中考数学复习课 中考压轴题2418 7页

课时39．中考压轴题(2)‎ 例1 如图，已知直线l过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交l于点Q，交x轴于点M.‎ ‎(1)直接写出直线l的解析式；‎ ‎(2)设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；‎ l A O M P B x y l1‎ Q ‎(3)直线l1过点A且与x轴平行，问在l1上是否存在点C， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由.‎ 解：(1)y=1-x(2)∵ OP=t，∴ Q点的横坐标为t ‎①当0＜t＜1，即0＜t＜2时，QM=1-t，‎ ‎∴ S△OPQ=t(1-t)‎ ‎②当t≥2时，QM=|1-t|=t-1‎ ‎∴ S△OPQ=t(t-1)∴‎ 当0＜t＜1，即0＜t＜2时，∴ 当t=1时，S最大值=‎ l A O P B x y l1‎ Q C 图-1‎ ‎(3)由OA=OB=1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在l1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又l1∥x轴，则C，O两点关于直线l对称，所以AC=OA=1，得C(1，1).‎ 以下证∠PQC=90°：‎ 证明：连CB，则四边形OACB是正方形.‎ ‎①当点P在线段OB上，Q在线段AB上 ‎(Q与B不重合)时，如图-1.‎ 由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP ‎ ‎∴ ∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°‎ ‎∴ ∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90°‎ ‎②当点P在线段OB的延长线上，如图-2、图-3.‎ ‎∵ ∠QPB=∠QCB，∠1=∠2‎ ‎∴ ∠PQC=∠PBC=90°‎ ‎③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=∠PBC=90°‎ 综合所述∠PQC=90°‎ ‎∴ 在l1上存在点C(1，1)，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形.‎ y l A O P B x l1‎ 图-3‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ l A O P B x l1‎ 图-2‎ Q C ‎2‎ ‎1‎ y 例2 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，线段OA绕原点O顺时针旋转120°后得到线段OB.‎ ‎(1)直接写出点B的坐标；‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.‎ B A O y x 解：(1)点B的坐标(1，)‎ ‎(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2)‎ 把B(1，)代入得=a×1×(1+2)‎ 解得a=‎ ‎∴ ‎ C B A O y x ‎(3)如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.‎ 设直线AB为y=kx+b ‎∴ ，解得 ‎∴ 直线AB为 D B A O y x P 当x=-1时，，‎ ‎∴ 点C的坐标为(-1，)‎ ‎（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.‎ ‎ ‎ 当x=-时，△PAB的面积的最大值为，此时P(-，).‎ 例3 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.‎ ‎(1)连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？‎ 解：(1)⊙P与x轴相切.‎ ‎∵ 直线y=-2x-8与x轴交于A(4，0)，与y轴交于B(0，-8).‎ ‎∴ OA=4，OB=8‎ 由题意得，OP=-k ‎∴ PB=PA=8+k 在Rt△AOP中，OA=4，OP=-k，PA=8+k ‎∴ k2+42=(8+k)2‎ 解得k=-3‎ ‎∴ OP等于⊙P的半径 ‎∴ ⊙P与x轴相切 ‎(2)设⊙P1与直线l交于C，D两点，连接P1C，P1D，‎ 当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于E.‎ ‎∵ △P1CD为正三角形 ‎∴ DE=CD=，P1D=3，‎ ‎∴ P1E=‎ ‎∵ ∠AOB=∠P1EB=90°， ∠ABO=∠P1BE ‎∴ △AOB∽△P1EB，‎ ‎∴ ，即 ‎∴ P1B=‎ ‎∴ P1O=BO-P1B=8-‎ ‎∴ P1(0，-8)‎ ‎∴ ‎ 当圆心P2在线段OB延长线上时，‎ 同理可得P2(0，--8)‎ ‎∴ k=--8‎ ‎∴ 当k=-8或k=--8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.‎ 例4 当x=2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值-1，并且抛物线与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A、B.‎ ‎(1)求该抛物线的关系式；‎ ‎(2)若点M(x，y1)，N(x+1，y2)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；‎ ‎(3)D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点(A、C两端点除外)，过点E作y轴的平行线EF 与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．