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- 2021-05-10 发布
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25.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
C
D
B
A
E
O
【分析】(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;
(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.
图1
【答案】(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,
图2
此时E(2b,0)
∴S=OE·CO=×2b×1=b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2
此时E(3,),D(2b-2,1)
图3
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )
= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=
∴
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,
设菱形DNEM 的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴
∴S四边形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.
【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.
【推荐指数】★★★★★
(10浙江嘉兴)24.如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;
(2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.
(10重庆潼南)26.(12分)如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
(10重庆潼南)26. 解:(1)∵二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,-1)
∴
解得: b=- c=-1-------------------2分
∴二次函数的解析式为 --------3分
(2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2)
∴ OD=m ∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得, --------------4分
∴
∴DE=-----------------------------------5分
∴△CDE的面积=××m
==
当m=1时,△CDE的面积最大
∴点D的坐标为(1,0)--------------------------8分
(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为
设y=0则 解得:x1=2 x2=-1
∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1)
设直线BC的解析式为:y=kx+b
∴ 解得:k=-1 b=-1
∴直线BC的解析式为: y=-x-1
在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得:AC=
∵点B(-1,0) 点C(0,-1)
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时,
设P(k, -k-1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中
k2+k2= 解得k1=, k2=-
∴P1(,-) P2(-,)---10分
②以A为顶点,即AC=AP=
设P(k, -k-1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣
在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2
(2-k)2+(-k-1)2=5
解得:k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, -2) ----------------------------------11分
③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1|
在Rt△PLA中
(k)2=(k-2)2+(k+1)2
解得:k=∴P4(,-) ------------------------12分
综上所述: 存在四个点:P1(,-)
P2(-,) P3(1, -2) P4(,-)
(10四川宜宾)24.(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当
△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最
大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
24题图
(10浙江宁波)26、如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G。
(1)求的度数;
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;
y
x
C
D
A
O
B
E
G
F
(图1)
x
C
D
A
O
B
E
G
H
F
y
(图2)
x
C
D
A
O
B
E
y
(图3)
②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标。
25、解:(1)
(2)(2,)
(3)①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
x
C
D
A
O
B
E
y
(图3)
M
∴
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时,设,
∴
解:
∴点F的坐标为(,0)
当点H在点G的左侧时,设,
∴
解:,(舍)
∵△DEG≌△AEF
∴
∵
∴点F的坐标为(,0)
综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)
(10江苏南通)28.(本小题满分14分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与 x轴平行,O为坐标原点.
(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当
△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.
-1
y
x
O
(第28题)
1
2
3
4
-2
-4
-3
3
-1
-2
-3
-4
4
1
2
(10浙江义乌)24.如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
C
B
A
O
y
x
图1
D
M
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
(10浙江义乌)24.解:(1)对称轴:直线……………………………………………………..… 1分
解析式:或……………………………….2分
顶点坐标:M(1,)……….…………………………………………..3分
(2)由题意得
3……………………………………..1分
得:①…………….………………….……2分
得: ②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得:(S>0) (事实上,更确切为S>6)4分
当时, 解得:(注:S>0或S>6不写不扣
分) 把代入抛物线解析式得 ∴点A1(6,3)………5分
(3)存在………………………………………………………………….…..……1分
解法一:易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的
交点E的坐标为
C
B
A
O
y
x
图1-1
D
M
E
P
Q
F
G
∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ= t
当∥时,
得 ………2分
下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
①当时,如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA=∠FEQ
∴∠DPQ=∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴
∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分
C
B
A
O
y
x
图1-2
D
M
E
F
P
Q
G
② 当时,如图1-2
∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG=∠FQE
∵∠DQP=∠FQE ∠FAG=∠EBD
∴∠DQP=∠DBE 易得△DPQ∽△DEB
∴
∴, ∴
∴当秒时,使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
(注:未求出能得到正确答案不扣分)
解法二:可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得
, ,
∴ , .
(10安徽省卷)23.如图,已知△ABC∽△,相似比为(),且△ABC的三边长分别为、、(),△的三边长分别为、、。
⑴若,求证:;
⑵若,试给出符合条件的一对△ABC和△,使得、、和、、进都是正整数,并加以说明;
⑶若,,是否存在△ABC和△使得?请说明理由。
26.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
26.解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为 …(1分)
∴
∴ ……………………………………………………………(3分)
∴所求函数关系式为: …………(4分)
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………(5分)
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). …………(6分)
当时,
当时,
∴点C和点D在所求抛物线上. …………………………(7分)
(3)设直线CD对应的函数关系式为,则
解得:.
