全国各地中考数学压轴题专集答案三角形 130页

2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案 六、三角形 1．（北京）在△ABC 中，BA＝BC，∠BAC＝α，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α得到线段 PQ． （1）若α＝60°且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出 ∠CDB 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想∠CDB 的大小（用 含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出α的范围． 解：（1）补全图形，见图 1；∠CDB＝30° （2）猜想：∠CDB＝90°－α 证明：如图 2 ，连结 AD，PC ∵BA＝BC，M 是 AC 的中点，∴BM⊥AC ∵点 D，P 在直线 BM 上，∴PA＝PC，DA＝DC 又∵DP 为公共边，∴△ADP≌△CDP ∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP 又∵PA＝PQ，∴PQ＝PC ∴∠DCP＝∠PQC，∠DAP＝∠PQC ∵∠PQC＋∠DQP＝180°，∴∠DAP＋∠DQP＝180° ∴在四边形 APQD 中，∠ADQ＋∠APQ＝180° ∴∠APQ＝2α，∴∠ADQ＝180°－2α ∴∠CDB＝ 1 2 ∠ADQ＝90°－α （3）45°＜α＜60° 提示：由（2）知∠CDB＝90°－α，且 PQ＝QD ∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α ∵点 P 不与点 B，M 重合，∴∠MAD＜∠PAD＜∠BAD ∴α＜180°－2α＜2α，∴45°＜α＜60° 2．（北京模拟）已知，点 P 是∠MON 的平分线 OT 上的一动点，射线 PA 交直线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B，且使∠APB＋∠MON＝180°． （1）求证：PA＝PB； （2）若点 C 是直线 AB 与直线 OP 的交点，当 S△POB ＝3S△PCB 时，求 PB PC 的值； （3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线 PA 交射线 ON 于点 D，且满足∠PBD＝∠ABO，求 OP 的长． 图 1 A B C Q M(P) 图 2 A B C Q P M 图 1 A B C Q M(P) D 图 2 A B C Q P M D （1）证明：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 1 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 2 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB （2）解：∵S△POB ＝3S△PCB ，∴点 A 在射线 OM 上，如图 3 ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝ 1 2 (180°－∠APB) ∵∠APB＋∠MON＝180°，∠POB＝ 1 2 ∠MON ∴∠POB＝ 1 2 (180°－∠APB)，∴∠PBC＝∠POB 又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC ∴ PB PC ＝ S△POB S△PBC ＝ 3 （3）解：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 4 ∵∠APB＋∠MON＝180°，∠MON＝60° ∴∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠BPD＝60° ∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75° 作 BE⊥OP 于 E ∵∠MON＝60°，OP 平分∠MON，∴∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE＋PE＝ 3＋1 ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 5 此时∠AOB＝∠DPB＝120° M T NO 图 1 A B P M T NO E F 图 2 A B P M T NO F E 图 3 A B P M T NO C 图 4 A B P M T NO E D M T NO 备用图 M T NO 备用图 ∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30°，∴∠PBD＝∠ABO＝15° 作 BE⊥OP 于 E，则∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE－PE＝ 3－1 3．（北京模拟）已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接 AD、BE，F 为线段 AD 的中点，连接 CF． （1）如图 1，当点 D 在 BC 边上时，BE 与 CF 的数量关系是____________，位置关系是____________， 请证明； （2）如图 2，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明； （3）如图 3，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转 45°，BE、CD 交于点 G．若∠DCF＝30°，求 BG CG 及 AC DC 的值． 解：（1）BE＝2CF，BE⊥CF 证明：∵△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点 ∴AC＝BC，DC＝EC ∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC ∵F 为线段 AD 的中点，∴CF＝AF＝DF＝ 1 2 AD ∴BE＝2CF ∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF ∵∠BCF＋∠ACF＝90°，∴∠BCF＋∠EBC＝90° 即 BE⊥CF （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 CF 到 H，使 HF＝CF，连接 AH、DH ∵AF＝DF，∴四边形 AHDC 为平行四边形 ∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD ∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD ∴∠CAH＝∠BCE 又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE 图 5 A B P M T NO E D A B CD EF 图 1 A B C D E F 图 2 A B C D E F 图 3 G A B C D E F 图 2 H A B CD EF 图 1 ∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE ∴BE＝CH＝2CF ∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90° 即 BE⊥CF （3）如图 3，设 BE、CF 相交于点 O，则∠GOC＝90° 作 BC 的垂直平分线，交 BG 于点 M，连接 CM 则 BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC ∵AC⊥DE，∠CDE＝45°，∴∠DCA＝45° ∵∠DCF＝30°，∴∠ACH＝∠CBE＝15° ∴∠OMC＝30° 设 OG＝x，则 CG＝2x，OC＝ 3x，BM＝CM＝2 3x OM＝ 3OC＝3x，MG＝3x－x＝2x ∴BG＝BM＋MG＝2 3x＋2x，BO＝BM＋MO＝2 3x＋3x ∴ BG CG ＝ 2 3x＋2x 2x ＝ 3＋1 BO OC ＝ 2 3x＋3x 3x ＝ 3＋2 过 E 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 N 则 Rt△BNE∽Rt△BOC，∴ BN EN ＝ BO OC ＝ 3＋2 设 EN＝t，则 CN＝t，CE＝ 2t，BN＝( 3＋2)t，BC＝( 3＋2)t－t＝( 3＋1)t ∴ BC CE ＝ ( 3＋1)t 2t ＝ 6＋ 2 2 ∵AB＝BC，CD＝CE，∴ AC DC ＝ 6＋ 2 2 4．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°，CD 是∠ACB 的平分线，点 P 在 CD 上，CP＝ 2．将三角板的直角 顶点放置在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另一条直角边与直线 CA、 直线 CB 分别交于点 F、点 G． （1）当点 F 在射线 CA 上时 ①求证：PF＝PE． ②设 CF＝x，EG＝y，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接 EF，当△CEF 与△EGP 相似时，求 EG 的长． A C B F P D G E A C B P D 备用图 A B C D E F G OM N 图 3 （1）①证明：过点 P 作 PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为 M、N ∵CD 是∠ACB 的平分线，∴PM＝PN 由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90° ∴∠1＋∠FPN＝90° ∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2 ∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE ②解：∵CP＝ 2，∴CN＝CM＝1 ∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x ∴CE＝2－x ∵CF∥PN，∴ CF PN ＝ CG GN ，即 x 1 ＝ CG CG＋1 ∴CG＝ x 1－x ∴y＝ x 1－x ＋2－x（0≤x＜1） （2）当△CEF 与△EGP 相似时，点 F 的位置有两种情况： ①当点 F 在射线 CA 上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG ∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP 在 Rt△EGP 中，EG＝2CP＝2 2 ②当点 F 在 AC 延长线上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 ∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2 易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴CF＝CP＝ 2，∴FM＝ 2＋1 易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝ 2＋1 ∵CF∥PN，∴ CF PN ＝ CG GN ，即 2 1 ＝ 1－GN GN ∴GN＝ 2－1 ∴EG＝ 2－1＋ 2＋1＝2 2 5．（上海模拟）已知△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝ 4 5 ．点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D． （1）如图①，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长； （2）如图②，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段 BE、DE、CD 中 是否存在长度保持不变的线段？请说明理由； （3）如图③，当 PQ 经过△ABC 的重心 G 时，求 BP 的长． A C B F P G E 1 D A C B M P F G N E 1 5 2 3 4 D A C B F P D E M N 2 1 G A D CB P Q图② E A D CB P Q图① A D CB P Q图③ G 解：（1）过 P 点作 PF∥AC 交 BC 于 F ∵点 P 为 AB 的中点，∴F 为 BC 的中点 ∴FC＝ 1 2 BC＝3 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB ∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP 由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC 又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD ∴CD＝DF＝ 1 2 FC＝ 3 2 （2）当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 分两种情况讨论： ①当点 P 在线段 AB 上时 过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于 F，由（1）知 PB＝PF ∵PE⊥BC，∴BE＝EF 由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF ∴DE＝EF＋DF＝ 1 2 BC＝3 ②得点 P 在 BA 的延长线上时，同理可得 DE＝3 ∴当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 （3）过点 P 作 PE⊥BC 于 E，连接 AG 并延长交 BC 于 H ∵AB＝AC，点 G 为△ABC 的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3 设 AH＝x，则 AB＝ x2＋32 ＝ x2＋9 ∵sinB＝ 4 5 ，∴ x x2＋9 ＝ 4 5 ，解得 x＝4 ∴GH＝ 1 3 x＝ 4 3 设 BP＝t，则 BE＝ 3 5 t，PE＝ 4 5 t ∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝ 3 5 t 由△DGH∽△DPE，得 GH PE ＝ DH DE 即 4 3 4 5 t ＝ 3 5 t 3 ，解得 t＝5 3 3 ，即 BP＝5 3 3 6．（上海模拟）如图，三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点 B 落在 AC 边 上的点 D 处，折痕与 BC、AB 分别交于点 E、F． （1）设 BE＝x，DC＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （2）当△ADF 是直角三角形时，求 BE 的长； （3）当△ADF 是等腰三角形时，求 BE 的长 （4）过 C、D、E 三点的圆能否与 AB 边相切？若能，求 BE 的长；若不能，说明理由． A D CB P Q图② E F A D CB P Q图① F A D CB P Q图③ E G H 解：（1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x 在 Rt△DEC 中，DC 2＋EC 2＝DE 2 即 y 2＋(3－x)2＝x2，∴y＝ 6x－9 当 D 与 C 重合时，x 最小 即 y＝ 6x－9＝0，x＝ 3 2 当 E 与 C 重合时，x 最大，x＝3 ∴ 3 2 ≤x≤3 （2）①当∠ADF＝90°时，则 FD∥BC ∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B ∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB ∴△DEC∽△ABC，∴ DE AB ＝ EC BC ∴ x 5 ＝ 3－x 3 ，解得 x＝ 15 8 ，即 BE 的长为 15 8 ②当∠AFD＝90°时，则∠BFE＝∠DFE＝45° 作 EG⊥BF 于 G，则 Rt△BEG∽Rt△BAC ∴ BG BC ＝ EG AC ＝ BE AB ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5 ∴ BG 3 ＝ EG 4 ＝ x 5 ，∴BG＝ 3 5 x，EG＝ 4 5 x ∴FG＝EG＝ 4 5 x，DF＝BF＝ 3 5 x＋ 4 5 x＝ 7 5 x 由 Rt△ADF∽Rt△ABC，得 AD AB ＝ DF BC ∴ 4－ 6x－9 5 ＝ 7 5 x 3 ，即 7x＋3 6x－9－12＝0 令 6x－9＝u，则 x＝u2＋9 6 ∴7( u2＋9 6 )＋3u－12＝0，∴7u2＋18u－9＝0 A B C D E F A B C A B C D E F G A B C D E F 解得 u1＝－3＜0（舍去），u2＝ 3 7 ∴x＝ ( 3 7 )2＋9 6 ＝ 75 49 ，即 BE 的长为 75 49 综上，当△ADF 是直角三角形时，BE 的长为 15 8 或 75 49 （3）①当 AF＝DF 时，则∠A＝∠FDA ∵∠FDE＝∠B，∠A＋∠B＝90° ∴∠FDA＋∠FDE＝90°，即∠ADE＝90° ∴ED⊥AC，∴D 与 C 重合 ∴x＝ 1 2 BC＝ 3 2 ，即 BE 的长为 3 2 ②当 AD＝DF 时，则 BF＝DF＝AD＝4－ 6x－9 ∴AF＝5－(4－ 6x－9)＝1＋ 6x－9 作 DG⊥AF 于 G，则 Rt△ADG∽Rt△ABC AG＝ 1 2 AF＝ 1 2 (1＋ 6x－9) ∴ AD AG ＝ AB AC ，∴ 4－ 6x－9 1 2 (1＋ 6x－9) ＝ 5 4 得 6x－9＝ 27 13 ，解得 x＝ 375 169 ，即 BE 的长为 375 169 ③当 AD＝AF 时，则 AF＝AD＝4－ 6x－9 ∴DF＝BF＝5－(4－ 6x－9)＝1＋ 6x－9 作 FH⊥AD 于 H，则 Rt△AFH∽Rt△ABC ∴ AH AC ＝ FH BC ＝ AF AB ，∴AH 4 ＝ FH 3 ＝ 4－ 6x－9 5 ∴AH＝ 16－4 6x－9 5 ，FH＝ 12－3 6x－9 5 ∴HC＝4－ 16－4 6x－9 5 ＝ 4＋4 6x－9 5 ∴DH＝ 4＋4 6x－9 5 － 6x－9＝ 4－ 6x－9 5 在 Rt△DFH 中，DH 2＋FH 2＝DF 2 ∴( 4－ 6x－9 5 )2＋( 12－3 6x－9 5 )2＝(1＋ 6x－9 )2 令 6x－9＝t，代入上式并化简得 15t2＋130t－135＝0 解得 t＝5 10－13 3 （舍去负值） ∴ 6x－9＝5 10－13 3 ，解得 x＝250－65 10 27 ，即 BE 的长为250－65 10 27 A B C D E F G A B C H E F D A B CE F (D) 综上，当△ADF 是等腰三角形时，BE 的长为 3 2 或 375 169 或 250－65 10 27 （4）假设过 C、D、E 三点的圆能与 AB 边相切 ∵△DEC 是直角三角形，∴DE 是圆的直径 ∴∠DFE＝90°，∴∠BFE＝90° ∴D 点在 AB 上，不可能 ∴过 C、D、E 三点的圆不能与 AB 边相切（⊙O 与 AB 边相离） 7．（上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC 于 D，点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且∠EDF＝90°，连接 EF． （1）求 DE DF 的值； （2）设 AE 的长为 x，△DEF 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式； （3）设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，求 AE 的长；若不能，请说 明理由． 解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90° ∵AD⊥BC，∴∠C＋∠2＝90° ∴∠1＝∠C ∵∠EDF＝90°，∴∠3＋∠5＝90° ∵AD⊥BC，∴∠4＋∠5＝90° ∴∠3＝∠4 ∴△ADE∽△CDF ∴ DE DF ＝ AD CD ＝tan∠C＝ AB AC ＝ 6 8 ＝ 3 4 （2）∵△ADE∽△CDF，∴ AE CF ＝ DE DF ＝ 3 4 ∴CF＝ 4 3 AE＝ 4 3 x，∴AF＝8－ 4 3 x ∴EF 2＝x2＋(8－ 4 3 x)2＝25 9 x2－64 3 x＋64 ∵ DE DF ＝ AB AC ，∠EDF＝∠BAC＝90° ∴△DEF∽△ABC ∴ S S△ABC ＝ EF 2 BC 2 ∵S△ABC ＝ 1 2 ×6×8＝24，BC 2＝62＋82＝100 CB A D E F CB A D 备用图 CB A D 备用图 CB A D E F 1 2 3 45 ∴S＝ 24 100 (25 9 x2－64 3 x＋64)＝ 2 3 x2－128 25 x＋384 25 即 S＝ 2 3 x2－128 25 x＋384 25 （0≤x≤6） （3）假设△EFG 能成为等腰三角形 当点 G 在 AB 延长线上时，由于∠GEF≥90°，所以只能 EF＝EG ∴∠G＝∠6 ∵△DEF∽△ABC，∴∠6＝∠C ∵∠1＝∠C，∴∠G＝∠1 ∴DA＝DG＝DF，∴EF＝AB，∴EF 2＝AB2 ∴25 9 x2－64 3 x＋64＝36，解得 x＝6（舍去）或 x＝ 42 25 此时 AE 的长为 42 25 当点 G 在 BA 延长线上时，由于∠EFG≥90°，所以只能 FE＝FG ∴∠G＝∠AEF 而 tan∠G＝ DE DG ＝ DE DF＋FG ＝ 3 5 EF 4 5 EF＋EF ＝ 1 3 tan∠AEF＝ AF AE ＝ 8－ 4 3 x x ＝ 24－4x 3x ∴ 24－4x 3x ＝ 1 3 ，解得 x＝24 5 此时 AE 的长为 24 5 综上所述，△EFG 能成为等腰三角形，此时 AE 的长为 42 25 或 24 5 8．（上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D 是 BC 边上一点，CD＝3，P 是 AC 边上一动点（不与 A、C 重合），过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E． （1）设 AP＝x，DE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）以 PE 为半径的⊙E 与以 DB 为半径的⊙D 能否相切？若能，求 tan∠DPE 的值；若不能，请说明理 由； （3）将△ABD 沿直线 AD 翻折，得到△AB′D，连接 EC、B′C，当∠ACE＝∠BCB′ 时，求 AP 的长． CB A D E F G 6 1 CB A D E F G A DC B 备用图 A DC B P E 解：（1）在 Rt△ACD 中，AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 ∵PE∥BC，∴ AP AC ＝ AE AD ，即 x 4 ＝ 5－y 5 ∴y＝－ 5 4 x＋5（0＜x＜4） （2）对于⊙E，rE＝EP＝ 3 4 x；对于⊙D，rD＝DB＝2；圆心距 ED＝－ 5 4 x＋5 当两圆外切时，rE＋rD＝ED，∴ 3 4 x＋2＝－ 5 4 x＋5 解得 x＝ 3 2 ，∴PC＝ 5 2 ∵PE∥BC，∴∠DPE＝∠PDC ∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝ PC CD ＝ 5 6 当两圆内切时，|rE－rD|＝ED，∴| 3 4 x－2|＝－ 5 4 x＋5 解得 x＝ 7 2 或 x＝6（舍去），∴PC＝ 1 2 ∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝ PC CD ＝ 1 6 （3）延长 AD 交 BB′ 于 F，则 AF 垂直平分 BB′ 在 Rt△BDF 中，BD＝2，sin∠BDF＝sin∠ADC＝ AC AD ＝ 4 5 ∴BF＝ 8 5 ，BB′＝16 5 ∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠DBF 当∠ACE＝∠BCB′ 时，△CAE∽△CBB′ ∴ AC AE ＝ BC BB′ ，即 4 5－y ＝ 5 16 5 ，∴y＝5－ 64 25 ∴－ 5 4 x＋5＝5－ 64 25 ，解得 x＝ 256 125 9．