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- 2021-05-10 发布
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备战 2012 中考：动态问题精华试题汇编（500 套）
一、选择题
1. （2011 安徽，10，4 分）如图所示，P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点，过 P 垂直于
AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点，设 AC=2，BD=1，AP=x，△AMN 的面积为 y，则
y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
2. （2011 山东威海，12，3 分）如图，
在正方形 ABCD 中，AB=3cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速度运动，同时动点
N 自 A 点出发沿折线 AD—DC—CB 以每秒 3cm 的速度运动，到达 B 点时运动同时停止，设
△AMN 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（秒），则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函
数关系的是（ ）
【答案】B
3. （2011 甘肃兰州，14，4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上
的点，且 AE=BF=CG=DH，设小正方形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致
是
A
B C
D
E
F
G
H
x
y
-1 O
1
x
y
1O
1
x
y
O 1 x
y
1O
11
A． B． C． D．
【答案】B
4.
二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
三、解答题
1. （2011 浙江省舟山，24，12 分）已知直线 3 kxy （ k ＜0）分别交 x 轴、 y 轴于 A、B
两点，线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P
作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运动时间为 t 秒．
（1）当 1k 时，线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度同
时出发，当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1）．
① 直接写出 t ＝1 秒时 C、Q 两点的坐标；
② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求 t 的值．
（2）当
4
3k 时，设以 C 为顶点的抛物线 nmxy 2)( 与直线 AB 的另一交点为 D（如
图 2），
① 求 CD 的长；
② 设△COD 的 OC 边上的高为 h ，当 t 为何值时， h 的值最大？
B
AO P
C
x
y
1
1
D
（第 24 题图 2）（第 24 题图 1）
B
AO
P
C
Q x
y
1
1
【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，∴点 P 与点 Q 重合，OQ=OP，即 3－t=t，∴t=1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB 是等腰直角
三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即 t =2（－t ＋3），∴t=2．∴
满足条件的 t 的值是 1.5 秒或 2 秒．
(2) ① 由 题 意 得 ： C(t ， － 3
4 t ＋ 3) ， ∴ 以 C 为 顶 点 的 抛 物 线 解 析 式 是
2 3( ) 34y x t t ，
由 2 3 3( ) 3 34 4x t t x ，解得 x1=t，x2=t 3
4
；过点 D 作 DE⊥CP 于点 E，则∠
DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴ DE CD
AO BA
，
∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－ 3
4
）= 3
4
．∴CD=
3 5 154
4 16
DE BA
AO
．
②∵CD=15
16
，CD 边上的高= 3 4 12
5 5
．∴S△COD= 1 15 12 9
2 16 5 8
．∴S△COD 为定值；
要使 OC 边上的高 h 的值最大，只要 OC 最短．
因为当 OC⊥AB 时 OC 最短，此时 OC 的长为12
5
，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP
＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴ OP OC
BO BA
，OP=
12 3 365
5 25
OC BO
BA
，即 t= 36
25
，∴当 t 为 36
25
秒时，h 的值最大．
2. （2011 广东东莞，22，9 分）如图，抛物线 25 17 14 4y x x 与 y 轴交于点 A，过点 A
的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C（3，0）.
（1）求直线 AB 的函数关系式；
（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作⊥x 轴，
交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长为 s 个单位，求 s 与 t
的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 G 重合的情况），连接 CM，BN，当 t 为何值
时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明
理由.
【解】（1）把 x=0 代入 25 17 14 4y x x ，得 1y
把 x=3 代入 25 17 14 4y x x ，得 5
2y ，
∴A、B 两点的坐标分别（0，1）、（3， 5
2
）
设直线 AB 的解析式为 y kx b ，代入 A、B 的坐标，得
1
53 2
b
k b
，解得
1
1
2
b
k
所以， 1 12y x
（2）把 x=t 分别代入到 1 12y x 和 25 17 14 4y x x
分别得到点 M、N 的纵坐标为 1 12 t 和 25 17 14 4t t
∴MN= 25 17 14 4t t -（ 1 12 t ）= 25 15
4 4t t
即 25 15
4 4s t t
∵点 P 在线段 OC 上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形 BCMN 中，∵BC∥MN
∴当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形
由 25 15 5
4 4 2t t ，得 1 21, 2t t
即当 1 2t 或 时，四边形 BCMN 为平行四边形
当 1t 时，PC=2，PM= 3
2
，PN=4，由勾股定理求得 CM=BN= 5
2
,
此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形 BCMN 为 菱形；
当 2t 时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得 CM= 5 ,
此时 BC≠CM，平行四边形 BCMN 不是菱形；
所以，当 1t 时，平行四边形 BCMN 为菱形．
3. （2011 江苏扬州，28,12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90º，AB0）
（1）△PBM 与△QNM 相似吗？以图 1 为例说明理由；
（2）若∠ABC=60º，AB=4 3 厘米。
① 求动点 Q 的运动速度；
② 设 Rt△APQ 的面积为 S（平方厘米），求 S 与 t 的函数关系式；
（3）探求 BP2、PQ2、CQ2 三者之间的数量关系，以图 1 为例说明理由。
【答案】解：（1）△PBM 与△QNM 相似；
∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90º
∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90º－∠C
∴ △PBM∽△QNM
（2）①∵∠ABC=60º，∠BAC =90º,AB=4 3 ,BP= 3 t
∴AB=BM=CM=4 3 ,MN=4
∵ △PBM∽△QNM
∴
MN
BM
NQ
BP 即： 34
34
NQ
BP
∵P 点的运动速度是每秒 3 厘米，
∴ Q 点运动速度是每秒 1 厘米。
② ∵ AC=12,CN=8
∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=4 3 － 3 t
∴ S= )334()4(2
1 tt = )16(2
3 2 t
（3） BP2+ CQ2 =PQ2
证明如下： ∵BP= 3 t, ∴BP2=3t2
∵CQ=8-t ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2
∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64
∴BP2+ CQ2 =PQ2
4.（2011 山东德州 23,12 分）在直角坐标系 xoy 中，已知点 P 是反比例函数 ）＞0(32 xxy
图象上一个动点，以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切，设切点为 A．
（1）如图 1，⊙P 运动到与 x 轴相切，设切点为 K，试判断四边形 OKPA 的形状，并说明
理由．
（2）如图 2，⊙P 运动到与 x 轴相交，设交点为 B，C．当四边形 ABCP 是菱形时：
①求出点 A，B，C 的坐标．
②在过 A，B，C 三点的抛物线上是否存在点 M，使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的
2
1 ．若
存在，试求出所有满足条件的 M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
A P 2 3y x
x
y
KO
图 1
【答案】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，
∴ PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形 OKPA 是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形 OKPA 是正方形．……………………2 分
（2）①连接 PB，设点 P 的横坐标为 x，则其纵坐标为
x
32 ．
过点 P 作 PG⊥BC 于 G．
∵四边形 ABCP 为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC 为等边三角形．
在 Rt△PBG 中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=
x
32 ．
O
A P 2 3y x
x
y
B C
图 2
G
M
sin∠PBG=
PB
PG ，即
2 3
3
2
x
x
．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴ PG= 3 ，PA=BC=2．……………………4 分
易知四边形 OGPA 是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0， 3 ），B（1，0） C（3，0）．……………………6 分
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
0
9 3 0
3
a b c
a b c
c
解之得：a= 3
3
， b= 4 3
3
， c= 3 ．
∴二次函数关系式为： 23 4 3 33 3y x x ．……………………9 分
②解法一：设直线 BP 的解析式为：y=ux+v，据题意得：
0
2 3
u v
u v
解之得：u= 3 ， v= 3 3 ．
∴直线 BP 的解析式为： 3 3 3y x ．
过点 A 作直线 AM∥PB，则可得直线 AM 的解析式为： 3 3y x ．
解方程组：
2
3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
得： 1
1
0
3
x
y
； 2
2
7
8 3
x
y
．
过点 C 作直线 CM∥PB，则可设直线 CM 的解析式为： 3y x t ．
∴0=3 3 t ．
∴ 3 3t ．
∴直线 CM 的解析式为： 3 3 3y x ．
解方程组：
2
3 3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
得： 1
1
3
0
x
y
； 2
2
4
3
x
y
．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
解法二：∵ 1
2PAB PBC PABCS S S ，
∴A（0， 3 ），C（3，0）显然满足条件．
延长 AP 交抛物线于点 M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ 1
2PBM PBA PABCS S S ．
∴点 M 的纵坐标为 3 ．
又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4．
∴点 M（4， 3 ）符合要求．
点（7，8 3 ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
解法三：延长 AP 交抛物线于点 M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ 1
2PBM PBA PABCS S S ．
∴点 M 的纵坐标为 3 ．
即 23 4 3 3 33 3x x ．
解得： 1 0x （舍）， 2 4x ．
∴点 M 的坐标为（4， 3 ）．
点（7，8 3 ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
5. （2011 山东菏泽，21，9 分）如图，抛物线 y＝ 1
2
x2＋bx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，与
y 轴交于 C 点，且 A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点 M(m，0)是 x 轴上的一个动点，当 MC＋MD 的值最小时，求 m 的值．
A B
C
D
x
y
O 1
1
1
解：（1）把点 A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式 y＝ 1
2
x2＋bx－2，
整理后解得 3
2b ，
所以抛物线的解析式为 21 3 22 2y x x ．
顶点 D 3 25,2 8
．
（2）∵AB=5，AC2=OA2＋OC2=5，BC2=OC2＋OB2=20，
∴AC2＋BC2=AB2．∴△ABC 是直角三角形．
（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′ (0，2)，OC′=2．
连接 C′D 交 x 轴于点 M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD 的值最小．
设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ．
△C′OM∽△DEM．
∴ OM OC
EM ED
．∴ 2
3 25
2 8
m
m
．∴m= 24
41
．
6. （2011 山东济宁，23，10 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ， 1 ）的抛物
线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B ，C 两点（点 B 在点C 的左侧）. 已知 A 点坐标为（ 0 ，
3）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相
切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C 两点之间，问：当点 P 运动到
什么位置时， PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积.
A
x
y
BO C
D
(第 23 题)
【答案】（1）解：设抛物线为 2( 4) 1y a x .
∵抛物线经过点 A （0，3），∴ 23 (0 4) 1a .∴ 1
4a .
∴抛物线为 2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x . ……………………………3 分
(2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4 分
证明：当 21 ( 4) 1 04 x 时， 1 2x ， 2 6x .
∴ B 为（2，0），C 为（6，0）.∴ 2 23 2 13AB .
设⊙C 与 BD 相切于点 E ，连接CE ，则 90BEC AOB .
∵ 90ABD ，∴ 90CBE ABO .
又∵ 90BAO ABO ，∴ BAO CBE .∴ AOB ∽ BEC .
∴ CE BC
OB AB
.∴ 6 2
2 13
CE .∴ 8 2
13
CE .…………………………6 分
∵抛物线的对称轴l 为 4x ，∴C 点到l 的距离为 2.
∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7 分
(3) 解：如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点Q .
