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  • 2021-05-10 发布

2020年中考数学压轴题:一元二次方程及应用考点专练

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2020 中考数学压轴题:一元二次方程及应用考点专练 【考点 1】一元二次方程的根的求值问题 【例 1】(2019•兰州)x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b=0 的解,则 2a+4b=( ) A.﹣2 B.﹣3 C.﹣1 D.﹣6 【答案】A 【解析】把 x=1 代入方程 x2+ax+2b=0 得 1+a+2b=0, 所以 a+2b=﹣1, 所以 2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2. 故选:A. 点睛:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元 二次方程的解. 【变式 1-1】(2019•遂宁)已知关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0 有一个根为 x=0,则 a 的值为( ) A.0 B.±1 C.1 D.﹣1 【答案】D 【解析】∵关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0 有一个根为 x=0, ∴a2﹣1=0,且 a﹣1≠0, 则 a 的值为:a=﹣1. 故选:D. 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,注意二次项系数不能为零. 【变式 1-2】(2019•甘肃)若一元二次方程 x2﹣2kx+k2=0 的一根为 x=﹣1,则 k 的值为 ( ) A.﹣1 B.0 C.1 或﹣1 D.2 或 0 【答案】A 【解析】把 x=﹣1 代入方程得:1+2k+k2=0, 解得:k=﹣1, 故选:A. 点睛:此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 【考点 2】配方法解一元二次方程 【例 2】(2019•南通)用配方法解方程 x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( ) A.(x+4)2=﹣9 B.(x+4)2=﹣7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7 【答案】D 【解析】方程 x2+8x+9=0,整理得:x2+8x=﹣9, 配方得:x2+8x+16=7,即(x+4)2=7, 故选:D. 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 【变式 2-1】(2019•金华)用配方法解方程 x2﹣6x﹣8=0 时,配方结果正确的是( ) A.(x﹣3)2=17 B.(x﹣3)2=14 C.(x﹣6)2=44 D.(x﹣3)2=1 【答案】A 【解析】用配方法解方程 x2﹣6x﹣8=0 时,配方结果为(x﹣3)2=17, 故选:A. 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 【考点 3】因式分解法解一元二次方程 【例 3】(2019•桂林)一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0 的根是 . 【答案】x1=3,x2=2 【解析】x﹣3=0 或 x﹣2=0, 所以 x1=3,x2=2. 故答案为 x1=3,x2=2. 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的 解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法. 【变式 3-1】(2019•十堰)对于实数 a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2﹣(a ﹣b)2.若(m+2)◎(m﹣3)=24,则 m= . 【答案】﹣3 或 4 【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2=24, (2m﹣1)2﹣49=0, (2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0, 2m﹣1+7=0 或 2m﹣1﹣7=0, 所以 m1=﹣3,m2=4. 故答案为﹣3 或 4. 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的 解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法. 【变式 3-2】(2019•扬州)一元二次方程 x(x﹣2)=x﹣2 的根是 . 【答案】x1=2,x2=1. 【解析】x(x﹣2)=x﹣2, x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0, (x﹣2)(x﹣1)=0, x﹣2=0,x﹣1=0, x1=2,x2=1, 故答案为:x1=2,x2=1. 点睛:本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题 的关键. 【考点 4】一元二次方程的判别式问题 【例 4】(2019•铁岭)若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣8x+4=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是 . 【答案】a<4 且 a≠0 【解析】由题意可知:△=64﹣16a>0, ∴a<4, ∵a≠0, ∴a<4 且 a≠0, 故答案为:a<4 且 a≠0 点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型. 【变式 4-1】(2019•宁夏)已知一元二次方程 3x2+4x﹣k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的 取值范围 . 【答案】k . 【解析】∵方程 3x2+4x﹣k=0 有两个不相等的实数根, ∴△>0,即 42﹣4×3×(﹣k)>0, 解得 k , 故答案为:k . 点睛:本题考查根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0 ⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根;(3)△<0 ⇔ 方程没 有实数根. 【变式 4-2】(2019•黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)=0 有实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根为 x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求 m 的值. 【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+(4m+1)=0 有实数根, ∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0, 解得:m≤2. (2)∵方程 x2﹣6x+(4m+1)=0 的两个实数根为 x1、x2, ∴x1+x2=6,x1x2=4m+1, ∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42,即 32﹣16m=16, 解得:m=1. 点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0 时, 方程有实数根”;(2)利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|=4,找出关于 m 的一元一次方程. 【考点 5】一元二次方程的根与系数的关系问题 【例 5】(2019•十堰)已知于 x 的元二次方程 x2﹣6x+2a+5=0 有两个不相等的实数根 x1,x2. (1)求 a 的取值范围; (2)若 x1 2+x2 2﹣x1x2≤30,且 a 为整数,求 a 的值. 【答案】(1) a<2;(2) ﹣1,0,1. 【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+2a+5=0 有两个不相等的实数根 x1,x2, ∴△>0,即(﹣6)2﹣4(2a+5)>0, 解得 a<2; (2)由根与系数的关系知:x1+x2=6,x1x2=2a+5, ∵x1,x2 满足 x1 2+x2 2﹣x1x2≤30, ∴(x1+x2)2﹣3x1x2≤30, ∴36﹣3(2a+5)≤30, ∴a ,∵a 为整数, ∴a 的值为﹣1,0,1. 