（上海模拟）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 P 是边 AB 上的一个动点，连接 CP，过点 B 作 BD⊥ CP，垂足为点 D. （1）如图 1，当 CP 经过△ABC 的重心时，求证：△BCD∽△ABC； （2）如图 2，若 BC＝2 厘米，cotA＝2，点 P 从点 A 向点 B 运动（不与点 A、B 重合），点 P 的速度是 5 厘 米/秒，设点 P 运动的时间为 t 秒，△BCD 的面积为 S 平方厘米，求 S 关于 t 的函数解析式，并写出自变 量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若△PBC 是以 CP 为腰的等腰三角形，求△BCD 的面积． C A P B D 图 1 C A P B D 图 2 C A B 备用图 A DC B P E A DC B P E A DC B P E F B′ （1）证明：∵CP 经过△ABC 的重心，∴CP 为△ABC 的中线 ∴CP＝ 1 2 AB＝AP，∴∠A＝∠ACP 又∵∠ACP＋∠DCB＝90°，∠CBD＋∠DCB＝90° ∴∠CBD＝∠A，又∠BDC＝∠ACB＝90° ∴△BCD∽△ABC （2）解：∵BC＝2，cotA＝2，∴AC＝4 过点 P 作 PE⊥AC 于 E，则 AP＝ 5t，PE＝t，AE＝2t EC＝4－2t，PC＝ t2＋(4－2t)2 由∠PCE＝∠CBD，得 Rt△CPE∽Rt△BCD ∴ S△BCD S△CPE ＝( BC PC )2，即 S 1 2 (4－2t)t ＝ 4 t2＋(4－2t)2 ∴S＝ 8t－4t2 5t2－16t＋16 （0＜t ＜2） （3）①当 PC＝PB 时，有 t2＋(4－2t)2 ＝2 10－ 5t 解得 t＝1 当 t＝1 时，S＝ 8×1－4×12 5×12－16×1＋16 ＝ 4 5 （平方厘米） ②当 PC＝BC 时，有 t2＋(4－2t)2 ＝2 解得 t1＝ 6 5 ，t2＝2（不合题意，舍去） 当 t＝ 6 5 时，S＝ 8× 6 5 －4×( 6 5 )2 5×( 6 5 )2－16× 6 5 ＋16 ＝ 24 25 （平方厘米） 综上所述，当 PC＝PB 时，△BCD 的面积为 4 5 平方厘米；当 PC＝BC 时，△BCD 的面积为 24 25 平方厘米 10．（上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边 AB 上的中线，AB＝10，tanA＝ 4 3 ．点 P 是 CE 延长线上的一动点，过点 P 作 PQ⊥CB，交 CB 延长线于点 Q．设 EP＝x，BQ＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2）连接 PB，当 PB 平分∠CPQ 时，求∠PE 的长； （3）过点 B 作 BF⊥AB 交 PQ 于 F，当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值． 解：（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ BC AC ＝ 4 3 A B P C Q E A BC E 备用图 A BC E 备用图 C A P B D E ∴AC＝6，BC＝8 ∵CE 是斜边 AB 上的中线，∴CE＝BE＝ 1 2 AB＝5 ∴∠PCQ＝∠ABC 又∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△ABC ∴ CQ PC ＝ BC AB ＝ 4 5 ，即 8＋y 5＋x ＝ 4 5 ∴y＝ 4 5 x－4（x ＞5） （2）过点 B 作 BH⊥PC 于 H ∵PB 平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y ∵BH＝ 3 5 BC＝24 5 ，∴ 4 5 x－4＝24 5 ∴x＝11 （3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°，∠QBF＝∠A ∴△BFQ∽△ABC 当△BEF 和△QBF 相似时，则△BEF 和△ABC 也相似 有两种情况： ①当∠BEF＝∠A 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ 5 3 y ∴ 5 3 ( 4 5 x－4)＝ 4 3 ×5，解得 x＝10 ②当∠BEF＝∠ABC 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ 5 3 y ∴ 5 3 ( 4 5 x－4)＝ 3 4 ×5，解得 x＝125 16 ∴当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值为 10 或 125 16 11．（上海模拟）如图 1，在 Rt△AOC 中，AO⊥OC，点 B 在 OC 边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝ 90°，动点 M 和 N 分别在线段 AB 和 AC 边上． （1）求证：△AOB∽△COA，并求 cosC 的值； （2）当 AM＝4 时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比； （3）如图 2，当 MN∥BC 时，以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN．设 MN＝x，△ EMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． 解：（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90° A O N CB M 图 1 A O N E CB M 图 2 A B P C Q E H A B P C Q E F A B P C Q E F ∵∠ABO＋∠C＝90°，∴∠BAO＝∠C ∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA ∴OB :OA＝OA :OC ∵OB＝6，BC＝12，∴6 :OA＝OA :18 ∴OA＝6 3 ∴AC＝ OC 2＋OA 2 ＝ 182＋(6 3)2 ＝12 3 ∴cosC＝ OC AC ＝ 18 12 3 ＝ 3 2 （2）∵cosC＝ 3 2 ，∴∠C＝30° ∵tan∠ABO＝ OA OB ＝ 6 3 6 ＝ 3，∴∠ABO＝60° ∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12 ①当∠AMN＝∠ABC 时（如图 1），△AMN∽△ABC ∵AM＝4，∴S△AMN :S△ABC ＝AM 2 :AB 2＝42 :122＝1 :9 ②当∠AMN＝∠C 时（如图 2），△AMN∽△ACB ∵AM＝4，∴S△AMN :S△ABC ＝AM 2 :AC 2＝42 :(12 3)2＝1 :27 （3）易得 S△ABC ＝ 1 2 BC·OA＝ 1 2 ×12×6 3＝36 3 ∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC ∴S△AMN :S△ABC ＝MN 2 :BC 2，∴S△AMN :36 3＝x2 :122 ∴S△AMN ＝ 3 4 x2 ①当 EN 与线段 AB 相交时，设 EN 与 AB 交于点 F（如图 3） ∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30° ∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x ∵以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ∴∠ENM＝∠ANM＝30°，∴∠AFN＝90° ∴MF＝ 1 2 MN＝ 1 2 AM＝ 1 2 x ∴S△FMN :S△AMN ＝MF :AM ∴y : 3 4 x2＝ 1 2 x :x＝1 :2 ∴y＝ 3 8 x2（0＜x≤8） ②当 EN 与线段 AB 不相交时，设 EN 与 BC 交于点 G（如图 4） ∵MN/∥BC，∴CN :AC＝BM :AB ∴CN :12 3＝(12－x) :12，∴CN＝12 3－ 3x ∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG :S△ABC ＝CN 2 :BC 2 ∴S△CNG :36 3＝(12 3－ 3x)2 :122 ∴S△CNG ＝ 3 4 (12 3－ 3x)2 ∴S 阴影＝S△ABC －S△AMN －S△CNG ＝36 3－ 3 4 x2－ 3 4 (12 3－ 3x)2 即 y＝－ 3x 2＋18 3x－72 3（8＜x＜12） A O N B C 图 1 M A O N B C 图 2 M A O N E CB M 图 3 F A O N E CB M 图 4 G 12．（上海模拟）把两块边长为 4 的等边三角板 ABC 和 DEF 如图 1 放置，使三角板 DEF 的顶点 D 与三角 板 ABC 的 AC 边的中点重合，DF 经过点 B，射线 DE 与射线 AB 相交于点 M．把三角板 ABC 固定不动， 将三角板 DEF 绕点 D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中 0°＜α＜90°，射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q（如图 2）． （1）当 0°＜α＜60°时，求 AM·CN 的值； （2）当 0°＜α＜60°时，设 AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式并确定自变量 x 的取值范围； （3）当 BM＝2 时，求两块三角板重叠部分的面积． 解：（1）∵ △ABC 和△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝∠C＝∠A＝60° ∵∠ADM＋∠EDF＝∠DNC＋∠C，∴∠ADM＝∠DNC ∴△AMD∽△CDN，∴ AM CD ＝ AD CN ∴AM·CN＝AD·CD ∵AD＝CD＝2，∴AM·CN＝4 （2）过点 D 作 DP⊥AB 于 P，DQ⊥BC 于 Q（如图 1） 可得 DP＝DQ＝ 3 ∵AM＝x，∴CN＝ 4 x ∴y＝S△ABC － S△AMD － S△CDN＝ 3 4 ·42－ 1 2 ·x· 3－ 1 2 ·4 x · 3 ∴y＝4 3－ 3 2 x－2 3 x （1＜x＜4) （3）①当 M 在边 AB 上时（如图 1） ∵BM＝2，∴AM＝2，即 x＝2 ∴y＝2 3，即两块三角板重叠部分的面积为 2 3 ②当 M 在 AB 延长线上时（如图 2） 设 DE 与 BC 交于点 R，过点 D 作 DG∥BC，交 AB 于点 G 则 BG＝BM＝DG＝2，∴AM＝6，BR＝1 ∴CN＝ 2 3 ，∴RN＝ 7 3 ∴y＝S△DRN ＝ 1 2 × 7 3 × 3＝7 3 6 综上所述，两块三角板重叠部分的面积为 2 3 和 7 3 6 13．（上海模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点 D，点 E、F A B C D E F M 图 1 A B C D E F M 图 2 N A B C 备用图 A B C D E M N F R G M 图 3 A B C D E F M 图 1 N P Q A B C DE F M 图 2 N 分别在边 AC、BC 上，且∠EDF＝60°．设 AE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当△BDF 是等腰三角形时，求 x 的值； （3）以 DF 为直径的圆能否与 AC 相切？如果能，求 tan∠AED 的值；如果不能，请说明理由． 解：（1）如图，作 DG⊥AC 于 G，FH⊥AB 于 H，FK⊥CD 于 K 在 Rt△ABC 中，∠A＝60°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2 3 ∴CD＝ 3，AD＝1，AG＝ 1 2 ，DG＝ 3 2 FH＝ 1 2 y，BH＝ 3 2 y DH＝KF＝CF·cos30°＝(BC－BF)cos30° ＝(2 3－y)× 3 2 ＝3－ 3 2 y ∵∠ADG＝30°，∠EDF＝60°，∴∠EDG＋∠FDH＝90° 又∠EDG＋∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠FDH ∴Rt△DEG∽△FDH，∴ DG EG ＝ FH DH ，即 3 2 x－ 1 2 ＝ 1 2 y 3－ 3 2 y ∴y＝ 3 3 x＋1 ∵当点 E 与点 G 重合时，点 F 与点 C 重合 ∴自变量 x 的取值范围是 1 2 ≤x ≤2 （2）BD＝AB－AD＝4－1＝3 ∵∠DFB＞∠DCB＞∠B，∴DF≠DB ①当 BF＝BD 时， 3 3 x＋1 ＝3，∴x＝ 3－1 ②当 DF＝BF 时，则 DH＝BH，2BH＝BD 即 2× 3 2 y＝3，∴y＝ 3 ∴ 3 3 x＋1 ＝ 3，∴x＝2 （3）作 DG⊥AC 于 G，DH⊥BC 于 H，设以 DF 为直径的⊙O 与 AC 相切于 I，连接 OI 则 OI 是梯形 CFDG 的中位线 ∴OI＝ 1 2 (CF＋DG)＝ 1 2 (2 3－y＋ 3 2 )＝5 3 4 － 1 2 y A B D C E F A B D C E F G H K A D E G I O 在 Rt△DFH 中，DH＝ 1 2 BD＝ 1 2 (4－1)＝ 3 2 FH＝|CH－CF|＝|DG－CF|＝| 3 2 －(2 3－y)| ＝|y－3 3 2 | 由勾股定理得 DF 2＝DH 2＋FH 2＝ 9 4 ＋(y－3 3 2 )2 由题意知 DF＝2OI，∴DF 2＝4OI 2 得 9 4 ＋(y－3 3 2 )2＝4(5 3 4 － 1 2 y)2 整理得 2 3y＝39 4 ，即 y＝13 3 8 ∴ 3 3 x＋1 ＝13 3 8 ，∴x＝ 11 13 ，∴GE＝ 11 13 － 1 2 ＝ 9 26 ∴tan∠AED＝ DG GE ＝ 3 2 9 26 ＝13 3 9 14．（上海模拟）如图，P 是线段 AB 上任意一点（不与点 A、B 重合），分别以 AP、BP 为边，在 AB 的同 侧作等边△APD 和等边△BPC，连接 BD 与 PC 交于点 E，连接 CD． （1）当 BC⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值； （2）若线段 CD 是线段 DE 和 DB 的比例中项，试求此时 AP PB 的值； （3）记四边形 ABCD 的面积为 S，当 P 在线段 AB 上运动时，S 与 BD 2 是否成正比例？若成正比例，试求 出比例系数；若不成正比例，请说明理由． 解：（1）∵等边△APD 和等边△BPC ∴PC＝BC，∠CPD＝60°，PD∥BC 当 BC⊥CD 时，tan∠DBC＝ CD BC ＝ CD PC ∴PD⊥CD，CD PC ＝sin∠CPD＝sin60°＝ 3 2 ∴∠DBC 的正切值为 3 2 （2）由已知，CD 2＝DE·DB，即 DE CD ＝ CD DB 又∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC D A C BP E D A C BP E 备用图 ∴ DE CD ＝ CD DB ＝ CE BC 又 CP＝BC，∴ CE BC ＝ CE CP ∵PD∥BC，∴ CE CP ＝ BE BD ∴ CD DB ＝ CE CP ＝ BE BD ，∴CD＝BE ∴ DE BE ＝ BE BD ，即点 E 是线段 BD 的黄金分割点 ∴ DE BE ＝ BE BD ＝ 5－1 2 又 PC∥AD，∴ AP PB ＝ DE BE ＝ 5－1 2 （3）设 AP＝a，PB＝b，则 S△APD＝ 3 4 a2，S△BPC＝ 3 4 b2 ∵AD∥PC，PD∥BC ∴ S△APD S△PDC ＝ AD PC ， S△PDC S△BPC ＝ PD BC ∴ S△APD S△PDC ＝ S△PDC S△BPC ，∴S△PDC ＝ S△APD·S△BPC ＝ 3 4 ab ∴S＝ 3 4 (a2＋ab＋b2) 作 DH⊥AB，则 DH＝ 3 2 a，BH＝ 1 2 a＋b ∴BD 2＝DH 2＋BH 2＝ 3 4 a2＋( 1 2 a＋b)2＝a2＋ab＋b2 ∴ S BD 2 ＝ 3 4 ∴S 与 BD 2 成正比例，比例系数为 3 4 15．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，D 是 AC 边的中点，E 是 BC 边上一动点（不 与端点重合），EF∥BD 交 AC 于 F，交 AB 延长线于 G，H 是 BC 延长线上的点，且 CH＝BE，连接 FH．设 BE＝x，CF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）连接 AE，当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的 ⊙F 相切时，求 tan∠BAE 的值； （3）当△BEG 与△FCH 相似时，求 BE 的长． A B C D E F G H A B C D 备用图 A B C D 备用图 D A C BP E 解：（1）∵EF∥BD，∴ CF CD ＝ CE CB 即 y 5 2 ＝ 6－x 6 ，∴y＝ 5 2 － 5 12 x （2）∵CH＝BE，BC＝BE＋EC，EH＝EC＋CH ∴EH＝BC＝6 当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的⊙F 相切时，GE＋FH＝GF 又 GE＋FE＝GF，∴FE＝FH 作 FM⊥EH 于 M，则 EM＝ 1 2 EH＝3，MC＝ 3 5 y＝ 3 2 － x 4 ∵EM＋MC＝EC，∴3＋ 3 2 － x 4 ＝6－x，解得 x＝2 作 EN⊥AB 于 N，则 BN＝ 3 5 BE＝ 6 5 ，EN＝ 4 5 BE＝ 8 5 ∴AN＝AB－BN＝5－ 6 5 ＝19 5 ∴tan∠BAE＝ EN AN ＝ 8 19 （3）作 FP∥AG 交 BC 于 P，则∠FPC＝∠ABC ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC ∴∠FPC＝∠ACB，∴FP＝FC＝ 5 2 － 5 12 x，EP＝6－x－2( 3 2 － x 4 )＝3－ x 2 ∵FP∥AG，∴△PEF∽△BEG 若△BGE∽△FCH，则△PEF∽△FCH 于是 PE PF ＝ CF CH ，即 3－ x 2 5 2 － 5 12 x ＝ 5 2 － 5 12 x x 解得 x＝6（舍去）或 x＝150 97 或 PE PF ＝ CH CF ，即 3－ x 2 5 2 － 5 12 x ＝ x 5 2 － 5 12 x 解得 x＝2 综上所述，当△BEG 与△FCH 相似时，BE 的长为 150 97 或 2 16．（上海模拟）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点 O 为 AB 边的中点，点 M 是 BC 边上一 A B C D E F G HM N P 动点（不与点 B、C 重合），AD⊥AB，垂足为点 A．连接 MO，将△BOM 沿直线 MO 翻折，点 B 落在点 B1 处，直线 MB1 与 AC、AD 分别交于点 F、N． （1）当∠CMF＝120° 时，求 BM 的长； （2）设 BM＝x，y＝ △CMF 的周长 △ANF 的周长 ，求 y 关于 x 的函数关系式。并写出自变量 x 的取值范围； （3）连接 NO，与 AC 边交于点 E，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长． 解：（1）∵∠CMF＝120° ，∴∠BMN＝60° ∴∠BMO＝30° ∴Rt△MOB 中，BM＝OB·cot30°＝2 3 （2）连接 ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON ∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N 又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90° ∵∠OB1M＝∠B＝90°，∴△MB1O∽△OB1N， ∴OB1 2＝B1M·B1N 又 B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2 ∴22＝x·B1N，∴B1N＝ 4 x ，∴AN＝ 4 x ∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90° 又∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF ∴y＝ △CMF 的周长 △ANF 的周长 ＝ CM AN ＝4－x 4 x ＝－ 1 4 x2＋x 即 y＝－ 1 4 x2＋x（0＜x＜4） （3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45° 若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO 或∠FMC＝∠AOE ①当∠FMC＝∠AEO 时，有∠CFM＝∠AOE 由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF ∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC ∴∠OMB＝∠C＝45° ∴Rt△MOB 中，BM＝OB·cot45°＝2 ②当∠FMC＝∠AOE 时，∵∠AOE＝∠OMF ∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60° ∴△MOB 中，BM＝OB·cot60°＝2 3 3 综上所述，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长为 2 或 2 3 3 17．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，cosB＝ 3 5 ，点 D 在射线 AB 上，DE∥BC 交射线 AC D A C B N O F M B1 D A C B N O F M B1 D A C B N O MB1(F) E D A C B N O F M B1 E 于点 E，点 F 在 AE 的延长线上，且 EF＝ 1 4 AE，以 DE、EF 为邻边作□DEFG，连接 BG． （1）当 EF＝FC 时，求△ADE 的面积； （2）设 AD＝x，□DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当点 F 在线段 AC 上时，若△DBG 是等腰三角形，求 AD 的长． 解：（1）作 AH⊥BC 于 H 在 Rt△ABH 中，cosB＝ BH AB ＝ 3 5 ，AB＝10 ∴BH＝6，∴AH＝8 ∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝12 ∴S△ABC ＝ 1 2 ×12×8＝48 ∵EF＝ 1 4 AE，EF＝FC，∴ AE AC ＝ 4 6 ＝ 2 3 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ S△ADE S△ABC ＝( AE AC )2＝ 4 9 ∴S△ADE ＝ 4 9 S△ABC ＝ 4 9 ×48＝64 3 （2）设 AH 交 DE、GF 于点 M、N ∵DE∥BC，∴ AE AC ＝ AM AH ＝ DE BC ∵AD＝x，∴AM＝ 4 5 x，DE＝ 6 5 x ∵MN＝ 1 4 AM＝ 1 5 x ①当点 F 在线段 AC 上时 ∴y＝S□DEFG ＝ 6 5 x· 1 5 x＝ 6 25 x2（0＜x ≤8） ②当点 F 在 AC 延长线上时，则 MH＝8－ 4 5 x ∴y＝S□DECK ＝ 6 5 x·(8－ 4 5 x)＝－ 24 25 x2＋48 5 x（x ＞8） 综合得：y＝ 6 25 x2（0＜x ≤8） － 24 25 x2＋48 5 x（x ＞8） A B D E C G F A B C 备用图 A B D E C G F M N H A B D E C G F M H N K （3）∵BC＞AC，∴∠A＞∠ABC ∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠A＞∠ABC＞∠DBG ∴BG＞DG 作 FP⊥BC 于 P，GQ⊥BC 于 Q 在 Rt△FPC 中，FC＝10－ 5 4 x，sinC＝sin∠ABC＝ 4 5 ，cosC＝cos∠ABC＝ 3 5 ∴FP＝8－x，PC＝6－ 3 4 x，∴BQ＝12－ 6 5 x－(6－ 3 4 x)＝6－ 9 20 x ∴BG＝ (8－x)2＋(6－ 9 20 x)2 在△DBG 中，DB＝10－x，DG＝ 1 4 x ①若 DB＝DG，则 10－x＝ 1 4 x，解得 x＝8 ②若 DB＝BG，则 10－x＝ (8－x)2＋(6－ 9 20 x)2 解得 x1＝0（舍去），x2＝560 81 综上所述，若△DBG 是等腰三角形，AD 的长为 8 或 560 81 18．（上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，cos∠BAC＝ 1 3 ，点 O 在 AB 上，且 CA＝CO＝6．将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′C′，且 C′ 落在 CO 的延长线上，连接 BB′ 交 CO 的延长线于点 D， （1）求证：△COA∽△BOD （2）求 BD 的长． （1）证明：∵∠BAC＝∠B′AC′，∴∠CAC′＝∠B′AB′ ∵AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝ 1 2 (180°－∠CAC′) ∵AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝ 1 2 (180°－∠BAB′) ∴∠ACC′＝∠ABB′ 又∠COA＝∠BOD，∴△COA∽△BOD （2）解：∵CA＝CO，△COA∽△BOD，∴BD＝BO ∵cos∠BAC＝ 1 3 ，CA＝CO＝6，∴BA＝18 过 C 作 CE⊥AB 于 E，则 EA＝ 1 3 CA＝2，OA＝2EA＝4 A B O B′ D C C′ A B O B′ D C C′ E A B D E C G F PQ ∴BD＝BO＝BA－OA＝18－4＝14 19．