APPA ，
○
2
当 6t2 时，由图○
1
，重叠部分的面积 EBATPA SSS
∵△
A
´
EB
的高是 60sinBA ，
∴
2
3)4t10(2
1)t10(8
3S 22
34)2t(8
3)28t4t(8
3 22
当
t=2
时，
S
的值最大是 34 ；
○
3
当 2t0 ，即当点
A
´和点
P
都在线段
AB
的延长线是
(
如图○
2
，其中
E
是
TA´与
CB
的交点，
F
是
TP
与
CB
的交点
)
，
∵ ETFFTPEFT ，四边形
ETAB
是等腰形，∴
EF=ET=AB=4
，
∴ 343242
1OCEF2
1S
综上所述，
S
的最大值是 34 ，此时
t
的值是 2t0
.
3.
解：（
1
） RtA ， 6AB ， 8AC ， 10BC ．
点 D 为 AB 中点， 1 32BD AB ．
90DHB A ， B B ．
BHD BAC△ ∽△ ，
DH BD
AC BC
， 3 12810 5
BDDH ACBC
．
（
2
） QR AB ∥ ， 90QRC A ．
C C ， RQC ABC△ ∽△ ，
RQ QC
AB BC
， 10
6 10
y x ，
即 y 关于 x 的函数关系式为： 3 65y x ．
（
3
）存在，分三种情况：
①当 PQ PR 时，过点 P 作 PM QR 于 M ，则QM RM ．
1 2 90 ， 2 90C ，
1 C ．
8 4cos 1 cos 10 5C ， 4
5
QM
QP
，
1 3 6 42 5
12 5
5
x ， 18
5x ．
②当 PQ RQ 时， 3 1265 5x ，
6x ．
③当 PR QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，
于是点 R 为 EC 的中点，
1 1 22 4CR CE AC ．
tan QR BAC CR CA
，
3 6 65
2 8
x
， 15
2x ．
综上所述，当 x 为18
5
或
6
或15
2
时， PQR△ 为等腰三角形．
4.解：（
1
）
∵
MN∥BC，∴∠AMN
=
∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN
∽
△ABC．
∴
AM AN
AB AC
，即
4 3
x AN ．
∴
AN＝
4
3 x．
……………2
分
∴
S
=
21 3 3
2 4 8MNP AMNS S x x x ．（
0
＜ x ＜
4
）
……………3
分
（
2
）如图 2，设直线 BC 与
⊙
O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO
=
OD
=
2
1 MN．
在
Rt
△ABC 中，BC ＝ 2 2AB AC
=5
．
由（
1
）知 △AMN
∽
△ABC．
∴
AM MN
AB BC
，即
4 5
x MN ．
∴
5
4MN x ，
∴
5
8OD x ．
…………………5
分
过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q，则 5
8MQ OD x ．
在
Rt
△BMQ 与
Rt
△BCA 中，
∠
B 是公共角，
∴
△BMQ
∽
△BCA．
∴
BM QM
BC AC
．
∴
55 258
3 24
x
BM x
， 25 424AB BM MA x x ．
∴
x＝
49
96 ．
∴
当 x ＝
49
96 时 ， ⊙ O 与 直 线 B C 相 切 ．
… … … … … … … … … … … … … 7
分
故以下分两种情况讨论：
①
当
0
＜ x ≤
2
时， 2
Δ 8
3 xSy PMN ．
∴
当 x ＝
2
时， 23 32 .8 2y 最大
……………………………………8
分
②
当
2
＜ x ＜
4
时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，F．
∵
四边形 AMPN 是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴
四边形 MBFN 是平行四边形．
∴ FN＝BM＝
4
－x．
∴
4 2 4PF x x x ．
又△PEF
∽
△ACB．
∴
2
PEF
ABC
SPF
AB S
．
∴
23 22PEFS x ．
… … … … … … … … … … … … … … … … … … 9
分
MNP PEFy S S ＝ 22 23 3 92 6 68 2 8x x x x ．
… … … … … … … … 1 0
分
当
2
＜ x ＜
4
时， 29 6 68y x x
29 8 28 3x
．
∴
当 8
3x 时，满足
2
＜ x ＜
4
， 2y 最大 ．
……………………11
分
综上所述，当 8
3x 时， y 值最大，最大值是
2
．
…………………………12
分
5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,- k
m
）
(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ
一定是平行四边形
②可能是矩形，mn=k即可
不可能是正方形，因为 Op 不能与 OA 垂直.