可求出 AC 的解析式为 1 32y x .…………………………………………8
分
设 P 点的坐标为（ m ， 21 2 34 m m ），则Q 点的坐标为（ m ， 1 32 m ）.
∴ 2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m .
∵ 2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m ,
∴当 3m 时， PAC 的面积最大为 27
4
.
此时，P 点的坐标为（3， 3
4
）. …………………………………………10 分
A
x
y
BO C
D
(第 23 题)
E
P
Q
7.（2011 山东威海，25，12 分）如图，抛物线 2y ax bx c 交 x 轴于点 ( 3,0)A ，点 (1,0)B ,
交 y 轴于点 (0, 3)E ．点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线l 过点 F
且与 y 轴平行．直线 y x m 过点 C，交 y 轴于点 D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G,
求线段 HG 长度的最大值；
（3）在直线l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边是平行四边
形，求点 N 的坐标．
图① 备用图
【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式 ( 1)( 3)y a x x
∵抛物线与 y 轴交于点 (0, 3)E ，将该点坐标代入上式，得 1a ．
∴所求函数表达式 ( 1)( 3)y x x ，即 2 2 3y x x ．
（2）∵点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 ( 3,0)A ，点 (1,0)B ，
∴点 C 的坐标是 (5,0)C ．
将点 C 的坐标是 (5,0)C 代入 y x m ，得 5m ．
∴直线 CD 的函数表达式为 5y x ．
设 K 点的坐标为 ( ,0)t ，则 H 点的坐标为 ( , 5)t t ，G 点的坐标为 2( , 2 3)t t t ．
∵点 K 为线段 AB 上一动点，
∴ 3 1t ．
∴ 2 2 23 41( 5) ( 2 3) 3 8 ( )2 4HG t t t t t t ．
∵ 33 12
，
∴当 3
2t 时，线段 HG 长度有最大值 41
4
．
（3）∵点 F 是线段 BC 的中点，点 (1,0)B ，点 (5,0)C ，
∴点 F 的坐标为 (3,0)F ．
∵直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，
∴直线 l 的函数表达式为 3x ．
∵点 M 在直线l 上，点 N 在抛物线上 ，
∴设点 M 的坐标为 (3, )M m ，点 N 的坐标为 2( , 2 3)N n n n ．
∵点 ( 3,0)A ，点 (5,0)C ，∴ 8AC ．
分情况讨论：
1 若线段 AC 是以点 A，C，M，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须 MN∥AC，且 MN＝
AC＝8．
当点 N 在点 M 的左侧时， 3MN n ．
∴3 8n ，解得 5n ．
∴N 点的坐标为 ( 5,12)N ．
当点 N 在点 M 的右侧时， 3MN n ．
∴ 3 8n ，解得 11n ．
∴N 点的坐标为 (11,40)N ．
②若线段 AC 是以点 A，C，M，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点 C 与点 A 关于点 B
中心对称”知：点 M 与点 N 关于点 B 中心对称．取点 F 关于点 B 对称点 P，则点 P 的坐标为
( 1,0)P ．过点 P 作 NP⊥ x 轴，交抛物线于点 N．
将 1x 代入 2 2 3y x x ，得 4y ．
过点 N，B 作直线 NB 交直线l 于点 M．
在△BPN 和△BFM 中，
∵
90
NPB MBF
BF BP
BPN BFM
∴△BPN≌△BFM．
∴NB＝MB．
∴四边形点 ANCM 为平行四边形．
∴坐标为 ( 1, 4) 的点 N 符合条件．
∴当点 N 的坐标为 ( 5,12) ， (11,40) ，( 1, 4) 时，以点 A，C，M，N 为顶点的四边是平行
四边形．
8. （2011 山东烟台，26,14 分）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴
上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB 的表达式为 y=－ 4
3
x+16
3
，点 A、D 的坐标分别为（－
4，0），（0，4）.动点 P 自 A 点出发，在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上
匀速运行，速度均为每秒 1 个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点 P
运动 t（秒）时，△OPQ 的面积为 s（不能构成△OPQ 的动点除外）.
（1）求出点 B、C 的坐标；
（2）求 s 随 t 变化的函数关系式；
（3）当 t 为何值时 s 有最大值？并求出最大值.
O x
y
A B
CD
P
Q O x
y
A B
CD
（备用图 1）
90
（备用图 2）
90
O x
y
A B
CD
【答案】解：（1）把 y＝4 代入 y＝－ 4
3
x＋ 16
3
，得 x＝1.
∴C 点的坐标为（1，4）.
当 y＝0 时，－ 4
3
x＋ 16
3
＝0，
∴x＝4.∴点 B 坐标为（4，0）.
（2）作 CM⊥AB 于 M，则 CM＝4，BM＝3.
∴BC＝ 2 2CM BM ＝ 2 23 4 ＝5.
∴sin∠ABC＝ CM
BC
＝ 4
5
.
①当 0＜t＜4 时，作 QN⊥OB 于 N，
则 QN＝BQ·sin∠ABC＝ 4
5
t.
∴S＝ 1
2
OP·QN＝ 1
2
（4－t）× 4
5
t ＝－ 2
5
t2＋ 8
5
t（0＜t＜4）.
②当 4＜t≤5 时，（如备用图 1），
连接 QO，QP，作 QN⊥OB 于 N.
同理可得 QN＝ 4
5
t.
∴S＝ 1
2
OP·QN＝ 1
2
×（t－4）× 4
5
t. ＝ 2
5
t2－ 8
5
t（4＜t≤5）.
③当 5＜t≤6 时，（如备用图 2），
连接 QO，QP.
S＝ 1
2
×OP×OD＝ 1
2
（t－4）×4＝2t－8（5＜t≤6）.
（3）①在 0＜t＜4 时，
当 t＝
8
5
22 ( )5
＝2 时，
S 最大＝
28( )5
24 ( )5
＝ 8
5
.
②在 4＜t≤5 时，对于抛物线 S＝ 2
5
t2－ 8
5
t，当 t＝－
8
5
22 5
＝2 时，
S 最小＝ 2
5
×22－ 8
5
×2＝－ 8
5
.
∴抛物线 S＝ 2
5
t2－ 8
5
t 的顶点为（2，－ 8
5
）.
∴在 4＜t≤5 时，S 随 t 的增大而增大.
∴当 t＝5 时，S 最大＝ 2
5
×52－ 8
5
×5＝2.
③在 5＜t≤6 时，
在 S＝2t－8 中，∵2＞0，∴S 随 t 的增大而增大.
∴当 t＝6 时，S 最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当 t＝6 时，S 取得最大值，最大值是 4.
（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边
OP和高 CD 都大于②中的底边OP 和高.所以③中的△OPQ 面积一定大于②中的△OPQ的面积.）
9. （2011 四川南充市，22，8 分）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A（m－4,0）和 B(m,0)，
与直线 y=－x+p 相交于点 A 和点 C(2m－4,m－6).
(1)求抛物线的解析式；
（2）若点 P 在抛物线上，且以点 P 和 A,C 以及另一点 Q 为顶点的平行四边形 ACQP 面积
为 12，求点 P,Q 的坐标；
（3）在（2）条件下，若点 M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请
求出⊿PQM 的最大面积及点 M 的坐标。
【答案】解：（1）∵点 A(m-4,0)和 C(2m-4,m-6)在直线 y=-x+p 上
∴ 0 ( 4)
6 (2 4)
m p
m m p
解得： 3
1
m
p
∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3)
设抛物线 y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),
∵C(2,-3) ∴a=1
∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3
（2）AC=3 2 ,AC 所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=450
∵平行四边形 ACQP 的面积为 12.
∴平行四边形 ACQP 中 AC 边上的高为
23
12 =2 2
过点 D 作 DK⊥AC 与 PQ 所在直线相交于点 K,DK= 2 2 ,∴DN=4
∵ACPQ,PQ 所在直线在直线 ACD 的两侧，可能各有一条，
∴PQ 的解析式或为 y=-x+3 或 y=-x-5
∴
2 2 3
3
y x x
y x
解得： 1
1
3
0
x
y
或 2
2
2
5
x
y
2 2 3
5
y x x
y x
，此方程组无解.
即 P1(3,0), P2(-2,5)
∵ACPQ 是平行四边形 ，A(-1,0) C(2,-3)
∴当 P(3,0)时，Q(6，-3)
当 P(-2,5)时，Q(1，2)
∴满足条件的 P,Q 点是 P1(3,0), Q1(6，-3)或 P2(-2,5)，Q2(1，2)
（1） 设 M(t,t2-2t-3),(-1＜t＜3),过点 M 作 y 轴的平行线，交 PQ 所在直线雨点 T,则
T(t,-t+3)
MT=(-t+3)-( t2-2t-3)=- t2+t+6
过点 M 作MS⊥PQ 所在直线于点 S，
MS=
2
2 MT=
2
2 (- t2+t+6)=-
2
2 (t-
2
1 )2+
8
225
∴当 t=
2
1 时，M（
2
1 ，-
4
15 ），⊿PQM 中 PQ 边上高的最大值为
8
225
y
x
10．（2011 浙江杭州，24， 12)图形既关于点 O 中心对称，又关于直线 AC，BD 对称，AC＝
10，BD＝6，已知点 E，M 是线段 AB 上的动点(不与端点重合)，点 O 到 EF，MN 的距离分
别为 1h ， 2h ．△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形．
(1)求蝶形面积 S 的最大值；
(2)当以 EH 为直径的圆与以 MQ 为直径的圆重合时，求 1h 与 2h 满足的关系式，并求 1h 的
取值范围．
【答案】(1) 如图，设 EF 与 AC 交于点 K，由△OEF∽△ABD，得 AK EF
AO BD
， 15
5 6
h EF ，
1
6 (5 )5EF h ， 1 1
1 1 62 2 (5 )2 2 5S OK EF h h ，整理得 2
1
6 5 15( )5 2 2S h ，当
1
5
2h 时，蝶形面积 S 的最大，最大值为 15
2
．
(2) 如图，设 MN 与 AC 交于点 L，由(1)得 1
6 (5 )5EF h ，则 1
3 (5 )5EK h ， 2
3 (5 )5ML h
L
K
S
E
R
O
A
B
M
由 OK2+EK2＝OE2，OL2+ML2＝OM2，得 OK2+EK2＝OL2+ML2，
2 2
2 2
1 1 2 2
3 3(5 ) (5 )5 5h h h h
，
整理得 1 2 1 2( ) 17( ) 45 0h h h h ，当点 E，M 不重合时， 1 2 0h h ， 1 2
45
17h h ．当 OE
⊥AB 时， 1
45
34h ，所以 1
450 17h
2）当点 ,E M 重合时，则 1 2h h ，此时 1h 的取值范围为 10 5h .
解法二：（1）由题意，得四边形 ABCD 是菱形.
由 //EF BD ，得 ABD AEF ， 15
6 5
hEF ，即 1
6 55EF h
2
1 1 1 1
6 6 5 152 55 5 2 2OEFS S EF h h h h
所以当 1
5
2h 时， max
15
2S .
（2）根据题意，得 OE OM .
