2020年中考数学压轴题：二次函数的综合性问题考点专练 63页

2020 中考数学压轴题：二次函数的综合性问题考点专练 【典例分析】 【考点 1】二次函数与经济利润问题 【例 1】（2019·山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生 态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发 价比去年降低了 1 元，批发销售总额比去年增加了 20% ． （1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多 少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克， 设水果店一天的利润为 w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大， 最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元；（2）每千克的平均销售价为 35 元 时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元. 【解析】 【分析】 (1)由去年这种水果批发销售总额为 10 万元，可得今年的批发销售总额为  10 1 20% 12  万 元，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为 1x  元，可列出方程： 120000 100000 10001x x   ，求得 x 即可. (2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值． 【详解】 (1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为 1x  元， 今年的批发销售总额为  10 1 20% 12  万元， ∴120000 100000 10001x x   ， 整理得 2 19 120 0x x   ， 解得 24x  或 5x   (不合题意，舍去). 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元． (2)设每千克的平均售价为 m 元，依题意 由(1)知平均批发价为 24 元，则有   4124 180 3003 mw m        260 4200 66240m m    ， 整理得  260 35 7260w m    ， ∵ 60 0a    ， ∴抛物线开口向下， ∴当 35m  元时， w 取最大值， 即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件 数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 【变式 1-1】（2019·浙江中考真题）某农作物的生长率 P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1， 当 10≤t≤25 时可近似用函数 1 1 50 5P t  刻画；当 25≤t≤37 时可近似用函数 21 ( ) 0.4160P t h    刻画． (1)求 h 的值． (2)按照经验，该作物提前上市的天数 m(天)与生长率 P 满足函数关系： 生长率 P 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数 m （天） 0 5 10 15 ①请运用已学的知识，求 m 关于 P 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示 m ； (3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温 20℃时， 每天的成本为 200 元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售 完)，销售额可增加 600 元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 w (元)与大棚温度 t(℃) 之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售 出后大棚暂停使用）． 【答案】（1） 29h  ；（2）① 100 20m p  ，② 2( 05 8 29) 2m t    ；（3）当 29t  时，提前 上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【解析】 【分析】 （1）根据 1 1 50 5P t  求出 t=25 时 P 的值，代入 21 ( ) 0.4160P t h    即可； （2）①由表格可知 m 与 p 的一次函数，用待定系数法求解即可；②分当10 25t 时与当 25 1 37 时两种情况求解即可； （3）分当 20 25t 时与当 25 37t  时两种情况求出增加的利润，然后比较即可. 【详解】 （1）把 t=25 代入 1 1 50 5P t  ，得 P=0.3， 把（25，0.3）的坐标代入 21 16 ) .0 ( 0 4p t h    得 29h  或 21h  25h  ， 29h  . （2）①由表格可知 m 与 p 的一次函数，设 m=kp+b，由题意得 0.2 0 0.25 5 k b k b      ， 解之得 100 20 k b     ， 100 20m p   ； ②当10 25t 时， 1 1 50 5p t  ， 1 1100 20 2 4050 5m t t         当 25 1 37 时， 21 ( 29) 0.4160p t    . 2 2100[ ( 29) 0.4 ] 201 5 160 ( 29) 28 0m t t          ； （3）（Ⅰ）当 20 25t 时， 由(20,200) ，(25,300) ，得 20 200w t  . 增加利润为 2600 [200 30 (30 )] 40 600 4000m w m t t       . 当 25t  时，增加利润的最大值为 6000 元. （Ⅱ）当 25 37t  时， 300w  . 增加利润为 25600 [200 30 (30 )]=900 ( 29) 150008m w m t            21125 ( 29) 150002 t    ， 当 29t  时，增加利润的最大值为 15000 元. 综上所述，当 29t  时，提前上市 20 天，增加利润的最大值为 15000 元. 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，用到的知识点有二次函数图上点的坐标特征，待定系 数法求一次函数解析式，二次函数的图像与性质，利用二次函数求最值及分类讨论的数学思想. 熟练掌握二次函数图上点的坐标特征是解（1）的关键，分类讨论是解（2）与（3）的关键. 【变式 1-2】（2019·辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开 设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 10 元．公 司在试销售期间，调查发现，每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关 系（其中0 30x ）． （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 3100 元，则销售单价 x 应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为 W 元，若14 30x ，求：销售单价 x 为多少元时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） 640(10 14) 20 920(14 30) xy x x     ；（2）销售单价 x 应定为 15 元；（3）当 28x  时， 每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元． 【解析】 【分析】 （1）当10 14x 时，可直接根据图象写出；当14 30x 时，y 与 x 成一次函数关系，用待定 系数法求解即可； （2）根据销售利润=每千克的利润（x－10）×销售量 y，列出方程，解方程即得结果； （3）根据销售利润 w=每千克的利润（x－10）×销售量 y，可得 w 与 x 的二次函数，再根据 二次函数求最值的方法即可求出结果. 【详解】 解：（1）由图象知，当10 14x 时， 640y  ； 当14 30x 时，设 y kx b  ，将(14,640) ，(30,320) 代入得 14 640 30 320 k b k b      ，解得 20 920 k b     ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 20 920y x   ； 综上所述， 640(10 14) 20 920(14 30) xy x x     ； （2）(14 10) 640 2560   ， ∵ 2560 3100 ，∴ 14x  ， ∴( 10)( 20 920) 3100x x    ， 解得： 1 41x  （不合题意舍去）， 2 15x  ， 答：销售单价 x 应定为 15 元； （3）当14 30x 时， 2( 10)( 20 920) 20( 28) 6480W x x x        ， ∵ 20 0  ，14 30x ， ∴当 28x  时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元． 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、 熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键. 【考点 2】二次函数与几何图形问题 【例 2】（2018·福建中考真题）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围 成一个矩形菜园 ABCD，已知木栏总长为 100 米． （1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面 积为 450 平方米．如图 1，求所利用旧墙 AD 的长； （2）已知 0＜α＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案， 使得所围成的矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值． 【答案】（1）利用旧墙 AD 的长为 10 米．（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程； （2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数 量关系． 