解：（1）作BE⊥OA，
∴ΔAOB是等边三角形
∴BE=OB·sin60o= 2 3 ，
∴B( 2 3 ,2)
∵A(0,4),设 AB 的解析式为 4y kx ,所以 2 3 4 2k ,解得 3
3k ,的以直线 AB
的解析式为
3 43y x
（
2
）由旋转知，
AP=AD,
∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA= 2 2 19AO OP
6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o= 2 3 ，
∴B( 2 3 ,2)
∵A(0,4),设 AB 的解析式为 4y kx ,所以 2 3 4 2k ,解得 3
3k ,
以直线 AB 的解析式为 3 43y x
（
2
）由旋转知，
AP=AD,
∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA= 2 2 19AO OP
6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o= 2 3 ，
∴B( 2 3 ,2)
∵A(0,4),设 AB 的解析式为 4y kx ,所以 2 3 4 2k ,解得 3
3k ,
以直线 AB 的解析式为 3 43y x
（
2
）由旋转知，
AP=AD,
∠PAD=60o,
∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA= 2 2 19AO OP
如图，作
B
E⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°
∴GD= 1
2
BD= 3
2
,DH=GH+GD= 3
2
+ 2 3 = 5 3
2
,
∴GB= 3
2
BD= 3
2
,OH=OE+HE=OE+BG= 3 72 2 2
∴D( 5 3
2
, 7
2
)
(3)设 OP=x,则由（2）可得 D( 32 3 ,2 2x x )若ΔOPD 的面积为：
1 3 3(2 )2 2 4x x
解得： 2 3 21
3x 所以 P( 2 3 21
3
,0)
(1)① ,BG DE BG DE ………………………………………………………………
2 分
② ,BG DE BG DE 仍然成
立 ……………………………………………………
1
分
在图（
2
）中证明如下
∵四边形 ABCD 、四边形 ABCD 都是正方形
∴ BC CD ，CG CE ， 090BCD ECG
∴
BCG DCE …………………………………………………………………
1
分
∴ BCG DCE
（
SAS
）………………………………………………………
1
分
∴ BG DE CBG CDE
又∵ BHC DHO 090CBG BHC
∴ 090CDE DHO ∴ 090DOH
∴
BG DE …………………………………………………………………………
1
分
（2）BG DE 成立，BG DE 不成立 …………………………………………………
2 分
简要说明如下
∵四边形 ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，
且 AB a ， BC b ，CG kb ，CE ka
(
a b ， 0k
)
∴ BC CG b
DC CE a
， 090BCD ECG
∴ BCG DCE
∴
BCG DCE ………………………………………………………………………
1
分
∴ CBG CDE
又∵ BHC DHO 090CBG BHC
∴ 090CDE DHO ∴ 090DOH
∴
BG DE ……………………………………………………………………………
1
分
（
3
）∵ BG DE ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2BE DG OB OE OG OD BD GE
又∵ 3a ， 2b ， k 1
2
∴
2 2 2 2 2 23 652 3 1 ( )2 4BD GE ………………………………………………
1
分
∴
2 2 65
4BE DG ………………………………………………………………………
1
分
（
1
）① 2AB ……………………………………………………………………………
2分 8 42OA ， 4OC ，
S
梯形 OABC
=12
……………………………………………
2
分
②当 42 t 时，
直角梯形 OABC 被直线l 扫过的面积
=
直角梯形 OABC 面积－直角三角开
DOE 面积
2112 (4 ) 2(4 ) 8 42S t t t t …………………………………………
4
分
（
2
） 存
在 ……………………………………………………………………………………
1
分
1 2 3 4 5
8( 12,4), ( 4,4), ( ,4), (4,4), (8,4)3P P P P P …（每个点对各得
1
分）……
5
分
对于第（
2
）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）
.
下面提供参考解法二：
1 以点
D
为直角顶点，作 1PP x 轴
同理在③二图中分别可得 P 点的生标为 P（－
4
，
4
）（与①情形二重合舍去）、P（
4
，
4
），
E 点在 A 点下方不可能
.综上可得 P 点的生标共
5
个解，分别为 P（－
12
，
4
）、P（－
4
，
4
）、P（－ 8
3
，
4
）、
P（
8
，
4
）、P（
4
，
4
）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
2 2P DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b)
的中点坐标为 b(- ,b)2 ，直线 DE 的中垂线方程： 1 ( )2 2
by b x ，令 4y 得
3( 8,4)2
bP ．由已知可得 2PE DE 即 2 2 2 232 ( 8) (4 2 ) 42 b b b b 化简
得 23 32 64 0b b 解得 1 2 1
88 3b b P P 3b， 将之代入（ -8，4） （4，4)、2
2 ( 4,4)P ；
第二类如上解法②中所示图
2 2E DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b)
，直线 PE 的方程： 1 22y x b ，令 4y 得 (4 8,4)P b ．由已知可得 PE DE 即
2 2 2 2(4 8) (4 2 ) 4b b b b 化简得 2 2(2 8)b b 解之得 ，
1 2 3
44 3b b P P ， 将之代入（4b-8，4） （8，4)、 4
8( ,4)3P
第三类如上解法③中所示图
2 2D DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b)
，直线 PD 的方程： 1 ( )2y x b ，令 4y 得 ( 8,4)P b ．由已知可得 PD DE 即
2 2 2 28 4 4b b 解得 1 2 54 4b b P P ， 将之代入（-b-8，4） （-12，4)、
6 ( 4,4)P （ 6 ( 4,4)P 与 2P 重合舍去）．
综上可得 P 点的生标共
5
个解，分别为 P（－
12
，
4
）、P（－
4
，
4
）、P（－ 8
3
，
4
）、
P（
8
，
4
）、P（
4
，
4
）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出 AB a OC b 、 、OA h 、设 b ak h
，则 P 点的情形如下
11.