如图，作OR AB 于 R ， OB 关于 OR 对称线段为OS ，
1）当点 ,E M 不重合时，则 ,OE OM 在OR 的两侧，易知 RE RM .
2 25 3 34AB ， 15
34
OR
2
2 15 93
34 34
BR
由 // //ML EK OB ，得 ,OK BE OL BM
OA AB OA AB
2OK OL BE BM BR
OA OA AB AB AB
，即 1 2 9
5 5 17
h h
1 2
45
17h h ，此时 1h 的取值范围为 1
450 17h 且 1
45
34h
2）当点 ,E M 重合时，则 1 2h h ，此时 1h 的取值范围为 10 5h .
11. (2011 浙江湖州，24，14)如图 1．已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、
y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点．P(0，m)是线段 OC 上一动点（C 点除外），直线 PM 交 AB 的
延长线于点 D．
(1) 求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
(2) 当△APD 是等腰三角形时，求 m 的值；
(3) 设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为
H（如图 2）．当点 P 从点 O 向点 C 运动时，点 H 也随之运动．请直接写出点 H 所经过 的
路径长．（不必写解答过程）
【答案】解：（1）由题意得 CM=BM，∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB，∴DB＝PC，∴
DB＝2－m，AD＝4－m，∴点 D 的坐标为（2，4－m）.
（2）分三种情况：①若 AP＝AD，则 2 24 (4 )m m ，解得 3
2m .
② 若 PD＝PA，过 P 作 PF⊥AB 于点 F（如图），则 AF＝FD, 1 1 (4 )2 2AF FD AD m ，
又 OP＝AF，∴ 1 (4 )2m m ，解得 4
3m ，
③ 若 DP＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴ 1 1 (4 )2 2PM PD m ，∵ 2 2 2PC CM PM ，∴
2 21(2 ) 1 (4 )4m m ， 解得 1 2
2 , 23m m （舍去）.
综上所述，当△APD 是等腰三角形时，过 m 的值为 3 4 2
2 3 3
或 或 .
（3）点 H 经过的路径长为 5
4
.
12. （2011 宁波市，26，10 分）如图．平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为（－2，2），
点 B 的坐标为（6，6），抛物线经过 A、O、B 三点，线段 AB 交 y 轴与点 E．
（1）求点 E 的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与 O、B 重合），直线 EF 与抛物线交与 M、N 两点（点
N 在 y 轴右侧），连结 ON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求 BON 的面积的最大值，并求
出此时点 N 的坐标；
（4）连结 AN，当 BON 的面积的最大时，在坐标平面内使得 BOP 与 OAN 相似（点 B、O、
N 对应）的点 P 的坐标．
【答案】26．解：（1）设直线 AB 的函数解析式为 y＝mx＋n
将点 A（－2，2），B（6，6）代入得：
－2m＋n＝2
6m＋n＝6
得 m＝1
2
，n＝3
∴y＝1
2
x＋3
当 x＝0 时 y＝3 ∴E(0，3)
设抛物线的函数解析式为 y＝ax＋bx
将 A（－2，2）B(6，6)代入得 4a－2b＝2
36a＋6b＝6解得 a＝1
4
，b＝－1
2
∴抛物线的解析式为 y＝1
4
x2－1
2
x
（3）
过点 N 做 x 轴的垂线 NG，垂足为 G，交 OB 于点 Q，过 B 作 BH⊥x 轴于 H，设 N(x， 1
4
x2－1
2
x)
则 Q（x，x）
则 S BON ＝ S BON ＋ S BON
＝1
2
×QN×OG＋1
2
×QN×HG
＝1
2
×QN×(OG＋HG)＝1
2
×QN×OH＝1
2
〔x－(1
4
x2－1
2
x) 〕×6＝－3
4
x2＋9
2
x＝－3
4
(x－3)2＋27
4
(0
＜x＜6)
∴当 x＝3 时， BON 面积最大，最大值为27
4
此时点 N 的坐标为（3， 3
4
）
（4）过点 A 作 AS⊥GQ 于 S
∵A(－2，2)，B(6，6)，N（3， 3
4
）
∴∠AOE＝∠OAS＝∠BOH＝45°，OG＝3，NG＝3
4
，NS＝5
4
，AS＝5
在 Rt SAN 和 Rt NOG 中
∴tan∠SAN＝ tan∠NOG＝1
4
∴∠SAN＝∠NOG
∴∠OAS－∠ASN＝∠BOG－∠NOG
∴∠OASN＝∠BON
∴ON 的延长线上存在一点 P，使 BOP～ OAN
∵A(－2，2)， N（3， 3
4
）
在 Rt ASN 中
AN＝ AS2+SN2＝5 17
4
当 BOP～ OAN 时 OB
OA
＝OP
AN
∴2 2
2 2
＝
OP
5 17
4
∴OP＝15 17
4
过点 P 作 PT⊥x 轴于点 T
∴ OPT～ ONG ∴PT
OT
＝NG
OG
＝1
4
设 P（4t，t）在在 Rt POT 中，有（4t）2＋t2＝(15 17
4
)2
∴t1＝15
4
，t2＝－15
4
（舍）
∴点 P 的坐标为（15，15
4
）
将 OBP 沿直线 OB 返折，可得出另一个满足条件的点 P (15
4
，15)，由以上推理可知，当点
P 的坐标为（15，15
4
）或(15
4
，15)时 BOP 与 OAN 相似．
13. （2011 浙江衢州，24,12 分）已知两直线 1 2l l、 分别经过点 1,0A ，点 3,0B ，并
且当两条直线同时相交于 y 轴正半轴的点C 时，恰好有 1 2l l ，经过点 A B C、 、 的抛物线
的对称轴于直线 1l 交于点 K ，如图所示.
求点C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式.
抛物线的对称轴被直线 1l ，抛物线，直线 2l 和 x 轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数
量关系？请说明理由.
当直线 2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M .请找出使 MCK 为等腰三角形的点
M .简述理由，并写出点 M 的坐标.
（第 24 题）
【答案】（1）解法 1：由题意易知
1, .3
3.
C 0 3
BOC COA
CO AO CO
BO CO CO
CO
即
点 的坐标是 ，
~
由题意，可设抛物线的函数解析式为 2 3y ax bx .
把 (1,0), ( 3,0)A B 的坐标分别代入 2 3y ax bx ，得
3 0
9 3 3 0.
a b
a b
解这个方程组，得
3
3
2 3.3
a
b
抛物线的函数解析式为 23 2 3 3.3 3y x x
解法 2：由勾股定理，得 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) .OC OB OC OA BC AC AB
又 3 1 4OB OA AB ， ，
3.
0, 3 .
OC
C
点 的坐标是
由题意可设抛物线的函数解析式为 1 3 .y a x x 把 C 0 3， 代入函数解析式得
3 .3a
所以抛物线的函数解析式为 3 1 3 .3y x x
（2）解法 1：截得三条线段的数量关系为 .KD DE EF
理由如下：
可求得直线 1l 的解析式为 3 3y x ，直线 2l 的解析式为 3 33y x ，抛物线的对
称轴为直线 1x .由此可求得点 K 的坐标为 1,2 3 ，点 D 的坐标为 4 31, 3
，点 E
的坐标为 2 31, 3
，点 F 的坐标为 1,0 .
2 3 2 3 2 3, ,3 3 3
.
KD DE EF
KD DE EF
，
解法 2：截得三条线段的数量关系为 .KD DE EF
理由如下：
由题意可知 Rt 30 60ABC ABC CAB 中， ， ，则可得
2 3tan30 = tan 60 =2 33EF BF KF AF ， .
由顶点 D 的坐标为
4 31, 3
得
4 3
3DF
,
2 3 .3KD DE EF
(3)解法 1：（i）以点 K 为圆心，线段 KC 长为半径画圆弧，交抛物线于点 1M ，由抛物线
的对称性可知点 1M 为点 C 关于直线 1x 的对称点.
所以点 1M 的坐标为 ( 2, 3) ，此时, 1M CK 为等腰三角形.
（ii）当以点C 为圆心，线段 KC 长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点 1M 和点 A ，而三
点 A C K、 、 在同一直线上，不能构成三角形.
（iii）作线段 KC 的中垂线l ，由点 D 是 KE 的中点，且 1 2l l ，可知l 经过点 D ，
.KD DC
此时，有点 2M 即点 D 坐标为 4 3( 1, )3
，使 2M CK 为等腰三角形.
l 与抛物线的另一交点即为 1M
综上所述，当点 M 的坐标为 4 3( 2, 3),( 1, )3
时， MCK 为等腰三角形
解法 2：当点 M 的坐标分别为
理由如下：
（i）链接 BK ，交抛物线于点G ，易知点G 的坐标为 ( 2, 3) .
又点C 的坐标为 (0, 3) ，则 / / .GC AB
可求得 4AB BK ，且 60ABK ，即 ABK 为正三角形.
CGK 为正三角形
当 2l 与抛物线交于点G ，即 2 / /l AB 时，符合题意，此时点 1M 的坐标为 ( 2, 3)
（ii）连接CD ，由 2 3 2 303KD CK CG CKD ， ， ，易知 KDC 为等腰三角
形
当 2l 过抛物线顶点于点 D 时，符合题意，此时点 2M 的坐标为 4 3( 1, )3
.
（iii）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点 M 与点 A 重合时，满足CM CK ，但此
时，三点 A C K、 、 在同一直线上，不能构成三角形.
综上所述，当点 M 的坐标分别为 4 3( 2, 3),( 1, )3
时， MCK 为等腰三角形.
14. (2011 浙江绍兴，24，14 分)抛物线 21 ( 1) 34y x 与 y 轴交于点 A ，顶点为 B ，
对称轴 BC 与 x 轴交于点C .
（1）如图 1，求点 A 的坐标及线段OC 的长；
（2）点 P 在抛物线上，直线 / /PQ BC 交 x 轴于点Q ，连接 BQ .
①若含 45°角的直线三角板如图 2 所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点 D 在 BQ
上，另一顶点 E 在 PQ 上，求直线 BQ 的函数解析式；
②若含 30°角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点
E 在 PQ 上，求点 P 的坐标.
【答案】解：（1）把 0x 代入 21 ( 1) 34y x 得 11
4y ，
点 11(0, )4A ，
BC 为对称轴， (1,3)B ，
1OC .
（2）①如图 1，过点 D 作 DM x 轴，交 x 轴于点 M ，
过点 D 作 DN PQ ，交 PQ 于点 N ，
/ /PQ BC
90DMQ DNQ MDN
四边形 MDNQ 为矩形，
90 ,
,
,
,
,
CDE MDN
CDM EDN
DC DE
DCM DEN
DM DN
四边形 MDNQ 为正方形，
45DQC ，
BCQ 为等腰直角三角形，
3
4
CQ BC
OQ
，
，
设直线 BQ 的函数解析式为 y kx b ，
第 24 题图 1 第 24 题图 2
直线上两点的坐标为 (1,3), (4,0)B Q ，
代入求得 1, 4k b ，
直线 BQ 的函数解析式为 4y x .