（安徽）如图 1，在△ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC＝a、AC＝b、AB＝c． （1）求线段 BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF； （3）连接 CG，如图 2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG． （1）解：∵△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，且 BD＝DC ∴BG＝AG＋AC＝ 1 2 (AB＋AC)＝ 1 2 (b＋c) （2）证明：∵点 D、F 分别是 BC、AB 的中点，∴DF＝ 1 2 AC＝ 1 2 b 又∵FG＝BG－BF＝ 1 2 (b＋c)－ 1 2 c＝ 1 2 b ∴DF＝FG，∴∠FDG＝∠FGD ∵点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，∴DE∥AB ∴∠EDG＝∠FGD，∴∠FDG＝∠EDG 即 DG 平分∠EDF （3）证明：∵△BDG 与△DFG 相似，∠DFG＞∠B，∠BGD＝∠DGF（公共角） ∴∠B＝∠FDG 由（2）知∠FGD＝∠FDG，∴∠FGD＝∠B，∴DG＝BD ∵BD＝DC，∴DG＝BD＝DC，∴B、G、C 三点在以 BG 为直径的圆周上 ∴∠BGC＝90°，即 BG⊥CG 20．（浙江金华、丽水）在△ABC 中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝ 3 5 ．如图，把△ABC 的一边 BC 放置在 x 轴上，有 OB＝14，OC＝10 3 34，AC 与 y 轴交于点 E． （1）求 AC 所在直线的函数解析式； （2）过点 O 作 OG⊥AC，垂足为 G，求△OEG 的面积； （3）已知点 F（10，0），在△ABC 的边上取两点 P，Q，是否存在以 O，P，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． xO y A B C G E F xO y A B C E F 备用图 D A B C G F E 图 1 D A B C G F E 图 2 解：（1）在 Rt△OCE 中，OE＝OC·tan∠OCE＝10 3 34× 3 5 ＝2 34，∴点 E（0，2 34） 设直线 AC 的函数解析式为 y＝kx＋2 34，则 10 34 3 k＋2 34＝0，解得：k＝－ 3 5 ∴直线 AC 的函数解析式为 y＝－ 3 5 x＋2 34 （2）方法 1：在 Rt△OGE 中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝ EG GO ＝ 3 5 设 EG＝3t，则 OG＝5t，OE＝ EG 2＋OG 2 ＝ 34t，∴2 34＝ 34t，得 t＝2 故 EG＝6，OG＝10 ∴S△OEG ＝ 1 2 OG·EG＝ 1 2 ×10×6＝30 方法 2：在 Rt△OCE 中，∵tan∠OCE＝ 3 5 ，∴sin∠OCE＝ 3 34 ∴OG＝OC·sin∠OCE＝10 3 34× 3 34 ＝10 在 Rt△OEG 中，EG＝OG·tan∠OCE＝10× 3 5 ＝6 S△OEG ＝ 1 2 OG·EG＝ 1 2 ×10×6＝30 （3）①当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G 如图 1，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有 P1F⊥x 轴 由于点 P1 在直线 AC 上，当 x＝10 时，y＝－ 3 5 ×10＋2 34＝2 34－6 ∴点 P1（10，2 34－6） ②当点 Q 在 AB 上时 如图 2，有 OQ＝OF，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2 过点 Q 作 QH⊥OB 于点 H，设 OH＝a，则 BH＝QH＝14－a 在 Rt△OQH 中，a2＋(14－a)2＝100，解得：a1＝6，a2＝8 ∴Q（－6，8）或 Q（－8，6） 连接 QF 交 OP2 于点 M 当 Q（－6，8）时，则点 M（2，4） 此时直线 OM 的函数解析式为 y＝2x 由 y＝2x y＝－ 3 5 x＋2 34 解得： x＝ 10 13 34 y＝ 20 13 34 ∴P2（10 13 34， 20 13 34） xO y A B C Q E F 图 1 P1 (G) xO y A B C Q E F 图 2 P2 H M xO y A B C Q E F 图 3 P4 当 Q（－8，6）时，同理可求得 P3（ 5 9 34， 5 3 34） 如图 3，有 QP4∥OF，QP4＝OF＝10 设点 P4 的横坐标为 x，则点 Q 的横坐标为(x－10) ∵yQ＝yP ，直线 AB 的函数解析式为 y＝x＋14 ∴(x－10)＋14＝－ 3 5 x＋2 34 解得：x＝5 34－10 4 ，可得：y＝5 34＋6 4 ∴点 P4（5 34－10 4 ，5 34＋6 4 ） ③当点 Q 在 BC 边上时，如图 4，QQ＝OF＝10，点 P5 在 E 点 ∴点 P5（0，2 34） 综上所述，存在满足条件的点 P 的坐标为：P1（10，2 34－6），P2（ 10 13 34， 20 13 34）， P3（ 5 9 34， 5 3 34），P4（5 34－10 4 ，5 34＋6 4 ），P5（0，2 34） 21．（浙江义乌）在锐角△ABC 中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°．将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转， 得到△A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1、CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3）如图 3，点 D 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中， 点 P 的对应点是点 P1，求线段 DP1 长度的最大值与最小值． 解：（1）∵BC＝BC1，∴∠A1C1B＝∠ACB＝45° 又∠A1C1B＝∠ACB＝45° ∴∠CC1A1＝∠AC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90° （2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1 ∴ BA BC ＝ BA1 BC1 ，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1 ∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1 ∴ S△ABA1 S△CBC1 ＝( AB BC )2＝( 4 5 )2＝ 16 25 ∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝4× 25 16 ＝ 25 4 （3）过点 B 作 BE⊥AC 于点 E A B C P1 D C1 A1 P 图 3 A B C C1 A1 图 2 A B C C1 A1 图 1 A B C D A1 (P) A B C P1 D C1 A1 (P) E xO y A B CQ E F 图 4 (P5) ∵△ABC 为锐角三角形，∴点 E 在线段 AC 上 在 Rt△BCE 中，BE＝BC·sin45°＝ 5 2 2 ①当 P 在 AC 上运动至垂足点 E，△ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 上时，DP1 最小 最小值为 5 2 2－2 ②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 的延长线上时，DP1 最 大，最大值为 2＋5＝7 22．（浙江模拟）如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PF∥AC 交线段 BD 于点 F，作 PG⊥AB 交 AD 于点 E，交线段 CD 于点 G，设 BP＝x． （1）用含 x 的代数式表示线段 DG 的长，并写出自变量 x 的取值范围； （2）记△DEF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能，求出 BP 的长；如果不能，请说明理 由． 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝60° ∵AD⊥BC，PG⊥AB，∴BD＝ 1 2 BC＝1，BG＝2BP＝2x ∴DG＝BG－BD＝2x－1（ 1 2 ＜x≤1） （2）∵PF∥AC，∴△BPF 为等边三角形 ∴BF＝BP＝x，∴FD＝1－x 在 Rt△EDG 中，∠EGD＝90°－∠B＝30°，DG＝2x－1 ∴ED＝ 3 3 DG＝ 3 3 (2x－1) ∴S＝ 1 2 FD·ED＝ 1 2 (1－x)· 3 3 (2x－1) 即 S＝－ 3 3 x2＋ 3 2 x－ 3 6 （ 1 2 ＜x≤1） ∵S＝－ 3 3 x2＋ 3 2 x－ 3 6 ＝－ 3 3 (x－ 3 4 )2＋ 3 48 ， 1 2 ＜ 3 4 ＜1 ∴当 x＝ 3 4 时，S 有最大值，最大值为 3 4 （3）∵∠EPF＝∠EGD＝30°，∠EDG＝90° ∴当△PEF∽△GDE 时（如图 1），有∠PEF＝90° ∴∠PFE＝60°，∴∠EFG＝60°，∴EF＝2FD C A DFB E G P C A DFB E G P 图 1 A E P 又∵PF＝2EF，∴PF＝4FD ∴x＝4(1－x)，解得 x＝ 4 5 当△PFE∽△GDE 时（如图 2），有∠PFE＝90° ∴∠EFD＝30°，∴EF＝2DE＝ 2 3 3 FD 又∵PF＝ 3EF，∴PF＝2FD ∴x＝2(1－x)，解得 x＝ 2 3 ∴以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 能相似，此时 BP 的长为 4 5 或 2 3 23．（江苏淮安） 阅读理解 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合．．，无论折叠多少 次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图 2，沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿△ABC 的∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠 部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？_________（填“是”或“不 是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系． 根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间 的等量关系为________________． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°，60°，105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均 是此三角形的好角． 解：（1）是 （2）∠B＝3∠C ∠B＝n∠C 提示：如图，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3 折叠，点 B2 与点 C 重合，则∠BAC 是△ABC 的好角． 证明：∵∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2 ∴∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C A B CB1 B2 Bn Bn+1 A1 A2 An 图 1 … A B CB1 B2 B3 A1 A2 A B CB1 图 2 A B CB1 图 3 B2 A1 ∴∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1 B1C＝∠BAC＋2∠B－2C＝180° ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180° ∴∠B＝3∠C 故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B＝n∠C （3）不妨设此三角形为△ABC，最小角为∠A＝4° 设∠B＝x°，∠C＝y°（不妨设 x＞y） 则 x＝my，y＝4n（m，n 均为正整数） 由∠A＋∠B＋∠C＝180°得：4＋4mn＋4n＝180 即 n(m＋1)＝44 ∵m，n 均为正整数 ∴ m＝43 n＝1 或 m＝21 n＝2 或 m＝1 n＝22 或 m＝10 n＝4 或 m＝3 n＝11 当 m＝43，n＝1 时，∠B＝172°，∠C＝4° 当 m＝21，n＝2 时，∠B＝88°，∠C＝88° 当 m＝1，n＝22 时，∠B＝168°，∠C＝8° 当 m＝10，n＝4 时，∠B＝160°，∠C＝16° 当 m＝3，n＝11 时，∠B＝132°，∠C＝44° 所以该三角形另外两个角的度数为：4°，172° 或 88°，88° 或 8°，168° 或 16°，160° 或 44°，132° 24．（江苏宿迁）（1）如图 1，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ 1 2 ∠ABC （0°＜∠CBE＜ 1 2 ∠ABC）．以点 B 为旋转中心，将△BEC 按顺时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处），连接 DE′．求证：DE′＝DE． （2）如图 2，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ 1 2 ∠ABC （0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE 2＝AD 2＋EC 2． （1）证明：由题意得，△BE′A≌△BEC ∴BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC ∵∠DBE＝ 1 2 ∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC＝ 1 2 ∠ABC ∴∠E′BD＝∠ABD＋∠E′BA＝ 1 2 ∠ABC ∴∠E′BD＝∠EBD 又∵BD＝BD，∴△E′BD≌△EBD ∴DE′＝DE A B C 图 2 E D A B C E′ 图 1 E D （2）证明：如图，将△BEC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°，点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处，连接 DE′ 则有 AE′＝CE，∠E′AB＝∠ECB 在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90° ∴∠BAD＝∠ECB＝∠E′AB＝45° ∴∠E′AD＝∠E′AB＋∠BAD＝90° ∴△E′AD 是直角三角形，∴DE′ 2＝AD 2＋AE′ 2 由（1）知，DE′＝DE ∴DE 2＝AD 2＋EC 2 25．（江苏镇江）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为 边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1）． （1）求证：AM＝AN； （2）设 BP＝x． ①若 BM＝ 3 8 ，求 x 的值； ②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，∠BAD＝15°？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由． （1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形 ∴AP＝AD，∠DAP＝∠BAC＝60°，∠ADM＝∠APN＝60° ∴∠DAM＝∠PAN，∴△ADM≌△APN，∴AM＝AN （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ BM CP ＝ BP CA ∵BM＝ 3 8 ，AC＝2，CP＝2－x，∴可得 4x2－8x＋3＝0 解得 x＝ 1 2 或 3 2 ②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积 ∵△ADM≌△APN，∴S△ADM ＝S△APN ∴S 四边形 AMPN ＝S△APM ＋ S△APN ＝S△AMP ＋ S△ADM ＝S△ADP 过点 P 作 PS⊥AB，垂足为 S（如图） 在 Rt△BPS 中，∵∠B＝60°，BP＝x ∴PS＝BP·sin60°＝ 3 2 x，BS＝BP·cos60°＝ 1 2 x ∵AB＝2，∴AS＝AB－BS＝2－ 1 2 x A B C E D P M N 图 1 A B C E D P M N 图 2 G H A B C E D E′ A B C E D P M N T S ∴AP 2＝AS 2＋PS 2＝(2－ 1 2 x)2＋( 3 2 x)2＝x2－2x＋4 取 AP 的中点 T，连接 DT，在等边△ADP 中，DT⊥AB ∴S△ADP ＝ 1 2 AP·DT＝ 1 2 AP· 3 2 AP＝ 3 4 AP 2 ∴S＝S 四边形 AMPN ＝S△ADP ＝ 3 4 AP 2＝ 3 4 (x－1)2＋ 3 3 4 （0＜x＜2） ∴当 x＝1 时，S 的最小值是 3 3 4 ③连接 PG，若∠DAB＝15°，∵∠DAP＝60°，∴∠PAG＝45° 易证四边形 ADPE 为菱形，∴DO 垂直平分 AP ∴GP＝AG，∴∠PAG＝∠APG＝45°，∠PGA＝90° 设 BG＝t，在 Rt△BPG 中，∠ABP＝60°，∴BP＝2t，PG＝ 3t ∴AG＝PG＝ 3t，∴ 3t＋t＝2，求得 t＝ 3－1，∴BP＝2t＝2 3－2 ∴当 BP＝2 3－2 时，∠DAB＝15° 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形 方法 1：设 DE 交 AP 于点 O ∵等边△APD 和△APE，∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA ∴四边形 ADPE 为菱形，∴AO⊥DE，∠ADO＝∠AEH＝30° ∵∠DAB＝15°，易得∠AGO＝45°，∠HAO＝15°，∠EAH＝45° 设 AO＝a，则 AD＝AE＝2a，GO＝AO＝a，OD＝ 3a ∴DG＝DO－GO＝( 3－1)a ∵∠DAB＝15°，∠BAC＝60°，∠ADO＝30°，∴∠DHA＝∠DAH＝75° ∵DH＝AD＝2a，∴GH＝DH－DG＝2a－( 3－1)a＝(3－ 3)a HE＝DE－DH＝2DO－DH＝2 3a－2a＝2( 3－1)a ∵DG 2＋GH 2＝[( 3－1)a]2＋[(3－ 3)a]2＝(16－8 3)a 2 HE 2＝[2( 3－1)a]2＝(16－8 3)a 2 ∴DG 2＋GH 2＝HE 2 ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形 方法 2：将△ADG 沿 AB 翻折得△AD′G，则 GD′＝GD，∠D′GB＝∠DGB ∵∠DGB＝∠DAG＋∠ADG＝15°＋30°＝45° ∴∠D′GB＝45°，∠D′GH＝90° ∵AE＝AP，AP＝AD，AD′＝AD，∴AD′＝AE ∵∠EAH＝∠DAE－∠DAG－∠BAC＝120°－60°－15°＝45° ∠D′AH＝∠BAC－∠D′AB＝60°－15°＝45° ∴∠EAH＝∠D′AH ∵AH＝AH，∴△AEH≌△AD′H，∴D′H＝EH 又∵GD′＝GD，∠D′GH＝90° ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形 26．（江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2），点 P 是线段 OA 上的一个动点（不 与端点重合），过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN．连接 AN 并延长交 x 轴于点 B， 连接 ON，设 OQ＝t． （1）求 tan∠BON 的值； （2）用含 t 的代数式表示△OAB 的面积 S； （3）是否存在点 P，使以 B、M、N 为顶点的三角形与△MON 相似，若存在，请求出 B 点的坐标；若不 存在，请说明理由． A B C E D P M N G H O A B C E D P M N G H O D′ 解：（1）过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，交 PN 于 C（如图 1） ∵A（2，2），∴AD＝OD＝2，∴∠AOB＝45° ∴PQ＝OQ＝QM＝MN＝t，∴OM＝2t ∴tan∠BON＝ MN OM ＝ t 2t ＝ 1 2 （2）∵PN∥OB，∴△APN∽△AOB ∴ AC AD ＝ PN OB ，即 2－t 2 ＝ t OB ，∴OB＝ 2t 2－t ∴S＝ 1 2 OB·AD＝ 2t 2－t （0＜t ＜2） （3）∵∠BMN＝∠OMN＝90° ∴要使△BMN 与△OMN 相似，只需 BM MN ＝ MN OM 或 BM MN ＝ OM MN 即 BM ＝ 1 2 t 或 BM＝2t ①当 BM ＝ 1 2 t 时 i）若 B 在 M 的左侧（如图 2），则 OB ＝OM－BM＝ 3 2 t ∴ 2t 2－t ＝ 3 2 t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 2 3 ∴B（1，0） ii）若 B 在 M 的右侧（如图 1），则 OB ＝OM＋BM＝ 5 2 t ∴ 2t 2－t ＝ 5 2 t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 6 5 ∴B（3，0） ②当 BM＝2t 时，B 在 M 的右侧（如图 3） OB ＝OM＋BM＝4t ∴ 2t 2－t ＝4t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 3 2 ∴B（6，0） 综上所述，B 点的坐标为（1，0）或（3，0）或（6，0） 27．（江苏模拟）在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4），A（t，0）是 x 轴上一动点，M 是线段 AC 的中点．把线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，得到线段 AB，过点 B 作 x 轴的垂线，过点 C 作 y 轴的 垂线，两直线交于点 D，直线 DB 交 x 轴于点 E． （1）若 t＝3，则点 B 的坐标为____________，若 t＝－3，则点 B 的坐标为____________； （2）若 t ＞0，当 t 为何值时，△BCD 的面积等于 6？ （3）是否存在 t，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在， 请说明理由． BMQO P N Ay x O Ay x 备用图 B MQO P N A x 图 2 y BMQO P N A x 图 3 y BMQO P N Ay xD 图 1 C B EAO M DC y x O C y x 解：（1）（5，3 2 ），（－1，－ 3 2 ） （2）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 ∵∠CAB＝90°，∴∠CAO＋∠BAE＝90° ∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BAE＝∠ACO 又∠BEA＝∠AOC＝90°，∴△BEA∽△AOC ∴ AE CO ＝ BE AO ＝ AB CA ＝ 1 2 ，即 AE 4 ＝ BE t ＝ 1 2 ∴AE＝2，BE＝ 1 2 t，∴B（t＋2， 1 2 t） ∴S△BCD ＝ 1 2 CD·BD＝ 1 2 (t＋2)(4－ 1 2 t)＝6 解得 t＝2 或 t＝4 ②当 t ＞8 时，如图 2 S△BCD ＝ 1 2 CD·BD＝ 1 2 (t＋2)( 1 2 t－4)＝6 解得 t＝10 或 t＝－4（舍去） ∴当 t＝2 或 t＝4 或 t＝10 时，△BCD 的面积等于 6 （3）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 若△CDB∽△AOC，则 CD AO ＝ BD CO 即 t＋2 t ＝ 4－ 1 2 t 4 ，t 无实数解 若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－2 5－2（舍去）或 t＝2 5－2 ②当 t ＞8 时，如图 2 若△CDB∽△AOC，则 CD AO ＝ BD CO 即 t＋2 t ＝ 1 2 t－4 4 ，解得 t＝－4 3＋8（舍去）或 t＝4 3＋8 若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ③当－2＜t＜0 时，如图 3 若△CDB∽△AOC，则 CD AO ＝ BD CO 即 t＋2 －t ＝ 4－ 1 2 t 4 ，t＝－4 5＋8 或 t＝4 5＋8（舍去） 若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ④当 t ＜－2 时，如图 4 B EA O M D C y x 图 4 B E A O M DC y x 图 3 B EAO M DC y x 图 1 B EAO M D C y x 图 2 △CDB∽△AOC，则 CD AO ＝ BD CO 即 － t－2 －t ＝ 4－ 1 2 t 4 ，t 无实数解 若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－4 或 t＝4（舍去） ∴存在 t＝2 5－2 或 4 3＋8 或－4 5＋8 或－4，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似 28．