∴ ………(9分)
∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,
∴N点的横坐标也为t.
则, ,……………………(10分)
∴
∵, ∴当时,,
此时点M的坐标为(,). ………………………………(12分)
24. (本小题满分12分)
(第24题)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =+1,
点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物
线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点
P(t,0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标;
(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.
24. (本小题满分12分)
(第24题)
(1) ∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB = OC = 4,
∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,
∴ A,B的横坐标分别是2和– 2,
代入y =+1得, A(2, 2 ),B(– 2,2),
∴M (0,2), ---2分
(2) ① 过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H, 则HQ = y ,HP = x–t ,
由△HQP∽△OMC,得:, 即: t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y = +1上, ∴ t = –+ x –2. ---2分
当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t = – 4,解得x = 1±,
当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x = ± 2
∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分
② 分两种情况讨论:
1)当CM > PQ时,则点P在线段OC上,
∵ CM∥PQ,CM = 2PQ ,
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2(+1),解得x = 0 ,
∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分
2)当CM < PQ时,则点P在OC的延长线上,
∵CM∥PQ,CM = PQ,
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´2,解得: x = ±. ---2分
当x = –时,得t = –––2 = –8 –,
当x =时, 得t =–8. ---2分
24.(本题l4分)如图,在RtAABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BBl∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF上AC交射线BB1于F,G是EF中点,连结DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;
(3)以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′.
①当t>时,连结C′C,设四边形ACC′A ′的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②当线段A ′C ′与射线BB,有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).
28.(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
① 当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.
图1 第28题图 图2
28. (本题满分11分)
解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
由
得当x=2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
(2)① 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ,解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当时,点P不在直线ME上. ……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,
∴ OA=AP=t.
∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分
∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
…………………………………………………………………………………7分
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC·AD=×3×2=3.
(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD,AD⊥CD,
∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分
当-t 2+3 t+3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,
当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分
当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分
说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)
28.(本题满分12分)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.
A
x
y
O
B
1
-2
1
A
x
y
O
B
P
M
C
Q
E
D
28.解:(1)当a = 0时,y = x+1,图象与x轴只有一个公共点………(1分)
当a≠0时,△=1- 4a=0,a = ,此时,图象与x轴只有一个公共点.
∴函数的解析式为:y=x+1 或`y=x2+x+1……(3分)
(2)设P为二次函数图象上的一点,过点P作PC⊥x
轴于点C.
∵是二次函数,由(1)知该函数关系式为:
y=x2+x+1,则顶点为B(-2,0),图象与y轴的交点
坐标为A(0,1)………(4分)
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴,故PC=2BC,……………………………………………………(5分)
设P点的坐标为(x,y),∵∠ABO是锐角,∠PBA是直角,∴∠PBO是钝角,∴x<-2
∴BC=-2-x,PC=-4-2x,即y=-4-2x, P点的坐标为(x,-4-2x)
∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上,∴-4-2x=x2+x+1…………………(6分)
解之得:x1=-2,x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10,∴P点的坐标为:(-10,16)…………………………………(7分)
(3)点M不在抛物线上……………………………………………(8分)
由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点,连接CM,CM与直线PB的交点为Q,过点M作x轴的垂线,垂足为D,取CD的中点E,连接QE,则CM⊥PB,且CQ=MQ
∴QE∥MD,QE=MD,QE⊥CE
∵CM⊥PB,QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
CE=2QE=2×2BE=4BE,又CB=8,故BE=,QE=
∴Q点的坐标为(-,)
可求得M点的坐标为(,)…………………………………………………(11分)
∵=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………(12分)
(其它解法,仿此得分)
(10浙江台州)(第24题)
H
24.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P
为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.
(1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
24.(14分)(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,
∴=90°,HD=HA,
∴,…………………………………………………………………………3分
(图1)
(图2)
∴△DHQ∽△ABC. ……………………………………………………………………1分
(2)①如图1,当时,
ED=,QH=,
此时. …………………………………………3分
当时,最大值.
②如图2,当时,
ED=,QH=,
此时. …………………………………………2分
当时,最大值.
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是.……………………………………………………………………1分
(3)①如图1,当时,
若DE=DH,∵DH=AH=, DE=,
∴=,.
显然ED=EH,HD=HE不可能; ……………………………………………………1分
②如图2,当时,
若DE=DH,=,; …………………………………………1分
若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,; ………………………1分
若ED=EH,则△EDH∽△HDA,
∴,,. ……………………………………1分
∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.