点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,利用根的判别式求得 k 的取值范围是解 题的关键,注意方程根的定义的运用. 【变式 5-1】(2019•绥化)已知关于 x 的方程 kx2﹣3x+1=0 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)若该方程有两个实数根,分别为 x1 和 x2,当 x1+x2+x1x2=4 时,求 k 的值. 【答案】(1) k 的取值范围为 k (2) k 的值为 1. 【解析】(1)当 k=0 时,原方程为﹣3x+1=0, 解得:x , ∴k=0 符合题意; 当 k≠0 时,原方程为一元二次方程, ∵该一元二次方程有实数根, ∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0, 解得:k . 综上所述,k 的取值范围为 k . (2)∵x1 和 x2 是方程 kx2﹣3x+1=0 的两个根, ∴x1+x2 ,x1x2 . ∵x1+x2+x1x2=4, ∴ 4, 解得:k=1, 经检验,k=1 是分式方程的解,且符合题意. ∴k 的值为 1. 点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以 及解分式方程,解题的关键是:(1)分 k=0 及 k≠0 两种情况,找出 k 的取值范围;(2) 利用根与系数的关系结合 x1+x2+x1x2=4,找出关于 k 的分式方程. 【考点 6】一元二次方程的增长率问题 【例 6】(2019•大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元 (1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率; (2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019 年村该村的人均收入是多少元? 【答案】(1) 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10% (2) 预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元 【解析】(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x, 根据题意得:20000(1+x)2=24200, 解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去). 答:2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%. (2)24200×(1+10%)=26620(元). 答:预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元 二次方程;(2)根据数量关系,列式计算. 【变式 6-1】(2019•贺州)2016 年,某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元,通过政府产 业扶持,发展了养殖业后,到 2018 年,家庭年人均纯收入达到了 3600 元. (1)求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率; (2)若年平均增长率保持不变,2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元? 【答案】(1) 该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% (2) 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 【解析】(1)设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x, 依题意,得:2500(1+x)2=3600, 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去). 答:该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20%. (2)3600×(1+20%)=4320(元), 4320>4200. 答:2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关 键. 【考点 7】一元二次方程的面积问题 【例 7】(2019•徐州)如图,有一块矩形硬纸板,长 30cm,宽 20cm.在其四角各剪去一个 同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的 边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2? 【答案】当剪去正方形的边长为 cm 时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2. 【解析】设剪去正方形的边长为 xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm, 宽为(20﹣2x)cm,高为 xcm, 依题意,得:2×[(30﹣2x)+(20﹣2x)]x=200, 整理,得:2x2﹣25x+50=0, 解得:x1 ,x2=10. 当 x=10 时,20﹣2x=0,不合题意,舍去. 答:当剪去正方形的边长为 cm 时,所得长方体盒子的侧面积为 200cm2. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关 键. 【变式 7-1】(2019•襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD) 16m,宽(AB)9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路,其中两条与 AB 平行, 另一条与 AD 平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为 112m2,则小路的宽应为多 少? 【答案】小路的宽应为 1m. 【解析】设小路的宽应为 xm, 根据题意得:(16﹣2x)(9﹣x)=112, 解得:x1=1,x2=16. ∵16>9, ∴x=16 不符合题意,舍去, ∴x=1. 答:小路的宽应为 1m. 点睛:本题考查一元二次方程的应用,弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键. 【考点 8】一元二次方程的销售问题 【例 8】(2019•东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的 一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子 产品销售单价定为 200 元时,每天可售出 300 个;若销售单价每降低 1 元,每天可多售出 5 个.已知每个电子产品的固定成本为 100 元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少 元时,公司每天可获利 32000 元? 【答案】这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时,公司每天可获利 32000 元. 【解析】设降价后的销售单价为 x 元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个, 依题意,得:(x﹣100)[300+5(200﹣x)]=32000, 整理,得:x2﹣360x+32400=0, 解得:x1=x2=180. 180<200,符合题意. 答:这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时,公司每天可获利 32000 元. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关 键. 【变式 8-1】(2019•安顺)安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果,计划以每 千克 60 元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售 量 y(千克)与每千克降价 x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价多少元? 【答案】商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价 9 元. 