解：（
1
）设 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 x 千米，
由题意得 120
10 2
3
x x ，·············································································
2
分
解得 180x ．
A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为
180
千米．····································
4
分
（
2
）1.8 180 28 2 380 （元），
该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为
380
元．··················
6
分
（
3
）设这批货物有 y 车，
由题意得 [800 20 ( 1)] 380 8320y y y ，················································
8
分
整理得 2 60 416 0y y ，
解得 1 8y ， 2 52y （不合题意，舍去），··················································
9
分
这批货物有
8
车．···············································································
10
分
12.
解：（
1
） 2 12 4 4a a， ， ．····································································
3
分
（
2
）相等，比值为 2 ．·········
5
分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给
1
分）
（
3
）设 DG x ，
在矩形 ABCD 中， 90B C D ，
90HGF ，
90DHG CGF DGH ，
HDG GCF△ ∽△ ，
1
2
DG HG
CF GF
，
2 2CF DG x ．················································································
6
分
同理 BEF CFG ．
EF FG ，
FBE GCF△ ≌△ ，
1
4BF CG a x ．·············································································
7
分
CF BF BC ，
1 22 4 4x a x a ，·················································································· 8 分
解得 2 1
4x a ．
即 2 1
4DG a ．··················································································
9
分
（
4
） 23
16 a ，························································································
10
分
227 18 2
8 a ．
12
分
∴
6
49
4
7
3
8)2(73
4 2
xxxEFMES MEFN矩形 ．
……………………8
分
当 x＝
4
7 时，ME＝
3
7 ＜4，∴四边形 MEFN 面积的最大值为
6
49 ．
……………9
分
（
3
）能．
……………………………………………………………………10
分
由（
2
）可知，设 AE＝x，则 EF＝
7
－
2
x，ME＝ x3
4 ．
若四边形 MEFN 为正方形，则 ME＝EF．
即
3
4x
7
－
2
x．解，得
10
21x ．
……………………………………………11
分
∴ EF＝ 21 147 2 7 2 10 5x ＜4．
∴ 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为
25
196
5
14 2
MEFNS正方形 ．
∴
6
49
4
7
3
8)2(73
4 2
xxxEFMES MEFN矩形 ．
……………………8
分
当 x＝
4
7 时，ME＝
3
7 ＜4，∴四边形 MEFN 面积的最大值为
6
49 ．
……………9
分
（
3
）能．
……………………………………………………………………10
分
由（
2
）可知，设 AE＝x，则 EF＝
7
－
2
x，ME＝ x3
4 ．
若四边形 MEFN 为正方形，则 ME＝EF．
即
3
4x
7
－
2
x．解，得
10
21x ．
……………………………………………11
分
∴ EF＝ 21 147 2 7 2 10 5x ＜4．
∴ 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为
25
196
5
14 2
MEFNS正方形 ．
14.
解：（
1
）由题意可知， 131 mmmm ．
解，得 m＝
3
．
………………………………3
分
∴ A（
3
，
4
），B（
6
，
2
）；
∴ k＝
4
×
3=12
．
……………………………4
分
（
2
）存在两种情况，如图：
①当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴
上时，设 M
1
点坐标为（x
1
，
0
），N
1
点坐标为（
0
，y
1
）．
∵ 四边形 AN
1
M
1
B 为平行四边形，
∴ 线段 N
1
M
1
可看作由线段 AB 向左平移
3
个单位，
再向下平移
2
个单位得到的（也可看作向下平移
2
个单位，再向左平移
3
个单位得到的）．
由（1）知 A 点坐标为（
3
，
4
），B 点坐标为（
6
，
2
），
∴ N
1
点坐标为（
0
，
4
－
2
），即 N
1
（
0
，
2
）；
………………………………5
分
M
1
点坐标为（
6
－
3
，
0
），即 M
1
（
3
，
0
）．
………………………………6
分
设直线 M
1
N
1
的函数表达式为 21 xky ，把 x＝
3
，y＝
0
代入，解得
3
2
1 k ．
∴ 直线 M
1
N
1
的函数表达式为 23
2 xy ．
……………………………………8
分
②当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时，设 M
2
点坐标为（x
2
，
0
），
N
2
点坐标为（
0
，y
2
）．
∵ AB∥N
1
M
1
，AB∥M
2
N
2
，AB＝N
1
M
1
，AB＝M
2
N
2
，
∴ N
1
M
1
∥M
2
N
2
，N
1
M
1
＝M
2
N
2
．
∴ 线段 M
2
N
2
与线段 N
1
M
1
关于原点 O 成中心对称．
∴ M
2
点坐标为（-
3
，
0
），N
2
点坐标为（
0
，-
2
）．
………………………9
分
设直线 M
2
N
2
的函数表达式为 22 xky ，把 x＝-
3
，y＝
0
代入，解得
3
2
2 k ，
∴ 直线 M
2
N
2
的函数表达式为 23
2 xy ．
所以，直线 MN 的函数表达式为 23
2 xy 或 23
2 xy ．
………………11
分
（
3
）选做题：（
9
，
2
），（
4
，
5
）．
………………………………………………2
分
15.