（江苏模拟）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠BAE＝135°，AC ＝2 2，AD＝1，F 为 BE 的中点． （1）求 CF 的长； （2）将△ADE 绕点 A 旋转一周，求点 F 运动路径的长． 解：（1）延长 DF 交 AB 于点 G，连接 CD、CG ∵△ADE 是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45° 又∠BAE＝135°，∴DE∥BA ∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF 又 F 为 BE 中点，∴EF＝BF ∴△DEF≌△GBF，∴DE＝GB，DF＝GF 又 AD＝DE，AC＝BC，∠DAC＝∠GBC＝45° ∴△ACD≌△BCG，∴CD＝CG，∠ACD＝∠BCG 又∠ACB＝∠ACG＋∠BCG＝90° ∴∠DCG＝∠ACD＋∠ACG＝90° ∴△DCG 是等腰直角三角形，∴CF＝ 2 2 CD 过 D 作 DH⊥AC 于 H 则 AH＝DH＝ 2 2 AD＝ 2 2 ，CH＝AC－AH＝3 2 2 ∴CD＝ CH 2＋DH 2 ＝ 5 ∴CF＝ 2 2 CD＝ 10 2 （2）取 AB 中点 M，连接 MF，则 MF 是△BAE 的中位线 ∴MF＝ 1 2 AE＝ 2 2 AD＝ 2 2 当△ADE 绕点 A 旋转时，由于线段 AB 的中点 M 是定点， 线段 MF 的长是定长，所以点 F 到 M 的距离始终等于定长 MF，故点 F 的运动路径是以点 M 为圆心，MF 长为半径的圆 ∴△ADE 绕点 A 旋转一周，点 F 运动路径的长为：2π× 2 2 ＝ 2π CA B D E F CA B D E F G H F CA B D E M 29．（江苏模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点 D 为 AC 边上一点，且 AD＝8cm．动 点 E 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 BC 向终点 C 运动，F 是射线 CA 上的动点，且∠DEF＝∠B．设 运动时间为 t s，CF 的长为 y cm． （1）求 y 与 t 之间的函数关系式及点 F 运动路线的长； （2）当以点 B 为圆心，BE 长为半径的⊙B 与以点 C 为圆心，CF 长为半径的⊙C 相切时，求 t 的值； （3）当△CEF 为等腰三角形时，求 t 的值． 解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B ∵∠CEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∠BDE＋∠B＋∠BED＝180°，∠DEF＝∠B ∴∠CEF＝∠BDE，∴△CEF∽△BDE ∴ CF BE ＝ CE BD ，∴ y t ＝ 12－t 10－8 ∴y＝－ 1 2 t2＋6t（0≤t ≤12） ∵y＝－ 1 2 t2＋6t＝－ 1 2 (t－6)2＋18 ∴y 的最大值为 18cm ∴点 F 运动路线的长为 36cm （2）①当⊙B 与⊙C 外切时，点 F 在线段 CA 上，且 BE＋CF＝BC ∴t－ 1 2 t2＋6t＝12，解得 t＝2 或 t＝12（舍去） ②当⊙B 与⊙C 内切时，点 F 在 CA 延长线上，且 CF－BE＝BC ∴－ 1 2 t2＋6t－t＝12，解得 t＝4 或 t＝6 综上所述，当⊙B 与⊙C 相切时，t 的值为 2 或 4 或 6 （3）①若 EF＝CF，则∠C＝∠CEF ∵∠C＝∠B，∴△FEC∽△ABC ∴ FC AC ＝ EC BC ，∴ － 1 2 t2＋6t 10 ＝ 12－t 12 解得 t＝ 5 3 或 t＝12（舍去） ②若 EF＝EC，则∠C＝∠EFC ∵∠C＝∠B，∴△EFC∽△ABC F E D C A B D C A B 备用图 E D C A B F E D C A B (F) ∴ EC AC ＝ FC BC ，∴12－t 10 ＝ － 1 2 t2＋6t 12 解得 t＝12 5 或 t＝12（舍去） ③若 CF＝CE，则－ 1 2 t2＋6t＝12－t 解得 t＝2 或 t＝12（舍去） 综上所述，当△CEF 为等腰三角形时，t 的值为 5 3 或 2 或 12 5 30．（江苏模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，tanC＝ 4 3 ，BD＝CD，E、F 分别是线段 BC、BD 上的动点（点 E 与点 B、C 不重合），且∠DEF＝∠ADB．设 CE＝x，DF＝y． （1）求 BC 和 BD 的长； （2）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当△DEF 为等腰三角形时，求 x 的值． 解：（1）∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠DBC ∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠C ∴tan∠ADB＝tanC＝ 4 3 ，∴ AB AD ＝ 4 3 ∵AB＝8，∴AD＝6，∴BD＝10 过 D 作 DH⊥BC 于 H，则 DH＝AB＝8，BH＝AD＝6 ∵DB＝DC，∴BC＝2BH＝12 （2）∵∠DEF＝∠ADB，∠ADB＝∠C，∴∠DEF＝∠C ∵∠DEB＝∠1＋∠DEF＝∠2＋∠C，∴∠1＝∠2 又∠DBC＝∠C，∴△BEF∽△CDE ∴ BF CE ＝ BE CD ，即 10－y x ＝ 12－x 10 ∴y＝ 1 10 x2－ 6 5 x＋10 （3）若①DE＝FE，则△BEF≌△CDE，∴BE＝CD 即 12－x＝10，得 x＝2 ②若 FD＝FE，则∠FDE＝∠FED＝∠DBE ∴DE＝BE＝12－x 在 Rt△DHE 中，(6－x)2＋8 2＝(12－x)2，解得 x＝11 3 ③若 DE＝DF，则∠DFE＝∠DEF＝∠DBE 此时点 F 与点 B 重合，故点 E 与点 C 也重合，不合题意，舍去 综上所述，当△DEF 为等腰三角形时，x＝2 或 11 3 A B C D M E M F M A B C D M E M F M 2 1 H M 31．（江苏模拟）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E 是 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F，若∠FGE＝45°． （1）求证：BD·BC＝BG·BE； （2）求证：AG⊥BE； （3）若 E 是 AC 的中点，求 EF DF 的值． （1）证明：∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC ∴BC＝ 2AB，∠C＝45° ∵∠BGD＝∠FGE＝45°，∴∠BGD＝∠C 又∵∠DBG＝∠EBC，∴△BDG∽△BEC，∴ BD BG ＝ BE BC 即 BD·BC＝BG·BE （2）证明：∵D 是 BC 的中点，∴AD＝BD，BD＝ 2 2 AB ∴ 2 2 AB BG ＝ BE 2AB ，即 AB BG ＝ BE AB 又∵∠ABG＝∠EBA，∴△ABG∽△EBA ∴∠BGA＝∠BAE＝90°，即 AG⊥BE （3）解：∵∠FGE＝∠C＝45°，∠EFG＝∠DFC ∴△EFG∽△DFC，∴ EF DF ＝ GE CD 设 AC＝2k，则 AB＝2k，CD＝ 1 2 BC＝ 2k ∵E 是 AC 的中点，∴AE＝k，∴BE＝ 5k ∵∠BGA＝90°，∴∠AGE＝90° 又∵∠AEG＝∠BEA，∴△AGE∽△BAE ∴ GE AE ＝ AE BE ，即 GE k ＝ k 5k ，∴EG＝ 5 5 k ∴ EF DF ＝ GE CD ＝ 5 5 k 2k ＝ 10 10 32．（河北）如图 1，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三 角形，且在 BC 的同侧． （1）AE 和 ED 的数量关系为______________， AE 和 ED 的位置关系为______________； （2）在图中，以点 E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连接 GH， HD，分别得到了图 2 和图 3． ①在图 2 中，点 F 在 BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是 1 :2，H 是 EC 的中点． 求证：GH＝HD，GH⊥HD． ②在图 3 中，点 F 在 BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是 k :1，若 BC＝2，请直接写出 CH 的长为多少时，恰好使得 GH＝HD 且 GH⊥HD（用含 k 的代数式表示）． B E A D C 图 2 G F HB E A D C 图 1 B E A D C G F H A B F E D C G A B F E D C G A B F E D C G 解：（1）AE＝ED，AE⊥ED （2）①证明：由题意，∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC ∵△EGF 与△EAB 位似且相似比是 1 :2 ∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝ 1 2 AB，EF＝ 1 2 EB ∴∠GFE＝∠C，∴EH＝HC＝ 1 2 EC ∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝ 1 2 EB＋ 1 2 EC＝ 1 2 BC＝EC＝CD ∴△HGF≌△DHC．∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC ∵∠HDC＋∠DHC＝90°，∴∠GHF＋∠DHC＝90° ∴∠GHD＝90°，GH⊥HD ②CH 的长为 k 33．（河北）如图 1 和图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝ 5 13 ． 探究 如图 1，AH⊥BC 于点 H，则 AH＝__________，AC＝__________，△ABC 的面积 S△ABC ＝__________． 拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合），分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点 D 与 A 重合时，我们认为 S△ABD ＝0） （1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD ； （2）求(m＋n)与 x 的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A，B，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个 最小值． 解：探究 12，15，84 拓展 （1）由三角形面积公式，得 S△ABD ＝ 1 2 mx，S△CBD ＝ 1 2 nx （2）由（1）得 m＝2S△ABD x ，n＝2S△CBD x ∴m＋n＝2S△ABD x ＋2S△CBD x ＝168 x A CHB 图 1 A C E B 图 2 D F 由于 AC 边上的高为 2S△ABC 15 ＝2×84 15 ＝56 5 ∴x 的取值范围是 56 5 ≤x≤14 ∵(m＋n)随 x 的增大而减小 ∴当 x＝56 5 时，(m＋n)的最大值为 15 当 x＝14 时，(m＋n)的最小值为 12 （3）x 的取值范围是 x＝56 5 或 13＜x≤14 发现 AC 所在的直线 最小值为 56 5 34．（河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，在△ABC 中，tan∠ACB＝ 1 2 ，BC＝2AB， 点 B 的坐标为（－4，0），点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上，点 D 是 BC 的中点． （1）求点 A 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CB 以每秒 5 个单位的速度向终点 B 匀速运动，过点 P 作 PE⊥AB，垂足 为 E，PE 交直线 AC 于点 F，设 EF 的长为 y（y≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 y 与 t 之间的函数关系 式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 O 作 OQ∥AC 交 AB 于 Q 点，连接 DQ．是否存在这样的 t 值，使△FDQ 是 直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设 OA＝x ∵点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上 ∴tan∠ACO＝ OA OC ＝ 1 2 ，∴OC＝2x ∵B（－4，0），∴OB＝4，∴BC＝2x＋4 ∵BC＝2AB，∴AB＝x＋2 在 Rt△AOB 中，OA2＋OB2＝AB2 ∴x2＋42＝(x＋2)2，解得 x＝3 ∴点 A 的坐标为（0，3） （2）过 F 作 FN⊥OC 于点 N，如图 1 ∵∠FNP＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90° ∴∠FNP＝∠BAO ∴tan∠FPN＝tan∠BAO，∴ FN PN ＝ OB OA ＝ 4 3 设 FN＝4k，则 PN＝3k，PF＝5k，CN＝8k，∴PC＝5k 又∵PC＝5t，∴k＝t，PF＝5t O CB A x y D E F P O CB A x y D 备用图 O CB A x y D 备用图 O CB A x y D E F PN 图 1 ∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴BC＝10 在 Rt△PEB 中，sin∠PBE＝ PE BP ＝ OA AB ＝ 3 5 ∴PE＝ 3 5 BP＝ 3 5 (10－5t)＝6－3t 当点 E 与点 A 重合时，OP＝OA·tan∠OAP＝OA·tan∠ABO＝ 3 4 OA＝ 9 4 此时 PC＝6－ 9 4 ＝15 4 ，t＝ 15 4 ÷5＝ 3 4 当 0≤t＜ 3 4 时，点 E 在 BA 延长线上，点 F 在线段 AC 上，如图 1 ∴y＝PE－PF＝6－3t－5t＝6－8t 当 3 4 ＜t ＜2 时，点 E 在线段 AB 上，点 F 在 CA 延长线上，如图 2 ∴y＝PF－PE＝5t－(6－3t)＝8t－6 （3）过 D 作 DH⊥AC 于 H，过 Q 作 QM⊥OB 于 M，如图 3 ∵BC＝10，点 D 是 BC 的中点，∴BD＝DC＝5 ∵OA＝3，OC＝6，∴AC＝3 5 由△DHC∽△AOC，得 DH＝ 5 ∵OQ∥AC，∴△QBO∽△ABC，得 BQ＝2 ∴BM＝ 4 5 BQ＝ 8 5 ，QM＝ 3 5 BQ＝ 6 5 ∴DM＝BD－BM＝17 5 在 Rt△QMD 中，由勾股定理得 QD＝ 13 ∴QD＜2DH，∴以 QD 为直径的圆与 AC 相离 ∴∠QFD＜90° ①当∠QDF＝90°时，如图 4 由（2）知 FN＝4t，∴CN＝8t，DN＝CD－CN＝5－8t ∵∠QDF＝90°，∴∠QDM＋∠FDN＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90°，∴∠FDN＝∠DQM 又∵∠QMD＝∠DNF＝90°，∴△QMD∽△DNF ∴ QM DN ＝ DM FN ，∴ 6 5 5－8t ＝ 17 5 4t ，解得 t＝ 17 32 ②当∠FQD＝90°时，如图 5 过 F 作 x 轴的平行线，与 MQ 的延长线交于 G 则 GM＝FN＝4t，∴GQ＝GM－QM＝4t－ 6 5 GF＝MN＝BC－BM－CN＝10－ 8 5 －8t＝42 5 －8t ∵∠FQD＝90°，∴∠FQG＋∠DQM＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90°，∴∠FQG＝∠QDM 又∵∠G＝∠QMD＝90°，∴△FGQ∽△QMD O CB A x y D E F PN 图 2 O CB A x y D E F PN 图 3 M Q H O CB A x y D E F PN 图 4 M Q O CB A x y D F PN 图 5 M Q G ∴ FG QM ＝ GQ MD ，∴ 42 5 －8t 6 5 ＝ 4t－ 6 5 17 5 ，解得 t＝ 15 16 ∴存在 t＝ 17 32 或 t＝ 15 16 ，使△FDQ 是直角三角形 35．（山西模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与坐标轴相交于 A（2 5，0），B（0，5）两点，将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转得到 Rt△A′OB′． （1）求直线 l 的解析式； （2）若 OA′⊥AB，垂足为 D，求点 D 的坐标； （3）如图 2，若将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转 90°，A′B′ 与直线 l 相交于点 F，点 E 为 x 轴上一动点．试 探究：是否存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b ∵点 A（2 5，0），B（0，5）在直线 l 上 ∴ 2 5k＋b＝0 b＝ 5 解得： k＝－ 1 2 b＝ 5 ∴直线 l 的解析式为 y＝－ 1 2 x＋ 5 （2）∵A（2 5，0），B（0，5），∴OA＝2 5，OB＝ 5 ∴AB＝ OA 2＋OB 2 ＝5 ∵OA′⊥AB 即 OD⊥AB，∴1 2 OA·OB＝ 1 2 AB·OD ∴ 1 2 ×2 5× 5＝ 1 2 ×5×OD，∴OD＝2 过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H（如图 1） 则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90° ∴∠DAH＝∠ODH ∵在 Rt△AOB 中，tan∠BAO＝ OB OA ＝ 5 2 5 ＝ 1 2 ∴tan∠ODH＝ OH DH ＝ 1 2 ，DH＝2OH 在 Rt△ODH 中，设 OH＝a，则 DH＝2a ∵OH 2＋DH 2＝OD 2，∴a 2＋4a 2＝22 y B D l A xO B′ A′ 图 1 y BF l A xOB′ A′ 图 2 y B D l A xO B′ A′ 图 1 H y B Fl A xOB′ A′ 图 2 E ∵a ＞0，∴a＝2 5 5 ，∴OH＝2 5 5 ，DH＝4 5 5 ∴点 D 的坐标为（2 5 5 ，4 5 5 ） （3）存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 理由：∵△A′OB′ 由△AOB 逆时针旋转 90°所得 ∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO 又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA ∴ BF BO ＝ A′B AB ，即 BF BO ＝ A′O－BO AB ∴ BF 5 ＝ 2 5－ 5 5 ，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6 ①如图 2，当△AFE∽△A′BB′ 时，有 AE A′B′ ＝ AF A′B ∴ AE 5 ＝ 6 5 ，∴AE＝6 5，∴OE＝AE－AO＝6 5－2 5＝4 5 ∴E1（－4 5，0） ②如图 3，当△AEF∽△A′BB′ 时，有 AE A′B ＝ AF A′B′ ∴ AE 5 ＝ 6 5 ，∴AE＝6 5 5 ，∴OE＝AO－AE＝2 5－6 5 5 ＝4 5 5 ∴E2（4 5 5 ，0） 综上所述，存在点 E1（－4 5，0），E2（4 5 5 ，0），使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 36．（陕西）如图，正三角形 ABC 的边长为 3＋ 3． （1）如图①，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上．在正三角形 ABC 及其内部，以 点 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E′F′P′N′，且使正方形 E′F′P′N′ 的面积最大（不要求写作 法）； （2）求（1）中作出的正方形 E′F′P′N′ 的边长； （3）如图②，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 解：（1）如图①，正方形 E′F′P′N′ 即为所求 （2）设正方形 E′F′P′N′ 的边长为 x ∵△ABC 为正三角形，∴AE′＝BF′＝ 3 3 x ∴x＋2 3 3 x＝3＋ 3，∴x＝3 3－3 B C A 图① E F PN B C A 图② E F MN P D H y B Fl A xOB′ A′ 图 3 E B C A 图① E F PN P′ E′ F′ N′ （3）如图②，连接 NE，EP，PN，则∠NEP＝90° 设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（m≥n） 它们的面积和为 S，则 NE＝ 2m，PE＝ 2n ∴PN 2＝NE 2＋PE 2＝2m 2＋2n 2＝2(m 2＋n 2) ∴S＝m 2＋n 2＝ 1 2 PN 2 延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG⊥ND 在 Rt△PGH 中，PN 2＝PG 2＋GN 2＝(m＋n)2＋(m－n)2 ∵ 3 3 m＋m＋n＋ 3 3 n＝3＋ 3，即 m＋n＝3 方法一： ∴①当(m－n)2＝0 时，即 m＝n 时，S 最小 ∴S 最小＝ 1 2 ×3 2＝ 9 2 ②当(m－n)2 最大时，S 最大 即当 m 最大且 n 最小时，S 最大 ∵m＋n＝3 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－(3 3－3)＝6－3 3 ∴S 最大＝ 1 2 [9＋(m 最大－n 最小 )2] ＝ 1 2 [9＋(3 3－3－6＋3 3)2] ＝99－54 3 方法二： ∴n＝3－m ∴S＝m 2＋n 2＝m 2＋(3－m)2＝2m 2－6m＋9＝2(m－ 3 2 )2＋ 9 2 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－(3 3－3)＝6－3 3 ∴6－3 3≤m≤3 3－3 又 a＝2＞0，6－3 3＜ 3 2 ＜3 3－3， 3 2 －(6－3 3)＝(3 3－3)－ 3 2 ＝3 3－ 9 2 ∴当 m＝ 3 2 时，S 有最小值 9 2 ； 当 m＝6－3 3 或 3 3－3 时，S 有最大值 99－54 3 37．（陕西模拟）（1）如图 1，△ABC 在平面坐标系内，点 A（0，3 3），B（－3，0），C（2，0）．一动点 由点 A 沿 y 轴向下运动，运动到线段 OA 上的 G 点时，再沿 GC 到达 C．若由 A 到 G 方向的速度是 G 到 C 方向的速度的 2 倍，要使动点由 A－G－C 所用的时间最短，求点 G 的坐标； （2）如图 2，A、B 两村相距 10 千米，且 tanA＝ 3 4 ，现计划修一条公路把 A、B 两村连接起来，由于 A、 B 两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平 AC 方向修到某处 M，再由 M 处沿山坡修到 B 村． ①若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 2 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； ②若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 3 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； B C A 图② E F MN P D HG ③若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 n 倍，要尽快完成任务，直接写出 AM 的长． 