【详解】 （1）设 AD=x 米，则 AB=100 2 x- 米 依题意得， (100 ) 2 x x ＝450 解得 x1=10，x2=90 ∵a=20，且 x≤a ∴x=90 舍去 ∴利用旧墙 AD 的长为 10 米． （2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米 ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S= 2(100 ) 1 ( 50) 12502 2 x x x   ＝ ，0＜x＜a ∵0＜a＜50 ∴x＜a＜50 时，S 随 x 的增大而增大 当 x=a 时，S 最大=50a- 1 2 a2 ②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得 S= 2 2(100 2 ) [ (25 )] (25 )2 4 4 x a x a ax＝       ，a≤x＜50+ 2 a 当 a＜25+ 4 a ＜50 时，即 0＜a＜100 3 时， 则 x=25+ 4 a 时，S 最大=（25+ 4 a ）2= 210000 200 16 a a  ， 当 25+ 4 a ≤a，即100 3 ≤a＜50 时，S 随 x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大= (100 2 ) 2 a a a  = 2150 2a a ， 综合①②，当 0＜a＜100 3 时， 210000 200 16 a a  -（ 2150 2a a ）= 2(3 100) 16 a  ＞0 210000 200 16 a a  ＞ 2150 2a a ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 210000 200 16 a a  平方米 当100 3 ≤a＜50 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当 0＜a＜100 3 时，围成长和宽均为（25+ 4 a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 210000 200 16 a a  平方米； 当100 3 ≤a＜50 时，围成长为 a 米，宽为（50- 2 a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 （ 2150 2a a ）平方米． 【点睛】 本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变 量大小关系． 【变式 2-1】（2019·湖南中考真题）如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3）， 且其对称轴为直线 x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求△PAB 的面积的最 大值，并求出此时点 P 的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB 的面积的最大值为 27 8 ，此时点 P 的坐标（ 3 2  ，15 4 ）． 【解析】 【分析】 （1）因为对称轴是直线 x=-1，所以得到点 A（-3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式 y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式． （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函 数值的对应关系，可得答案． 【详解】 （1）∵抛物线对称轴是直线 x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y＝a（x﹣1）（x+3） 把 B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴ 3 0 3 k b b      ， ∴直线 AB 为 y＝x+3， 作 PQ⊥x 轴于 Q，交直线 AB 于 M， 设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴   2 21 3 3 27S x 3x 3 x2 2 2 8            ， 当 3x 2   时， 27S 8 最大 ， 23 3 15y 2 32 2 4                  ， ∴△PAB 的面积的最大值为 27 8 ，此时点 P 的坐标为（ 3 2  ，15 4 ）. 【点睛】 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利 用了二次函数的性质． 【变式 2-2】（2018·吉林中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4， 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD⊥AC 于 点 D（点 P 不与点 A、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q．设点 P 的运动 时间为 t 秒． （1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长； （2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值； （3）设△PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值． 【答案】（1）CD= 2 3 ﹣ 3 t（0＜t＜2）；（2）1；（3）见解析；（4）t 的值为 1 2 秒或 3 4 秒或 5 4 秒． 【解析】 【分析】（1）先求出 AC，用三角函数求出 AD，即可得出结论； （2）利用 AD+DQ=AC，即可得出结论； （3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； （4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论． 【详解】（1）在 Rt△ABC 中，∠A=30°，AB=4， ∴AC=2 3 ， ∵PD⊥AC， ∴∠ADP=∠CDP=90°， 在 Rt△ADP 中，AP=2t， ∴DP=t，AD=APcosA=2t× 3 2 = 3 t， ∴CD=AC﹣AD=2 3 ﹣ 3 t（0＜t＜2）； （2）在 Rt△PDQ 中，∵∠DPC=60°， ∴∠PQD=30°=∠A， ∴PA=PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD=DQ， ∵点 Q 和点 C 重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2× 3 t=2 3 ， ∴t=1； （3）当 0＜t≤1 时，S=S△PDQ= 1 2 DQ×DP= 1 2 × 3 t×t= 3 2 t2， 当 1＜t＜2 时，如图 2， CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2 3 t﹣2 3 =2 3 （t﹣1）， 在 Rt△CEQ 中，∠CQE=30°， ∴CE=CQ•tan∠CQE=2 3 （t﹣1）× 3 3 =2（t﹣1）， ∴S=S△PDQ﹣S△ECQ= 1 2 × 3 t×t﹣ 1 2 ×2 3 （t﹣1）×2（t﹣1）=﹣ 3 3 2 t2+4 3 t﹣2 3 ， ∴S=     2 2 3 t 0 12 3 3 t 4 3 2 3 0 22 t t t      ＜ ＜ ＜ ； （4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3， ∴∠PGF=90°，PG= 1 2 PQ= 1 2 AP=t，AF= 1 2 AB=2， ∵∠A=∠AQP=30°， ∴∠FPG=60°， ∴∠PFG=30°， ∴PF=2PG=2t， ∴AP+PF=2t+2t=2， ∴t= 1 2 ； 当 PQ 的垂直平分线过 AC 的中点 M 时，如图 4， ∴∠QMN=90°，AN= 1 2 AC= 3 ，QM= 1 2 PQ= 1 2 AP=t， 在 Rt△NMQ 中，NQ= 2 3 cos30 3 MQ t ， ∵AN+NQ=AQ， ∴ 3 + 2 3 3 t =2 3 t， ∴t= 3 4 ， 当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5， ∴BF= 1 2 BC=1，PE= 1 2 PQ=t，∠H=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BFH=30°=∠H， ∴BH=BF=1， 在 Rt△PEH 中，PH=2PE=2t， ∴AH=AP+PH=AB+BH， ∴2t+2t=5， ∴t= 5 4 ， 即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 1 2 秒或 3 4 秒或 5 4 秒． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平 分线的性质，根据题意准确作出图形、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键. 【考点 3】二次函数与抛物线形问题 【例 3】（2019·山东省青岛第二十六中学中考模拟）如图，斜坡 AB 长 10 米，按图中的直角 坐标系可用 y= 3 3  x+5 表示，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上．在坡上的 A 处有喷灌设备，喷 出的水柱呈抛物线形落到 B 处，抛物线可用 y= 1 3  x2+bx+c 表示． （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）求水柱离坡面 AB 的最大高度； （3）在斜坡上距离 A 点 2 米的 C 处有一颗 3.5 米高的树，水柱能否越过这棵树？ 【答案】（1）y=- 1 3 x2+ 4 3 3 x+5；（2）当 x= 5 3 2 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 25 4 ； （3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出 A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答 （3）过点 C 作 CD⊥OA 于点 D，求出 OD=4 3 ，把 OD 代入解析式即可 【详解】 （1）∵AB=10、∠OAB=30°， ∴OB= 1 2 AB=5、OA =10× 3 2 =5 3 ， 则 A（5 3 ，0）、B（0，5）， 将 A、B 坐标代入 y=- 1 3 x2+bx+c，得： 1 75 5 3 03 5 b c c        ， 解得： 4 3 3 5 b c     ， ∴抛物线解析式为 y=- 1 3 x2+ 4 3 3 x+5； （2）水柱离坡面的距离 d=- 1 3 x2+ 4 3 3 x+5-（- 3 3 x+5） =- 1 3 x2+ 5 3 3 x =- 1 3 （x2-5 3 x） =- 1 3 （x- 5 3 2 ）2+ 25 4 ， ∴当 x= 5 3 2 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 25 4 ； （3）如图，过点 C 作 CD⊥OA 于点 D， ∵AC=2、∠OAB=30°， ∴CD=1、AD= 3 ， 则 OD=4 3 ， 当 x=4 3 时，y=- 1 3 ×（4 3 ）2+ 4 3 3 ×4 3 +5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】 此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出 A,B 的坐标 【变式 3-1】（2019·河北中考模拟）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高 6m ，在长度 为 8 m 的两支柱OC 和 AB 之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为 5m . （1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式； （2）求支柱 EF 的长度. （3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高 3 m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于 0.3m ）， 行车道最宽可以铺设多少米？ 