(其他解法相应给分)
(10浙江金华)24. (本题12分)
如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为
(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,
BA上运动的
面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开
始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,
AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线
AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为
菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;
B
F
A
P
E
O
x
y
(第24题图)
若不存在,请说明理由.
24.(本题12分)
B
F
A
P
E
O
x
y
G
P′
P′
(图1)
解:(1);………4分 (2)(0,),;……4分(各2分)
(3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)
∵,,∠∠90°
∴△≌△,∴﹒
又∵,∠60°,∴
而,∴,
B
F
A
P
E
O
x
y
M
P′
H
(图2)
由得 ;………………………………………………………………1分
当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;
当点P在线段上时,
过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)
∵,∴,∴
∴, 又∵
在Rt△中,
即,解得.…………………………………………………1分
B
F
A
P
E
O
x
Q′
B′
Q
C
C1
D1
(图3)
y
②存在﹒理由如下:
∵,∴,,
将△绕点顺时针方向旋转90°,得到
△(如图3)
∵⊥,∴点在直线上,
C点坐标为(,-1)
过作∥,交于点Q,
则△∽△
由,可得Q的坐标为(-,)………………………1分
根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件.……1分
(10山东烟台)26、(本题满分14分)
如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(10江苏泰州)27.(12分)
(10江苏泰州)28.(14分)如图,⊙O是O为圆心,半径为的圆,直线交坐标轴于A、B两点。
(1)若OA=OB
①求k
②若b=4,点P为直线AB上一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别这C、D,若∠CPD=90°,求点P的坐标;
(2)若,且直线分⊙O的圆周为1:2两部分,求b.
(10江苏淮安)28.(本小题满分12分)
如题28(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周.
(1)点C坐标是( , ),当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( , );
(2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时,S最大;
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如题28(b)图,若点E与点D同时
出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A.O为对应顶点的情况):
题28(a)图 题28(b)图
(10江苏扬州)28.(本题满分12分)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
(10湖南衡阳)23.(11分)已知:等边三角形的边长为4厘米,长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时,点与点重合,点到达点时运动终止),过点分别作边的垂线,与的其它边交于两点,线段运动的时间为秒.
(1)线段在运动的过程中,为何值时,四边形恰为矩形?并求出该矩形的面积;
(2)线段在运动的过程中,四边形的面积为,运动的时间为.求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
C
P
Q
B
A
M
N
C
P
Q
B
A
M
N
C
P
Q
B
A
M
N
(10江苏苏州)29.(本题满分9分)如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B.已知A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设M(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P,PA2+PB2+PM2>28是
否总成立?请说明理由.
1. 已知:抛物线,顶点,与轴交于A、B两点,。
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于点F,依次连接A、D、B、E,点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作于,于,请判断是否为定值;若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;
(3) 在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作,分别与边、相交于、,(与、不重合,与、不重合),请判断是否成立;若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由。
第26题图
A
B
x
G
F
M
H
E
N
Q
O
D
C
y
(10云南楚雄)24、(本小题13分)已知:如图,⊙A与轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),
⊙A的半径为,过点C作⊙A的切线交于点B(-4,0)。
(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使得△AEF是直角三角形?若存在,求出点A 的坐标,若不存在,请说明理由。
(10上海)25.如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
(3)若,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
(10辽宁丹东)26.如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S
是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.
第26题图
26.(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分
∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,
∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分
(写错一个点的坐标扣1分)
O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
-8
(-6,-4)
x
y
(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,
∵抛物线过点A(0,4),
∴.则抛物线关系式为. 4分
将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得
5分
解得 6分
所求抛物线关系式为:. 7分
(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分
∴
OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA
( 0<<4) 10分
∵. ∴当时,S的取最小值.
又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分
(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG. 14分
(10湖南益阳)20.如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;
(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.
20.解:⑴ 由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则,
解得
∴抛物线的解析式为 ……………………………4分
⑵ 的坐标为 ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
由
求得交点的坐标为 ……………………………8分
⑶ 连结交于,的坐标为
又∵,
∴,且
∴四边形是菱形 ……………………………12分
(10江苏连云港)28.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为.函数y=-x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P为AB上一动点
(1)连接CO,求证:CO⊥AB;
(2)若△POA是等腰三角形,求点P的坐标;
(3)当直线PO与⊙C相切时,求∠POA的度数;当直线PO与⊙C相交时,设交点为E、F,点M为线段EF的中点,令PO=t,MO=s,求s与t之间的函数关系,并写出t的取值范围.
AD
BAD
x
P
O
·
·
CFEBAD
y
(10江苏宿迁)28.(本题满分12分)已知抛物线交轴于、,交轴于点,其顶点为.