② 当 点
P D DM x x M D DN PQ PQ N ( ,0)Q m
90
,
Rt Rt , ,
, ,
/ / , ,
3
1,
CDM MDE EDN MDE
CDM EDN
CD DMCDM EDN DE DN
CD DMDN MQ DE MQ
DM BCPQ BC MQ CQ
CD
DE m
，
15. （2011 浙江台州，24,14 分）已知抛物线 nmxay 2)( 与 y 轴交于点 A，它的顶
点为 B，点 A、B 关于原点 O 的对称点分别是点 C、D。若点 A、B、C、D 中任何三点都不在一
直线上，则称四边形 ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线 AB 为抛物线的伴随直线。
（1）如图 1，求抛物线 1)2( 2 xy 的伴随直线的解析式；
（2）如图 2，若 nmxay 2)( （m>0）的伴随直线是 y=x－3，伴随四边形的面积为
12，求此抛物线的解析式；
（3）如图 3，若抛物线 nmxay 2)( 的伴随直线是 y=－2x+b（b>0），且伴随四边
形 ABCD 是矩形。
① 用含 b 的代数式表示 m,n 的值；
② 在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直
接写出点 P 的坐标（用含 b 的代数式）；若不存在，请说明理由。
【答案】解：(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1)
∴
12
5
bk
b ∴k=-2 ,b=5
∴直线 AB 的解析式为 y=-2x+5
(2) 由伴随直线是 y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3) ∴ AC=6
由伴随四边形的面积为 12，得：△ABC 的面积为 6= mAC
2
1
∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2
当 m=2 时，y=-1，顶点为（2，-1）， 且过点 C（0，3）
∴抛物线的解析式为 y= 1)2(2
1 2 x 。
(3) ① 如图，作 BE⊥x 轴，
由题意，得：
A（0,b）,C (0,-b)
∵抛物线的顶点 B（m,n）在 y=－2x+b（b>0）上，
∴n=-2m+b B(m, -2m+b)
在矩形 ABCD 中，OC=OB
∴OC2=OB2
即： 222 )b-2m( mb
∴m(5m-4b)=0
∴m1=0(舍去)，m2= b5
4
∴n=-2m+b= b5
3
∴ bm 5
4 , bn 5
3 ；
② 存在，有 4 个点：( b5
4 ， b5
7 ),( b5
4 ， b5
9 ),( b5
4 ， b15
16 ),( b5
4 ，
b5
13 )
16. （2011 浙江义乌，24，12 分）已知二次函数的图象经过 A（2，0）、C(0，12) 两点，
且对称轴为直线 x=4. 设顶点为
点 P，与 x 轴的另一交点为点 B.
（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；
（2）如图 1，在直线 y=2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出
点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒 2 个单位长度的
速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN∥x 轴，交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线
MN 对折，得到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分
的面积为 S，运动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式.
O
P
C
BA x
y
图 1 图 2
M
O
A
x
P
N
C
B
y
【答案】（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c
由题意得
024
12
42
cba
c
a
b
解得
12
8
1
c
b
a
∴二次函数的解析式为 y= x2－8x+12
点 P 的坐标为（4，－4）
（2）存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形. 理由如下：
DO
xAO B
C
P
y
当 y=0 时，x2-8x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6
∴点 B 的坐标为（6，0）
设直线 BP 的解析式为 y=kx+m
则
44
06
mk
mk 解得
12
2
m
k
∴直线 BP 的解析式为 y=2x－12
∴直线 OD∥BP
∵顶点坐标 P（4， －4） ∴ OP=4 2
设 D(x，2x) 则 BD2=（2x）2+(6－x)2
当 BD=OP 时，（2x）2+(6－x)2=32
解得：x1=
5
2 ，x 2=2
当 x2=2 时，OD=BP= 52 ，四边形 OPBD 为平行四边形，舍去
∴当 x=
5
2 时四边形 OPBD 为等腰梯形
∴当 D(
5
2 ，
5
4 )时，四边形 OPBD 为等腰梯形
（3）① 当 0＜t≤2 时，
xP1
M
AO B
C
P
N
y
H
∵运动速度为每秒 2 个单位长度，运动时间为 t 秒，
则 MP= 2 t ∴PH=t，MH=t，HN=
2
1 t ∴MN=
2
3 t
∴S=
2
3 t·t·
2
1 =
4
3 t2
② 当 2＜t＜4 时，P1G=2t－4，P1H=t
x
P1
M
A
O B
C
P
N
G
H
E F
y
∵MN∥OB ∴ EFP1 ∽ MNP1
∴ 2
1
1 )(
1
1
HP
GP
S
S
MNP
EFP
∴ 2
2
)42(
4
3
1
t
t
t
S EFP
∴ EFPS 1 =3t2－12t+12
∴S=
4
3 t2－(3t2－12t+12)= －
4
9 t2+12t－12
∴ 当 0＜t≤2 时，S=
4
3 t2
当 2＜t＜4 时，S=－
4
9 t2+12t－12 。
17. （2011 四川重庆，26，12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝2 3，点 O 是 AB 的中
点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP＝3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的
速度沿 OA 匀速动动，到达 A 点后，立即以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，
以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速动动，点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止
运动．在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线
PA 的同侧，设动动的时间为 t 秒(t≥0)．
(1)当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值；
(2)在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S
与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；
(3)设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使△AOH 是等腰三
角形？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时(如图)，∠CFB＝60°，BF＝3－t，在 Rt
△CBF 中，BC＝2 3，∴tan∠CFB＝BC
BF
，∴tan 60°=2 3
BF
，∴BF＝2，∴t＝3－t ＝
2，∴t＝1．
(2)当 0≤t＜1 时，S= 2 3 t＋4 3；当 1≤t＜3 时，S= 3
2
t 2+3 3 t＋7 3
2
；当 3
≤t＜4 时，S= －4 3 t＋20 3；当 4≤t＜6 时，S= 3 t2－12 3 t＋36 3．
(3)存在，理由如下：
在 Rt△ABC 中，tan∠CAB＝BC
AB
= 3
3
，∴∠CAB=30°．
又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°．
∴AE=HE=3－t 或 t－3．
（ⅰ）当 AH=AO=3 时（如图②），过点 E 作 EM⊥AH 于 M，则 AM=1
2
AH=3
2
．
在 Rt△AME 中，cos∠MAE＝AM
AE
，即 cos 30°=
3
2
AE
，∴AE= 3，
即 3－t= 3或 t－3= 3，t=3－ 3或 3＋ 3．
（ⅱ）当 HA=HO 时（如图③），则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°．
∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3，∴AE＋2AE=3．
∴AE=1．即 3－t=1 或 t－3=1，t=2 或 4．
（ⅲ）当 OH=OA 时（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB．∴点 E 和 O 重合，∴AE=3．
即 3－t=3 或 t－3=3，t=6（舍去）或 t=0．
综上所述，存在 5 个这样的值，使△AOH 是等腰三角形，即： t=3－ 3或 t=3＋ 3或
t=2 或 t=4 或 t=0．
18. （2011 浙江省嘉兴，24，14 分）已知直线 3 kxy （ k ＜0）分别交 x 轴、 y 轴于 A、
B 两点，线段 OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P
作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，设运动时间为 t 秒．
（1）当 1k 时，线段 OA 上另有一动点 Q 由点 A 向点 O 运动，它与点 P 以相同速度同
时出发，当点 P 到达点 A 时两点同时停止运动（如图 1）．
① 直接写出 t ＝1 秒时 C、Q 两点的坐标；
② 若以 Q、C、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求 t 的值．
（2）当
4
3k 时，设以 C 为顶点的抛物线 nmxy 2)( 与直线 AB 的另一交点为 D（如
图 2），
① 求 CD 的长；
② 设△COD 的 OC 边上的高为 h ，当 t 为何值时， h 的值最大？
B
AO P
C
x
y
1
1
D
（第 24 题图 2）（第 24 题图 1）
B
AO
P
C
Q x
y
1
1
【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，∴点 P 与点 Q 重合，OQ=OP，即 3－t=t，∴t=1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB 是等腰直角
三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即 t =2（－t ＋3），∴t=2．∴
满足条件的 t 的值是 1.5 秒或 2 秒．
(2) ① 由 题 意 得 ： C(t ， － 3
4 t ＋ 3) ， ∴ 以 C 为 顶 点 的 抛 物 线 解 析 式 是
2 3( ) 34y x t t ，
由 2 3 3( ) 3 34 4x t t x ，解得 x1=t，x2=t 3
4
；过点 D 作 DE⊥CP 于点 E，则∠
DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴ DE CD
AO BA
，
∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－ 3
4
）= 3
4
．∴CD=
3 5 154
4 16
DE BA
AO
．
②∵CD=15
16
，CD 边上的高= 3 4 12
5 5
．∴S△COD= 1 15 12 9
2 16 5 8
．∴S△COD 为定值；
要使 OC 边上的高 h 的值最大，只要 OC 最短．
因为当 OC⊥AB 时 OC 最短，此时 OC 的长为12
5
，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP
＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴ OP OC
BO BA
，OP=
12 3 365
5 25
OC BO
BA
，即 t= 36
25
，∴当 t 为 36
25
秒时，h 的值最大．
19. （2011 福建泉州，25，12 分）在直角坐标系 xoy 中，已知点 P 是反比例函数
）＞0(32 xxy 图象上一个动点，以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切，设切点为 A．
（1）如图 1，⊙P 运动到与 x 轴相切，设切点为 K，试判断四边形 OKPA 的形状，并说明理
由．
（2）如图 2，⊙P 运动到与 x 轴相交，设交点为 B，C．当四边形 ABCP 是菱形时：
①求出点 A，B，C 的坐标．
②在过 A，B，C 三点的抛物线上是否存在点 M，使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的
2
1 ．若
存在，试求出所有满足条件的 M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
【答案】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，
∴ PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四边形 OKPA 是矩形．
又∵OA=OK，
∴四边形 OKPA 是正方形．……………………2 分
（2）①连接 PB，设点 P 的横坐标为 x，则其纵坐标为
x
32 ．
过点 P 作 PG⊥BC 于 G．
∵四边形 ABCP 为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC 为等边三角形．
在 Rt△PBG 中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=
x
32 ．
A P 2 3y x
x
y
KO
第 25 题 图 1
O
A P 2 3y x
x
y
B C
图 2
G
M
sin∠PBG=
PB
PG ，即
2 3
3
2
x
x
．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴ PG= 3 ，PA=BC=2．……………………4 分
易知四边形 OGPA 是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0， 3 ），B（1，0） C（3，0）．……………………6 分
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．
据题意得：
0
9 3 0
3
a b c
a b c
c
解之得：a= 3
3
， b= 4 3
3
， c= 3 ．
∴二次函数关系式为： 23 4 3 33 3y x x ．……………………9 分
②解法一：设直线 BP 的解析式为：y=ux+v，据题意得：
0
2 3
u v
u v
解之得：u= 3 ， v= 3 3 ．
∴直线 BP 的解析式为： 3 3 3y x ．
过点 A 作直线 AM∥PB，则可得直线 AM 的解析式为： 3 3y x ．
解方程组：
2
3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
得： 1
1
0
3
x
y
； 2
2
7
8 3
x
y
．
过点 C 作直线 CM∥PB，则可设直线 CM 的解析式为： 3y x t ．
∴0=3 3 t ．
∴ 3 3t ．
∴直线 CM 的解析式为： 3 3 3y x ．
解方程组：
2
3 3 3
3 4 3 33 3
y x
y x x
得： 1
1
3
0
x
y
； 2
2
4
3
x
y
．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
解法二：∵ 1
2PAB PBC PABCS S S ，
∴A（0， 3 ），C（3，0）显然满足条件．
延长 AP 交抛物线于点 M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ 1
2PBM PBA PABCS S S ．
∴点 M 的纵坐标为 3 ．
又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4．
∴点 M（4， 3 ）符合要求．
点（7，8 3 ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
解法三：延长 AP 交抛物线于点 M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴ 1
2PBM PBA PABCS S S ．
∴点 M 的纵坐标为 3 ．
即 23 4 3 3 33 3x x ．
解得： 1 0x （舍）， 2 4x ．
∴点 M 的坐标为（4， 3 ）．
点（7，8 3 ）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0， 3 ），（3，0），（4， 3 ），（7，8 3 ）．…………………12 分
20．（2011 福建泉州，26，14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点
A， 与 y 轴交于点 B， 且 OA = 3，AB = 5．点 P 从点 O 出发沿 OA 以每秒 1 个单位长的速度
向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AO 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1
个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点
D，交折线 QB－BO－OP 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随
之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 之间的函数关系式（不必写出 t
的取值范围）；
（3）在点 E 从 B 向 O 运动的过程中，完成下面问题： （第 26 题）
①四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，请求出 t 的值；
若不能，请说明理由；
②当 DE 经过点 O 时，请你直接写出 t 的值．
【答案】解：解：（1）在 Rt△AOB 中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得 2 2 4OB AB OA .