【答案】（1） 23 6 50 5y x x   ；（2）EF=3.5m；（3）行车道最宽可以铺设 13.4 米. 【解析】 【分析】 （1）根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设 N 点的坐标为（15，y）可求出支柱 EF 的长度； （3）令 y=3.3，求得 x 的值即可求解． 【详解】 （1）根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为： 2y ax bx  ， ∵相邻两支柱间的距离均为 5m，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上， ∴ 400 20 0, 100 10 6. a b a b      ，解得 3 ,50 6 .5 a b      ∴ 23 6 50 5y x x   ． （2）设点 F 的坐标为（15，y）， ∴ 23 6 915 1550 5 2y       ． ∴EF=8m 9 2  m= 7 2 m=3.5m． （3）当 y=3+0.3=3.3（m）时，有 23 6 3.350 5x x   ， 化简，得 2 20 55 0x x   ， 解得 10 3 5x   ， 1 3.292x  ， 2 16.708x  ， ∴ 2 1 16.708 3.292 13.416 13.4x x     ． 答：行车道最宽可以铺设 13.4 米． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式 是关键． 【变式 3-2】 （2019·辽宁中考模拟）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当 水面的宽度为 10m 时，桥洞与水面的最大距离是 5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填 方案一，方案二，或方案三），则 B 点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 6m，求水面上涨的高度． 【答案】(1) 方案 1; B（5,0）; 1 ( 5)( 5)5y x x    ;(2) 3.2m. 【解析】 试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把 x=3 代入抛物线的解析式，即可得到结论． 试题解析：解：方案 1：（1）点 B 的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为： ( 5)( 5)y a x x   ．由 题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得： 1 5a   ，∴抛物线的解析式为： 1 ( 5)( 5)5y x x    ； （2）由题意：把 3x  代入 1 ( 5)( 5)5y x x    ，解得： 16 5y  =3.2，∴水面上涨的高度为 3.2m． 方案 2：（1）点 B 的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为： ( 10)y ax x  ． 由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得： 1 5a   ，∴抛物线的解析式为： 1 ( 10)5y x x   ； （2）由题意：把 2x  代入 1 ( 10)5y x x   解得： 16 5y  =3.2，∴水面上涨的高度为 3.2m． 方案 3：（1）点 B 的坐标为（5， 5 ），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）． 设抛物线的解析式为： 2y ax ，把点 B 的坐标（5， 5 ），代入解析式可得： 1 5a   ， ∴抛物线的解析式为： 21y x5   ； （2）由题意：把 3x  代入 21y x5   解得： 9 5y   = 1.8 ，∴水面上涨的高度为5 1.8  3.2m． 【达标训练】 1．（2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C ＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A．18m2 B．18 3 m2 C． 24 3 m2 D． 45 3 2 m2 【答案】C 【解析】 【分析】 过点 C 作 CE⊥AB 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则 ∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出 1 1BE BC 6 x2 2    得 出 3 1 1AD CE 3BE 6 3 x,AB AE BE x 6 x x 62 2 2            ，又梯形面积公式求出梯 形 ABCD 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解. 【详解】 解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠ DCE=30°，BC=12-x， 在 Rt△CBE 中，∵∠CEB=90°， 1 1BE BC 6 x2 2     3 1 1AD CE 3BE 6 3 x,AB AE BE x 6 x x 62 2 2             ∴梯形 ABCD 面积 21 1 1 3 3 3 3 3S (CD AB) CE x x 6 6 3 x x 3 3x 18 32 2 2 2 8 88                      2( 4) 24 3x   ∴当 x=4 时，S 最大=24 3 ． 即 CD 长为 4 m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 3 m2； 故选 C． 【点睛】 此题考查了梯性质、矩形的性质、含 30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运 用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键 2．（2019·台湾中考真题）如图，坐标平面上有一顶点为 A的抛物线，此抛物线与方程式 2y＝ 的图形交于 B 、C 两点， ABC 为正三角形．若 A点坐标为 3,0 ，则此抛物线与Y 轴的交点 坐标为何？（ ） A． 90, 2      B． 270, 2      C． 0,9 D． 0,19 【答案】B 【解析】 【分析】 设  3 ,2B m  ，  3 ,2C m  ， 0m  ，可知 2BC m ，再由等边三角形的性质可知 23 3,23C     ，设抛物线解析式  23y a x  ，将点C 代入解析式即可求 a ，进而求解. 【详解】 解：设  3 ,2B m  ，  3 ,2C m  ， 0m  A 点坐标为 3,0 ， 2BC m  ， ABC 为正三角形， 2AC m  ， C 60AO   ， 2 3 3m  23 3,23C       设抛物线解析式  23y a x  ， 2 2 33 3 23a         ， 3 2a  ，  23 32y x   ， 当 0x  时， 27 2y  ； 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化 为点的坐标是解题的关键． 3．（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不 同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱 (近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点， 拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式 为( ) A． 226 675y x B． 226 675y x  C． 213 1350y x D． 213 1350y x  【答案】B 【解析】 【分析】 设抛物线解析式为 y=ax2，由已知可得点 B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 ∵拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)， ∴-78=452a， 解得：a= 26 675  ， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为 226 675y x  ， 故选 B. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 4．（2019·山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m， 若水面下降 2m，则水面宽度增加（ ） A． 4 2 4 m B． 4 2m C． 4 2 4 m D． 4m 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y=-2 代入抛物线解析式 得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶 点 C 坐标为（0，2），设顶点式 y=ax2+2，代入 A 点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2 2 ， 所以水面宽度增加到 4 2 米，比原先的宽度当然是增加了（4 2 -4）米， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的 关键． 5．（2019·江苏中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min) 的函数图象，其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为 800m B．线段 CD 的函数解析式为 32 400 25 50s t t   （ ） C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数解析式为 23 20 1200 5 20s t t     （ ） （ ） 【答案】C 【解析】 【分析】 直接观察图象可判断 A、C，利用待定系数法可判断 B、D，由此即可得答案. 