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中考复习：特殊平行四边形 ‎27中学 孙衍梅 一．知识要点 ‎1.菱形：‎ ‎·菱形的定义：一组邻边相等的平形四边形是菱形。‎ ‎·菱形的性质：‎ 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 ‎·菱形的判定：‎ 一组邻边相等的平形四边形是菱形。‎ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。‎ 四条边都相等的四边形是菱形。‎ ‎2.矩形：‎ ‎·矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。‎ ‎·矩形的性质：‎ 定理１　矩形的四个角都是直角。‎ 定理２　矩形的对角线相等。‎ ‎·矩形的判定：‎ 定理１　有三个角是直角的四边形是矩形。‎ 定理２　对角线相等的平行四边形是矩形。‎ 有三个角是直角的四边形是矩形。‎ 两条对角线相等的平行四边形是矩形。‎ ‎·定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎3.正方形：‎ ‎·正方形的定义：‎ 一组邻边相等的矩形是正方形.‎ ‎ 一个角是直角的菱形是正方形.‎ ‎·正方形的性质:‎ 正方形具有矩形和菱形的所有性质.‎ 边:对边平行,且所有边相等.‎ 角:所有角相等,都是直角.‎ 对角线:正方形对角线相等,互相垂直平分,且平分每一组对角.‎ ‎·正方形是轴对称图形.‎ ‎4.平行四边形与特殊平行四边形的关系 ‎　‎ ‎　　‎ ‎　二．典型例题：‎ ‎　例1　如图，在四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．‎ ‎　　（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎　　（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗，为什么？‎ ‎　　（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．‎ ‎　　‎ 例2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由。(分析:由四边形ABCD是菱形,故∠DOC为直角. 又由DE∥AC，CE∥BD可得到四边形CEDO是平行四边形.所以由“一个内角是直角的平行四边形是矩形”,可以判断出四边形CEDO是矩形。)‎ ‎　‎ A B F D C G E 例3.如图，在△ABC中，∠BAC =，AD⊥BC，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC，垂足为F．说明：四边形AEFG是菱形．（本题目的是对学生进行推理方法的训练，由已知可知图中有角平分线、垂线和平行线，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组对边相等，或连结AF，也易证EG与AF互相垂直平分．）‎ 例4.如图5,已知正方形ABCD中对角线 AB、CD相交于O.若E是AC上的点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F。说明:OE=OF ‎ ‎　‎ 例5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，你能用几种方法说明AC与CE相等？请你写出一种推理过程.‎ 三．基础训练：‎ ‎1．对角线互相垂直、平分的四边形一定是（　　）．‎ ‎　　A．矩形　B．菱形　C．等腰梯形　D．直角梯形 ‎2．如图5，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（　　）．‎ ‎　　A．2和3　B．3和2　C．4和1　D．1和4‎ ‎ ‎ ‎3．如图6所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中一定成立的是（　　）．‎ ‎　　A．AC∥BD　B．OA＝OC　C．AC＝BD　D．AO＝OD ‎4．把一张长方形的纸片按如图7所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在MB′或MB′的延长线上，那么∠EMF的度数是（　　）．‎ ‎　　A．85° 　B．90°　 　C．95° 　D．100°‎ ‎ ‎ ‎5．如图9，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．‎ ‎6..梯形的上底长为‎5 cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为‎20 cm，那么梯形的周长为_______.‎ 四．知识延伸 ‎1.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x、y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 ( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )‎ A．8 B．‎6 ‎ C．4 D．3‎ ‎3.. 如图，平行四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，那么平行四边形ABCD是矩形吗？说说你的理由。‎ ‎ ‎ 五．拓展提高 ‎1.如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠‎ EGB的度数．‎ ‎2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=‎16 cm，BD=‎12 cm，求菱形ABCD的高DH.‎ ‎3.如图9，正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,PE⊥CD于E,PF⊥AD于F,那么BP与EF相等吗?你是怎样判断的?‎ ‎(分析:连结PD,证明△ABP≌△ADP,得到PB=PD,再证明四边形PEDF是矩形,得到EF=PD,所以PB=EF)‎ 六．链接中考 A B C D F E ‎1.（2008年辽宁省大连市）．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF交BD于点O，若FO－EO = 5，则BC－AD为( )‎ ‎2.（广东省肇庆市2008年）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.求证AE=BF；‎ ‎3.（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．‎ ‎（1）求证：四边形是正方形；‎ E C B D A G F ‎（第3题图）‎ ‎（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形．‎ A B C D F E ‎4.（江西省南昌市2008年）如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处；（1）求证：；（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．‎