【解析】(1)设一次函数解析式为:y=kx+b 当 x=2,y=120;当 x=4,y=140; ∴ , 解得: , ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=10x+100; (2)由题意得: (60﹣40﹣x)(10 x+100)=2090, 整理得:x2﹣10x+9=0, 解得:x1=1.x2=9, ∵让顾客得到更大的实惠, ∴x=9, 答:商贸公司要想获利 2090 元,则这种干果每千克应降价 9 元. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用;由题意列出方程组或方程是解题 的关键. 1.(2019•滨州)用配方法解一元二次方程 x2﹣4x+1=0 时,下列变形正确的是( ) A.(x﹣2)2=1 B.(x﹣2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x﹣2)2=3 【答案】D 【解析】x2﹣4x+1=0, x2﹣4x=﹣1, x2﹣4x+4=﹣1+4, (x﹣2)2=3, 故选:D. 点睛:本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键. 2.(2019•营口)若关于 x 的方程 kx2﹣x 0 有实数根,则实数 k 的取值范围是( ) A.k=0 B.k 且 k≠0 C.k D.k 【答案】C 【解析】当 k≠0 时,△=1+4k 1+3k≥0, ∴k , ∴k 且 k≠0, 当 k=0 时, 此时方程为﹣x 0,满足题意, 故选:C. 点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解根的判别式,本题属于基础题型. 3.(2019•丹东)等腰三角形一边长为 2,它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x2 ﹣6x+k=0 的两个实数根,则 k 的值是( ) A.8 B.9 C.8 或 9 D.12 【答案】B 【解析】当等腰三角形的底边为 2 时, 此时关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+k=0 的有两个相等实数根, ∴△=36﹣4k=0, ∴k=9, 此时两腰长为 3, ∵2+3>3, ∴k=9 满足题意, 当等腰三角形的腰长为 2 时, 此时 x=2 是方程 x2﹣6x+k=0 的其中一根, ∴4﹣12+k=0, ∴k=8, 此时另外一根为:x=4, ∵2+2=4, ∴不能组成三角形, 综上所述,k=9, 故选:B. 点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形 的性质,本题属于中等题型. 4.(2019•包头)已知等腰三角形的三边长分别为 a、b、4,且 a、b 是关于 x 的一元二次方 程 x2﹣12x+m+2=0 的两根,则 m 的值是( ) A.34 B.30 C.30 或 34 D.30 或 36 【答案】A 【解析】当 a=4 时,b<8, ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0 的两根, ∴4+b=12, ∴b=8 不符合; 当 b=4 时,a<8, ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0 的两根, ∴4+a=12, ∴a=8 不符合; 当 a=b 时, ∵a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+m+2=0 的两根, ∴12=2a=2b, ∴a=b=6, ∴m+2=36, ∴m=34; 故选:A. 点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系;根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合 韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键. 5.(2019•荆州)若一次函数 y=kx+b 的图象不经过第二象限,则关于 x 的方程 x2+kx+b=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 【答案】A 【解析】∵一次函数 y=kx+b 的图象不经过第二象限, ∴k>0,b≤0, ∴△=k2﹣4b>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A. 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0 时,方程有两个不相等的实数根;当△=0 时,方程有两个相等的实 数根;当△<0 时,方程无实数根.也考查了一次函数的性质. 6.(2019•遵义)一元二次方程 x2﹣3x+1=0 的两个根为 x1,x2,则 x1 2+3x2+x1x2﹣2 的值是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【答案】D 【解析】∵x1 为一元二次方程 x2﹣3x+1=0 的根, ∴x1 2﹣3x1+1=0, ∴x1 2=3x1﹣1, ∴x1 2+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3, 根据题意得 x1+x2=3,x1x2=1, ∴x1 2+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7. 故选:D. 点睛:本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 时,x1+x2 ,x1x2 . 7.(2019•鸡西)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数 目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是 43,则这种 植物每个支干长出的小分支个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出 x 个小分支, 依题意,得:1+x+x2=43, 解得:x1=﹣7(舍去),x2=6. 故选:C. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关 键. 8.(2019•朝阳)一元二次方程 x2﹣x﹣1=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 【答案】A 【解析】∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0, ∴方程有两个不相等的两个实数根. 故选:A. 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0 时,方程有两个相等 的两个实数根;当△<0 时,方程无实数根. 9.(2019•湘潭)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c=0 有两个相等的实数根,则 c=( ) A.4 B.2 C.1 D.﹣4 【答案】A 【解析】∵方程 x2﹣4x+c=0 有两个相等的实数根, ∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0, 解得:c=4. 故选:A. 点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判 别式得出关于 c 的一元一次方程是解题的关键. 10.(2019•资阳)a 是方程 2x2=x+4 的一个根,则代数式 4a2﹣2a 的值是 . 【答案】8 【解析】∵a 是方程 2x2=x+4 的一个根, ∴2a2﹣a=4, ∴4a2﹣2a=2(2a2﹣a)=2×4=8. 故答案为:8. 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,正确将原式变形是解题关键. 11.(2019•济宁)已知 x=1 是方程 x2+bx﹣2=0 的一个根,则方程的另一个根是 . 【答案】﹣2 【解析】∵x=1 是方程 x2+bx﹣2=0 的一个根, ∴x1x2 2, ∴1×x2=﹣2, 则方程的另一个根是:﹣2, 故答案为﹣2. 点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题 的关键. 12.(2019•抚顺)若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 . 【答案】k≠0 且 k≤1 【解析】由题意可知:△=4﹣4k≥0, ∴k≤1, ∵k≠0, ∴k≠0 且 k≤1, 故答案为:k≠0 且 k≤1; 点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型. 13.