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线 AB 的解析式为 y kx b= .
∴
3 0,
4.
k b
b
解得
4 ,3
4.
k
b
∴直线 AB 的解析式为 4 43y x = - ．…………2 分
（2）如图，过点 Q 作 QF⊥AO 于点 F.
∵ AQ = OP= t，∴ 3AP t ．
由△AQF∽△ABO，得 QF AQ
BO AB
．
∴
4 5
QF t ．∴ 4
5QF t ． …………2 分
∴ 1 4(3 )2 5S t t ，
∴ 22 6
5 5S t t ．………………………4 分
（3）四边形 QBED 能成为直角梯形．
①如图，当 DE∥QB 时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABO，得 AQ AP
AO AB
.
∴ 3
3 5
t t ．
解得 9
8t ． ……………………………6 分
②如图，当 PQ∥BO 时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形 QBED 是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABO，得 .AQ AP
AB AO
即 3
5 3
t t ．
解得 15
8t ． ………………………10 分
（4）
5
2t
或
45
14t
． ………………………14 分
21. （2011 湖南常德，26，10 分）如图 11，已知抛物线过点 A（0，6），B（2，0），C（7，
5
2
）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC 的交点，F 与 E 关于 D 对称，求
证：∠CFE=∠AFE；
（3）在 y 轴上是否存在这样的点 P，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点
P 的坐标；若没有，请说明理由.
解：（1）抛物线经过点 A（0，6），B（2，0），C（7，
5
2
）的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，
则：
6
4 2 0
549 7 2
c
a b c
a b c
解得 1 , 4, 6.2a b c
∴ 此抛物线的解析式为 21 4 62y x x
（2）过点 A 作 AM∥x 轴，交 FC 于点 M，交对称轴于
点 N.
∵ 抛 物 线 的 解 析 式 21 4 62y x x 可 变 形 为
21 4 22y x
∴抛物线对称轴是直线 x =4，顶点 D 的坐标为（4，－2）.则 AN=4.
设直线 AC 的解析式为 1 1y k x b ,
则有
1
1 1
6
57 2
b
k b
，解得 1 1
1 , 62k b .
∴ 直线 AC 的解析式为 1 6.2y x
O
A
B
E
图 11
D
F
C
y
x
N
M
当 x=4 时， 1 4 6 4.2y
∴点 E 的坐标为（4，4），
∵点 F 与 E 关于点 D 对称，则点 F 的坐标为（4，－8）
设直线 FC 的解析式为 2 2y k x b ,
则有
2 2
2 2
4 8
57 2
k b
k b
，解得 2 2
7 , 222k b .
∴ 直线 AC 的解析式为 7 22.2y x
∵AM 与 x 轴平行，则点 M 的纵坐标为 6.
当 y=6 时，则有 7 22 6,2 x 解得 x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又 NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
（3）∵C 的坐标为（7， 5
2
），F 坐标为（4，－8）
∴
2
25 3 538 7 42 2CF
∵又 A 的坐标为（0，6），则 2 26 8 4 2 53FA ，
又 DF=6，
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
则 1P A AF
DF CF
,即 1 2 53
6 3 53
2
P A ,解得 P1A=8.
∴O P1=8－6=2
∴P1 的坐标为（0，－2）.
若△AFP2∽△FDC
则 2P A AF
CF DF
,即 2 2 53
63 53
2
P A ,解得 P2A= 53
2
.
∴O P2= 53
2
－6= 41
2
.
∴P2 的坐标为（0，－ 41
2
）.
所以符合条件的点 P 的坐标不两个，分别是 P1（0，－2），P2（0，－ 41
2
）.
22. （2011 湖南邵阳，24，12 分）如图（十一）所示，在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点
A（ 9
4
，0），点 C（0,3）点 B 是 x 轴上一点（位于点 A 右侧），以 AB 为直径的圆恰好经过
点 C。
（1）求角 ACB 的度数；
（2）已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A，B 两点，求抛物线的解析式；
（3）线段 BC 上是否存在点 D，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点
D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）90°；
（2）Rt△ABC 中，∵OA×OB=OC 2，
∴OB=4.
抛物线为 y=a（x-4）（x+ 9
4
）= ax2+bx+3，
比较常数项得 a= 1
3
，抛物线的方程为 y= 1
3
（x-4）
（x+ 9
4
）。
（1） 存在。
直线 BC 的方程为 3x+4y=12，设点 D（x，y）。
①若 BD=OD，则点 D 在 OB 的中垂线上，点 D 横坐标
为 2，纵坐标为 3
2
，即 D1（2， 3
2
）为所求。
②若 OB=BD=4，则 y BD
CO BC
， x CD
BO BC
，
得 y= 12
5
，x= 4
5
，点 D2（ 4
5
， 12
5
）为所求。
23. （2011 江苏苏州，29,10 分）已知二次函数 y=a（x2-6x+8）（a>0）的图象与 x 轴分别交
于点 A、B，与 y 轴交于点 C.点 D 是抛物线的顶点.
（1）如图①，连接 AC，将△OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 O′恰好落在该抛物线的
对称轴上，求实数 a 的值；
（2）如图②，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4,4）、（4,3），边 HG 位于边 EF
的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，
则四条线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段
不能构成平行四边形）.”若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？
请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 t 是大于 3 的常数，试问：是
否存在一个正数 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即
这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由.
【答案】解：（1）令 y=0，由 a（x2-6x+8）=0 解得 x1=2，x2=4；
令 x=0，解得 y=8a.
∴点 A、B、C 的坐标分别是（2,0）、（4,0）、（0,8a），
该抛物线对称轴为直线 x=3.
∴OA=2，
如图①，设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 M，则 AM=1.
由题意得 O′A=OA=2.
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°.
∴∠OAC=∠ O′AC=60°.
∴OC= 3 ·AO=2 3 ，即 8a=2 3 ，∴a=
4
3 .
（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，结果同样成立.
（I）如图②，设 P 是边 EF 上的任意一点（不与点 E 重合），连接 PM.
∵点 E（4,4）、F（4,3）与点 B（4,0）在一直线上，点 C 在 y 轴上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.
又 PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形.
（II）设 P 是边 FG 上的任意一点（不与点 G 重合），
点 F 的坐标是（4,3）点 G 的坐标是（5,3）.
∴FB=3，GB= 10 ，∴3≤PB＜ 10 ，
∵PC≥4，∴PC＞PB.
又 PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形.
（3）存在一个正数 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等
（即这四条线段能够成平行四边形）.
如图③，∵点 A、B 是抛物线与 x 轴交点，点 P 在抛物线对称轴上，
∴PA=PB.
∴当 PC=PD 时，线段 PA、PB、PC、PD 能构成平行四边形.
∵点 C 的坐标是（0,8a），点 D 的坐标为（3，-a），点 P 的坐标是（3，t），
∴PC2=32+（t-8a）2，PD2=（t+a）2，
由 PC=PD 得 PC2=PD2，∴32+（t-8a）2=（t+a）2，
整理得 7a2-2ta+1=0，∴△=4t2-28.
∵t 是大于 3 的常数，∴△=4t2-28＞0，
∴方程 7a2-2ta+1=0 有两个不相等的实数根 a=
14
2842 2 tt =
7
72 tt ，
显然，a=
7
72 tt ＞0，满足题意.
∴当 t 是一个大于 3 的常数时，存在一个正数 a=
7
72 tt ，使得线段 PA、PB、PC、PD
能构成平行四边形.