解：（1）设 G 到 C 方向的速度为 v，则 A 到 G 方向的速度为 2v t＝AG 2v ＋GC v ＝ 1 v (AG 2 ＋GC) ∵v 是定值，要使 t 最小，只需 AG 2 ＋GC 最小 作 CD⊥AB 于 D，交 OA 于 G 由 A（0，3 3），B（－3，0），知∠BAO＝30° ∴DG＝AG 2 ∵D、G、C 三点共线，∴AG 2 ＋GC 最小 ∵∠BCD＝∠BAO＝90°－∠ABC ∴∠BCD＝30°，∴OG＝ 3 3 OC ＝2 3 3 ∴G（0，2 3 3 ） （2）①设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 2v t＝ AM 2v ＋BM v ＝ 1 v (AM 2 ＋BM) ∵v 是定值，要使 t 最小，只需 AM 2 ＋BM 最小 在 AC 下方作∠CAD＝45°，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E 则 MD＝AM 2 ，且 B、M、D 三点共线，∴AM 2 ＋BM 最小 此时∠AMD＝45°，∴∠BME＝45° ∵tanA＝ BE AE ＝ 3 4 ，设 BE＝3k，则 AE＝4k 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AB＝5k ∵AB＝10，∴5k＝10，k＝2，∴AE＝8，BE＝ME＝6 ∴AM＝2 ②设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 3v t＝AM 3v ＋BM v ＝ 1 v (AM 3 ＋BM) M CA B D E O CB A y 图 1 x M CA 图 2 B 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ 1 3 ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E 则 MD＝AM 3 ，且 B、M、D 三点共线，∴AM 3 ＋BM 最小 设 MD＝k，则 AM＝3k，AD＝2 2k ∴tan∠MAD＝ MD AD ＝ k 2 2k ＝ 2 4 ＝ ME BE ，∴ME＝ 2 4 BE＝3 2 2 ∴AM＝8－ 3 2 2 ③设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 nv t＝AM nv ＋BM v ＝ 1 v (AM n ＋BM) 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ 1 n ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E 则 MD＝AM n ，且 B、M、D 三点共线，∴AM n ＋BM 最小 设 MD＝k，则 AM＝nk，AD＝ n2－1 k ∴tan∠MAD＝ MD AD ＝ k n2－1 k ＝ n2－1 n2－1 ＝ ME BE ，∴ME＝ n2－1 n2－1 BE＝6 n2－1 n2－1 ∴AM＝8－ 6 n2－1 n2－1 38．（新疆乌鲁木齐）如图，已知点 A（－12，0），B（3，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，且∠ACB＝90°． （1）求点 C 的坐标； （2）求 Rt△ACB 的角平分线 CD 所在直线 l 的解析式； （3）在 l 上求出满足 S△PBC ＝ 1 2 S△ACB 的点 P 的坐标； （4）已知点 M 在 l 上，在平面内是否存在点 N，使以 O、 C、M、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵A（－12，0），B（3，0），∴OA＝12，OB＝3 由△AOC∽△COB，可得 OC 2＝OA·OB＝36，∴|OC|＝6 又点 C 在 y 轴的正半轴上，故点 C 的坐标是（0，6） （2）过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，设 DB 的长为 m ∵OA＝12，OB＝3，OC＝6，∴AB＝15，AC＝6 5，BC＝3 5 在 Rt△DEB 中，DE＝DB·sinB＝m· AC AB ＝ 2 5 5 m，BE＝DB·cosB＝m· BC AB ＝ 5 5 m 在 Rt△DEC 中，∠DCE＝45°，于是，CE＝DE＝ 2 5 5 m 由 CE＋BE＝BC，即 2 5 5 m＋ 5 5 m＝3 5，得 m＝5 又由|OA|＞|OB|，知点 D 在线段 OA 上，|OB|＝3 ∴|OD|＝2，故点 D（－2，0） 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，把 C（0，6）和 D（－2，0）代入 M CA B D E O BA y x C D C y BODA x E 得 b＝6 －2k＋b＝0 解得： k＝3 b＝6 故直线 l 的解析式为 y＝3x＋6 （3）①取 AB 的中点 F（－4.5，0），过点 F 作 BC 的平行线交直线 l 于点 P1，连接 CF 易知 S△P1BC ＝S△FBC ＝ 1 2 S△ACB ，∴点 P1 为符合题意的点 直线 P1F 可由直线 BC 向左平移|BF|个单位得到（即向左平移 7.5 个单位） 易得直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋6 ∴直线 P1F 的解析式为 y＝－2(x＋7.5)＋6，即 y＝－2x＋9 由 y＝－2x＋9 y＝3x＋6 解得 x＝－3 y＝－3 ∴点 P1（－3，－3） ②在直线 l 上取点 P2，使 P2C＝P1C 此时有 S△P2BC ＝S△P1BC ＝ 1 2 S△ACB ，∴点符 P2 合题意 由 P2C＝P1C，可得点 P2 的坐标为（3，15） ∴点 P（－3，－3）或 P（3，15）可使 S△PBC ＝ 1 2 S△ACB （4）点 N 的坐标分别为（1，3），（－18 5 ，6 5 ）（－3 10 5 ，－9 10 5 ），（3 10 5 ，9 10 5 ） 提示：如图所示，有四种情况 39．（内蒙古赤峰）如图所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分别是 3km、4km（即 AC＝3km，BE＝4km），AB＝x km，现设计两种方案； 方案一：如图①所示，AP⊥l 于点 P，泵站修建在 P 处，该方案中管道长度 a1＝AB＋AP； 方案二：如图②所示，点 A′ 与点 A 关于 l 对称，A′B 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道 长度 a2＝AP＋BP （1）在方案一中，a1＝____________km（用含 x 的式子表示）； （2）在方案二中，a2＝____________km（用含 x 的式子表示）； （3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二． C A B E l P A B l 图① (C) P A B l 图② C C y BODA xF P1 P2 C y BODA x M N C y BODA x M NC BODA x M N y C y BODA x M N 解：（1）x＋3 （2） x2＋48 （3）a1 2－a2 2＝(x＋3)2－( x2＋48 )2＝6x－39 当 a1 2－a2 2＞0（即 a1－a2＞0，a1＞a2）时，6x－39＞0，解得 x＞6.5 当 a1 2－a2 2＝0（即 a1－a2＝0，a1＝a2）时，6x－39＝0，解得 x＝6.5 当 a1 2－a2 2＜0（即 a1－a2＜0，a1＜a2）时，6x－39＜0，解得 x＜6.5 综上所述 当 x＞6.5 时，选择方案二，输气管道较短 当 x＝6.5 时，两种方案一样 当 0＜x＜6.5 时，选择方案一，输气管道较短 40．（黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 O 坐标原点，直线 y＝2x＋4 交 x 轴于点 A，交 y 轴 于点 B，四边形 ABCO 是平行四边形，直线 y＝－x＋m 经过点 C，交 x 轴于点 D． （1）求 m 的值； （2）点 P（0，t）是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与 O，B 两点重合），过点 P 作 x 轴的平行线，分别 交 AB，OC，DC 于点 E，F，G．设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（直接写出自变量 t 的 取值范围）； （3）在（2）的条件下，点 H 是线段 OB 上一点，连接 BG 交 OC 于点 M，当以 OG 为直径的圆经过点 M 时，恰好使∠BFH＝∠ABO．求此时 t 的值及点 H 的坐标． 解：（1）方法一：如图 1 ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B ∴A（－2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4 ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴BC＝OA＝2 过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，则四边形 BOKC 是矩形 ∴OK＝BC＝2，CK＝OB＝4 ∴C（2，4），代入 y＝－x＋m 得 4＝－2＋m，∴m＝6 方法二：如图 2 ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B ∴A（－2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4 延长 DC 交 y 轴于点 N ∵y＝－x＋m 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴D（m，0），N（0，m），∴OD＝ON ∴∠ODN＝∠OND＝45° OA y x B C D 图 1 K OA y x B C D 图 2 N OA y x 备用图 B C DOA y x B C D ∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴BC∥AO，BC＝OA＝2 ∴∠NCB＝∠ODN＝∠OND＝45°，∴NB＝BC＝2 ∴ON＝NB＋OB＝2＋4＝6，∴m＝6 （2）方法一：如图 3，延长 DC 交 y 轴于点 N，分别过点 E、G 作 x 轴的垂线，垂足分别是 R、Q 则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形 ∴ER＝PO＝GQ＝t ∵tan∠BAO＝ ER AR ＝ OB OA ，∴ t AR ＝ 4 2 ，∴AR＝ 1 2 t ∵y＝－x＋6 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴OD＝ON＝6，∴∠ODN＝45° ∵tan∠ODN＝ GQ QD ，∴DQ＝t 又∵AD＝AO＋OD＝2＋6＝8 ∴EG＝RQ＝8－ 1 2 t－t=8＝8－ 3 2 t ∴d＝－ 3 2 t＋8（0＜t ＜4） 方法二：∵EG∥AD，P（0，t），∴设 E（x1，t），G（x2，t） 把 E（x1，t）代入 y＝2x＋4，得 t＝2x1＋4 ∴x1＝ t 2 －2 把 G（x2，t）代入 y＝－x＋6，得 t＝－x2＋6 ∴x2＝6－t ∴d＝EG＝x2－x1＝(6－t)－( t 2 －2) ∴d＝－ 3 2 t＋8（0＜t ＜4） （3）方法一：如图 4，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ EP BP ＝tan∠BOC＝ 1 2 ∴EP＝2－ t 2 ，∴PG＝d－EP＝6－t ∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90°，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ BP PG ＝tan∠BOC＝ 1 2 ∴ 4－t 6－t ＝ 1 2 ，解得：t＝2 ∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴ BH BF ＝ BF BO ，即 BF 2＝BH·BO ∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP 2＋PF 2 ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 5 4 ，∴HO＝4－ 5 4 ＝11 4 OA y x B C D 图 3 N E GP F R Q OA y x B C D 图 4 E G M H P F ∴H（0，11 4 ） 方法二：如图 5，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ EP BP ＝tan∠BOC＝ 1 2 ∴EP＝2－ t 2 ，∴PG＝d－EP＝6－t ∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90°，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ BP PG ＝tan∠BOC＝ 1 2 ∴ 4－t 6－t ＝ 1 2 ，解得：t＝2 ∴OP＝2，BP＝4－t＝2，∴PF＝1 ∴OF＝ 12＋22 ＝ 5＝BF ∴∠OBF＝∠BOC＝∠BFH＝∠ABO，∴BH＝HF 过点 H 作 HT⊥BF 于点 T ∴BT＝ 1 2 BF＝ 5 2 ，∴BH＝ BT cos∠OBF ＝ 5 2 2 5 ＝ 5 4 ∴OH＝4－ 5 4 ＝11 4 ，∴H（0，11 4 ） 方法三：如图 4，∵OA＝2，OB＝4，∴AB＝2 5 ∵P（0，t），∴BP＝4－t， ∵cos∠ABO＝ BP BE ＝ 4－t BE ＝ OB AB ＝ 4 2 5 ∴BE＝ 5 2 (4－t) ∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴AB∥OC ∴∠ABG＝∠OMG＝90°＝∠BPG ∴∠ABO＋∠BEG＝90°，∠BGE＋∠BEG＝90° ∴∠ABO＝∠BGE，∴sin∠ABO＝sin∠BGE ∴ OA AB ＝ BE EG ＝ BE d ，即 2 2 5 ＝ 5 2 (4－t) － 3 2 t＋8 ，∴t＝2 ∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴ BH BF ＝ BF BO ，即 BF 2＝BH·BO ∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP 2＋PF 2 ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 5 4 ，∴HO＝4－ 5 4 ＝11 4 OA y x B C D 图 5 E G M H P F T ∴H（0，11 4 ） 41．（黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂线， 交 BP 的延长线于点 M，MN⊥AC 于点 N，PQ⊥AB 于点 Q，AQ＝MN． （1）如图 l，求证：PC＝AN； （2）如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接 DK，∠DKE ＝∠ABC，EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP＝2，PC＝3，CK :CF＝2 :3，求 DQ 的长． （1）证明：方法一： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90° ∵AQ＝MN，∴△AQP≌△MNA ∴AN＝PQ，AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC＋∠PBC＝90°，∠AMB＋∠ABM＝90° ∴∠ABM＝∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN 方法二： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°＝∠ANM ∵AQ＝MN，∴△PQA≌△ANM ∴AP＝AM，PQ＝AN，∴∠APM＝∠AMP ∵∠AQP＋∠BAM＝180°，∴PQ∥MA ∴∠QPB＝∠AMP ∵∠APM＝∠BPC，∴∠QPB＝∠BPC ∵∠BQP＝∠BCP＝90°，BP＝BP ∴△BPQ≌△BPC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN （2）解：方法一： 如图 2，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 PC＝AN＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5 ∴AQ＝MN＝ AM 2－AN 2 ＝4 ∵∠PAQ＝∠AMN，∠ACB＝∠ANM＝90° ∴∠ABC＝∠MAN Q A P B C MN （图 1） Q A P B C MN （图 2） K D E F H Q A P B C MN （图 1） Q A P B C MN （图 2） K D E FT G H ∴tan∠ABC＝tan∠MAN＝ MN AN ＝ 4 3 ∵tan∠ABC＝ AC BC ，∴BC＝6 ∵NE∥KC，∴∠PEN＝∠PKC 又∵∠ENP＝∠KCP，∴△PNE∽△PCK，∴ NE CK ＝ NP PC ∵CK :CF＝2 :3，设 CK＝2k，则 CF＝3k ∴ NE 2k ＝ 2 3 ，∴NE＝ 4 3 k 过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行四边形 ∴NE＝TF＝ 4 3 k，∴CT＝CF－TF＝3k－ 4 3 k＝ 5 3 k ∵EF⊥PM，∴∠BFH＋∠HBF＝90°＝∠BPC＋∠HBF ∴∠BPC＝∠BFH ∵EF∥NT，∴∠NTC＝∠BFH＝∠BPC ∵tan∠NTC＝tan∠BPC＝ BC PC ＝2，∴tan∠NTC＝ NC CT ＝2 ∴CT＝ 5 3 k＝ 5 2 ，∴k＝ 3 2 ∴CK＝2× 3 2 ＝3，BK＝BC－CK＝3 ∵∠PKC＋∠DKE＝∠ABC＋∠BDK，∠DKE＝∠ABC，∴∠BDK＝∠PKC tan∠PKC＝ PC KC ＝1，∴tan∠BDK＝1 过 K 作 KG⊥BD 于 G ∵tan∠BDK＝1，tan∠ABC ＝ 4 3 ，∴设 GK＝4n，则 BG＝3n，GD＝4n ∴BK＝5n＝3，∴n＝ 3 5 ，∴BD＝4n＋3n＝7n＝ 21 5 ∵AB＝ AC 2＋BC 2 ＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6 ∴DQ＝BQ－BD＝6－ 21 5 ＝ 9 5 方法二： 如图 3，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 AN＝PC＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5 ∴AQ＝MN＝ AM 2－AN 2 ＝4 ∵NM∥BC，∴∠NMP＝∠PBC 又∵∠MNP＝∠BCP，∴△MNP∽△BCP ∴ MN BC ＝ NP PC ，∴ 4 BC ＝ 2 3 ，∴BC＝6 作 ER⊥CF 于 R，则四边形 NERC 是矩形 ∴ER＝NC＝5，NE＝CR ∵∠BHF＝∠BCP＝90°，∴∠EFR＝90°－∠HBF，∠BPC＝90°－∠HBF ∴∠EFR＝∠BPC，∴tan∠EFR＝tan∠BPC Q A P B C MN （图 3） K D E H FR G ∴ ER RF ＝ BC PC ，∴ 5 RF ＝ 6 3 ，∴RF＝ 5 2 ∵NE∥KC，∴∠NEP＝∠PKC 又∵∠ENP＝∠KCP，∴△NEP∽△CKP，∴ NE KC ＝ NP PC ＝ 2 3 ∵CK :CF＝2 :3，设 CK＝2k，则 CF＝3k ∴NE＝CR＝ 4 3 k，CR＝CF－RF＝3k－ 5 2 ∴3k－ 5 2 ＝ 4 3 k，k＝ 3 2 ，∴CK＝3，CR＝2，∴BK＝3 在 CF 的延长线上取点 G，使∠EGR＝∠ABC ∴tan∠EGR＝tan∠ABC，∴ ER RG ＝ AC BC ＝ 4 3 ∴RG＝ 3 4 ER＝ 15 4 ，∴EG＝ ER 2＋RG 2 ＝ 25 4 ，KG＝KC＋CR＋RG＝ 35 4 ∵∠DKE＋∠EKC＝∠ABC＋∠BDK，∠ABC＝∠DKE ∴∠BDK＝∠EKC，∴△BDK∽△GKE，∴ BD KG ＝ BK EG ∴BD·EG＝BK·KG，∴BD×25 4 ＝3×35 4 ，∴BD＝ 21 5 ∵AB＝ AC 2＋BC 2 ＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6 ∴DQ＝BQ－BD＝6－ 21 5 ＝ 9 5 方法三： 如图 4，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 AN＝PC＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5 ∴AQ＝MN＝ AM 2－AN 2 ＝4 ∵NM∥BC，∴∠EMH＝∠PBC，∠PEN＝∠PKC 又∵∠PNE＝∠PCK，∴△PNE∽△PCK，△PNM∽△PCB ∴ NE CK ＝ PN PC ， MN BC ＝ PN PC ∵CK :CF＝2 :3，设 CK＝2k，则 CF＝3k ∴ NE 2k ＝ 2 3 ， 4 BC ＝ 2 3 ，∴NE＝ 4 3 k，BC＝6 ∴BF＝6＋3k，ME＝MN－NE＝4－ 4 3 k tan∠ABC＝ AC BC ＝ 4 3 ，BP＝ PC 2＋BC 2 ＝3 5 ∴sin∠EMH＝sin∠PBC＝ PC BP ＝ 5 5 ∵EF⊥PM，∴FH＝BF·sin∠PBC＝ 5 5 (6＋3k)，EH＝EM·sin∠EMH＝ 5 5 (4－ 4 3 k) 过 E 作 ER⊥BF 于 R，则四边形 NCRE 是矩形，∴ER＝NC＝5 ∵∠RFE＋∠REF＝∠RFE＋∠PBC＝90°，∴∠REF＝∠PBC ∴tan∠REF＝tan∠PBC＝ 1 2 Q A P B C MN （图 4） K D E F G R H ∵tan∠REF＝ RF RE ，∴RF＝ 5 2 ，∴EF＝ ER 2＋RF 2 ＝5 5 2 ∵EH＋FH＝EF，∴ 5 5 (4－ 4 3 k)＋ 5 5 (6＋3k)＝5 5 2 ，∴k＝ 3 2 ∴CK＝2× 3 2 ＝3，BK＝BC－CK＝3 ∵∠PKC＋∠DKE＝∠ABC＋∠BDK，∠DKE＝∠ABC，∴∠BDK＝∠PKC ∵tan∠PKC＝1，∴tan∠BDK＝1 过 K 作 KG⊥BD 于 G ∵tan∠BDK＝1，∴tan∠ABC＝ 4 3 ∴设 GK＝4n，则 BG＝3n，GD＝4n，∴BK＝5n＝3，∴n＝ 3 5 ∴BD＝4n＋3n＝7n＝ 21 5 ∵AB＝ AC 2＋BC 2 ＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6 ∴DQ＝BQ－BD＝6－ 21 5 ＝ 9 5 42．（哈尔滨模拟）已知△ABC 中，∠ACB＝2∠BAC，点 E 在边 AC 上，且 AE＝BE，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，连接 DE． （1）如图 1，求证：BD＝ED； （2）设线段 CD、BE 相交于点 P，将∠BAC 沿直线 AC 翻折得到∠B′AC（如图 2），射线 AB′ 交 BE 延长线 于点 Q，连接 CQ．若 DE :BC＝2 :3，求∠ACQ 的正切值． （1）证明：∵，CD 平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝2∠BCD ∵AE＝BE，∴∠A＝∠ABE ∵∠ACB＝2∠A，∴∠ACD＝∠BCD＝∠A＝∠ABE ∴AD＝CD ∵∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A＝2∠ACD，∴∠BEC＝∠ACB ∴BC＝BE，∴BC＝AE ∴△ADE≌△CDB，∴BD＝ED （2）解：∵DE :BC＝2 :3，∴设 DE＝4k，则 BC＝6k ∴AE＝BE＝BC＝6k 由（1）知 BD＝ED，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠EAB＝∠DEB BDA C P E Q B′ 图 2 BDA C E 图 1 又∵∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA ∴ BE AB ＝ BD BE ，∴ 6k AB ＝ 4k 6k ，∴AB＝9k，AD＝CD＝5k ∵AD＝CD，BD＝ED，∠CAD＝∠EBD ∴△CAD∽△EBD，∴ AC AD ＝ BE BD ∴ AC 5k ＝ 6k 4k ，∴AC＝ 15 2 k ∵∠DBP＝∠BCD，∠BDP＝∠CDB，∴△BDP∽△CDB ∴ BP BC ＝ PD BD ＝ DB DC ，∴ BP 6k ＝ PD 4k ＝ 4k 5k ∴BP＝ 24 5 k，PD＝ 16 5 k 过 D 作 DF⊥BE 于 F ∵BD＝ED，∴BF＝EF＝ 1 2 BE＝3k，∴DF＝ BD 2－BF 2 ＝ 7k ∴sin∠FBD＝ DF BD ＝ 7 4 ，cos∠FBD＝ BF BD ＝ 3 4 ∵∠QAC＝∠BAC＝∠FBD，∴sin∠QAC＝ DF BD ＝ 7 4 ，cos∠QAC＝ BF BD ＝ 3 4 ∵∠ACD＝∠BAC，∴∠QAC＝∠ACD ∴PD∥AQ，∴△PBD∽△QBA ∴ PD QA ＝ BD BA ＝ 4 9 ，∴QA＝ 9 4 PD＝ 9 4 × 16 5 k＝ 36 5 k ∴QH＝QA·sin∠QAC＝ 36 5 k× 7 4 ＝ 9 7 5 k，AH＝QA·cos∠QAC＝ 36 5 k× 3 4 ＝ 27 5 k ∴CH＝AC－AH＝ 15 2 k－ 27 5 k＝ 21 10 k ∴tan∠ACQ＝ QH CH ＝ 9 7 5 k 21 10 k ＝ 6 7 7 43．