解：(1)解法 1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；
则设抛物线的解析式为 )3)(1( xxay (a≠0)
又点 D
(0
，
-3)
在抛物线上，∴a(0+1
)(
0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3···············································································
3
分
自变量范围：-1≤x≤3··································································
4
分
解法
2
：设抛物线的解析式为 cbxaxy 2 (a≠0)
根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D
(0
，
-3)
三点都在抛物线上
∴
3
039
0
c
cba
cba
，解之得：
3
2
1
c
b
a
∴y=x2-2x-3·····························································
3
分
自变量范围：-1≤x≤3···············································
4
分
(2)
设经过点 C“蛋圆”的切线 CE 交 x 轴于点 E，连结 CM，
在 Rt△MOC 中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC= 3
在 Rt△MCE 中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4
∴点 C、E 的坐标分别为(0， 3 )，(-3,0) ·····································
6
分
∴切线 CE 的解析式为 3x3
3y ··············································
8
分
(3)
设过点 D
(0
，
-3)
，“蛋圆”切线的解析式为：y
=
kx
-3(
k≠
0)
···············
9
分
由题意可知方程组
32
3
2 xxy
kxy 只有一组解
即 323 2 xxkx 有两个相等实根，∴k=-2··································
11
分
∴过点 D“蛋圆”切线的解析式 y
=-2
x
-3
·······································
12
分
（
2
）当 1t 时，过 D 点作 1DD OA ，交OA 于 1D ，如图
1
，
则 5
3DQ QO ， 4
3QC ，
1CD ， (13)D ， ．
（
3
）① PQ 能与 AC 平行．
若 PQ AC∥ ，如图
2
，则 OP OA
OQ OC
，
即 6 6
2 3
3
t
t
， 14
9t ，而 70 3t≤ ≤ ，
14
9t ．
② PE 不能与 AC 垂直．
若 PE AC ，延长QE 交OA 于 F ，如图
3
，
则
2
3
33 5
tQF OQ QF
AC OC
．
25 3QF t
．
EF QF QE QF OQ
2 25 3 3t t
2( 5 1) ( 5 1)3t ．
又 Rt RtEPF OCA △ ∽ △ ， PE OC
EF OA
，
6 3
2 6( 5 1) 3
t
t
，
3.45t ，而 70 3t≤ ≤ ，
t 不存在．
17.
解：（
1
）直线 3 3y x 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点C ．
( 1 0)A ， ， (0 3)C ， ·············································································
1
分
点 A C， 都在抛物线上，
2 30 3
3
a c
c
3
3
3
a
c
抛物线的解析式为 23 2 3 33 3y x x ·················································
3
分
顶点 4 31 3F
， ·················································································
4
分
（
2
）存在······························································································
5
分
1(0 3)P ， ·····························································································
7
分
2 (2 3)P ， ·····························································································
9
分
（
3
）存在····························································································
10
分
理由：
解法一：
延长 BC 到点 B，使 B C BC ，连接 B F 交直线 AC 于点 M ，则点 M 就是所求的点．
········································································
11
分
在 Rt BB H△ 中， 1 2 32B H BB ，
3 6BH B H ， 3OH ， ( 3 2 3)B ， ···········································
12
分
设直线 B F 的解析式为 y kx b
2 3 3
4 3
3
k b
k b
解得
3
6
3 3
2
k
b
3 3 3
6 2y x ··················································································
13
分
3 3
3 3 3
6 2
y x
y x
解得
3
7
10 3
7
x
y
，
3 10 3
7 7M
，
在直线 AC 上存在点 M ，使得 MBF△ 的周长最小，此时 3 10 3
7 7M
， ．····
14
分
0 3
5 33
k b
b
解得
5 39
5 33
k
b
5 53 39 3y ··················································································
13
分
5 53 39 3
3 3
y x
y x
解得
3
7
10 3
7
x
y
3 10 3
7 7M
，
在直线 AC 上存在点 M ，使得 MBF△ 的周长最小，此时 3 10 3
7 7M
， ．
1
18.