【详解】 观察图象可知 5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程 为 2000-1200=800m，故 A 选项正确，C 选项错误； 设线段 CD 的解析式为 s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 1200 25 2000 50 m n m n      ，解得： 32 400 m n    ， 所以线段 CD 的函数解析式为 32 400 25 50s t t   （ ），故 B 选项正确； 由曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为 y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段 AB 的函数解析式为 23 20 1200 5 20s t t     （ ） （ ），故 D 选项正确， 故选 C. 本题考查了函数图象的应用问题，C 项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以 C 是错误 的． 【点睛】 本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图 象，正确把握相关知识是解题的关键. 6．（2018·北京中考真题）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线 可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y （单位： m ）与水平距离 x （单位： m ）近似满足函数关系 2y ax bx c   （ 0a  ）．下图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数 据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A．10m B．15m C． 20m D． 22.5m 【答案】B 【解析】 分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围. 详解：设对称轴为 x h ， 由（ 0 ，54.0）和（ 40 ，46.2 ）可知， 0 40 202h   ， 由（ 0 ，54.0）和（ 20 ，57.9）可知， 0 20 102h   ， ∴10 20h  ， 故选 B． 点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 7．（2018·四川中考真题）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下 降 2m，水面宽度增加______m. 【答案】4 2 -4 【解析】 【分析】 根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 2y   代入抛物线解析式 得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可 得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶 点 C 坐标为 0,2 . 通过以上条件可设顶点式 2 2y ax  ，其中 a 可通过代入 A 点坐标 2,0 . 代入到抛物线解析式得出： 0.5a   ，所以抛物线解析式为 20.5 2y x   ， 当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 2y   时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 2y   与抛物线相交的两点之间的 距离， 可以通过把 2y   代入抛物线解析式得出： 22 0.5 2x    ，解得： 2 2x   ， 所以水面宽度增加到 4 2 米，比原先的宽度当然是增加了 4 2 4. 故答案是： 4 2 4. 【点睛】 考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 8．（2019·河北中考模拟）如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、 A 两处双测 P 处，仰角分别为α、β，且 tanα＝ 1 2 ，tanβ＝ 3 2 ，以 O 为原点，OA 所在直线 为 x 轴建立直角坐标系． P 点坐标为_____；若水面上升 1m，水面宽为_____m． 【答案】 33, 2      ； 2 2 【解析】 【分析】 （1）过点 P 作 PH⊥OA 于 H，通过解 Rt△OHP、Rt△AHP 求得点 P 的横纵坐标； （2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后 求出 y＝1 时 x 的值，就可解决问题． 【详解】 解：（1）过点 P 作 PH⊥OA 于 H，如图． 设 PH＝3x， 在 Rt△OHP 中， ∵tanα＝ PH 1 OH 2  ， ∴OH＝6x． 在 Rt△AHP 中， ∵tanβ＝ 3 2 PH AH  ， ∴AH＝2x， ∴OA＝OH+AH＝8x＝4， ∴x＝ 1 2 ， ∴OH＝3，PH＝ 3 2 ， ∴点 P 的坐标为（3， 3 2 ）； 故答案是：（3， 3 2 ）； （2）若水面上升 1m 后到达 BC 位置，如图， 过点 O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为 y＝ax（x﹣4）， ∵P（3， 3 2 ）在抛物线 y＝ax（x﹣4）上， ∴3a（3﹣4）＝ 3 2 ， 解得 a＝﹣ 1 2 ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ 1 2 x（x﹣4）． 当 y＝1 时，﹣ 1 2 x（x﹣4）＝1， 解得 x1＝2+ 2 ，x2＝2﹣ 2 ， ∴BC＝（2+ 2 ）﹣（2﹣ 2 ）＝2 2 ． 故答案是：2 2 ． 【点睛】 本题主要二次函数的应用、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（2019·吉林中考模拟）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽 度为8m ，两侧离地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为 _______m .（精确到0.1m ） 【答案】9.1 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标 【详解】 如图，以地面为 x 轴，门洞中点为 O 点，画出 y 轴，建立直角坐标系 由题意可知各点坐标为 A（-4,0）B（4,0）D（-3,4） 设抛物线解析式为 y=ax2+c（a≠0）把 B、D 两点带入解析式 可得解析式为 24 64y 7 7x   ，则 C（0， 64 7 ） 所以门洞高度为 64 7 m≈9.1m 【点睛】 本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键 10．（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优 做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 ,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情 况，A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/ 盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现， A种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量 不变，当 A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多 少元？ 【答案】（1）该店平均每天销售 A礼盒 10 盒，B 种礼盒为 20 盒；（2）当 A种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可设平均每天销售 A礼盒 x 盒， B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方程组即可解 题 （2）根据题意，可设 A种礼盒降价 m 元/盒，则 A种礼盒的销售量为：（10 3 m ）盒，再列出 关系式即可． 【详解】 解：（1）根据题意，可设平均每天销售 A礼盒 x 盒， B 种礼盒为 y 盒， 则有 (120 72) (80 40) 1280 120 80 2800 x y x y        ，解得 10 20 x y    故该店平均每天销售 A礼盒 10 盒， B 种礼盒为 20 盒． （2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润 (120 72) 10 8003 mW m         化简得 2 21 16 1280 ( 9) 13073 3W m m m        ∵ 1 03a    ∴当 9m  时，取得最大值为 1307， 故当 A种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 11．（2019·内蒙古中考真题）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜 欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本， 每本进价为 20 元．根据以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单 价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y （本）与销售单价 x （元）之间的函数 关系式及自变量的取值范围． （2）书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 (0 6)a a  元给困难职工，每天扣除捐赠后可 获得最大利润为 1960 元，求 a 的值． 【答案】（1） 10 500(30 38)y x x   ；（2） 2a  ． 【解析】 【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．根据题意得到 w=（x-20-a）（-10x+500）=-10x2+ （10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为 x＝35+ 1 2 a，且 0＜a≤6，则 30＜ 35+ 1 2 a≤38，则当 135 2x a  时，w 取得最大值，解方程得到 a1=2，a2=58，于是得到 a=2． 【详解】 解：（1）根据题意得，    250 10 25 10 500 30 38y x x x      ； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．       220 10 500 10 10 700 500 10000 30 38w x a x x a x a x           对称轴为 x＝35+ 1 2 a，且 0＜a≤6，则 30＜35+ 1 2 a ≤38， 则当 135 2x a  时， w 取得最大值， ∴ 1 135 20 10 35 500 19602 2a a x a                   ∴ 1 22, 58a a  （不合题意舍去）， ∴ 2a  ． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正 确的理解题意，确定变量，建立函数模型． 12．（2019·辽宁中考真题）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件 30 元，物价部门规定每 件儿童玩具的销售利润不高于进价的60% ．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 y （件）与销售单价 x（元）满足一次函数关系．当销售单价为 35 元时，每天的销售量为 350 件； 当销售单价为 40 元时，每天的销售量为 300 件． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） 10 700y x   ；（2）当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得 的利润最大，最大利润是 3960 元． 【解析】 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b  ，根据题意得到方程组，于是得到结论； （2）设利润为 w 元，列不等式得到 48x ，根据题意得到函数解析式 2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x            ，根据二次函数的性质即可得到结 论． 【详解】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b  ， 根据题意得， 35 350 40 300 k b k b      ， 解得： 10 700 k b     ， y 与 x 之间的函数关系式为 10 700y x   ； （2）设利润为 w 元， 30 (1 60%)x   ， 48x ， 根据题意得， 2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x            ， 10 0a   ，对称轴 50x  ， 当 48x  时， 210 (48 50) 4000 3960w      最大 ， 答：当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是 3960 元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条 件． 13．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销 售.已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调 查发现，某天西瓜的销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)的函数关系如下图所示： (1)求 y 与 x 的函数解析式(也称关系式)； (2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值. 【答案】(1)y 与 x 的函数解析式为     200 2200 6 10 200 10 12 x xy x        ；(2)这一天销售西瓜获得利润 的最大值为 1250 元. 【解析】 【分析】 (1)当 6 x≤10 时，由题意设 y＝kx＋b(k＝0)，利用待定系数法求得 k、b 的值即可；当 10 ＜x≤12 时，由图象可知 y＝200，由此即可得答案； (2))设利润为 w 元，当 6≦x≤10 时，w＝－200 217 2x （ ）＋1250，根据二次函数的性质可求 得最大值为 1250；当 10＜x≤12 时，w＝200x－1200，由一次函数的性质结合 x 的取值范围 可求得 w 的最大值为 1200，两者比较即可得答案. 【详解】 (1)当 6 x≤10 时，由题意设 y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ∴ 1000 6 200 10 k b k b      ， 解得 200 2200 k b     ， ∴当 6 x≤10 时， y＝-200x+2200， 当 10＜x≤12 时，y＝200， 综上，y 与 x 的函数解析式为     200 2200 6 10 200 10 12 x xy x        ； (2)设利润为 w 元， 当 6 x≤10 时，y＝－200x＋2200， w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200 217 2x （ ）＋1250， ∵－200＜0，6≦x≤10， 当 x＝17 2 时，w 有最大值，此时 w=1250； 当 10＜x≤12 时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200， ∴200＞0， ∴w＝200x－1200 随 x 增大而增大， 又∵10＜x≤12， ∴当 x＝12 时，w 最大，此时 w=1200， 1250＞1200， ∴w 的最大值为 1250， 答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为 1250 元. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函 数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键. 14．（2019·四川中考真题）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒 果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量 y（千克） 与该天的售价 x （元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系． 销售量 y （千克） … 32.5 35 35.5 38 … 售价 x （元/千克） … 27.5 25 24.5 22 … （1）某天这种芒果售价为 28 元/千克．求当天该芒果的销售量 （2）设某天销售这种芒果获利 m 元，写出 m 与售价 x 之间的函数关系式．如果水果店该天获 利 400 元，那么这天芒果的售价为多少元？ 【答案】（1）芒果售价为 28 元/千克时，当天该芒果的销售量为 32 千克；（2）这天芒果的售 价为 20 元 【解析】 【分析】 （1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值； （2）根据利润＝销量×（售价−成本），列出 m 与 x 的函数关系式，再由函数值求出自变量的 值． 【详解】 解：（1）设该一次函数解析式为 y kx b  则 25 35 22 38 k b k b      ，解得： 1 60 k b     ∴ 60y x   （15 40x  ） ∴当 28x  时， 32y  ， ∴芒果售价为 28 元/千克时，当天该芒果的销售量为 32 千克 （2）由题易知 ( 10)m y x  ( 60)( 10)x x    2 70 600x x    ， 当 400m  时，则 2 70 600 400x x    整理得： 2 70 1000 0x x   解得： 1 20x  ， 2 50x  ∵15 40x  ∴ 20x = 所以这天芒果的售价为 20 元 【点睛】 本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函 数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键． 15．（2019·湖北中考真题）某食品厂生产一种半成品食材，成本为 2 元/千克，每天的产量 p （百千克）与销售价格 x（元/千克）满足函数关系式 1 82p x  ，从市场反馈的信息发现，该 半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格 x（元/千克）满足一次函数关系，部分 数据如表： 销售价格 x （元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格 x 不低于 2 元/千克且不高于 10 元/千克． （1）直接写出q与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量 大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能 废弃． ①当每天的半成品食材能全部售出时，求 x 的取值范围； ②求厂家每天获得的利润 y（百元）与销售价格 x 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当 x 为______元/千克时，利润 y 有最大值；若要使每天的利润不低 于 24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则 x 应定为______元/千克． 【答案】（1） 14q x   ，其中 2 10x  ；（2） 2 2 1 7 16,(2 4)2 13 16,(4 10) x x xy x x x            ；（3）13 2 ，5 【解析】 【分析】 (1)设q与 x 的函数关系式为： q kx b  ，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可； (2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有 p q ，据此列不等式进行求解即可； ②根据自变量为 2 4x  、 4 10x  两种情况分别列式进行求解即可； (3)根据(2)中的情况利用二次函数的性质分别进行讨论即可求得答案. 【详解】 (1)由表格的数据，设q与 x 的函数关系式为： q kx b  ， 根据表格的数据得 12 2 10 4 k b k b      ，解得 1 14 k b     ， 故q与 x 的函数关系式为： 14q x   ，其中 2 10x  ； (2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有 p q ， 即 1 8 142 x x    ，解得 4x  ， 又 2 10x  ，所以此时 2 4x  ， ②由①可知，当 2 4x  时， 21 1( 2) ( 2) 8 7 162 2y x p x x x x           ， 当 4 10x  时， ( 2) 2( )y x q p q    [ 1( 2)( 14) 2 8 ( 14)]2x x x x         2 13 16x x    ， 即有 2 2 1 7 16,(2 4)2 13 16,(4 10) x x xy x x x            ； (3)当2 4x  时， 21 7 162y x x   的对称轴为 7 712 2 2 bx a        ， ∴当 2 4x  时，y 随着 x 的增大而增大， ∴ 4x  时有最大值， 21 4 7 4 16 202y       ， 当 4 10x  时， 2 2 13 10513 16 2 4y x x x           ， ∵ 1 0  ，13 42  ， ∴ 13 2x  时取最大值， 即此时 y 有最大利润， 要使每天的利润不低于 24 百元，则当 2 4x  时，显然不符合， 故 213 105 242 4y x        ，解得 5x  ， 故当 5x  时，能保证不低于 24 百元， 故答案为：13 2 ，5. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质等知识，弄清题意，找准各 量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键. 16．（2019·四川中考真题）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待.某公 司计划在某地区销售第一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化 而变化.设该产品在第 x （ x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为 y 元， y 与 x 之间满足如 图所示的一次函数关系. （1）求 y 与 x 之间的关系式； （2）设该产品在第 x 个销售周期的销售数量为 p （万台）， p 与 x 的关系可用 1 1 2 2p x  来描 述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少 元？ 【答案】（1） y 与 x 之间的关系式为 500 7500y x   ；（2）第 7 个销售周期的销售收入最大， 此时该产品每台的销售价格是 4000元. 【解析】 【分析】 （1）根据两点坐标即可求出一次函数的解析式； （2）根据题意令销售收入 W=py，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 （1）设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b， 把（1，7000），（5,5000）代入 y=kx+b， 得 7000 5000 5 k b k b      ，解得 500 7500 k b     ∴ y 与 x 之间的关系式为 500 7500y x   ； （2）令销售收入 W=py= 1 1( )( 500 7500)2 2x x   = 2250( 7) 16000x   ∴当 x=7 时，W 有最大值为 16000， 此时 y=-500×7+7500=4000 故第 7 个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是 4000元. 【点睛】 此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二 次函数的图像与性质. 17．（2019·辽宁中考真题）2019 年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某 商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件 40 元，当售价为每件 60 元时，每个 月可售出 100 件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨 1 元， 每个月会少售出 2 件，设每件商品的售价为 x 元，每个月的销量为 y 件． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为 2250 元； （3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？ 【答案】（1）y＝220﹣2x；（2）当每件商品的售价定为 65 元或 85 元时，每个月的利润恰好 为 2250 元；（3）当 x＝75，即售价为 75 元时，月利润最大，且最大月利润为 2450 元． 【解析】 【分析】 （1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价 1 元每月少售出的件数 2 的 乘积，化简可得； （2）月销售量乘以每件的利润等于利润 2250，解方程即可； （3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少． 【详解】 （1）由题意得，月销售量 y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且 x 为正整数） 答：y 与 x 之间的函数关系式为 y＝220﹣2x． （2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250 化简得：x2﹣150x+5525＝0 解得 x1＝65，x2＝85 答：当每件商品的售价定为 65 元或 85 元时，每个月的利润恰好为 2250 元． （3）设每个月获得利润 w 元，由（2）知 w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800 ∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450 ∴当 x＝75，即售价为 75 元时，月利润最大，且最大月利润为 2450 元． 【点睛】 此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方 程. 18．（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销 售单价不低于每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时， 平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在 销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为 x 元，平均月销售量为 y 件． （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？ （3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月 可获利 1800 元；（3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【解析】 【分析】 （1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均 每月能多售出 20 件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销售量； （2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800， 解方程即可； （3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值 范围，可求得取最大利润时的 x 值及最大利润． 【详解】 解：（1）由题意得：y＝80+20× 60 10 x ∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60） （2）由题意得： （x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800 解得 x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元． （3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得： w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450 ＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0 ∴当 x≤65 时，w 随 x 的增大而增大 ∵30≤x≤60 ∴当 x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950 答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【点睛】 本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性． 19．（2019·贵州中考真题）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱 贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋 成本 10 元.试销阶段每袋的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 … y（袋） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求： （1）日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的 销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元. 【解析】 【分析】 (1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式即 可 (2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可. 【详解】 (1)依题意，根据表格的数据，设日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为 y＝kx+b 得 25 15 20 20 k b k b      ，解得 1 40 k b     ， 故日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40； (2)依题意，设利润为 w 元，得 w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400， 整理得 w＝﹣(x﹣25)2+225， ∵﹣1＜0， ∴当 x＝2 时，w 取得最大值，最大值为 225， 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函 数的性质是解题的关键. 20．（2019·湖北中考真题）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空 地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的 30 天中，其销售价格 m （元/公斤）与第 x 天之间满足 3 15(1 15) 75(15 30) x xm x x        （ x 为正整数），销售量 n （公斤）与第 x 天之间的函数关 系如图所示： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为 80 元． （1）求销售量 n 与第 x 天之间的函数关系式； （2）求在草莓上市销售的 30 天中，每天的销售利润 y 与第 x 天之间的函数关系式；（日销售 利润＝日销售额﹣日维护费） （3）求日销售利润 y 的最大值及相应的 x ． 