（哈尔滨模拟）在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 P、D 分别在边 AB、AC 上，且 PC＝PD． （1）如图 1，若 tanB＝1，请写出线段 CD 与线段 PB 的数量关系； （2）如图 2，若 tanB＝2，求证：2BC＝AD＋ 4 4 5 PB． （3）如图 3，在（2）的条件下，若点 B 关于直线 CP 的对称点 E 恰好落在边 AC 上，连接 PE、BD，BD 分别交 PE、CP 于 M、N 两点，且 AD＝2，求线段 MN 的长． BDA C P E Q B′ F H P BA C D 图 1 P BA C D 图 2 P BA C E 图 3 D M N 解：（1）CD＝ 2PB （2）作 PF⊥AC 于 F，PG⊥BC 于 G 则四边形 PFCG 是矩形，∴CF＝PG ∵PC＝PD，∴CF＝ 1 2 CD 在 Rt△PBG 中，tanB＝2，即 PG BG ＝2，∴PG＝2BG 由勾股定理得 PB＝ 5BG，PG＝2 5 5 PB ∴CF＝2 5 5 PB，CD＝4 5 5 PB 在 Rt△ABC 中，tanB＝2，同理可得 AC＝2BC ∵AC＝AD＋CD，∴2BC＝AD＋ 4 4 5 PB （3）连接 BE ∵点 B 关于直线 CP 的对称点为点 E ∴CP 是线段 BE 的中垂线，∴CE＝CB，PE＝PB 又∵CP＝CP，∴△CEP≌△CBP ∴∠ECP＝∠BCP＝ 1 2 ∠ACB＝45° 作 PF⊥BC 于 F 设 PB＝a，由（2）得 BC＝1＋ 2 5 5 a 在 Rt△CPF 中，∠PCF＝45°，PF＝CF＝ 2 5 5 a 而 BF＝ 5 5 BP＝ 5 5 a 由 BF＋CF＝BC，得 5 5 a＋ 2 5 5 a＝1＋ 2 5 5 a ∴a＝ 5，即 BP＝ 5 ∴BC＝3，AC＝2BC＝6，AB＝3 5，AP＝2 5，CD＝4，DE＝1，AE＝3 ∴BD＝ BC 2＋CD 2 ＝5 过点 D 作 AB 的平行线分别交 EP、CP 于点 G、H 由△EDG∽△EAP，得 DG AP ＝ ED EA ＝ 1 3 ，∴DG＝2 5 3 由△GDM∽△PBM，得 DM BM ＝ DG BP ＝ 2 3 ，∴DM＝ 2 5 BD＝2 由△CDH∽△CAP，得 DH AP ＝ CD CA ＝ 2 3 ，∴DH＝ 2 3 AP＝ 4 5 3 由△DNH∽△BNP，得 DN BN ＝ DH BP ＝ 4 3 ，∴DN＝ 4 7 BD＝ 20 7 ∴MN＝DN－DM＝ 20 7 －2＝ 6 7 44．（哈尔滨模拟）已知△ABC 中，∠ACB＝2∠ABC，AD 为∠BAC 的平分线，E 为线段 AC 上一点，过 E 作 AD 的垂线交直线 AB 于 F． P BA C E D M N FG H P BA C D G F （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求证：BF＝DE； （2）如图 2，连接 BE 交 AD 于点 N，M 是 BF 的中点，连接 DM．若 DM⊥BF，DC＝4，S△ABD :S△ACD＝3 : 2，求 DN 的长． （1）证明：如图 1，连接 DF，设 AD 与 EF 交于点 K ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD ∵EF⊥AD，∴∠AKF＝∠AKE＝90° ∴∠AFK＝∠AEK，∴AF＝AE 又∵AD＝AD，∴△AFD≌△AED ∴DF＝DE，∠AFD＝∠AED 又∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠FBD＝∠FDB ∴BF＝DF，∴BF＝DE （2）解：如图 2，连接 DF，作 AP⊥BC 于 P，DQ⊥AC 于 Q ∵S△ABD :S△ACD＝3 :2，∴BD :DC＝3 :2 ∵DC＝4，∴BD＝6，∴BC＝10 ∵AD 为∠BAC 的平分线，DM⊥AB，DQ⊥AC，∴DM＝DQ ∵S△ABD :S△ACD＝3 :2，∴ 1 2 AB·DM 1 2 AC·DQ ＝ 3 2 ，∴ AB AC ＝ 3 2 由图 1 中 AC＝AF，DC＝BF，可得 AC＋DC＝AB ∴ AC＋DC AC ＝ 3 2 ∵DC＝4，∴AC＝8，BD＝6，BC＝10，AB＝12 设 PC＝x，则 BP＝10－x 由勾股定理得：AB 2－BP 2＝AC 2－PC 2＝AP 2 即 122－(10－x)2＝82－x2，解得 x＝1，∴DP＝3 又∵AD 2－DP 2＝AC 2－PC 2＝AP 2，即 AD 2－32＝82－12 ∴AD 2＝72，∴AC＝6 2 ∵EF⊥AD，∴∠AKF＝∠AKE＝90° ∵DA 平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD ∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE 又∵AD＝AD，∴△AFD≌△AED ∴DF＝DE，∠AFD＝∠AED ∵M 是 BF 的中点，DM⊥BF，∴DB＝DF ∴DB＝DE＝6，∴∠BFD＝∠DEC＝∠DBF ∴180°－∠C－∠DEC＝180°－∠C－∠DBF ∴∠EDC＝∠BAC＝2∠DAE A B D N C E F M 图 2 A B D C F 图 1 (E) A B D C F 图 1 (E) K A B D N C E F M 图 2 K P Q 又∵∠EDC＝2∠DEN，∴∠DAE＝∠DEN ∵∠ADE＝∠EDN，∴△DAE∽△DEN ∴ DA DE ＝ DE DN ，∴ 6 2 6 ＝ 6 DN ，∴DN＝3 2 45．（辽宁沈阳）已知，如图①，∠MON＝60°，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点 A，B 不与点 O 重 合），且 AB＝4 3，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点 P，且 AP＝BP，∠APB＝120°． （1）求 AP 的长； （2）求证：点 P 在∠MON 的平分线上； （3）如图②，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP 的边 AO，OB，BP，PA 的中点，连接 CD，DE，EF， FC，OP． ①当 AB⊥OP 时，请直接．．写出四边形 CDEF 的周长的值； ②若 CDEF 的周长用 t 表示，请直接．．写出 t 的取值范围． 解：（1）过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q ∵PA＝PB，∠APB＝120°，AB＝4 3 ∴AQ＝ 1 2 AB＝2 3，∠APQ＝ 1 2 ∠APB＝60° 在 Rt△APQ 中，AP＝ AQ sin60° ＝4 （2）过点 P 分别作 PS⊥OM 于点 S，PT⊥ON 于点 T ∴∠OSP＝∠OTP＝90°，∴∠SPT＝120° ∴∠APB＝∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT 又∵∠ASP＝∠BTP＝90°，AP＝BP ∴△APS≌△BPT，∴PS＝PT ∴点 P 在∠MON 的平分线上 （3）①8＋4 3 ②4＋4 3＜t≤8＋4 3 提示：由三角形中位线定理知四边形 CDEF 的周长的值是 OP＋AB ①当 AB⊥OP 时，设 OP 与 AB 交于点 Q 则 AQ＝ 1 2 AB＝2 3，∴OQ＝ AQ tan30° ＝6，PQ＝ AQ tan60° ＝2 ∴OP＝OQ＋PQ＝8 ∴四边形 CDEF 的周长的值是 8＋4 3 ②当 AB⊥OP 时，OP 的值最大，此时四边形 CDEF 的周长 t 的值最大，t＝8＋4 3 当点 A 或点 B 与点 O 重合时，四边形 CDEF 不存在 此时 OP＝ 1 2 AB cos30° ＝4，t＝4＋4 3 A P B O M N 图② C D E F A P B O M N 图① A P B O M N TQS A P B O M N C D EF Q P B O M N (A) ∴t 的取值范围是 4＋4 3＜t≤8＋4 3 46．（辽宁抚顺）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．点 D 是直线 BC 上的一个动点，连 接 AD，并以 AD 为边在 AD 的右侧作等边△ADE． （1）如图①，当点 E 恰好在线段 BC 上时，请判断线段 DE 和 BE 的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）当点 E 不在直线 BC 上时，连接 BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给 予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）若 AC＝3，点 D 在直线 BC 上移动的过程中，是否存在以 A、C、D、E 为顶点的四边形是梯形？如 果存在，直接写出线段 CD 的长度；如果不存在，请说明理由． 解：（1）DE＝BE 证明：∵△ADE 是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝60° ∵∠ABC＝30°，∴∠DAB＝90° ∴BD＝2AD＝2DE，∴DE＝BE （2）成立 证明：过 E 作 EF⊥AB 于 F ∵△ADE 是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠CAB＝60° ∴∠DAC＝∠EAF＝60°－∠CAE ∴Rt△ADC≌Rt△AEF，∴AC＝AF ∴AB＝2AF，∴AF＝BF，∴AE＝BE ∴DE＝BE （3）CD＝ 3 或 3 3 47．（辽宁模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，BC＝6，AD＝4．矩形 EFGH 内接于△ ABC（FG 在 BC 边上），正方形 PQMN 内接于△AEH（QM 在 EH 边上），PN、EH 分别交 AD 于点 R、S．设 AE＝x． （1）试用 x 的代数式表示线段 EH、PN 的长； （2）设 S＝S 正方形 PQMN ＋ S 矩形 EFGH ①求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； ②当 x 取何值时，S 有最大值？ （3）连接 FH，当△HFC 是等腰三角形时，求 x 的值． BD A C E 图① BD A C E 图② B A C 备用图 A B P G C E F H Q M N R S D BD A C E F BD A C E B A C E (D) 解：（1）∵在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，AD＝4 ∴BD＝DC＝3，∴AB＝AC＝ 32＋42 ＝5 ∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC ∴ EH BC ＝ AS AD ＝ AE AB ，即 EH 6 ＝ AS 4 ＝ x 5 ∴EH＝ 6 5 x，AS＝ 4 5 x ∴SD＝AD－AS＝4－ 4 5 x，AR＝AS－RS＝AS－PN＝ 4 5 x－PN ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC ∴ AR AD ＝ PN BC ，即 4 5 x－PN 4 ＝ PN 6 ∴PN＝ 12 25 x （2）①S＝S 正方形 PQMN ＋ S 矩形 EFGH ＝PN 2＋EH·SD＝(12 25 x)2＋ 6 5 x·(4－ 4 5 x) 即 S＝－ 456 625 x2＋24 5 x（0＜x ＜5） ②∵a＝－ 456 625 ＜0，b＝24 5 ∴当 x＝－ b 2a ＝－ 24 5 2×(－ 456 625 ) ＝125 38 时（在 0＜x ＜5 范围内），S 有最大值 （3）当△HFC 是等腰三角形时，有以下三种情形： ①当 HF＝HC 时 ∵HG⊥BC，∴FG＝CG ∵DG＝ 1 2 FG＝ 1 2 EH＝ 3 5 x，CD＝ 1 2 BC＝3 ∴ 6 5 x＝3－ 3 5 x，解得 x＝ 5 3 ②当 FC＝HC 时 在 Rt△HCG 中，∵CG＝3－ 3 5 x，cosC＝ CD AC ＝ 3 5 ∴CH＝ CG cosC ＝5－x ∴ 6 5 x＋3－ 3 5 x＝5－x，解得 x＝ 5 4 ③当 FC＝FH 时 作 FK⊥AC 于点 K，则 CK＝ 1 2 CH＝ 1 2 (5－x) ∵CK＝FC·cosC，∴ 1 2 (5－x)＝( 6 5 x＋3－ 3 5 x)× 3 5 解得 x＝ 35 43 A B P G C E F H Q M N D A B P G C E F H Q M N D A B P G C E F H Q M N D K 综上所述，当△HFC 是等腰三角形时，x＝ 5 3 ，或 x＝ 5 4 ，或 x＝ 35 43 48．（四川成都）如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的 顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于 点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP＝AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP＝a，CQ＝ 9 2 a 时，P， Q 两点间的距离（用含 a 的代数式表示）． 解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45° ∵AP＝AQ，∴BP＝CQ ∵E 是 BC 的中点，∴BE＝CE 在△BPE 和△CQE 中 ∵BP＝CQ，∠B＝∠C，BE＝CE ∴△BPE≌△CQE （2）∵∠BEF＝∠C＋∠CQE，∠BEF＝∠DEF＋∠BEP 且∠DEF＝∠C＝45°，∴∠BEP＝∠CQE 在△BPE 和△CEQ 中 ∵∠BEP＝∠CQE，∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ ∴ BE CQ ＝ BP CE 又 BE＝CE，∴BE 2＝BP·CQ 当 BP＝a，CQ＝ 9 2 a 时，BE 2＝a· 9 2 a＝ 9 2 a2 ∴BE＝3 2 2 a，BC＝3 2a ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝3a ∴AP＝AB－BP＝2a，AQ＝CQ－AC＝ 3 2 a ∴P，Q 两点间的距离 PQ＝ (2a)2＋( 3 2 a)2 ＝ 5 2 a 49．（四川南充）在 Rt△POQ 中，OP＝OQ＝4，M 是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A、B． A P F B Q CE 图① D A P F B Q CE 图② D A P F B Q CE 图① D A P F B Q CE 图② D （1）求证：MA＝MB； （2）连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若 不存在，请说明理由． （1）证明：连接 OM，∵Rt△⊿POQ 中，OP＝OQ＝4，M 是 PQ 的中点 ∴OM＝PM ＝ 1 2 PQ＝2 2，∠POM＝∠BOM＝∠P＝45° ∵∠PMA＋∠AMO＝∠OMB＋∠AMO ∴∠PMA＝∠OMB，∴△PMA≌△OMB ∴MA＝MB （2）解：△AOB 的周长存在最小值 ∵△PMA≌△OMB，∴PA＝OB ∴OA＋OB＝OA＋PA＝OP＝4 令 OA＝x，AB＝y 则 y 2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8≥8 当 x＝2 时，y 2 有最小值 8，从而 y≥2 2 故△AOB 的周长存在最小值，其最小值是 4＋2 2 50．（四川攀枝花）如图所示，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC＝6，E、F 分别是 AB、AC 的中点， P 在 EF 或 EF 的延长线上，BP 交 CE 于 D，Q 在 CE 上且 BQ 平分∠CBP，设 BP＝y，PE＝x． （1）当 x＝ 1 3 EF 时，求 S△DPE :S△DBC 的值； （2）当 CQ＝ 1 2 CE 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）①当 CQ＝ 1 3 CE 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； ②当 CQ＝ 1 n CE（n 为不小于 2 的常数）时，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式． M P QO A B A CB P FE D Q （1） A CB P FE D Q （2） M P QO A B 解：（1）∵E、F 分别是 AB、AC 的中点 ∴EF∥BC，EF＝ 1 2 BC，∴△DPE∽△DBC ∴S△DPE :S△DBC ＝PE 2 :BC 2 ∵PE＝x＝ 1 3 EF，∴PE＝ 1 6 BC ∴S△DPE :S△DBC ＝1:36 （2）延长 BQ 交 EF 的延长线于点 G ∵EF∥BC，∴∠QEG＝∠QCB ∵CQ＝ 1 2 CE，∴CQ＝EQ 又∵∠GQE＝∠BQC，∴△GQE≌△BQC ∴EG＝BC＝6 ∵EF∥BC，∴∠G＝∠QBC ∵BQ 平分∠CBP，∴∠PBQ＝∠QBC ∴∠G＝∠PBQ，∴PG＝PB＝y ∵PE＋PG＝EG，∴x＋y＝6 ∴y＝6－x （3）①延长 BQ 交 EF 的延长线于点 G ∵CQ＝ 1 3 CE，∴EQ＝2CQ ∵EF∥BC，∴△GQE∽△BQC ∴ EG BC ＝ EQ CQ ＝2，∴EG＝2BC＝12 ∵BQ 平分∠CBP，∴∠PBQ＝∠QBC ∴∠G＝∠PBQ，∴PG＝PB＝y ∵PE＋PG＝EG，∴x＋y＝12 ∴y＝12－x ②y＝6(n－1)－x 51．（四川宜宾）如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF．将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 始终经过 点 A，EF 与 AC 交于 M 点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角 形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由； （3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积． A CB F E D M A CB P FE D Q G A CB PFE D Q G （1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B 又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE ∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM （2）解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C ∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM 当 AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM ∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1 当 AM＝EM 时，则∠MAE＝∠MEA ∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM 即∠CAB＝∠CEA 又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA ∴ CE AC ＝ AC CB ，∴CE＝ AC 2 CB ＝ 25 6 ∴BE＝6－ 25 6 ＝ 11 6 （3）解：设 BE＝x ∵△ABE∽△ECM，∴ CM BE ＝ CE AB ，∴ CM x ＝ 6－x 5 ∴CM＝－x2 5 ＋ 6 5 x＝－ 1 5 (x－3)2＋ 9 5 ∴AM＝5－CM＝ 1 5 (x－3)2＋16 5 ∴当 x＝3 时，AM 最短为 16 5 又∵当 BE＝x＝3＝ 1 2 BC 时，点 E 为 BC 的中点 ∴AE⊥BC，∴AE＝ AB 2－BE 2 ＝4 此时，EF⊥AC，∴EM＝ CE 2－CM 2 ＝12 5 S△AEM ＝ 1 2 ×16 5 ×12 5 ＝ 96 25 52．（四川某校自主招生）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD、CE 分别是高和角平分线，若△BCE 的面 积为 15，△CDE 的面积为 3，求△ABC 的面积． 解：∵CE 平分∠ACB，∴ AE BE ＝ AC BC ∴ S△ACE S△BCE ＝ AE BE ＝ AC BC ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△BCD ∴ S△ACD S△BCD ＝ AC 2 BC 2 ＝( S△ACE S△BCE )2 设△ACD 的面积为 x 当 E 在 BD 上时，则 x 3＋15 ＝(x＋3 15 )2 解得 x1＝2，x2＝4.5 A E BD C C D BEA ∴S△ABC ＝2＋3＋15＝20，或 S△ABC ＝4.5＋3＋15＝22.5 当 E 在 AD 上时，则 x 15－3 ＝(x－3 15 )2 解得 x3＝99＋15 41 8 ，x4＝99－15 41 8 ＜3（舍去） ∴S△ABC ＝99＋15 41 8 ＋15－3＝195＋15 41 8 53．（四川模拟）已知三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．折叠纸片，使点 A 落在 BC 边 上的点 D 处，折痕为 EF（点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上）． （1）当 D 是 BC 的中点时，求 EF 的长； （2）当以 B、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求 EF 的长； （3）△BDE 能否成为以 DE 为腰的等腰三角形？若能，求 AE 的长； 若不能，说明理由． 解：（1）连接 AD 交 EF 于 G，过 A 作 AH⊥BC 于 H 在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10 ∴AH＝AB·AC BC ＝6×8 10 ＝24 5 ∵D 是 BC 的中点，∴AD＝ 1 2 BC＝BD＝DC＝5 ∴∠EAG＝∠B 由折叠知，AD⊥EF，AG＝ 1 2 AD＝ 5 2 ∴Rt△AGE∽Rt△BAC，得 EF＝AG·BC AH ＝ 5 2 ×10 24 5 ＝125 24 （2）①当∠BDE＝90°时，则△DBE∽△ABC 得 DE BE ＝ AC BC ＝ 8 10 ＝ 4 5 设 AE＝x，则 DE＝x，BE＝6－x ∴ x 6－x ＝ 4 5 ，∴x＝ 8 3 ∵∠BDE＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDF＝180° 即 B、D、F 三点共线，此时 F 与 C 重合 ∴EF＝ AE 2＋AC 2 ＝ 8 3 10 ②当∠BED＝90°时，则△EBD∽△ABC 得 DE BE ＝ AC AB ＝ 8 6 ＝ 4 3 设 AE＝x，则 DE＝x，BE＝6－x ∴ x 6－x ＝ 4 3 ，∴x＝24 7 ∵∠BED＝90°，∴∠AED＝90° ∴∠AEF＝∠DEF＝45° E A F DB C E A F DB C G H E A DB C(F) E A F DB C ∴△AEF 是等腰直角三角形 ∴EF＝ 2AE＝24 7 2 （3）①若 BE＝DE ∵AE＝DE，∴AE＝BE ∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠B ∵∠BDE＋∠CDF＝90°，∠B＋∠C＝90° ∴∠CDF＝∠C，∴CF＝DF＝AF ∴EF 是△ABC 的中位线 ∴EF＝ 1 2 BC＝5 ②若 BD＝DE 连接 AD，过 D 作 DH⊥BE 于 H 设 BD＝DE＝AE＝x，则 BE＝6－x，BH＝ 1 2 BE＝3－ 1 2 x 由△HBD∽△ABC，得 BH＝ 3 5 BD ∴3－ 1 2 x＝ 3 5 x，∴x＝ 30 11 ③若 BD＝BE 过 B 作 DE 的垂线，垂足为 M，交 AC 于 N，过 N 作 NK⊥BC 于 K 则 BM 是∠ABC 的角平分线，∴AN＝NK 设 BD＝BE＝x，则 DE＝AE＝6－x，EM＝ 1 2 DE＝3－ 1 2 x ∵S△ABC ＝ 1 2 AB·AN＋ 1 2 BC·NK＝ 1 2 AB·AC ∴AN＝ AB·AC AB＋BC ＝ 6×8 6＋10 ＝3 ∴AB＝2AN，∴BN＝ AB 2＋AN 2 ＝ 5AN ∴sin∠ABN＝ EM BE ＝ AN BN ＝ 1 5 ，∴BE＝ 5EM ∴x＝ 5(3－ 1 2 x)，∴x＝30－12 5 ∴AE＝6－x＝12 5－24 54．（湖南娄底）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D 在边 BC 上，E 在线段 DC 上，DE ＝4，△DEF 是等边三角形，边 DF 交边 AB 于点 M，边 EF 交边 AC 于点 N． （1）求证：△BMD∽△CNE； （2）当 BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？ （3）设 BD＝x，五边形 ANEDM 的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式（要求写出自变量 x 的取值范围）； 当 x 为何值时，y 有最大值？并求 y 的最大值． A CB F D E M N E A F DB C E A F DB C H E A F DB C M N K H （1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE＝∠FED 而∠FDE＝∠B＋∠DMB，∠FED＝∠C＋∠ENC ∴∠DMB＝∠ENC，∴△BMD∽△CNE （2）解：设 BD＝x，则 DM＝x 作 MH⊥DE 于 H，则 MH＝ 3 2 x，MF＝4－x 又由题设知 MH＝MF，得 3 2 x＝4－x 解得 x＝16－8 3 ∴当 BD＝16－8 3 时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切 （3）由 BD＝x，DE＝4，BC＝8 得 EC＝4－x，则 EN＝EC＝4－x ∴y＝S△ABC －S△BDM －S△ECN ＝16 3 3 － 3 4 x2－ 3 4 (4－x)2 即 y＝－ 3 2 x2＋2 3x＋4 3 3 由 M、N 分别在线段 AB、AC 上，得 BM＜AB，CN＜AC ∴ 3x＜8 3 3 3(4－x)＜8 3 3 解得 4 3 ＜x ＜ 8 3 ∵y＝－ 3 2 x2＋2 3x＋4 3 3 ＝－ 3 2 (x－2)2＋ 10 3 3 ∴当 x＝2 时，y 有最大值，最大值为 10 3 3 55．