24. （2011 江苏宿迁,27,12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q
为边 CD 上一动点，设 DQ＝t（0≤t≤2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N，
过 Q 作 QE⊥AB 于点 E，过 M 作 MF⊥BC 于点 F．
（1）当 t≠1 时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接 P、M、Q、N，设四边形 P MQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函
数关系式，并求 S 的最小值．
Q
P
N
M
F
E
D
C
B
A
（第 27 题）
【答案】
解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB
∵QE⊥AB，MF⊥BC
∴∠AEQ＝∠MFB＝90°
∴四边形 ABFM、AEQD 都是矩形
∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP＝∠FMN
又∵∠QEP＝∠MFN＝90°
∴△PEQ≌△NFM．
（2）∵点 P 是边 AB 的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t
∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2
由勾股定理，得 PQ＝ 22 PEQE ＝ 4)1( 2 t
∵△PEQ≌△NFM
∴MN＝PQ＝ 4)1( 2 t
又∵PQ⊥MN
∴S＝ MNPQ
2
1 ＝ 4)1(2
1 2 t ＝
2
1 t2－t＋
2
5
∵0≤t≤2
∴当 t＝1 时，S 最小值＝2．
综上：S＝
2
1 t2－t＋
2
5 ，S 的最小值为 2．
25. （2011 山东济宁，23，10 分）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A，
作直径 AD，过点 D 作⊙C 的切线 l 交 x 轴于点 B，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析
式为： 3y kx ．
(1)设点 P 的纵坐标为 p，写出 p 随 k 变化的函数关系式；
（2）设⊙C 与 PA 交于点 M，与 AB 交于点 N，则不论动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外）
的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点 P 处于图中位置时的两个三角形相似给予证
明；
（3）是否存在使△AMN 的面积等于 32
35
的 k 倍？若存在，请求出符合条件的 k 值；若不
存在，请说明理由．
A
B
C D
M P
l
N
O 第 23 题
【答案】解：（1）∵y 轴和直线 l 都是⊙C 的切线，
∴OA⊥AD，BD⊥AD，又 OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB= 90°，
∴四边形 OADB 是矩形，
∵⊙C 的半径为 2，∴AD=OB，
∵点 P 在直线 l 上，∴点 P 的坐标为（4，p）
又∵点 P 也在直线 AP 上，∴p=4k＋3．
(2)连接 DN，∵AD 是⊙C 的直径，∴∠AND= 90°，
∵∠ADN= 90°—∠DAN，∠ABD= 90°—∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
∵∠ADN=∠AMN，∴∠AMN=∠ABD，
又∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP．
(3)存在．
理由：把 x=0 代入 y=kx＋3 得 y=3，即 OA=BD=3，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 2 2 2 24 3 5AB AD BD ，
∵S△ABD= 1 1
2 2AB DN AD DB ，
∴ 4 3 12
5 5
AD DBDN AB
，
∴ 2 2 2 2 212 2564 ( )5 25AN AD DN ，
∵△AMN∽△ABP．
∴ 2( )AMN
ABP
S AN
S AP
，
即
2
2
2( ) ABP
AMN ABP
AN SANS SAP AP
，
当点 P 在 B 点上方时，
∵ 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 (4 3 3) 16( 1)AP AD PD AD PB BD k k ， 或
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 (3 4 3) 16( 1)AP AD PD AD BD PB k k
1 1 (4 3) 4 2(4 3)2 2ABPS PB AD k k ，
∴
2
2 2 2
256 2(4 3) 32(4 3) 32
25 16( 1) 25( 1) 25
ABP
AMN
AN S k kS AP k k
．
整理得 2 4 2 0k k ，解得 1 2 6k ， 2 2 6k ，
当点 P 在 B 点下方时，
∵ 2 2 2 2 2 24 (3 4 3) 16( 1)AP AD PD k k ，
1 1 (4 3) 4 2(4 3)2 2ABPS PB AD k k ，
∴
2
2 2
256 2(4 3) 32
25 16( 1) 25
ABP
AMN
AN S kS AP k
，
化简，得 2 1 (4 3)k k ，解得 2k ，
综合以上所述得，当 2 6k 或 2k 时，△AMN 的面积等于 32
35
．
26. （2011 广东汕头，22，9 分）如图，抛物线 25 17 14 4y x x 与 y 轴交于点 A，过点
A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C（3，0）.
（1）求直线 AB 的函数关系式；
（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作⊥x 轴，
交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长为 s 个单位，求 s 与 t
的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 G 重合的情况），连接 CM，BN，当 t 为何值
时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN是否为菱形？说明
理由.
【解】（1）把 x=0 代入 25 17 14 4y x x ，得 1y
把 x=3 代入 25 17 14 4y x x ，得 5
2y ，
∴A、B 两点的坐标分别（0，1）、（3， 5
2
）
设直线 AB 的解析式为 y kx b ，代入 A、B 的坐标，得
1
53 2
b
k b
，解得
1
1
2
b
k
所以， 1 12y x
（2）把 x=t 分别代入到 1 12y x 和 25 17 14 4y x x
分别得到点 M、N 的纵坐标为 1 12 t 和 25 17 14 4t t
∴MN= 25 17 14 4t t -（ 1 12 t ）= 25 15
4 4t t
即 25 15
4 4s t t
∵点 P 在线段 OC 上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形 BCMN 中，∵BC∥MN
∴当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形
由 25 15 5
4 4 2t t ，得 1 21, 2t t
即当 1 2t 或 时，四边形 BCMN 为平行四边形
当 1t 时，PC=2，PM= 3
2
，PN=4，由勾股定理求得 CM=BN= 5
2
,
此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形 BCMN 为菱形；
当 2t 时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得 CM= 5 ,
此时 BC≠CM，平行四边形 BCMN 不是菱形；
所以，当 1t 时，平行四边形 BCMN 为菱形．
27. （2011 四川成都，28,12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的 A、B 两个顶
点在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上．已知 : 1:5OA OB ， OB OC ，△ABC 的面
积 15ABCS ，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a
经过 A、B、C 三点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于
另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形 EFGH．则
在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
(3)在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M，使△MBC 中 BC 边上的高为 7 2 ？若存在，
求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）设 xOA ，则 xOCOB 5 ，
S△ABC=
2
1 （ OBOA ）× OC = xx 562
1 = 215x =15，
∴ 1x （负值不合题意，已经舍去），根据抛物线与坐标轴交
点的位置，可知 A、B、C 三点的坐标分别是（-1，0）、（5，0）、
（0，-5），代入抛物线 cbxaxy 2 ，列方程组为：
5
0525
0
c
cba
cba
，解得： 1a ， 4b ， 5c ，∴抛物
线的解析式为： 542 xxy ．
（2）如图所示：E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，
设该点的横坐标是 m ，抛物线的对称轴为 2x ，根据轴对称
图 形 的 性 质 可 知 ， 对 应 点 F 的 横 坐 标 是 m4 ，
EF= 42)4( mmm ，若 E 在 x 轴上面，则对应的函数值
是正数，若 E 在 x 轴下面，则对应的函数值是负数，若矩形 EFGH
为 正 方 形 时 ， 则 EF=GH=FG=EH ， ∴ 5442 2 mmm ， 当
5442 2 mmm 时，解得： 103 m （其中 103 不合
题意，已经舍去），则 EF= 4)103(2 = 102 ，正方形的边长
为 102 ；当 )54(42 2 mmm ，解得： 101m （其
中 101 不合题意，已经舍去），则 EF= 4)101(2 = 2102 ，
正方形的边长为 2102 .
（3）如图所示，根据已经容易求出 BC= 25 ，若要使△MBC 中 BC 边
上的高为 7 2 ，必须使 S△MBC= 27252
1 =35.
设点 M 的横坐标为 n ，那么根据抛物线的解析式 542 xxy ，可知 M
的坐标为 )54,( 2 nnn ，若点 M 在 x 轴的上面，则 0542 nn ，
过 M 作 MN⊥ y 轴，垂足为 N，那么 S△MBC =S 梯形 MNOB+S△OBC-S△MNC ，∴
35)554(2
1
2
25)54)(5(2
1 22 nnnnnn ，
化简得： 01452 nn ，解得 2n 或 7n ，所以若 M 在 x 轴上面，满足题意的有两
点，分别为（-2，7）、（7，16）；
若 M 在 x 轴下面，则 0542 nn ，过 M 作 MN⊥ y 轴，那么垂足为 N，那么 S△MBC =S 梯形 MNOB-S
△OBC-S△MNC ，∴ 35)554(2
1
2
25)54)(5(2
1 22 nnnnnn ，
化简得： 01442 nn ，△= 040 ，∴所以方程在实数范围无根，所以在 x 轴下面
没有满足题意的 M 点.
28. （2011 四川内江，加试 7，12 分）如图，抛物线 21
3y x mx n 与 x 轴交于 A、B 两
点，与 y 轴交于点 C（0，－1），且对釉轴 x=1．
(1)求出抛物线的解析式及 A、B 两点的坐标；
(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 D，使四边形 ABDC 的面积为 3．若存在，求出点
D 的坐标；若不存在，说明理由(使用图 1)；
(3)点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，
请求出所有满足条件的点 P 的坐标(使用图 2)．
x=1
A BO
C
x
y
x=1
A BO
C
x
y
图 1 图 2
【答案】（1）由 112 3
m
得 2
3m ，又 1n
所以抛物线的解析式为 21 2 13 3y x x
由 21 2 1 03 3x x 得 x=－1 或 x=3
所以 A（－1，0），B（3，0）
（2）假设存在符合条件的点 D，设 D（x， 21 2 13 3x x ）
作 DE⊥x 轴于点 E，则 OE=x，DE= 21 2 13 3x x ，BE=3－x，得
2 21 1 1 2 1 1 21 1 (1 1) ( 1)(3 ) 32 2 3 3 2 3 3x x x x x x
化简得， 2 3 2 0x x 解得 x=1 或 x=2
故存在符合条件的点 D，为 D（1， 4
3
）或 D（2，－1）
x=1
A BO
C
x
y
x=1
A BO
C
x
y
D
E
P
P
Q
（3）当 PQ 平行等于 AB 时，PQ=4，当 P 在 y 轴右侧时，P 的横坐标为 4，当 P 在 y
轴左侧时，P 的横坐标为－4
当 PQ 与 AB 互相平分时，PQ 过 AB 的中点（1，0），可得 P 的横坐标为 2
故 P 的坐标为（4， 5
3
）或（－4，7）或（2，－1）
29.（2011 安徽芜湖，24，14 分）平面直角坐标系中， ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标
分别为 (0,3) 、 ( 1,0) ，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转90 ，得到 A B OC .
（1）若抛物线过点 , ,C A A ,求此抛物线的解析式;
（2）求 ABOC 和 A B OC 重叠部分 OC D△ 的周长;
（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M 在何处时△ AMA 的面积最大？最
大面积是多少？并求出此时点 M 的坐标.
【答案】
解: （1）∵ A B OC 由 ABOC 旋转得到，且点 A 的坐标为 (0,3) ，
∴点 A的坐标为 (3,0) . ……………………………………1 分
所以抛物线过点 ( 1,0), (0,3), (3,0)C A A .设抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ，
可得
0
3
9 3 0
a b c
c
a b c
解得
1
2
3
a
b
c
……………………4 分
∴ 过点 , ,C A A 的抛物线的解析式为 2 2 3y x x . ……………………5 分
（2）因为 AB CO∥ ，所以 90OAB AOC .
所以 OB 2 2OA AB 2 21 3 10 .又 OC D OCA B ,
C OD BOA , ∴ △C OD ∽△ BOA . 又 1OC OC .………………7 分
∴ 1
10
C OD OC
BOA OB
△ 的周长
△ 的周长 . 又△ ABO 的周长为 4 10 ，
所以△C OD 的周长为 4+ 10 2 10=1+ 510
.………………9 分
（3）［解法 1］连接OM ，设 M 点的坐标为 ,m n ，
因为点 M 在抛物线上，所以 2 2 3n m m ，………10 分
所以 '' 'AMA AMO AOAOMAS S S S △ △ △△
' '1 1 1
2 2 2OA m OA n OA OA 3 9 3 32 2 2m n m n
2
23 3 3 273 .2 2 2 8m m m
……………12 分
因为 0< <3m ，所以当 3
2m 时， 15
4n . △ AMA 的面积有最大值 27 .8
…………13 分
所以当点 M 的坐标为 3 15( , )2 4
时，△ AMA 的面积有最大值，且最大值为 27 .8
…14 分
[解法 2]设直线 AA 的解析式为 y kx l ，∵点 ,A A 的坐标分别为
(0,3),(3,0) ，∴ 3,
3 0.
l
k l
解得 1,
3.
k
l
∴ 3y x .…10 分
将直线 AA 向右平移，当直线与抛物线只有一个交点 M 时与 y 轴交于
点 P，此时 AMAS △ 最大，设平移后的直线的解析式为： y x h ，
则有：
2 2 3,
.
y x x
y x h
得 2 3 ( 3+ ) 0x x h ，
令 9 4( 3 ) 0h ，得 21
4h .