(1)求、的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接,过点作直线交抛物线的对称轴于点.求证:四边形是等腰梯形;
(第28题)
(第28题2)
(3)问Q抛物线上是否存在点,使得△OBQ的面积等于四边形的面积的?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
28、(1)求出:,,抛物线的对称轴为:x=2 ………………3分
(2) 抛物线的解析式为,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE
∵OBC是等腰直角三角形,DFB也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2),
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中,
OD= ,BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在, ………………8分
由题意得: ………………9分
设点Q坐标为(x,y),
由题意得:=
∴
当y=1时,即,∴ , ,
∴Q点坐标为(2+,1)或(2-,1) ………………11分
当y=-1时,即, ∴x=2,
∴Q点坐标为(2,-1)
综上所述,抛物线上存在三点Q(2+,1),Q (2-,1) ,Q(2,-1)
使得=. ………………12分
E
F
Q1
Q3
Q2
(10江苏南京)28.(8分)如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG。
(1)设AE=时,△EGF的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)P是MG的中点,请直接写出点P的运动路线的长。
(10山东青岛)24.(本小题满分12分)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
A
D
B
C
F
(
E
)
图(1)
A
D
B
C
F
E
图(2)
P
Q
A
B
C
图(3)
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.(图(3)供同学们做题使用)
(用圆珠笔或钢笔画图)
解:(1)
(2)
(3)
24.(本小题满分12分)
解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知:CE = t,BP =2 t,
∴CQ = t.
∴AQ = 8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .
则AP = 10-2 t.
∴10-2 t = 8-t.
解得:t = 2.
答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
图(2)
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
(2)过P作,交BE于M,
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中,,
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.
∴y = S△ABC-S△BPE =-= -
= = .
∵,∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时,y最小=.
答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2. 8分
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作,交AC于N,
C
E
A
D
B
F
图(3)
P
Q
N
∴.
∵,∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴,.
∵NQ = AQ-AN,
∴NQ = 8-t-() = .
∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得:t = 1.
答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
(10山东威海)25.(12分)
(1)探究新知:
A
B
D
C
M
N
图 ①
①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.
求证:△ABM与△ABN的面积相等.
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.
(2)结论应用:
如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由.
﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚
A
图 ③
C
D
B
O
x
y
A
备用图
C
D
B
O
x
y
25.(本小题满分12分)
﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F.
A
B
D
C
M
N
图 ①
E
F
∵ AD∥BC,AD=BC,
∴ 四边形ABCD为平行四边形.
∴ AB∥CD.
∴ ME= NF.
∵S△ABM=,S△ABN=,
∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分
②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.
H
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
K
则∠DHA=∠EKB=90°.
∵ AD∥BE,
∴ ∠DAH=∠EBK.
∵ AD=BE,
∴ △DAH≌△EBK.
∴ DH=EK. ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF,
∴S△ABM=,S△ABG=,
∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分
解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.
∴ 该抛物线的表达式为,即. ………………………5分
∴ D点坐标为(0,3).
设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.
∴ 直线AD的表达式为.
过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为.
∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为.
过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为,EF∥CG.
A
图 ③-1
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等.
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,
则PF=,EF=.
∴ EP=EF-PF==.
∴ .
解得,. ……………………………7分
当时,PF=3-2=1,EF=1+2=3.
∴ E点坐标为(2,3).
同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚,
则. ……………………………………………9分
∴.解得,. ………………………………10分
当时,E点的纵坐标为;
当时,E点的纵坐标为.
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;. ………………12分
﹙其他解法可酌情处理﹚
A
图③-3
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
A
图③-2
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
(10四川巴中)31.如图12已知△ABC中,∠ACB=90°以AB 所在直线为x 轴,过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系.此时,A 点坐标为(一1 , 0), B 点坐标为(4,0 )
(1)试求点C 的坐标
(2)若抛物线过△ABC的三个顶点,求抛物线的解析式.
(3)点D( 1,m )在抛物线上,过点A 的直线y=-x-1 交(2)中的抛物线于点E,那
么在x轴上点B 的左侧是否存在点P,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由。
(10湖南常德)25.如图9,已知抛物线轴交于点A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C点.
(1) 求此抛物线的解析式;
(2) 设E是线段AB上的动点,作EF∥AC交BC于F,连接CE,当的面积是面积的2倍时,求E点的坐标;
(3) 若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作y轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.
A
B
O
C
图9
y
x
(10湖南常德)26.如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.
(1) 当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2) 当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.