（湖南邵阳）如图所示，直线 y＝－ 3 4 x＋b 与 x 轴相交于点 A（4，0），与 y 轴相交于点 B，将△AOB 沿着 y 轴折叠，使点 A 落在 x 轴上，点 A 的对应点为点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）设点 P 为线段 CA 上的一个动点（点 P 与点 A、C 不重合），连接 PB，以点 P 为端点作射线 PM 交 AB 于点 M，使∠BPM＝∠BAC． ①求证：△PBC∽△MPA； ②是否存在点 P 使△PBM 为直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵A（4，0），且点 C 与点 A 关于 y 轴对称 AP M C B O x y AC B O x y 备用图 A CB F D E M N H ∴C（－4，0） （2）①证明：∵∠BPM＝∠BAC，∠PMA＝∠BPM＋∠PBM，∠BPC＝∠BAC＋∠PBM ∴∠BPC＝∠PMA 又∵点 C 与点 A 关于 y 轴对称，∴∠BCP＝∠PAM ∴△PBC∽△MPA ②解：∵直线 y＝－ 3 4 x＋b 与 x 轴相交于点 A（4，0） ∴0＝－ 3 4 ×4＋b，∴b＝3 ∴y＝－ 3 4 x＋3 ∴B（0，3） 情形一：当∠PBM＝90°时，则有△BPO∽△ABO ∴ PO BO ＝ BO AO ，即 PO 3 ＝ 3 4 ，∴PO＝ 9 4 ∴P1（－ 9 4 ，0） 情形二：当∠PMB＝90°时，则∠PMA＝90° ∴∠PAM＋∠MPA＝90° ∵∠BPM＝∠BAC，∴∠BPM＋∠APM＝90° 即 BP⊥AC ∵过点 B 只有一条直线与 AC 垂直 ∴此时点 P 与点 O 重合，即符合条件的点 P2 的坐标为：P2（0，0） ∴使△PBM 为直角三角形的点 P 有两个：P1（－ 9 4 ，0）、P2（0，0） 56．（湖南岳阳） （1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边 BA 上一动点（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以 DC 为边 在 BC 上方作等边△DCF，连接 AF．你能发现线段 AF 与 BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点 D 运动至等边△ABC 边 BA 的延长线上时，其它作法与（1）相同，猜想 AF 与 BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点 D 在等边△ABC 边 BA 上运动时（点 D 与点 B 不重合），连接 DC，以 DC 为边在其 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接 AF、BF′，探究 AF、BF′ 与 AB 有何数量关系？并证明 你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点 D 在等边△ABC 边 BA 的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成 立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． B C 图① A D F B C 图② A D F B C 图③ A D F F′ B C 图④ A D F F′ 解：（1）AF＝BD 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60° ∵△DCF 是等边三角形，FC＝DC，∠DCF＝60° ∴∠ACB－∠ACD＝∠DCF－∠ACD，即∠ACF＝∠BCD 在△ACF 和△BCD 中 AC＝BC ∠ACF＝∠BCD FC＝DC ∴△ACF≌△BCD ∴AF＝BD （2）仍然成立 （3）Ⅰ．AF＋BF′＝AB 证明：由（1）知，△ACF≌△BCD，AF＝BD 同理△ACD≌△BCF′，AD＝BF′ ∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．此时 AF－BF′＝AB 证明：在△ACD 和△BCF′ 中 AC＝BC ∠ACD＝∠BCF′＝60°－∠ACF′ DC＝F′C ∴△ACD≌△BCF′ ∴AD＝BF′ 又由（2）知，AF＝BD AF－BF′＝BD－AD＝AB 57．（湖北武汉）在锐角三角形 ABC 中，BC＝5，sinA＝ 4 5 ． （1）如图 1，求△ABC 的外接圆的直径； （2）如图 2，点 I 为△ABC 的内心，若 BA＝BC，求 AI 的长． 解：（1）作△ABC 的外接圆直径 CD，连接 BD 则∠CBD＝90°，∠D＝∠A ∴ BC CD ＝sin∠D＝sin∠A＝ 4 5 ∵BC＝5，∴CD＝25 4 ，即△ABC 的外接圆的直径为 25 4 （2）连接 BI 并延长交 AC 于 H，作 IE⊥AB 于 E B C A 图 1 B C A 图 2 I B C A D ∵I 为△ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC ∵BA＝BC，∴BH⊥AC，∴IH＝IE 在 Rt△ABH 中，BH＝AB·sin∠BAH＝4，AH＝ AB 2－BH 2 ＝3 ∵ S△ABI ＋ S△AHI ＝ S△ABH ∴IE·AB 2 ＋ IH·AH 2 ＝AH·BH 2 ，即：5IE 2 ＋ 3IH 2 ＝3×4 2 ∵IH＝IE，∴IH＝ 3 2 在 Rt△AIH 中，由勾股定理得：AI＝ AH 2＋IH 2 ＝ 3 2 5 58．（湖北武汉）已知△ABC 中，AB＝2 5，AC＝4 5，BC＝6． （1）如图 1，点 M 为 AB 的中点，在线段 AC 上取点 N，使△AMN 与△ABC 相似，求线段 MN 的长； （2）如图 2，是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 10×10 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的 三角形为格点三角形． ①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1 与△ABC 全等（画出一个即可，不需证明） ②试直接写出所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）． 解：（1）①当△AMN∽△ABC 时，有 AM AB ＝ MN BC ∵M 为 AB 的中点，AB＝2 5，∴AM＝ 5 ∵BC＝6，∴MN＝3 ②当△ANM∽△ABC 时，有 AM AC ＝ MN BC ∵M 为 AB 的中点，AB＝2 5，∴AM＝ 5 ∵BC＝6，AC＝4 5，∴MN＝ 3 2 （2）①画出一个正确的图形即可 ②8 个（提示：每条对角线处可作 4 个与△ABC 相似且面积最大的格点三角形，所以共有 8 个） 画出的一个格点三角形如图所示 59．（湖北黄石）如图（1）所示：等边△ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线，过 D 点的直线 B1C1⊥AC 于 C1 交 AB 的延长线于 B1． （1）请你探究： AC AB ＝ CD DB ， AC1 AB1 ＝ C1D DB1 是否都成立？ B C A M 图 1 图 2 B C A I E H A1 B1C1 P M N （2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 AC AB ＝ CD DB 一定成立吗？ 并证明你的判断． （3）如图（2）所示：Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝40 3 ，E 为 AB 上一点且 AE＝5，CE 交其 内角角平分线 AD 于 F，试求 DF FA 的值． 解：（1）易验证 AC AB ＝1＝ CD DB ， AC1 AB1 ＝ 1 2 ＝ C1D DB1 这两个等式都成立 （2）仍然成立，证明如下： 如图（1）所示，△ABC 为任意三角形，过 B 点作 BE∥AC 交 AD 的延长线于 E 点 ∵∠E＝∠CAD＝∠BAD，∴BE＝AB 又∵△EBD∽△ACD，∴ AC BE ＝ CD DB 又∵BE＝AB，∴ AC AB ＝ CD DB 即对任意三角形结论仍然成立 ﹙3﹚如图（2）所示，连接 ED ∵AD 为△ABC 的内角角平分线 ∴ CD DB ＝ AC AB ＝ 8 40 3 ＝ 3 5 而 AE EB ＝ 5 40 3 －5 ＝ 3 5 ，∴ CD DB ＝ AE EB ∴DE∥AC，∴△DEF∽△ACF ∴ DF FA ＝ EF FC ＝ AE AC ＝ 5 8 60．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边中点，以 D 为顶点作∠MDN＝∠B． （1）如图（1），当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相 似的三角形； （2）如图（2），将∠MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E 与 点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论； （3）在图（2）中，若 AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF 的面积等于△ABC 面积的 1 4 时，求线段 EF 的长． C C1 D BA B1 图（1） C D EA B 图（2） F C D EA B 图（2） F N A E M F N A E M N A E M F 图（1） D E BA C 解：（1）图（1）中与△ADE 相似的有△ABD，△ACD，△DCE （2）△BDF∽△CED∽△DEF 证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180° ∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180° 又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE 由 AB＝AC，得∠B＝∠C ∴△BDF∽△CED，∴ BD DF ＝ EC DE ∵BD＝CD，∴ CD DF ＝ EC DE 又∵∠C＝∠EDF，∴△CED∽△DEF ∴△BDF∽△CED∽△DEF （3）连接 AD，过 D 点作 DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为 G，H ∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC，BD＝ 1 2 BC＝6 在 Rt△ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD＝8 ∴S△ABC ＝ 1 2 BC·AD＝ 1 2 ×12×8＝48，S△DEF ＝ 1 4 S△ABC ＝ 1 4 ×48＝12 又∵ 1 2 AD·BD＝ 1 2 AB·DH，∴DH＝AD·BD AB ＝8×6 10 ＝24 5 ∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝24 5 ∵S△DEF ＝ 1 2 EF·DG＝12，∴EF＝ 12 1 2 DG ＝5 61．（湖北某校自主招生）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边 AB 为底边向外作等腰三角形 PAB， 连接 PC． （1）如图 1，当∠APB＝90°时， ①求证：PC 平分∠ACB；②若 PC＝6 2，求 BC 的长； （2）如图 2，当∠APB＝60°，PC＝5 2 时，求 BC 的长． A C B P 图 2 A C B P 图 1 N A D CB E M F G H （1）①证明：过点 P 分别作 AC、BC 的垂线，垂足为 E、F 则四边形 ECFP 是矩形，∠EPF＝90° ∵∠APB＝90°，∴∠EPA＝∠FPB＝90°－∠APF 又 PA＝PB，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴△PEA≌△PFB ∴PE＝PF，∴矩形 ECFP 是正方形 ∴PC 平分∠ACB ②解：延长 CB 至 D，使 BD＝AC＝5，连接 PD ∵在四边形 ACBP 中，∠ACB＝∠APB＝90° ∴∠PAC＋∠PBC＝180° ∵∠PBD＋∠PBC＝180°，∴∠PAC＝∠PBD 又 PA＝PB，AC＝BD，∴△PAC≌△PBD ∴PC＝PD，∠APC＝∠BPD ∵∠APC＋∠BPC＝90°，∴∠BPD＋∠BPC＝90° 即∠CPD＝90°，∴△PCD 是等腰直角三角形 ∴CD＝ 2PC＝12 ∴BC＝CD－BD＝12－5＝7 （2）以 AC 为边向外作等边三角形 ACD，作 DE⊥BC 于 E，连接 DB 则 DE＝ 1 2 AC＝ 5 2 ，CE＝ 3 2 AC＝ 5 2 3 ∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB 是等边三角形 ∴AB＝AP，∠BAP＝60°＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CAP 又 AD＝AC，∴△ADB≌△ACP ∴BD＝PC＝5 2 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得： ( 5 2 )2＋( 5 2 3＋BC)2＝(5 2)2，解得 BC＝ 5 2 ( 7－ 3) 62．（湖北某校自主招生）在平面直角坐标系中，已知点 A（5，0），点 B 在第一象限，且 AB 与直线 l：y ＝ 3 4 x 平行，AB 长为 8，若点 P 是直线 l 上的动点，求△PAB 的内切圆面积的最大值． 解：∵AB∥直线 l，点 P 在直线 l 上 ∴△PAB 的面积 S△PAB 是定值 A C B P 图 1 D E F A C B P 图 2 E D E A B O y x l 设△PAB 的内切圆的半径为 r，则 S＝ 1 2 PA·r＋ 1 2 PB·r＋ 1 2 AB·r ∴r＝ 2S△PAB PA＋PB＋AB ∵AB 长为 8，是定值，∴当 PA＋PB 最小时，r 最大，从而内切圆面积最大 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′ 交直线 l 于点 P，连接 PB，则 PA＋PB 最小 此时 PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′ ∵点 B 和点 B′ 关于直线 l 对称 ∴直线 l 垂直平分线段 BB′ ∵AB∥直线 l，∴AB⊥BB′ ∴△ABB′ 是直角三角形且∠ABB′＝90° 作 AM⊥直线 l 于 M，作 MN⊥OA 于 N，设 M（m， 3 4 m） 则 ON＝m，MN＝ 3 4 m，OM＝ 5 4 m 由△OAM∽△OMN，得 AM OA ＝ MN OM ＝ 3 5 ∴AM＝ 3 5 OA＝ 3 5 ×5＝3，∴BB′＝2AM＝6 又 AB＝8，∴AB′＝10 ∴r＝ 2S△PAB AB＋AB′ ＝ AB·AM AB＋AB′ ＝ 8×3 8＋10 ＝ 4 3 ∴△PAB 的内切圆面积的最大值是：π×( 4 3 )2＝16 9 π 63．（湖北某校自主招生）已知△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点 C 作直线 l∥AB．点 D 在线 段 BC 上，点 E 在直线 l 上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求 DC 的长． 解：①当点 E 在点 C 上方时，如图 1 在 AC 上取点 F，使 DF＝DC，连接 DF ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30° ∴∠DFC＝∠DCF＝30° ∴∠FDC＝120°，∠DFA＝150° ∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝120° ∴∠DCE＝150°，∴∠DFA＝∠DCE ∵∠ADE＝∠FDC＝120° ∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠FDE 在△ADF 和△EDC 中 ∠ADF＝∠EDC，DF＝DC，∠DFA＝∠DCE ∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1 ∴FC＝AC－AF＝4－1＝3 过 D 作 DG⊥AC 于 G，则 GC＝ 1 2 FC＝ 3 2 ∴DC＝ GC cos30° ＝ 3 ②当点 E 在点 C 下方时 i）情形 1，如图 2 A B D C E l F 图 1 G A B D C E l F 图 2 A B O y x lB′ P M N 在 CA 延长线上取点 F，使 DF＝DC，连接 DF 则∠F＝∠DCF＝∠DCE＝30°，∴∠FDC＝120° 又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠ADC ∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1 ∴FC＝AC＋AF＝4＋1＝5 ，∴DC＝ 5 3 3 ii）情形 2，如图 3 过 D 作 DF⊥AC 于 F，过 E 作 EG⊥BC 于 G 则∠BDF＝90°＋30°＝120° 又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDG＝120°－∠ADB ∴△ADF≌△EDG，∴ AF DF ＝ EG DG 设 DC＝x，则 DG＝ 3 2 －x ∴ 4－ 3 2 x 1 2 x ＝ 1 2 3 2 －x 解得 x1＝5 3＋ 39 3 ＞4 3（舍去），x2＝5 3－ 39 3 综上所述，DC 的长为 3 或 5 3 3 或 5 3－ 39 3 64．（湖北模拟）如图 1 是边长分别为 4 3 和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 C′D′E′ 叠放在一起（C 与 C′ 重合），固定△ABC，将△C′D′E′ 绕点 C 顺时针旋转 30°得到△CDE，连接 AD、BE，CE 的延长线交 AB 于 F（如图 2）． （1）探究线段 BE 与 AD 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）将图 2 中的△CDE 沿射线 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的△CDE 记为△PQR（如图 3），当点 Q 与点 F 重合时停止平移．设△PQR 移动的时间为 t 秒，△PQR 与△AFC 重叠部分的面积为 S， 求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，如果对于同一个 S 的值，对应的 t 值恰好有两个，直接写出 t 的取值范围． 解：（1）BE＝AD 证明：∵△ABC，△CDE 都是等边三角形 ∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60° ∵∠BCE＝30°，∴∠ACE＝30° ∴∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠BCE C A E′B D′ (C′) 图 1 C A E B (C′) 图 2 DF C A QB 图 3 F P R F CB A 图 3 l E DG C A Q B 图 1 F R (P) ∴△ACD≌△BCE，BE＝AD （2）当点 R 恰好落在 AC 上时（如图 1） ∵∠ACF＝30°，∠RPQ＝60°，∴∠PRC＝90° ∴PC＝2PR＝6，QC＝6－3＝3 又∵CF＝BC·cos30°＝4 3× 3 2 ＝6 ∴PC＝CF，此时点 P 与点 F 重合 所需时间 t1＝3÷1＝3（秒） 当点 R 恰好落在 AB 上时（如图 2） 所需时间 t2＝(6－ 3 2 )÷1＝ 9 2 （秒） 当点 Q 与点 F 重合时，所需时间 t3＝6÷1＝6（秒） 此时点 P 与点 F 重合，所需时间为 3 秒 ①当 0≤t≤3 时（如图 3） 设 PR、RQ 分别交 AC 于 M、N ∵∠ACF＝30°，∠PQR＝60°，∴∠QNC＝30° ∴QN＝QC，∠RNM＝∠QNC＝30° ∴∠RMN＝90°，RN＝RQ－NQ＝RQ－QC＝3－t ∴∠RM＝ 1 2 (3－t)，MN＝ 3 2 (3－t) ∴S△RMN ＝ 1 2 MN·RM＝ 3 8 (3－t)2 而 S△PQR ＝ 1 2 ×3×3× 3 2 ＝9 3 4 ∴S ＝S△PQR － S△RMN ＝9 3 4 － 3 8 (3－t)2 即 y ＝－ 3 8 t 2＋ 3 3 4 t＋ 9 3 8 ②当 3＜t≤ 9 2 时（如图 4） 设 PR 交 AB 于 G，则 PF＝t－3，GF＝ 3(t－3) ∴S ＝S△PQR － S△PFG ＝9 3 4 － 3 2 (t－3)2 即 y ＝－ 3 2 t 2＋3 3t－ 9 3 4 ③当 9 2 ＜t≤6 时（如图 5） 设 RQ 交 AB 于 H，则 FQ＝6－t，HQ＝ 3(6－t) ∴S ＝S△FQH ＝ 3 2 (6－t)2 （3）0≤t≤ 9 2 且 t ≠3 65．（湖北模拟）在等腰△ABC 中，AB＝AC，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度 m 得到线段 AD． （1）如图 1，若∠BAC＝30°，30°＜m ＜180°，连接 BD，请用含 m 的式子表示∠DBC 的度数； （2）如图 2，若∠BAC＝60°，0°＜m ＜360°，连接 BD、DC，直接写出△BDC 为等腰三角形时 m 所有可 C A Q B 图 4 FP RG C A Q B 图 5 F P R H C A QB 图 3 F P RM N C A Q B 图 2 F P R 能的取值________________________； （3）如图 3，若∠BAC＝90°，射线 AD 与直线 BC 相交于点 E，是否存在旋转角度 m，使 AE BE ＝ 2，若存 在，求出所有符合条件的 m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵AB＝AD，∠BAD＝m ∴∠ABD＝∠ADB＝90°－ 1 2 m ∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75° ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝75°－(90°－ 1 2 m) 即∠DBC＝ 1 2 m－15° （2）30°、120°、210°、300° 分四种情况，如图所示 （3）存在两个符合条件的 m 的值，m＝30° 或 m＝330° 如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，作 EF⊥AB 于 F 在△ABC 中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45° 在 Rt△BEF 中，∵∠FBE＝45°，∴BE＝ 2EF 在 Rt△AEF 中，∵ AE BE ＝ 2，∴AE＝ 2BE＝2EF ∴sinm＝ EF AE ＝ 1 2 ，∴m＝30° 如图 2，当点 E 在 CB 延长线上时，作 EF⊥AB 于 F 则 BE＝ 2EF ∵ AE BE ＝ 2，∴AE＝ 2BE＝2EF ∴sin∠EAF＝ EF AE ＝ 1 2 ，∴∠EAF＝30° ∴m＝330° 66．（广西桂林）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D 为 BC 的中点． A B D C 图 1 A B D C 图 2 A B D C 图 3 E A B D CE 图 1 F A B D CE 图 2 F C A E B D C A B D C A B D C A B D （1）若 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE＝CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点 F、E 分别从 C、A 两点同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CA、AB 运动，到点 A、B 时 停止；设△FED 的面积为 y，F 点运动的时间为 x，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点 F、E 分别沿 CA、AB 的延长线继续运动，求此时 y 与 x 的函数关系式． （1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D 为 BC 的中点 ∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° ∴AD＝BD＝DC ∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD （2）解：依题意有：FC＝AE＝x ∵△AED≌△CFD ∴S 四边形 AEDF ＝S△AED ＋ S△ADF ＝S△CFD ＋ S△ADF ＝S△ADC ＝9 ∴S△EDF ＝S 四边形 AEDF － S△AEF ＝9－ 1 2 (6－x)x＝ 1 2 x2－3x＋9 ∴y＝ 1 2 x2－3x＋9 （3）依题意有：AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45° ∴∠DAF＝∠DBE＝135° ∴△ADF≌△BDE，∴S△ADF ＝S△BDE ∴S△EDF ＝S△EAF ＋ S△ADB ＝ 1 2 (x－6)x＋9＝ 1 2 x2－3x＋9 ∴y＝ 1 2 x2－3x＋9 67．