解：（
1
）点 E 在 y 轴上·······································································
1
分
理由如下：
连接 AO ，如图所示，在 Rt ABO△ 中， 1AB ， 3BO ， 2AO
1sin 2AOB ， 30AOB
由题意可知： 60AOE
30 60 90BOE AOB AOE
点 B 在 x 轴上，点 E 在 y 轴上．····························································
3
分
（
2
）过点 D 作 DM x 轴于点 M
1OD ， 30DOM
在 Rt DOM△ 中， 1
2DM ， 3
2OM
点 D 在第一象限，
点 D 的坐标为 3 1
2 2
， ··········································································
5
分
由（
1
）知 2EO AO ，点 E 在 y 轴的正半轴上
点 E 的坐标为(0 2)，
点 A 的坐标为( 31) ， ············································································
6
分
抛物线 2y ax bx c 经过点 E ，
2c
由题意，将 ( 31)A ， ， 3 1
2 2D
， 代入 2 2y ax bx 中得
3 3 2 1
3 3 124 2 2
a b
a b
解得
8
9
5 3
9
a
b
所求抛物线表达式为： 28 5 3 29 9y x x ··············································
9
分
（
3
）存在符合条件的点 P ，点Q ．···························································
10
分
理由如下：矩形 ABOC 的面积 3AB BO
以O B P Q， ， ， 为顶点的平行四边形面积为 2 3 ．
由题意可知OB 为此平行四边形一边，
又 3OB
OB 边上的高为
2
·················································································
11
分
依题意设点 P 的坐标为( 2)m，
点 P 在抛物线 28 5 3 29 9y x x 上
28 5 3 2 29 9m m
解得， 1 0m ， 2
5 3
8m
1(0 2)P ， ， 2
5 3 28P
，
以O B P Q， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
PQ OB ∥ ， 3PQ OB ，
当点 1P 的坐标为(0 2)， 时，
点Q 的坐标分别为 1( 3 2)Q ， ， 2 ( 3 2)Q ， ；
当点 2P 的坐标为 5 3 28
， 时，
点Q 的坐标分别为 3
13 3 28Q
， ， 4
3 3 28Q
， ．·······································
14
分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
19.
解：（
1
）在 23 34y x 中，令 0y
23 3 04 x
1 2x ， 2 2x
( 2 0)A ， ， (2 0)B ， ···········································
1
分
又点 B 在 3
4y x b 上
30 2 b
3
2b
BC 的解析式为 3 3
4 2y x ···································································
2
分
（
2
）由
23 34
3 3
4 2
y x
y x
，得
1
1
1
9
4
x
y
2
2
2
0
x
y
··············································
4
分
91 4C
， ， (2 0)B ，
4AB ， 9
4CD ·················································································
5
分
1 9 942 4 2ABCS △ ·············································································
6
分
（
3
）过点 N 作 NP MB 于点 P
EO MB
NP EO ∥
BNP BEO△ ∽△ ··················································································
7
分
BN NP
BE EO
···························································································
8
分
由直线 3 3
4 2y x 可得： 30 2E
，
在 BEO△ 中， 2BO ， 3
2EO ，则 5
2BE
2
5 3
2 2
t NP ， 6
5NP t ···········································································
9
分
1 6 (4 )2 5S t t
23 12 (0 4)5 5S t t t ········································································
10
分
23 12( 2)5 5S t ················································································
11
分
此抛物线开口向下，当 2t 时， 12
5S 最大
当点 M 运动
2
秒时， MNB△ 的面积达到最大，最大为12
5
．
20.
解：（1）如图，过点 B 作 BD⊥OA 于点 D.
在 Rt△ABD 中，
∵∣AB∣=3 5 ,sin∠OAB= 5
5
,
∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB
=3 5 × 5
5
=3.
又由勾股定理，得
2 2AD AB B D
2 2(3 5) 3 6
∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.
∵点 B 在第一象限，∴点 B 的坐标为（4，3）. ……3
分
设经过 O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为
y=ax2+bx(a≠0).
由
1 ,16 4 3 8
100 10 0 5 .4
aa b
a b b
∴经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式为 21 5 .8 4y x x ……2 分
（2）假设在（1）中的抛物线上存在点 P，使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形
①∵点 C（4，-3）不是抛物线 21 5
8 4y x x 的顶点，
∴过点 C 做直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P1 .
则直线 CP1 的函数表达式为 y=-3.
对于 21 5
8 4y x x ，令 y=-3 x=4 或 x=6.
∴ 1 2
1 2
4, 6,
3; 3.
x x
y y
而点 C（4，-3），∴P1(6,-3).
在四边形 P1AOC 中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.
∴点 P1（6，-3）是符合要求的点. ……1
分
②若 AP2∥CO.设直线 CO 的函数表达式为 1 .y k x
将点 C（4，-3）代入，得 1 1
34 3. .4k k
∴直线 CO 的函数表达式为 3 .4y x
于是可设直线 AP2 的函数表达式为 1
3 .4y x b
将点 A（10，0）代入，得 3 15 .4 2x
∴直线 AP2 的函数表达式为 3 15.4 2y x
由 2
2
3 15 .4 2 4 60 01 5
8 4
y x
x x
y x x
，即（x-10）（x+6）=0.