‎ A B C D O x y E F ‎3‎ 解：(1)由题意可设抛物线的关系式为y=a(x-2)2-1‎ ‎∵ 点C(0，3)在抛物线上 ‎∴ 3= a(0-2)2-1，解得a=1‎ ‎∴ 抛物线的关系式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3‎ ‎(2)∵ 点M(x，y1)，N(x+1，y2)都在该抛物线上 ‎∴ y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2 x ‎ 当3-2 x＞0，即时，y1＞y2当3-2 x=0，即时，y1=y2当3-2 x＜0，即时，y1＜y2‎ ‎(3)令y=0，即x2-4x+3=0，解得x1=3，x2=1‎ ‎∴ A(3，0)，B(1，0)∴ D(，)∴ 直线AC的函数关系式为y=-x+3 ‎ 因为△AOC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△AOC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点.‎ ‎①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y=‎ 由x2-4x+3=，解得x1=，x2=＞3 (舍去)‎ 将x=代入y=-x+3，解得y= ∴ E(，)‎ ‎②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y=x.‎ 由x2-4x+3=x，解得x1=，x2=＞3 (舍去)‎ 将x=代入y=-x+3，解得y=‎ ‎∴ E(，)‎ A B C D O x y E F ‎3‎ 图①‎ A B C D O x y E F ‎3‎ 图②‎ 例5 如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)设抛物线顶点为D，求四边形ABDE的面积；‎ ‎(3)△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。‎ 解：(1)∵ 抛物线与y轴交于点(0，3)‎ ‎∴ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)‎ 根据题意，得，解得 ‎∴ 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3‎ ‎(2)设对称轴与x轴的交点为F 由y=-x2+2x+3得顶点D的坐标为(1，4)‎ ‎∴ S四边形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+SDFE ‎ =AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF ‎=×1×3+(3+4)×1+×2×4‎ ‎=9‎ ‎(3)△AOB∽△DBE 证明：连接BE，作BG⊥DF，则BG=DG=1=‎ ‎∴ BD===，‎ BE===3‎ DE===2‎ ‎∵ BD2+BE2=20，DE2=20‎ ‎∴ BD2+BE2=DE2‎ ‎∴ △BDE是直角三形 ‎∴ ∠AOB=∠DBE=90°，且==‎ ‎∴ △AOB∽△DBE 例6 如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行 移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒 ‎(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示).‎ ‎①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ ‎②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由题意，可设抛物线关系式为y=a(x-2)2+4‎ ‎∵ 抛物线经过O(0，0)‎ ‎∴ 有a(0-2)2+4=0，解得a=-1‎ ‎∴ 该抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x ‎(2)① 点P不在直线ME上.‎ 理由如下：‎ 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4，0)‎ 又M的坐标为(2，4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ ‎∴ ，解得 ‎∴ 直线ME的关系式为y=-2x+8‎ 由已知条件易得，当t=时，OA=AP=‎ ‎∴ P(，)‎ ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8‎ ‎∴ 当t=时，点P不在直线ME上.‎ ‎② S存在最大值. 理由如下：‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上 ‎∴ OA=AP=t ‎∴ 点P、N的坐标分别为(t，t)、(t，-t 2+4t)‎ ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3)‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3t=t(3-t)≥0‎ ‎∴ PN=-t 2+3t ㈠当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD.‎ ‎∴ S=CD·AD=×3×2=3‎ ㈡当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3t)]×2=-t 2+3t+3=-(t-)2+ (0＜t＜3)‎ ‎∵ a=-1，0＜＜3‎ ‎∴ 当t=时，S最大=‎ 综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为.‎