【答案】（1） 2 10, (1 10) 1.4 44, (10 30) x xn x x        ；（2） 2 2 2 6 60 70, (1 10) 4.2 111 580, (10 15) 1.4 149 3220, (15 30) x x x y x x x x x x                 ；（3） 草莓销售第 13 天时，日销售利润 y 最大，最大值是 1313.2 元 【解析】 【分析】 本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题． （1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第 x 天之间的函数关系式， （2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 y 与第 x 天之间的函 数关系式， （3）再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】 （1）当1 10x  时，设 n kx+b ，由图知可知 12 30 10 kx b k b      ，解得 2 10 k b    ， 2 10n x   同理得，当10 30x ＜ 时， 1.4 44n x   销售量n 与第 x 天之间的函数关系式： 2 10, (1 10) 1.4 44, (10 30) x xn x x        （2） 80y mn  (2 10)(3 15) 80, (1 10) ( 1.4 44)(3 15) 80, (10 15) ( 1.4 44)( 75 80, (15 30) x x x y x x x x x x                      ， 整理得， 2 2 2 6 60 70, (1 10) 4.2 111 580, (10 15) 1.4 149 3220, (15 30) x x x y x x x x x x                 （3）当1 10x  时， 26 60 70y x x   的对称轴 60 52 2 6 bx a       此时，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大 10x  时， y 取最大值，则 10 =1270y 当10 15x  时 24.2 111 580y x x    的对称轴是 111 111 13.2 13.52 4.2 2 8.4 bx a         x 在 13x  时， y 取得最大值，此时 1313.2y  当15 30x  时 21.4 149 3220y x x   的对称轴为 149 302 2.8 bx a     此时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小 15x  时， y 取最大值， y 的最大值是 15 =1300y 综上，草莓销售第 13 天时，日销售利润 y 最大，最大值是 1313.2 元 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注 意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 2 bx a   时取得． 21．（2019·四川中考真题）辰星旅游度假村有甲种风格客房 15 间，乙种风格客房 20 间．按 现有定价：若全部入住，一天营业额为 8500 元；若甲、乙两种风格客房均有 10 间入住，一 天营业额为 5000 元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全 部住满；当每个房间每天的定价每增加 20 元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间， 度假村需对每个房间每天支出 80 元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房 每天的利润 m 最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元、200 元；(2)每间房间定价为 240 元 时，乙种风格客房每天的利润 m 最大，最大利润是 2560 元． 【解析】 【分析】 (1)根据题意“若全部入住，一天营业额为 8500 元；若甲、乙两种风格客房均有 10 间入住， 一天营业额为 5000 元”设未知数列出相应的二元一次方程组，解方程组即可解答本题； (2)根据题意列出 m 关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【详解】 解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是 x 元、 y 元， 根据题意，得： 15 20 8500 10 10 5000 x y x y      ， 解得 300 200 x y    ， 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元、200 元； (2)设每天的定价增加了 a 个 20 元，则有2a个房间空闲， 根据题意得：   20 2 200 20 80m a a     2240 160 2400 40 2 2560a a a        ， ∵ 40 0  ， ∴当 2a  时， m 取得最大值，最大值为 2560，此时房间的定价为 200 2 20 240   元． 答：当每间房间定价为 240 元时，乙种风格客房每天的利润 m 最大，最大利润是 2560 元． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出 方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答． 22．（2019·湖北中考真题）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元 / kg ．设第 x 天的销售价格为 y （元/ kg ），销售量为  m kg ．该超市根据以往的销售经验得出 以下的销售规律：①当1 30x 时，y=40；当31 50x 时，y 与 x 满足一次函数关系，且当 36x  时， 37y  ； 44x  时， 33y  ．② m 与 x 的关系为 5 50m x  ． （1）当31 50x 时， y 与 x 的关系式为 ； （2） x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市希望第 31天到第35 天的日销售利润W （元）随 x 的增大而增大，则需要在当天销 售价格的基础上涨a 元/ kg ，求 a 的最小值． 【答案】（1） 1 552y x  ；（2） x 为32时，当天的销售利润W （元）最大，最大利润为4410 元；（3）3 【解析】 【分析】 （1）依据题意利用待定系数法，易得出当31 50x 时， y 与 x 的关系式为： 1 552y x  ， （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元 /箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第 35 天的日销售利润W （元）随 x 的增大而增大，则对称轴 352 b a  ，求 得 a 即可 【详解】 （1）依题意，当 x=36 时， 37; 44y x  时， y=33， 当31 50x 时，设 y kx b  ， 则有 37 36 33 44 k b k b      ，解得 1 2 55 k b      y 与 x 的关系式为： 1 552y x  （2）依题意， ( 18)W y m   (40 18) (5 50), (1 30) 1 55 (5 50), (31 50)2 x x W x x x            整理得， 2 110 1100, (1 30) 5 160 1850, (31 50)2 x x W x x x     当1 30x 时， W 随 x 增大而增大 30x  时，取最大值 30 110 1100 4400W     当31 50x 时， 2 25 5160 1850 ( 32) 44102 2W x x x      5 02   32x  时，W 取得最大值，此时 W=4410 综上所述， x 为32时，当天的销售利润W （元）最大，最大利润为 4410 元 （3）依题意， ( 18)W y a m     25 (160 5 ) 1850 502 x a x z    第 31天到第 35 天的日销售利润W （元）随 x 的增大而增大 对称轴 160 5 3552 2 2 b ax a        ，得 3a  故 a 的最小值为3 ． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解 答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注 意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 23．（2019·辽宁中考真题）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，日销售量 y（kg）与时间第 t 天之间的函数关系式为 2 100y t  （1 80t ，t 为整数），销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表： （1）直接写出销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间的函数关系式． （2）在整个销售旺季的 80 天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 1 502p t   ;(2) 第 19 天的日销售利润最大，最大利润是 4761 元． 【解析】 【分析】 （1）设销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间的函数关系式为：p kt b  ，将(1,49.5) ，(2,49) 解方程组即可得到结论； （2）设每天获得的利润为 w 元，由题意得到 2( 19) 4761w t    ，根据二次函数的性质即可 得到结论． 【详解】 （1）设销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间的函数关系式为： p kt b  ， 将(1,49.5) ，(2,49) 代入得， k b 49.5 2k b 49      ， 解得： 1k 2 b 50      ， ∴销售单价 p（元/kg）与时间第 t 天之间的函数关系式为： 1 502p t   ； （2）设每天获得的利润为 w 元， 由题意得， (2 100)(50 0.5 ) 6(2 100)w t t t     2 238 4400 ( 19) 4761t t t        ， ∵ 1 0a    ∴w 有最大值， 当 19t  时，w 最大，此时， 4761w 最大 ， 答：第 19 天的日销售利润最大，最大利润是 4761 元． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数 解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 24．（2018·内蒙古中考真题）如图，（图 1，图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC 上，∠AEF=90°,且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点 N, FN⊥BC． （1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1），AE 与 EF 相等吗？ （2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，△ECF 的面积为 y． ①求 y 与 x 的函数关系式； ②当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）AE=EF；（2）①y=- 1 2 x2+2x（0＜x＜4)，②当 x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】 （1）在 AB 上取一点 G，使 AG=EC，连接 GE，利用 ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则 可证得：AE=EF； （2）同（1）可证明 AE=EF，利用 AAS 证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可 得 FN=BE，再表示出 EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为 y，然 后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】 （1）如图，在 AB 上取 AG=EC， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC， 有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°， 又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN， ∴∠ECF=135°， ∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在△AGE 和△ECF 中， AGE ECF AG EC GAE CEF         , ∴△AGE≌△ECF， ∴AE=EF； (2)①∵由（1）证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF， ∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE≌△ENF， ∴FN=BE=x， ∴S△ECF= 1 2 (BC-BE)·FN， 即 y= 1 2 x(4-x）， ∴y=- 1 2 x2+2x（0＜x＜4)， ②    22 21 1 1y x 2x x 4x x 2 22 2 2           ， 当 x=2，y 最大值=2. 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正 确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．（2019·浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE ， 6AB AE  ， 5BC  ， 90A B     ， 135C   ， 90E   .要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在 AE 上， 并使所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是 BC 或 AE ，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值， 如果不能，请说明理由. 【答案】（1）S=30；（2）能， S 的最大值为 30.25. 【解析】 【分析】 （1）①若所截矩形材料的一条边是 BC，过点 C 作 CF⊥AE 于 F，得出 S1=AB•BC=6×5=30； ②若所截矩形材料的一条边是 AE，过点 E 作 EF∥AB 交 CD 于 F，FG⊥AB 于 G，过点 C 作 CH⊥FG 于 H，则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形，证出△CHF 为等腰三角形， 得出 AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出 BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5， 得出 S2=AE•AG=6×5=30； （2）在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM⊥AB 于 M，FN⊥AE 于 N，过点 C 作 CG⊥FM 于 G， 则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形，证出△CGF 为等腰三角形，得出 MG=BC=5， BM=CG，FG=DG，设 AM=x，则 BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出 S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果． 【详解】 （1）①若所截矩形材料的一条边是 BC，如图 1 所示： 过点 C 作 CF⊥AE 于 F，S1=AB•BC=6×5=30； ②若所截矩形材料的一条边是 AE，如图 2 所示： 过点 E 作 EF∥AB 交 CD 于 F，FG⊥AB 于 G，过点 C 作 CH⊥FG 于 H， 则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形， ∵∠C=135°， ∴∠FCH=45°， ∴△CHF 为等腰直角三角形， ∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH， ∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1， ∴AG=AB-BG=6-1=5， ∴S2=AE•AG=6×5=30； （2）能；理由如下： 在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM⊥AB 于 M，FN⊥AE 于 N，过点 C 作 CG⊥FM 于 G， 则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形， ∵∠C=135°， ∴∠FCG=45°， ∴△CGF 为等腰直角三角形， ∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG， 设 AM=x，则 BM=6-x， ∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x， ∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25， ∴当 x=5.5 时，S 的最大值为 30.25． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等 知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键． 26．（2019·四川中考模拟）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y= 1 6  x2+bx+c 表示，且抛物 线上的点 C 到 OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为17 2 m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向车道，那么这 辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不 超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为 y= 1 6  x2+2x+4，拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m；(2) 两排灯的水平距离最小是 4 3 m． 【解析】 【详解】 试题分析：根据点 B 和点 C 在函数图象上，利用待定系数法求出 b 和 c 的值，从而得出函数 解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面 OA 的交点为 （2,0）（或（10,0）），然后求出当 x=2 或 x=10 时 y 的值，与 6 进行比较大小，比 6 大就可以 通过，比 6 小就不能通过；将 y=8 代入函数，得出 x 的值，然后进行做差得出最小值． 试题解析：（1）由题知点 17(0,4), 3, 2B C      在抛物线上 所以 4 17 1 9 32 6 c b c       ，解得 2 4 b c    ，所以 21 2 46y x x    所以，当 62 bx a    时， 10ty ≦ 答： 21 2 46y x x    ，拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 米 （2）由题知车最外侧与地面 OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当 x=2 或 x=10 时， 22 63y   ，所以可以通过 （3）令 8y  ，即 21 2 4 86 x x    ，可得 2 12 24 0x x   ，解得 1 26 2 3, 6 2 3x x    1 2 4 3x x  答：两排灯的水平距离最小是 4 3 考点：二次函数的实际应用． 27．（2019·湖北中考真题）若二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象的顶点在一次函数 ( 0)y kx t k   的图象上，则称 2 ( 0)y ax bx c a    为 ( 0)y kx t k   的伴随函数，如： 2 1y x  是 1y x  的伴随函数． （1）若 2 4y x  是 y x p   的伴随函数，求直线 y x p   与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数  3 0y mx m   的伴随函数 2 2y x x n   与 x 轴两个交点间的距离为 4，求 m ， n的值． 【答案】（1）8；（2） 3n   ， 1m  . 【解析】 【分析】 （1）先求出二次函数的顶点，再把顶点代入一次函数求出 p,再求出一次函数与坐标轴的交点 坐标，再利用三角形的面积公式求解； （2）先根据函数 2 2y x x n   与 x 轴两个交点间的距离为 4，求出 n,再求出二次函数的顶点， 将顶点代入一次函数即可求解. 【详解】 解：（1） 2 4y x  ， 其顶点坐标为 0 4， ， 2 4y x  是 y x p   的伴随函数，  0 4 ， 在一次函数 y x p   的图象上， 4 0 p   ． 4p   ， 一次函数为： 4y x   ， 一次函数与坐标轴的交点分别为 0, 4 ， 4,0 ， 直线 y x p   与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为 4 4  ， 直线 y x p   与两坐标轴围成的三角形的面积为： 1 4 4=82   ． （2）设函数 2 2y x x n   与 x 轴两个交点的横坐标分别为 1x ， 2x ，则 1 2 2x x   ， 1 2x x n ，  2 1 2 1 2 1 24 4 4x x x x x x n       ， ∵函数 2 2y x x n   与 x 轴两个交点间的距离为 4， 4 4 4n   ， 解得， 3n   ， 函数 2 2y x x n   为：  22 2 3 1 4y x x x      ， 其顶点坐标为 1, 4  ， 2 2y x x n   是  3 0y mx m   的伴随函数， 4 3m    ， 1m  ． 【点睛】 本题考查的是二次函数和一次函数的综合运用，熟练掌握两者是解题的关键.