∴ 1 2
1 2
10, 6
0; 12;
x x
y y
而点 A（10，0），∴P2（-6，12）.
过点 P2 作 P2E⊥x 轴于点 E，则∣P2E∣=12.
在 Rt△AP2E 中，由勾股定理，得
2 2 2 2
2 2 12 16 20.AP P E AE
而∣CO∣=∣OB∣=5.
∴在四边形 P2OCA 中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.
∴点 P2（-6，12）是符合要求的点. ……1
分
③若 OP3∥CA,设直线 CA 的函数表达式为 y=k2x+b2
将点 A(10,0)、C(4,-3)代入，得
2 2 2
2 2
2
110 0 ,24 3 5.
k b k
k b b
∴直线 CA 的函数表达式为 1 5.2y x
∴直线 OP3 的函数表达式为 1
2y x
由 2
2
1
2 14 0,1 5
8 4
y x
x x
y x x
即 x(x-14)=0.
∴ 1 2
1 2
0, 14,
0; 7.
x x
y y
而点 O(0,0),∴P3（14，7）.
过点 P3 作 P3E⊥x 轴于点 E，则∣P3E∣=7.
在 Rt△OP3E 中，由勾股定理，得
2 2 2 2
3 3 7 14 7 5.OP P F OF
而∣CA∣=∣AB∣=3 5 .
∴在四边形 P3OCA 中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.
∴点 P3（14，7）是符合要求的点. ……1 分
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点 P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),
使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形. ……1 分
∴ 32 , 7 , ,2QO k QR k OG k 2 27 49, 10 , .2 4QG k ON ak MG ak
2 31 1 7 10 35 .2 2QNRS QR ON k ak ak
1 1 1( )2 2 2QO ON ON GM OG QG GM
2 2 2 21 1 49 3 1 7 492 10 (10 )2 2 4 2 2 2 4k ak ak ak k k ak
31 49 49(29 15 3 7 ) .2 8 8 ak
∴ 3 321: ( ) :(35 ) 3: 20.4QNM QNRS S ak ak ……2
分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与 y 轴的正半轴交于点 N，
同理，可得 : 3: 20.QNM QNRS S ……1
分
综上所知， :QNM QNRS S 的值为 3：20. ……1
分
21.
解：
(1)m=-5,n=-3
(2)y= 4
3
x+2
(3)是定值.
因为点 D 为∠ACB 的平分线，所以可设点 D 到边 AC,BC 的距离均为 h，
设△ABC AB 边上的高为 H,
则利用面积法可得：
2 2 2
CM h CN h MN H
（CM+CN）h=MN﹒H
CM CN MN
H h
又 H= CM CN
MN
化简可得 (CM+CN)﹒ 1MN
CM CN h
故 1 1 1
CM CN h
22.
解：（
1
）由已知得： 3
1 0
c
b c
解得
c=3,b
=2
∴抛物线的线的解析式为 2 2 3y x x
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以 E(3,0)
设对称轴与 x 轴的交点为 F
所以四边形 ABDE 的面积= ABO DFEBOFDS S S 梯形
= 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF
= 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2
=9
（3）相似
如图，BD= 2 2 2 21 1 2BG DG
BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE
DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF
所以 2 2 20BD BE , 2 20DE 即： 2 2 2BD BE DE ,所以 BDE 是直角三角形
所以 90AOB DBE ,且 2
2
AO BO
BD BE
,
所以 AOB DBE .
23.
解（Ⅰ）当 1 ba ， 1c 时，抛物线为 123 2 xxy ，
方程 0123 2 xx 的两个根为 11 x ，
3
1
2 x ．
∴
该抛物线与 x 轴公共点的坐标是 1 0 ， 和 1 03
， ． ·····································
2
分
（Ⅱ）当 1 ba 时，抛物线为 cxxy 23 2 ，且与 x 轴有公共点．
对于方程 023 2 cxx ，判别式 c124
≥0
，有 c
≤
3
1 ． ······························
3
分
①
当
3
1c 时，由方程 03
123 2 xx ，解得
3
1
21 xx ．
此时抛物线为
3
123 2 xxy 与 x 轴只有一个公共点 1 03
， ．························
4
分
②
当
3
1c 时，
11 x 时， ccy 1231 ，
12 x 时， ccy 5232 ．
由已知 11 x 时，该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为
3
1x ，
应有 1
2
0
0.
y
y
≤ ，
即 1 0
5 0.
c
c
≤ ，
解得 5 1c ≤ ．
综上，
3
1c 或 5 1c ≤ ． ································································
6
分
（Ⅲ）对于二次函数 cbxaxy 23 2 ，
由已知 01 x 时， 01 cy ； 12 x 时， 0232 cbay ，
又 0 cba ，
∴
babacbacba 22)(23 ．
于是 02 ba ．而 cab ，
∴
02 caa ，即 0 ca ．
∴
0 ca ． ························································································
7
分
∵
关于 x 的一元二次方程 023 2 cbxax 的判别式
0])[(412)(4124 222 accaaccaacb ，
∴
抛物线 cbxaxy 23 2 与 x 轴有两个公共点，顶点在 x 轴下方．······················
8
分
24.