①求证:AG⊥CH;
②当AD=4,DG=时,求CH的长。
A
B
C
D
E
F
图110
G
A
D
图11
F
E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H
M
图12
第24题图
(10浙江绍兴)24.如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.
(1)求的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的
直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2),求点N的横坐标;
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
24.(本题满分14分)
解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) .
(2)①如图1,
∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
第24题图1
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,
∴ ME=4.
设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为.
第24题图2
② 当点D移到与点A重合时,如图2,
直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.
过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,
设N(x,0),
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF,
∴ ,
第24题图3
图4
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3,
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),
设N(x,0),
∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,
∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
(10广东中山)22.如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
第22题图(2)
A
B
C
D
F
第22题图(1)
A
B
M
C
F
D
N
W
P
Q
M
N
W
P
Q
(10山东济宁)23.(10分)
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(第23题)
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.
23.(1)解:设抛物线为.
∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分
证明:当时,,.
∴为(2,0),为(6,0).∴.
设⊙与相切于点,连接,则.
∵,∴.
又∵,∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分
(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.…………………………………………8分
设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).
∴.
∵,
∴当时,的面积最大为.
此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分
(10四川南充)22.已知抛物线上有不同的两点E和F.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.
B
A
M
C
D
O
P
Q
x
y
11. 解:(1)抛物线的对称轴为. ……..(1分)
∵
抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同,
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则 ,且k≠-2.
∴ 抛物线的解析式为. ……..(2分)
(2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4),
∴ AB=,AM=BM=. ……..(3分)
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°.
∴ ∠BCM=∠AMD.
故 △BCM∽△AMD. ……..(4分)
∴ ,即 ,.
故n和m之间的函数关系式为(m>0). ……..(5分)
(3)∵ F在上,
∴ ,
化简得,,∴ k1=1,k2=3.
即F1(-2,0)或F2(-4,-8). ……..(6分)
①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为,
则 解得, ∴ 直线MF的解析式为.
直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).
若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=;
若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=. ……..(7分)
②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为,
则 解得, ∴ 直线MF的解析式为.
直线
MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,).
若MP过点F(-4,-8),则n=4-()=,m=;
若MQ过点F(-4,-8),则m=4-=,n=. ……..(8分)
故当 或时,∠PMQ的边过点F.
(10湖北黄冈)25.(15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
25.(1)a=-1,b=2,c=0
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.
(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.
(10辽宁本溪)26. 如图,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,.
(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求点,的坐标;
(2)若过点的抛物线与轴相交于点,求抛物线的解析式和对称轴方程;
(3)若(2)中的抛物线与轴交于点,在抛物线上是否存在点,使的内心在坐标轴上?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
3
5
(4)若(2)中的抛物线与轴相交于点,点在线段上移动,作直线,当点移动到什么位置时,两点到直线的距离之和最大?请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.
(第26题)
(10辽宁鞍山)③如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒).
A
B
Q
C
P
D
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时,求t的值.
(4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(10浙江衢州)24. (本题12分)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.
(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究:
① 当,,时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
O
y
x
C
B
A
1
1
-1
-1
24. (本题12分)
解:(1) ∵ 点O是AB的中点, ∴ . ……1分
设点B的横坐标是x(x>0),则, ……1分
解得 ,(舍去).
∴ 点B的横坐标是. ……2分
(2) ① 当,,时,得 ……(*)
. ……1分
以下分两种情况讨论.
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为,
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
. ……1分
由此,可求得点C的坐标为(,), ……1分
点A的坐标为(,),
∵ A,B两点关于原点对称,
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
∴ 点B的坐标为(,).
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),
点A的坐标为(,),点B的坐标为(,).
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1. ……2分
(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)
(10浙江湖州)24.(本小题12分)如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
第24题
B
C
A
x
y
F
O
D
E
(10福建福州)22.(满分14分)
如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线上,过点B作轴的垂线,垂足为A,OA=5。若抛物线过点O、A两点。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP,P为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由。
(10山东莱芜)24.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交
轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(第24题图)
x
y
O
A
C
B
D
E
F
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
24. (本小题满分12分)
解:(1)∵抛物线经过点,,.
∴, 解得.
∴抛物线的解析式为:. …………………………3分
(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).
∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分
连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.
在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=.
∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分
∴劣弧EF的长为:. …………………………7分
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ………8分
设点,PG交直线AC于N,
则点N坐标为.∵.
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.
即=.
解得:m1=-3, m2=2(舍去).
当m=-3时,=.
∴此时点P的坐标为. …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.
即=.
解得:,(舍去).当时,=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分. …………………12分