(2019•青海)某种药品原价每盒 60 元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售 价每盒 48.6 元,则平均每次下调的百分率为 . 【答案】10% 【解析】设平均每次降价的百分比是 x,根据题意得: 60(1﹣x)2=48.6, 解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去), 答:平均每次降价的百分比是 10%; 故答案为:10%. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化 率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x)2=b. 14.某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作,去年已投入 5 亿元 资金,并计划投入资金逐年增长,明年将投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设,则这两 年投入资金的年平均增长率为 . 【答案】20% 【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是 x,由题意得: 5(1+x)2=7.2, 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意舍去). 答:这两年中投入资金的平均年增长率约是 20%. 故答案是:20%. 点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增 长后的量. 15.(2019•呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x﹣6)=16 的实数根. 【答案】x1 ,x2 . 【解析】原方程化为一般形式为 2x2﹣9x﹣34=0, x2 x=17, x2 x 17 , (x )2 , x ± , 所以 x1 ,x2 . 点睛:本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方 法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 16.(2019•孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0 有两个不相等 的实数根 x1,x2. (1)若 a 为正整数,求 a 的值; (2)若 x1,x2 满足 x1 2+x2 2﹣x1x2=16,求 a 的值. 【解析】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0 有两个不相等的实 数根, ∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)>0, 解得:a<3, ∵a 为正整数, ∴a=1,2; (2)∵x1+x2=2(a﹣1),x1x2=a2﹣a﹣2, ∵x1 2+x2 2﹣x1x2=16, ∴(x1+x2)2﹣3x1x2=16, ∴[2(a﹣1)]2﹣3(a2﹣a﹣2)=16, 解得:a1=﹣1,a2=6, ∵a<3, ∴a=﹣1. 点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式,先判断出 a 的取值范围, 再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键. 17(2019•贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两 年内由 5 万册增加到 7.2 万册. (1)求这两年藏书的年均增长率; (2)经统计知:中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%,在这两年新 增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几? 【解析】(1)设这两年藏书的年均增长率是 x, 5(1+x)2=7.2, 解得,x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去), 答:这两年藏书的年均增长率是 20%; (2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2﹣5)×20%=0.44(万册), 到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是: 100%=10%, 答:到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10%. 点睛:本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用 方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题. 18.(2019•南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长 50m,宽 40m,要求 扩充后的矩形广场长与宽的比为 3:2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩建后在原 广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米 100 元.如果计划总费用 642000 元, 扩充后广场的长和宽应分别是多少米? 【解析】设扩充后广场的长为 3xm,宽为 2xm, 依题意得:3x•2x•100+30(3x•2x﹣50×40)=642000 解得 x1=30,x2=﹣30(舍去). 所以 3x=90,2x=60, 答:扩充后广场的长为 90m,宽为 60m. 点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用,总价=单价×数量的运用,解答时找准 题目中的数量关系是关键. 19.(2019•长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓 励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅 导,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次. (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 【解析】(1)设增长率为 x,根据题意,得 2(1+x)2=2.42, 解得 x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为 10%. (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人). 答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次. 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条 件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 20.(2019•衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+k=0 有实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0 与方程 x2 ﹣3x+k=0 有一个相同的根,求此时 m 的值. 【解析】(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0, 解得 k ; (2)k 的最大整数为 2, 方程 x2﹣3x+k=0 变形为 x2﹣3x+2=0,解得 x1=1,x2=2, ∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0 与方程 x2﹣3x+k=0 有一个相同的根, ∴当 x=1 时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得 m ; 当 x=2 时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得 m=1, 而 m﹣1≠0, ∴m 的值为 . 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0 时,方程有两个不相等的实数根;当△=0 时,方程有两个相等的实 数根;当△<0 时,方程无实数根.