解：（
1
）∵点 F 在 AD 上，
∴ 2AF a ，
∴ 2DF b a ，
∴ 21 1 1 2( 2 )2 2 2 2DBFS DFAB b a b b ab △ × ×
.（
2
）连结 AF ， 由题意易知 AF BD∥ ，
∴ 21
2DBF ABDS S b △ △ .
（
3
）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点 A 为圆心，AF 为半径的
圆
. 第一种情况：当 b
>2
a 时，存在最大值及最小值；
因为 BFD△ 的边 2BD b ，故当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时， BFD△S
取得最大、最小值
.如图②所示 2CF BD 时，
BFD△S 的最大值
=
2
21 2 22 2 ,2 2 2BF D
b b abb a
△S
BFD△S 的最小值
=
2
21 2 22 2 ,2 2 2BF D
b b abb a
△S
第二种情况：当 b
=2
a 时，存在最大值，不存在最小值；
BFD△S 的最大值
=
2 2
2
b ab
.
（如果答案为
4
a 或 b 也可）
25.
解：（
1
）取 AB 中点 H ，联结 MH ，
M 为 DE 的中点， MH BE ∥ ， 1 ( )2MH BE AD ．························· （
1
分）
又 AB BE ， MH AB ．···························································· （
1
分）
1
2ABMS AB MH △ ，得 1 2( 0)2y x x ；····························· （
2
分）（
1
分）
（
2
）由已知得 2 2( 4) 2DE x ．···················································· （
1
分）
以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，
1 1
2 2MH AB DE ，即 2 21 1( 4) 2 (4 ) 22 2x x ．···················· （
2
分）
解得 4
3x ，即线段 BE 的长为 4
3
；························································（
1
分）
（
3
）由已知，以 A N D， ， 为顶点的三角形与 BME△ 相似，
又易证得 DAM EBM ．······························································· （
1
分）
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：① ADN BEM ；② ADB BME ．
①当 ADN BEM 时， AD BE ∥ ， ADN DBE ． DBE BEM ．
DB DE ，易得 2BE AD ．得 8BE ；··········································· （
2
分）
②当 ADB BME 时， AD BE ∥ ， ADB DBE ．
DBE BME ．又 BED MEB ， BED MEB△ ∽△ ．
DE BE
BE EM
，即 2BE EM DE ，得 2 2 2 2 21 2 ( 4) 2 ( 4)2x x x ．
解得 1 2x ， 2 10x （舍去）．即线段 BE 的长为
2
．····························· （
2
分）
综上所述，所求线段 BE 的长为
8
或
2
．
26. 解：方案一：由题意可得： MB OB ，
点 M 到甲村的最短距离为 MB ．························································（
1
分）
点 M 到乙村的最短距离为 MD ．
将供水站建在点 M 处时，管道沿 MD MB， 铁路建设的长度之和最小．
即最小值为 3 2 3MB MD ．·························································（
3
分）
方案二：如图①，作点 M 关于射线OE 的对称点 M ，则 2MM ME ，连接 AM 交OE
于点 P ，则 1
2PE AM ∥ ．
2 6AM BM ， 3PE ．··························································· （
4
分）
在 Rt DME△ 中，
3sin 60 2 3 32DE DM ， 1 1 2 3 32 2ME DM ，
PE DE ， P D ， 两点重合．即 AM 过 D 点．·································· （
6
分）
在线段CD 上任取一点 P，连接 P A P M P M ， ， ，则 P M P M ．
AP P M AM ，
把供水站建在乙村的 D 点处，管道沿 DA DM， 线路铺设的长度之和最小．
即最小值为 2 2 2 26 (2 3) 4 3AD DM AM AM MM ．······· （
7
分）
方案三：作点 M 关于射线OF 的对称点 M ，连接GM ，则GM GM ．
作 M N OE 于点 N ，交OF 于点G ，交 AM 于点 H ，
M N 为点 M 到OE 的最短距离，即 M N GM GN ．
在 Rt M HM△ 中， 30MM N ， 6MM ，
3MH ． 3NE MH ．
3DE ， N D ， 两点重合，即 M N 过 D 点．
在 Rt M DM△ 中， 2 3DM ， 4 3M D ．··································· （
10
分）
在线段 AB 上任取一点G，过G作G N OE 于点 N，连接G M G M ， ．
显然G M G N G M G N M D ．
把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM GD， 线路铺设的长度之和最小．
即最小值为 4 3GM GD M D ．·················································· （
11
分）
综上， 3 2 3 4 3 ，供水站建在 M 处，所需铺设的管道长度最短．·· （
12
分）
27.