∴
2 2 3,
21.4
y x x
y x
.解得
3 ,2
15.4
x
y
∴点 M 坐标为 3 15( , )2 4
,点 P 的
坐标为 21(0, )4
.…12 分
因为 MP∥ AA ,所以△ MAA 与△ PAA同底等高，它们面积相等.
故 1 21 1 273 3 32 4 2 8AMA PAA POA AOAS S S S △ △ △ △ .
所以当点 M 的坐标为 3 15( , )2 4
时，△ AMA 的面积有最大值，且最大值为 27 .8
……14 分
30.（2011 山东潍坊，24，12 分）如图，y 关于 x 的二次函数 3 ( )( 3 )3y x m x mm
图
象的顶点为 M，图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴正半轴于 D 点.以 AB 为直径做圆，圆
心为 C，定点 E 的坐标为（－3,0），连接 ED.（m＞0）
（1）写出 A、B、D 三点的坐标；
（2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上？判定此时直线 ED 与圆的位置关系；
（3）当 m 变化时，用 m 表示△AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m
的函数图象的示意图.
【解】（1） ,0A m ， 3 ,0B m ， 0, 3D m .
（2）设直线 ED 的解析式为 y kx b ，将 3,0 、 0, 3D m 代入，得
3 0,
3 .
k b
b m
解得
3 ,3
3 .
k m
b m
∴直线 ED 的解析式为 3 33y mx m .
∵ 23 3 4 3( )( 3 )3 3 3y x m x m x m mm m
，
∴顶点 M 的坐标为 4 3, 3m m
.
把 4 3, 3m m
代入 3 33y mx m ，得 2m m .
∵ 0m ，∴ 1m .
∴当 1m 时，点 M 在直线 DE 上.
连接 CD，C 为 AB 中点，C 点坐标为 ,0C m .
∵ 3, 1OD OC ，∴CD=2，点 D 在圆上.
又∵OE=3， 2 2 2 12DE OD OE ， 2 16EC ， 2 4CD .
∴ 2 2 2CD DE EC .
∴∠EDC=90°，
∴直线 ED 与⊙C 相切.
（3）当 0 3m 时， 1 3 32 2AEDS AE OD m m ，即 23 3 3
2 2S m m .
当 3m 时， 1 3 32 2AEDS AE OD m m ，即 23 3 3
2 2S m m .
图象示意图如图中的实线部分.
12. （2011 广东中山，22,9 分）如图，抛物线 25 17 14 4y x x 与 y 轴交于点 A，过点 A
的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C（3，0）.
（1）求直线 AB 的函数关系式；
（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作⊥x 轴，
交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长为 s 个单位，求 s 与 t
的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 G 重合的情况），连接 CM，BN，当 t 为何值
时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明
理由.
【解】（1）把 x=0 代入 25 17 14 4y x x ，得 1y
把 x=3 代入 25 17 14 4y x x ，得 5
2y ，
∴A、B 两点的坐标分别（0，1）、（3， 5
2
）
设直线 AB 的解析式为 y kx b ，代入 A、B 的坐标，得
1
53 2
b
k b
，解得
1
1
2
b
k
所以， 1 12y x
（2）把 x=t 分别代入到 1 12y x 和 25 17 14 4y x x
分别得到点 M、N 的纵坐标为 1 12 t 和 25 17 14 4t t
∴MN= 25 17 14 4t t -（ 1 12 t ）= 25 15
4 4t t
即 25 15
4 4s t t
∵点 P 在线段 OC 上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形 BCMN 中，∵BC∥MN
∴当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形
由 25 15 5
4 4 2t t ，得 1 21, 2t t
即当 1 2t 或 时，四边形 BCMN 为平行四边形
当 1t 时，PC=2，PM= 3
2
，由勾股定理求得 CM= 5
2
,
此时 BC=CM，平行四边形 BCMN 为菱形；
当 2t 时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得 CM= 5 ,
此时 BC≠CM，平行四边形 BCMN 不是菱形；
所以，当 1t 时，平行四边形 BCMN 为菱形．
3. （2011 四川成都，20,10 分） 如图，已知线段 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段
AD 上一动点.
(1)若 BK= 5
2
KC，求
AB
CD 的值；
(2)连接 BE，若 BE 平分∠ABC，则当 AE= 1
2
AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎
样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当 AE= 1
n
AD ( 2n )，而其余条件不
变时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK= 5
2
KC，∴
AB
CD =
BK
CK =
5
2 .
（2）如图所示，分别过 C、D 作 BE∥CF∥DG 分别交于 AB 的延长线于 F、G 三点，
∵BE∥DG，点 E 是 AD 的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形 CDGF 是平行四边形，
∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.
当 AE= 1
n
AD ( 2n )时，（ 1n ）AB=BC+CD.
2010 全国各地中考数学真题分类汇编第 44 章 动态问题
一、选择题
1．（2010 重庆市潼南县）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，四边形 EFGH 是边长为
2 的正方形，点 D 与点 F 重合，点 B，D（F），H 在同一条直线上，将正方形 ABCD 沿 F→H
方向平移至点 B 与点 H 重合时停止，设点 D、F 之间的距离为 x，正方形 ABCD 与正方形
EFGH 重叠部分的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）
【答案】B
2．（2010 江苏宿迁）如图，在矩形 ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板 MPN 的直角顶点
P 在 BC 边上移动时，直角边 MP 始终经过点 A，设直角三角板的另一直角边 PN 与 CD 相交
于点 Q．BP=x，CQ=y，那么 y 与 x 之间的函数图象大致是
【答案】D
3．（2010 福建德化）已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点( A 、
C 除外)，作 ABPE 于点 E ，作 BCPF 于点 F ，设正方形 ABCD 的边长为 x ，矩形
PEBF 的周长为 y ，在下列图象中，大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）.
P
D
A B
C
E
F
x
y
O
4
63
A
x
y
O
2.25
63
D
x
y
O 3 6
4
C
2.25
x
y
O 63
B
M
Q
D
CB P
N
A
(第 8 题)
G
H
E
(F)
E
A
B
C
D
题图10
A
B
C
D
G
HF
A
x
y
2 22 230
1
x
B
y
2 22 230
1
x
y
2 22 230
1
C
x
y
2 22 230
1
D
【答案】A
4．（2010 四川南充）如图，直线 l1∥l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B．点 M 和点 N
分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移．⊙O 的半径为 1，∠1＝60°．下列结论错误．．的
是（ ）．
（A） 4 3
3MN
（B）若 MN 与⊙O 相切，则 3AM
（C）若∠MON＝90°，则 MN 与⊙O 相切
（D）l1 和 l2 的距离为 2
【答案】B
5．（2010 山东济南）如图，在 ABC△ 中， 2AB AC ， 20BAC ．动点 P Q， 分
别在直线 BC 上运动，且始终保持 100PAQ ．设 BP x ，CQ y ，则 y 与
x 之间的函数关系用图象大致可以表示为 （ ）
【答案】A
6．（2010 湖北鄂州）如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A、C 分别在 x 轴，y
轴的正半轴上， 点Ｄ在 OA 上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P 是 OB 上的一个动点，试求 PD+PA
和的最小值是（ ）
A． 102 B． 10 C．4 D．6
【答案】A
7．（2010 湖北宜昌）如图,在圆心角为 90°的扇形 MNK 中，动点 P 从点 M 出发，沿 MN ⌒NK KM
Ａ
Ｐ
ＢＣ
Ｑyx
y
xO
Ａ．
y
xO
Ｂ．
y
xO
Ｃ．
y
xO
Ｄ．
l1
l2
A
B
M
N
O
（第 10 题）
1
x
y
0
A
x
y
0
D
x
y
0
B
y
x0
C
运动，最后回到点 M 的位置。设点 P 运动的路程为 x，P 与 M 两点之间的距离为 y，其图象
可能是（ ）。
【答案】B
二、填空题
1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线 y1＝2x2 向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2 的图象，则
y2= ▲ ；
（2）如图，P 是抛物线 y2 对称轴上的一个动点，直线 x＝t 平行于 y
轴，分别与直线 y＝x、抛物线 y2 交于点 A、B．若△ABP 是以点 A 或点 B 为直角顶点的等腰
直角三角形，求满足条件的 t 的值，则 t＝ ▲ ．
【答案】（1）2(x－2)2 或 22 8 8x x （2）3、1、 5 5
2
、 5 5
2
2．（2010 浙江金华）如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F，O 分别是 AB，CD，AD 的中点，
以 O 为圆心，以 OE 为半径画弧 EF.P 是 上的一个动点，连
结 OP，并延长 OP 交线段 BC 于点 K，过点 P 作⊙O
的切线，分别交射线 AB 于点 M，交直线 BC 于点 G.
若 3
BM
BG ，则 BK﹦ ▲ .
【答案】
3
1 ,
3
5
3．（2010 江西）如图所示，半圆 AB 平移到半圆 CD 的位置时所扫过的面积为 ．
A O D
B
F
K
E
( 第 16 题
图)
G
M
C
K
P
y
x
y x
2y
O
·
（14 题）
【答案】6
4．（2010 四川成都）如图，在 ABC 中， 90B ， 12mmAB ， 24mmBC ，
动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm /s 的速度移动（不与点 B 重合），动点Q 从点 B 开
始沿边 BC 向 C 以 4mm /s 的速度移动（不与点 C 重合）．如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时
出发，那么
经过_____________秒，四边形 APQC 的面积最小．
【答案】3
5．（2010 四川成都）如图， ABC 内接于⊙O， 90 ,B AB BC ，D 是⊙O 上与点
B 关于圆心O 成中心对称的点， P 是 BC 边上一点，连结 AD DC AP、 、 ．已知 8AB ，
2CP ，Q 是线段 AP 上一动点，连结 BQ 并延长交四边形 ABCD 的一边于点 R ，且满足
AP BR ，则
BQ
QR
的值为_______________．
【答案】1 和12
13
6．（2010 广西柳州）如图 8，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，F 是弦 BC 的
中点，∠ABC=60°．若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点
出发沿着 A→B→A 方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)，
连结 EF，当 t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．
【答案】1 或 1.75 或 2.25
三、解答题
1．(2010 江苏苏州) (本题满分 9 分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角
三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠
E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边 DE 与△ABC
的斜边 AC 重合在一起，并将△DEF 沿 AC 方向移动．在移动过程中，D、E 两点始终在
AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)．
(1)在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐 ▲ ．
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行?
问题②：当△DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为
三边长的三角形是直角三角形?
问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，
求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．
【答案】
F
E OA
C
B
2．（2010 广东广州，25，14 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，
0），（0，1），点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 y ＝－ 1
2 x
＋b 交折线 OAB 于点 E．
（1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与b 的函数关系式；
（2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试
探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部
分的面积；若改变，请说明理由.
【答案】（1）由题意得 B（3，1）．
若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝ 3
2
若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝ 5
2
若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1
①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ 3
2
，如图 25-a，
此时 E（2b，0）
∴S＝ 1
2
OE·CO＝ 1
2
×2b×1＝b
②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 3
2
＜b＜ 5
2
，如图 2
此时 E（3， 3
2b ），D（2b－2，1）
∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[ 1
2
(2b－1)×1＋ 1
2
×(5－2b)·( 5
2 b )＋ 1
2
×3( 3
2b )]＝ 25
2 b b
图 2
图 1
C D B
AEO x
y
∴
2
31 2
5 3 5
2 2 2
b b
S
b b b
（2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC
的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形 DNEM 为菱形．
过点 D 作 DH⊥OA，垂足为 H，
由题易知，tan∠DEN＝ 1
2
，DH＝1，∴HE＝2，
设菱形 DNEM 的边长为 a，
则在 Rt△DHM 中，由勾股定理知： 2 2 2(2 ) 1a a ，∴ 5
4a
∴S 四边形 DNEM＝NE·DH＝ 5
4
∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5
4
．
3．（2010 甘肃兰州）（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、
AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 cbxxy 2
经过坐标原点 O 和 x
轴上另一点 E（4,0）
（1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时
间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.
① 当 4
11t
时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；
② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的
坐标；若无可能，请说明理由．
图 3
图 1 图 2
【答案】解：（1）因抛物线 cbxxy 2
经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0）
故可得 c=0,b=4
所以抛物线的解析式为 xxy 42 …………………………………………1 分
由 xxy 42 22 4y x
得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分
（2）① 点 P 不在直线 ME 上.
已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，
设直线 ME 的关系式为 y=kx+b.
于是得
42
04
bk
bk
，解得
8
2
b
k
所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分
由已知条件易得，当 4
11t
时，OA=AP= 4
11
，
)4
11,4
11(P
…………………4 分
∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8.
∴ 当 4
11t
时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分
②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5
∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7 分
（ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形
的高为 AD，∴ S= 2
1
DC·AD= 2
1
×3×2=3.
（ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S= 2
1
(CD+PN)·AD= 2
1
[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分
当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分
而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5
综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5，
当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分
当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分
说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）
也可以,不扣分）
4．（2010 山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ， 1 ）的抛物线交 y 轴于 A
点，交 x 轴于 B ，C 两点（点 B 在点C 的左侧）. 已知 A 点坐标为（ 0 ，3 ）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相
切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C 两点之间，问：当点 P 运动到
什么位置时， PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积.
【答案】
（1）解：设抛物线为 2( 4) 1y a x .
∵抛物线经过点 A （0，3），∴ 23 (0 4) 1a .∴ 1
4a .
∴抛物线为 2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x . ……………………………3 分
(2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4 分
证明：当 21 ( 4) 1 04 x 时， 1 2x ， 2 6x .
∴ B 为（2，0），C 为（6，0）.∴ 2 23 2 13AB .
设⊙C 与 BD 相切于点 E ，连接CE ，则 90BEC AOB .
∵ 90ABD ，∴ 90CBE ABO .
又∵ 90BAO ABO ，∴ BAO CBE .∴ AOB ∽ BEC .
∴ CE BC
OB AB
.∴ 6 2
2 13
CE .∴ 8 2
13
CE .…………………………6 分
∵抛物线的对称轴l 为 4x ，∴C 点到l 的距离为 2.
A
x
y
BO C
D
(第 23 题)
∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7 分
(3) 解：如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点Q .
可求出 AC 的解析式为 1 32y x .…………………………………………8分
设 P 点的坐标为（ m ， 21 2 34 m m ），则Q 点的坐标为（ m ， 1 32 m ）.
∴ 2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m .
∵ 2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m ,
∴当 3m 时， PAC 的面积最大为 27
4
.
此时，P 点的坐标为（3， 3
4
）. …………………………………………10 分
5．（2010 山东烟台）（本题满分 14 分）
如图，△ABC 中 AB=AC,BC=6,点 D 位 BC 中点，连接 AD，AD=4,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分
线，CE⊥AN，垂足为 E。
（1）试判断四边形 ADCE 的形状并说明理由。
（2）将四边形 ADCE 沿 CB 以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，设移动时间为 t（0≤t≤6）
秒，平移后的四边形 A’D’C’E’与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式，
并写出相应的 t 的取值范围。
A
x
y
BO C
D
(第 23 题)
E
P
Q
【答案】
6．（2010 浙江嘉兴）如图，已知抛物线 42
1 2 xxy 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于
点 B．
（1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式；
（2）设 ),( yxP （ 0x ）是直线 xy 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角
线作正方形 PEQF．若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解
析式，并探究 S 的最大值．
【答案】（1）令 0y ，得 042
1 2 xx ，即 0822 xx ，
解得 21 x ， 42 x ，所以 )0,4(A ．令 0x ，得 4y ，所以 )4,0(B ．
设直线 AB 的解析式为 bkxy ，则
4
04
b
bk ，解得
4
1
b
k ，
所以直线 AB 的解析式为 4 xy ． …5 分
（2）当点 ),( xxP 在直线 AB 上时， 4 xx ，解得 2x ，
当点 )2,2( xxQ 在直线 AB 上时， 422
xx ，解得 4x ．
所以，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，则 42 x ． …4 分
（3）当点 )2,( xxE 在直线 AB 上时，（此时点 F 也在直线 AB 上）
42
xx ，解得
3
8x ．
①当
3
82 x 时，直线 AB 分别与 PE、PF 有交点，设交点分别为 C、D，
此时， 42)4( xxxPC ，
又 PCPD ，
所以 22 )2(22
1 xPCS PCD ，
从而， 22 )2(24
1 xxS
884
7 2 xx
7
8)7
16(4
7 2 x ．
因为
3
8
7
162 ，所以当
7
16x 时，
7
8
max S ．
②当 43
8 x 时，直线 AB 分别与 QE、QF 有交点，设交点分别为 M、N，
此时， 42)42( xxxQN ，
O A
B
P
EQ
F
x
y
（第 24 题）
B
y
P
EQ
F
M
N
O A
B
P
EQ
F
x
y
（第 24 题）
C
D
又 QNQM ，
所以 22 )4(2
1
2
1 xQNS QMN ，
即 2)4(2
1 xS ．
其中当
3
8x 时，
9
8
max S ．
综合①②得，当
7
16x 时，
7
8
max S ． …5 分
7．（2010 嵊州市提前招生）（14 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC
放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2），点 C（－1，0），如图所示：抛物线
2
32 2 axaxy 经过点 B。
（1）写出点 B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若三角板 ABC 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度向 x 轴正方向平移，求点 A 落
在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。
（4）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角
三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）B（－3，1）
（2）
2
3
6
1
3
1 2 xxy
（3）略
（4）P（1，－1）
8．（2010 浙江省温州市）(本题 l4 分)如图，在 RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过
点 B 作射线 BBl∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时
动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点
E 作 EF 上 AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连结 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒．
(1)当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；
(2)当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值；
(3)以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A′C′．
①当 t>
5
3 时，连结 C′C，设四边形 ACC′A ′的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；
②当线段 A ′C ′与射线 BB，有公共点时， 求 t 的 取
值范围(写出答案即可)．
【答案】
9．（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点 P，Q 都是斜边 AB
上的动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ．点 D，E 分
别是点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB 于 Q，交 AC 于点 H．当点 E 到达顶点
A 时，P，Q 同时停止运动．设 BP 的长为 x，△HDE 的面积为 y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；
（3）当 x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？
【答案】
（1）∵A、D 关于点 Q 成中心对称，HQ⊥AB，
∴ CHQD =90°，HD=HA，
∴ AHDQ ，
∴△DHQ∽△ABC．
（第 24 题）
H
（图 1） （图 2）
（2）①如图 1，当 5.20 x 时，
ED= x410 ，QH= xAAQ 4
3tan ，
此时 xxxxy 4
15
2
3
4
3)410(2
1 2 ．
当
4
5x 时，最大值
32
75y ．
②如图 2，当 55.2 x 时，
ED= 104 x ，QH= xAAQ 4
3tan ，
此时 xxxxy 4
15
2
3
4
3)104(2
1 2 ．
当 5x 时，最大值
4
75y ．
∴y 与 x 之间的函数解析式为
).55.2(4
15
2
3
),5.20(4
15
2
3
2
2
xxx
xxx
y
y 的最大值是
4
75 ．
（3）①如图 1，当 5.20 x 时，
若 DE=DH，∵DH=AH= xA
QA
4
5
cos
， DE= x410 ，
∴ x410 = x4
5 ，
21
40x ．
显然 ED=EH，HD=HE 不可能；
②如图 2，当 55.2 x 时，
若 DE=DH， 104 x = x4
5 ，
11
40x ；
若 HD=HE，此时点 D，E 分别与点 B，A 重合， 5x ；
若 ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴
AD
DH
DH
ED ，
x
x
x
x
2
4
5
4
5
104 ，
103
320x ．
∴当 x 的值为
103
320,5,11
40,21
40 时，△HDE 是等腰三角形.
（其他解法相应给分）
10．（2010 浙江义乌）如图 1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任
意一点（点 P 与点 B 不重合），连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ，连
结 QE 并延长交射线 BC 于点 F.
（1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC= ▲ °；
（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；
（3）已知线段 AB= 32 ，设 BP= x ，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x 的函数关系式．
A
B
E
Q
PF C
A
E
Q
【答案】
解:
（1） EBF 30°
QFC = 60
不妨设 BP＞ 3AB , 如图 1 所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF 180 180 90 60 30AEQ AEB
∴ QFC = EBF BEF 30 30 60°
(事实上当 BP≤ 3AB 时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不
扣分）
(3)在图 1 中，过点 F 作 FG⊥BE 于点 G
∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB= 32 ，由（1）得 EBF 30°
在 Rt △ BGF 中 ， 32
BEBG ∴ BF= 2cos30
BG
∴ EF=2
∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= x ∴QF=QE＋EF 2x
过点 Q 作 QH⊥BC，垂足为 H
在 Rt△QHF 中， 3sin 60 ( 2)2y QH QF x （x＞0）
即 y 关于 x 的函数关系式是：
3 32y x
图 1
A
CB
E
Q
F P
图 2
A
B
E
Q
PF C
H
11．（2010 浙江义乌）如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6，
3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；
（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别
交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1
的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含 S 的代数式表示 2x － 1x ，并求出当 S=36 时点 A1 的
坐标；
（3）在图 1 中，设点 D 坐标为（1，3），动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿
着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动．P、Q 两点同
时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动．设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否
存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、 x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的
对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）对称轴：直线 1x
解析式： 21 1
8 4y x x 或 21 1( 1)8 8y x
顶点坐标：M（1， 1
8
）
（2）由题意得 2 1 3y y
2 2
2 1 2 2 1 1
1 1 1 1
8 4 8 4y y x x x x 3
得： 2 1 2 1
1 1( )[ ( ) ] 38 4x x x x ①
1 2
1 2
2( 1 1) 3( ) 62
x xs x x
得： 1 2 23
sx x ②
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