解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则 CQ＝(4－2t)cm，
∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm
∴AP＝（5－t）cm，
∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝10
7
∴当 t 为10
7
秒时，PQ∥BC
………………2 分
（2）过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D，则易证△AQD∽△ABC
∴AQ∶QD＝AB∶BC
∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝ 6
5 t
∴△APQ 的面积： 1
2
×AP×QD＝ 1
2
（5－t）× 6
5 t
∴y 与 t 之间的函数关系式为：y＝ 233 5t t
………………5 分
（3）由题意：
当面积被平分时有： 233 5t t ＝ 1
2
× 1
2
×3×4，解得：t＝ 5 5
2
当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1
∴不存在这样 t 的值
………………8 分
（4）过点 P 作 PE⊥BC 于 E
易证：△PAE∽△ABC，当 PE＝ 1
2
QC 时，△PQC 为等腰三角形，此时△QCP′为菱形
∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝ 4
5 t
∵QC＝4－2t，∴2× 4
5 t ＝4－2t,解得：t＝10
9
∴当 t＝10
9
时，四边形 PQP′C 为菱形
此时，PE＝ 8
9
，BE＝ 2
3
，∴CE＝ 7
3
………………10 分
在 Rt△CPE 中，根据勾股定理可知：PC＝ 2 2PE CE ＝ 2 28 7( ) ( )9 3
＝ 505
9
∴此菱形的边长为 505
9
cm ………………12 分
28.
解：（1）∵D（－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入 1
4y x 中，得 y＝－2.
∴B 点坐标为（－8，－2）.而 A、B 两点关于原点对称，∴A（8，2）
从而 k＝8×2＝16
（2）∵N（0，－n），B 是 CD 的中点，A，B，M，E 四点均在双曲线上,
∴mn＝k，B（－2m，－
2
n ），C（－2m，－n），E（－m，－n）
DCNOS矩形 ＝2mn＝2k， DBOS△ ＝ 1
2
mn＝ 1
2
k， OENS△ ＝ 1
2
mn＝ 1
2
k.
∴ OBCES矩形 ＝ DCNOS矩形 ― DBOS△ ― OENS△ ＝k.∴k＝4.
由直线 1
4y x 及双曲线 4y x
，得 A（4，1），B（－4，－1）
∴C（－4，－2），M（2，2）
设直线 CM 的解析式是 y ax b ，由 C、M 两点在这条直线上，得
4 2
2 2
a b
a b
，解得 a＝b＝ 2
3
∴直线 CM 的解析式是 y＝ 2
3
x＋ 2
3
.
即如此安装
3
个这种转发装置，也能达到预设要求．································· （
6
分）
或：将原正方形分割成如图
2
中的
3
个矩形，使得 31BE ，H 是CD 的中点，将每个
装置安装在这些矩形的对角线交点处，则 2 231 30 61AE ， 30 61DE ，
2 2(30 61) 15 26.8 31DE ≈ ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设
要求．·····························································································（
6
分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图
3
，用一
个直径为
31
的 O 去覆盖边长为
30
的正方形 ABCD ，设 O 经过 A B， ， O 与 AD
交于 E ，连 BE ，则 2 2 131 30 61 15 2AE AD ，这说明用两个直径都为
31的圆不能完全覆盖正方形 ABCD ．
所以，至少要安装
3
个这种转发装置，才能达到预设要求．························ （
8
分）
评分说明：示意图（图 1、图 2、图 3）每个图 1 分．
抛物线解析式为 2 ( 1)( 5)9y x x ，即 22 8 10
9 9 9y x x
当 1
3a 时，在抛物线 21 4 5
3 3 3y x x 上存在一点 (2 3)E ， 满足条件，如果此抛物线
上还有满足条件的 E 点，不妨设为 E 点，那么只有可能 DE N△ 是以 DN 为斜边的等
腰直角三角形，由此得 (3.51.5)E ， ，显然 E 不在抛物线 21 4 5
3 3 3y x x 上，因此抛
物线 21 4 5
3 3 3y x x 上没有符合条件的其他的 E 点．
当 2
9a 时，同理可得抛物线 22 8 10
9 9 9y x x 上没有符合条件的其他的 E 点．
当 E 的坐标为(2 3)， ，对应的抛物线解析式为 21 4 5
3 3 3y x x 时，
EDN△ 和 ABO△ 都是等腰直角三角形， 45GNP PBO ．
又 NPG BPO ， NPG BPO△ ∽△ ．
PG PN
PO PB
， 2 7 14PB PG PO PN ，总满足 10 2PB PG ．
当 E 的坐标为(3.51.5)， ，对应的抛物线解析式为 22 8 10
9 9 9y x x 时，
同理可证得： 2 7 14PB PG PO PN ，总满足 10 2PB PG
31.
解：（
1
）如图所示：··········································································
4
分
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