（福建龙岩）如图 1，过△ABC 的顶点 A 作高 AD，将点 A 折叠到点 D（如图 2），这时 EF 为折痕， 且△BED 和△CFD 都是等腰三角形，再将△BED 和△CFD 沿它们各自的对称轴 EH、FG 折叠，使 B、C 两点都与点 D 重合，得到一个矩形 EFGH（如图 3），我们称矩形 EFGH 为△ABC 的边 BC 上的折合矩形． （1）若△ABC 的面积为 6，则折合矩形 EFGH 的面积为__________； （2）如图 4，已知△ABC，在图 4 中画出△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH； （3）如果△ABC 的边 BC 上的折合矩形 EFGH 是正方形，且 BC＝2a，那么，BC 边上的高 AD＝_________， 正方形 EFGH 的对角线长为__________． A B CD E F 图 1 A B CDE F 图 2 图 1 图 2 图 3 图 4 A B D C B D(A) E F C E F H D G A B C （1）3 （2）作出的折合矩形 EFGH 为网格正方形 （3）2a， 2a 68．（福建南平）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且∠1＝∠B＝∠C． （1）由题设条件，请写出三个正确．．．．结论；（要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母 或辅助线不能出现在结论中，不必证明） 答：结论一：________________________； 结论二：________________________； 结论三：________________________． （2）若∠B＝45°，BC＝2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与点 B、C 重合）， ①求 CE 的最大值； ②若△ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长． （注意：在第（2）小题求解过程中，若有运用（1）中得出的结 论，须加以证明） （1）如：AB＝AC；∠BAD＝∠CDE；∠ADB＝∠DEC；∠ADC＝∠AED； △ABD∽△DCE；△ADE≌△ACD； AB DC ＝ AD DE ＝ BD CE ； AE AD ＝ AD AC ＝ DE CD ；等 （2）①∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90° ∵BC＝2，∴AB＝AC＝ 2 解法一：∵∠1＋∠EDC＝∠B＋∠DAB，∠1＝∠B ∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE ∴ BD CE ＝ AB DC ，即 BD·DC＝CE·AB 设 BD＝x，CE＝y，则 DC＝2－x 有 x(2－x)＝ 2y，即 y＝－ 2 2 x2＋ 2x＝－ 2 2 (x－1)2＋ 2 2 ∵ 2 2 ＜0，∴当 x＝1 时，y 最大值＝ 2 2 ∴CE 的最大值为 2 2 解法二：∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD ∴ AD AE ＝ AC AD ，∴AD 2＝AE·AC＝(AC－CE)·AC＝2－ 2CE A B C （备用图） A B CD E 1 A B C E F H G A B CD E 1 ∴CE＝ 2－ 2 2 AD 2 ∴当 AD 最小时，CE 最大 由垂线段最短，可知 AD⊥BC ∵AB＝AC，∴D 为 BC 的中点 ∵∠BAC＝90°，∴AD＝ 1 2 BC＝ 1 2 ×2＝1 ∴CE＝ 2－ 2 2 ×1＝ 2 2 即 CE 的最大值为 2 2 ②分三种情形加以讨论： 1）当 AE＝DE 时，则∠DAE＝∠1＝45° ∵∠BAC＝90°，∴AD 平分∠BAC ∵AB＝AC，∴D 为 BC 的中点 ∴BD＝ 1 2 BC＝1 2）当 AD＝DE 时 解法一：∵∠1＋∠EDC＝∠B＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB 又∵∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE ∴AB＝DC＝ 2，∴BD＝BC－DC＝2－ 2 解法二：∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD∴△ADE∽△ACD ∴当 AD＝DE 时，DC＝AC＝ 2 ∴BD＝BC－DC＝2－ 2 2）当 AD＝AE 时，则∠AED＝∠1＝45°，∠DAE＝90° ∴此时点 D 与 B 重合，与题意不符，应舍去 综上所述，若△ADE 是等腰三角形，则 BD 的长为 1 或 2－ 2 69．（福建莆田） （1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于点 D．求证：AB 2＝AD·AC； （2）如图②，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 BC 边上的点，BE⊥AD 于点 E，延长 BE 交 AC 于点 F．若 AB BC ＝ BD DC ＝1，求 AF FC 的值； （3）在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为直线 BC 上的动点．．（点 D 不与 B、C 重合），直线 BE⊥AD 于 点 E，交直线 AC 于点 F．若 AB BC ＝ BD DC ＝n，请探究并直接写出 AF FC 的所有可能的值（用含 n 的式子表示）， 不必证明． （1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC 又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC ∴ AB AC ＝ AD AB ，∴AB 2＝AD·AC B FA C E D B A C D 图① 图② B A CD 图① （2）解：方法一：如图②，过点 C 作 CG⊥AD 交 AD 的延长线于点 G ∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，∴CG∥BF 又∵ AB BC ＝ BD DC ＝1，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG ∴ED＝GD＝ 1 2 EG 由（1）可知：AB 2＝AE·AD，BD 2＝DE·AD ∴ AE DE ＝ AB 2 BD 2 ＝ (2BD)2 BD 2 ＝4，∴AE＝4DE ∴ AE EG ＝ 4DE 2DE ＝2 又∵CG∥BF，∴ AF FC ＝ AE EG ＝2 方法二：如图③，过点 D 作 DG∥BF 交 AC 于点 G ∵ AB BC ＝ BD DC ＝1，AB＝BC，BD＝DC＝ 1 2 BC ∵DG∥BF，∴ FC FG ＝ BC BD ＝2，∴FC＝2FG 由（1）可知：AB 2＝AE·AD，BD 2＝DE·AD ∴ AE ED ＝ AB 2 BD 2 ＝ BC 2 BD 2 ＝4 又∵DG∥BF，∴ AF FG ＝ AE ED ＝4 ∴ AF FC ＝ AF 2FG ＝2 （3）①当点 D 在 BC 边上时， AF FC 的值为 n 2＋n ②当点 D 在 BC 延长线上时， AF FC 的值为 n 2－n ③当点 D 在 CB 延长线上时， AF FC 的值为 n－n 2 70．（福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 如图 1，在等腰直角△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含 45°角的顶点放在点 A 上， 从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直 线交直线 BC 于点 E． （1）小敏在线段 BC 上取一点 M，连接 AM，旋转中发现：若 AD 平分∠BAM，则 AE 也平分∠MAC．请 你证明小敏发现的结论； （2）当 0°＜α ≤45°时，小敏在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD 2＋CE 2＝DE 2． 同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 小颖的方法：将△ABD 沿 AD 所在的直线对折得到△ADF，连接 EF（如图 2）； 小亮的方法：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACG，连接 EG（如图 3）． 请你从中任选一种方法进行证明； （3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当 45°＜α ＜135°且α≠90°时，等量关系 BD 2＋CE 2＝DE 2 仍然 成立．现请你继续探究：当 135°＜α ＜180°时（如图 4），等量关系 BD 2＋CE 2＝DE 2 是否仍然成立？若成 立，给出证明；若不成立，说明理由． A B CD EM 图 1 A B CD E F 图 2 A B CD E G 图 3 F E B A C D 图③ G F E B A C D 图② G 证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45° ∴∠BAD＋∠EAC＝90°－45°＝45°，∠DAM＋∠MAE＝45° ∵AD 平分∠BAM，∴∠BAD＝∠DAM ∴∠MAE＝∠EAC，∴AE 平分∠MAC （2）（法一）小颖的方法：将△ABD 沿 AD 对折得到△AFD，连接 EF（如图 2） 由对折可得：∠BAD＝∠FAD，∠DFA＝∠B＝45°，DF＝DB 由（1）的结论可得：∠FAE＝∠CAE ∵AF＝AB，AB＝AC，∴AF＝AC ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEC ∴∠AFE＝∠C＝45°，EF＝EC ∴∠DFE＝45°＋45°＝90° ∴在 Rt△DEF 中，DF 2＋EF 2＝DE 2 即 BD 2＋CE 2＝DE 2 （法二）小亮的方法：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACG，连接 EG（如图 3） 由旋转可得：∠GAC＝∠DAB，∠ACG＝∠B＝45°，CG＝BD，AG＝AD ∵∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠GAC＋∠EAC＝45° ∴∠GAE＝∠DAE＝45° ∵AE＝AE，∴△AGE≌△ADE ∴GE＝DE，∠ECG＝45°＋45°＝90° ∴在 Rt△ECG 中，CG 2＋CE 2＝GE 2 即 BD 2＋CE 2＝DE 2 （3）等量关系 BD 2＋CE 2＝DE 2 仍然成立 法一：将△ABD 沿 AD 对折得到△AFD，连接 EF（如图 4－1） 则 BD＝FD，AF＝AB＝AC，∠AFD＝∠ABD＝180°－45°＝135° ∠FAD＝∠BAD，∠DAE＝45° ∵∠EAF＝∠FAD＋45°，∠EAC＝90°＋∠BAD－45°＝∠BAD＋45° ∴∠EAF＝∠EAC ∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE ∴EF＝EC，∠AFE＝∠C＝45° ∴∠DFE＝135°－45°＝90° ∴在 Rt△DEF 中，DF 2＋EF 2＝DE 2 即 BD 2＋CE 2＝DE 2 A B C 图 4 A B CD EM 图 1 A B CD E F 图 2 A B CD E G 图 3 A B C 图 4－1 45° F ED 法二：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACG，连接 EG（如图 4－2） 则 BD＝CG，AD＝AG，∠ACG＝∠ABD＝180°－45°＝135° ∠DAG＝90°，∠DAE＝45° ∵∠DAE＝45°，∴∠GAE＝90°－45° ∴∠DAE＝∠GAE ∵AE＝AE，∴△ADE≌△AGE，∴GE＝DE ∵∠ECG＝135°－45°＝90° ∴在 Rt△ECG 中，CG 2＋CE 2＝GE 2 即 BD 2＋CE 2＝DE 2 71．（福建模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 D 为 AB 边上的一动点（不与 A、B 重合）， 过 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E．把△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′ 处，连接 BA′ ．设 AD＝x，△ ADE 的边 DE 上的高为 y． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当 x 取何值时，以点 A′、B、D 为顶点的三角形与△ABC 相似； （3）当 x 取何值时，△A′DB 是直角三角形？ （4）当 x 取何值时，△A′DB 是等腰三角形？ 解：（1）过 A 作 AM⊥BC 于 M，交 DE 于 N，则 BM＝ 1 2 BC＝6 ∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即 y＝AN 在 Rt△ABM 中，AM＝ 52－32 ＝4 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC ∴ AD AB ＝ AN AM ，∴ x 5 ＝ y 4 ∴y＝ 4 5 x（0＜x＜5） （2）∵△A′DE 由△ADE 折叠得到，∴A′D＝AD，A′E＝AE 由（1）可得△ADE 是等腰三角形，即 AD＝AE ∴AD＝A′D＝AE＝A′E，∴四边形 ADA′E 是菱形 ∴DA′∥AC，∴∠BDA′＝∠BAC ∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C ∴∠BDA′≠∠ABC，∠BDA′≠∠C ∴有且只有当 BD＝A′D 时，△DBA′∽△ABC ∴5－x＝x，∴x＝ 5 2 （3）①∵∠BDA′＝∠A≠90°，∴D 不可能为直角顶点 A CB ED A′ A CB 备用图 A CB ED A′ N M A B C 图 4－2 45° G ED ②若∠BA′D＝90° ∵四边形 ADA′E 是菱形，∴点 A′ 必在 DE 垂直平分线上，即直线 AM 上 ∵A′N＝AN＝y＝ 4 5 x，AM＝4，∴A′M＝|4－ 8 5 x| 在 Rt△A′BM 中，A′B 2＝A′M 2＋BM 2＝(4－ 8 5 x)2＋3 2 在 Rt△A′BD 中，A′B 2＝A′D 2＋BD 2＝x 2＋(5－x)2 ∴(4－ 8 5 x)2＋3 2＝x 2＋(5－x)2，解得 x＝0（舍去）或 x＝ 35 32 ③若∠A′BD＝90° 解法一：∵∠AMB＝90°，∴△BA′M∽△ABM ∴ BA′ AB ＝ BM AM ，∴ BA′ 5 ＝ 3 4 ，∴BA′＝15 4 在 Rt△A′BD 中，A′D 2＝A′B 2＋BD 2 ∴x 2＝(15 4 )2＋(5－x)2，解得 x＝125 32 解法二：由②知，A′M＝|4－ 8 5 x| 在 Rt△A′BM 中，A′B 2＝A′M 2＋BM 2＝(4－ 8 5 x)2＋3 2 在 Rt△A′BD 中，A′B 2＝A′D 2－BD 2＝x 2－(5－x)2 ∴(4－ 8 5 x)2＋3 2＝x 2－(5－x)2，解得 x＝5（舍去）或 x＝125 32 综上，当 x＝ 35 32 或 x＝125 32 时，△A′DB 是直角三角形 （4）①若 BD＝A′D，由（2）知，x＝ 5 2 ②若 BD＝BA′，则 BD 2＝A′B 2 ∴(5－x)2＝(4－ 8 5 x)2＋3 2，解得 x＝0（舍去）或 x＝ 70 39 ③若 A′D＝A′B，则 A′D 2＝A′B 2 ∴x 2＝(4－ 8 5 x)2＋3 2，解得 x＝5（舍去）或 x＝125 39 72．（福建模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点 D 是射线 CA 上的一个动点（不 与 C、A 重合），DE⊥直线 AB 于 E 点，点 F 是 BD 的中点，过点 F 作 FG⊥直线 AB 于 G 点，连接 EF， 设 AD＝x． （1）①若点 D 在 AC 边上，求 FG 的长（用含 x 的式子表示）； ②若点 D 在射线 CA 上，△BEF 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围． （2）若点 D 在 AC 边上，点 P 是 AB 边上的一个动点，DP 与 EF 相交于 O 点，当 DP＋FP 的值最小时， 猜想 DO 与 PO 之间的数量关系，并加以证明． A CB ED A′ N M A B C 备用图 A G F BE D C 解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ AC 2＋BC 2 ＝ 82＋62 ＝10 ∴sinA＝ BC AB ＝ 6 10 ＝ 3 5 ，cosA＝ AC AB ＝ 8 10 ＝ 4 5 ∵∠AED＝90°，AD＝x，∴DE＝AD·sinA＝ 3 5 x ∵DE⊥AB，FG⊥AB，∴FG∥DE 又∵F 是 BD 的中点，∴FG＝ 1 2 DE＝ 3 10 x ②在 Rt△ADE 中，DE＝ 3 5 x，AE＝AD·cosA＝ 4 5 x i）当点 D 在 AC 边上时，如图 1 BE＝AB－AE＝10－ 4 5 x ∴S＝ 1 2 BE·FG＝ 1 2 (10－ 4 5 x)· 3 10 x＝ 3 25 x2－ 3 2 x（0＜x＜8） ii）当点 D 在 CA 延长线上时，如图 2 BE＝AB＋AE＝10＋ 4 5 x ∴S＝ 1 2 BE·FG＝ 1 2 (10＋ 4 5 x)· 3 10 x＝ 3 25 x2＋ 3 2 x（x＞0） （2）猜想：DO＝3PO 证明：作点 D 关于 AB 的对称点 D′，连接 D′F 交 AB 于点 P，如图 3 则 DP＋FP 的值最小 由（1）知 FG＝ 1 2 DE＝ 1 2 D′E，即 D′E＝2FG 由△D′PE∽△FPG，得 EP＝2PG＝ 2 3 EG 过 P 作 PH⊥AB 交 EF 于 H，则 PH＝ 2 3 FG＝ 1 3 DE 由△DOE∽△POH，得 DO＝3PO 73．（福建模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D、E 分别是边 AB、AC 上的动点．将 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处． （1）当 DE∥BC 时，判断以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系，并说明理由； （2）当△DEF 为等腰三角形时，求 AD 的长； （3）若以 D、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 AD 的长； （4）随着点 D、E 的移动，点 F 位置也在不断变化，当点 D 从点 B 开始移动，至点 E 与点 C 重合，直接 写出这一过程中点 F 移动的路径的长． A G F BE D C O P D′ H 图 3 ED A B CF A B C 备用图 A G F B E D C 图 2 A G F BE D C 图 1 解：（1）连接 AF 交 DE 于 G，则 AF⊥DE，AG＝FG＝ 1 2 AF ∵在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10 ∵DE∥BC，∴AF⊥BC，△ADE∽△ABC 得 DE＝ 1 2 BC＝5，∴GF＝ 5 2 ∵S△ABC ＝ 1 2 BC·AF＝ 1 2 AB·AC ∴AF＝AB·AC BC ＝6×8 10 ＝24 5 ，∴GF＝ 1 2 AF＝12 5 ＜ 5 2 ∴以 DE 为直径的圆与 BC 相交 （2）∵∠DFE＝∠DAE＝90°， ∴当△DEF 为等腰三角形时，只能 DF＝EF 此时△DEF 为等腰直角三角形，∠1＝45° ∴∠2＝∠1＝45°，∴∠ADF＝90° ∴DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴ BD DF ＝ BA AC 设 AD＝x，则 DF＝x，BD＝6－x ∴ 6－x x ＝ 6 8 ，解得 x＝24 7 即 AD 的长为 24 7 （3）①当∠FDE＝∠ABC 时，△FDE∽△ABC ∵∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC 由（1）知，此时 AD＝ 1 2 AB＝3 ②当∠FDE＝∠ACB 时，△FED∽△ABC 连接 AF 交 DE 于 G 则 AF⊥DE，AG＝FG＝ 1 2 AF，∴∠DAG＋∠ADE＝90° 又∠ADE＝∠FDE，∠B＋∠ACB＝90° ∴∠DAG＝∠B，∴AF＝BF 同理 AF＝CF，∴AF＝BF＝CF＝ 1 2 BC＝5 ∴AG＝ 1 2 AF＝ 5 2 由△ADG∽△BCA，得 AD AG ＝ BC BA 得 AD 5 2 ＝ 10 6 ，∴AD＝25 6 （4）4 提示：当点 D 与点 B 重合时，BF1＝BA＝6 ED A B CF1F2 ED A B CF G E D A B CF 2 1 E D A B CF G ∴CF1＝10－6＝4 当点 E 与点 C 重合时，CF2＝CA＝8 ∴点 F 移动的路径的长为 F1F2＝CF2－CF1＝8－4＝4 74．（上海模拟）如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PD⊥AB 交 BC 相于点 D，以点 D 为正方形的一个顶点，在△ABC 内作正方形 DEFG，其中 D、E 在边 BC 上，F 在边 AC 上． （1）设 BP 的长为 x，正方形 DEFG 的边长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定函数的定义域； （2）当 P、G、F 三点共线时，求 BP 的长； （3）P、D、G 三点能否构成等腰三角形？若能，求出 BP 的长；若不能，请说明理由． 解：（1）∵△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12 ∴BH＝HC＝6，AH＝ AB 2－BH 2 ＝8 过 A 作 AH⊥BC 于 H，则△DBP∽△ABH ∴ BD AB ＝ PD AH ＝ BP BH ，即 BD 10 ＝ PD 8 ＝ x 6 ∴BD＝ 5 3 x，PD＝ 4 3 x 又∵四边形 DEFG 是正方形，∴EF⊥BC，EF＝DE＝y 由△FCE∽△ABH，得 EC＝ 3 4 y ∴ 5 3 x＋y＋ 3 4 y＝12 ∴y＝－ 20 21 x＋ 48 7 当点 G 落在边 AB 上，易知△AGF∽△ABC 得 y 12 ＝ 8－y 8 ，即 y＝ 24 5 ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 24 5 ，解得 x＝ 54 25 过 C 作 CM⊥AB 于 M 由△CBM∽△ABC，得 BM＝ 36 5 ∴ 54 25 ≤x ＜ 36 5 （2）当 P、G、F 三点共线时，连接 PG 则 PG∥BD，∠PGD＝90°＝∠AHB ∴∠DPG＝∠BDP＝90°－∠BAH B C A 备用图 E P DB C A FG B C A 备用图 E P DB C A FG H E P DB C A FG H B C A H M E P DB C A FG H ∴△PDG∽△ABH，得 PG＝ 4 3 y 由△APF∽△ABC，得 4 3 y＋y 12 ＝ 8－y 8 ，即 y＝ 72 23 ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 72 23 ，解得 x＝ 90 23 即 BP 的长为 90 23 （3）①若 PD＝GD 则 4 3 x＝－ 20 21 x＋ 48 7 ，解得 x＝3 ②若 PD＝PG，则∠PDG＝∠PGD ∵∠PDG＋∠PDB＝90°，∠B＋∠PDB＝90°，∠B＝∠C ∴∠PDG＝∠PGD＝∠B＝∠C ∴△PDG∽△ABC，得 PD＝ 5 6 y ∴ 4 3 x＝ 5 6 (－ 20 21 x＋ 48 7 )，解得 x＝ 180 67 ③若 PG＝DG 同理可得△GPD∽△ABC，GD＝ 5 6 PD＝ 10 9 x ∴－ 20 21 x＋ 48 7 ＝ 10 9 x，解得 x＝ 216 65 75．（浙江模拟）如图，已知直线 l：y＝3x＋6 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（8，0）．直 线 l 沿 x 轴正方向平移 m 个单位（0＜m＜10）得到直线 l′，直线 l′ 与 x 轴、直线 BC 分别相交于点 D、E． （1）求 sin∠ACB 的值； （2）当△CDE 的面积为 15 2 时，求直线 l′ 的解析式； （3）将△CDE 沿直线 l′ 对折得到△C′DE，记△C′DE 与四边形 ADEB 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求当 S 最大时四边形 DCEC′ 的周长． 解：（1）∵y＝3x＋6，当 x＝0 时，y＝6 ∴B（0，6），∴OB＝6 ∵C（8，0），∴OC＝8 ∴BC＝ 62＋82 ＝10 E P DB C A FG E P DB C A FG E P DB C A FG E A B D xO y l l′ C E A B D xO y l l′ C ∴sin∠ACB＝ OB BC ＝ 6 10 ＝ 3 5 （2）∵y＝3x＋6，当 y＝0 时，x＝－2 ∴A（－2，0），∴AC＝BC＝10 ∴S△ABC ＝ 1 2 AC·OB＝ 1 2 ×10×6＝30 由题意知 l′∥l，∴△CDEN∽△CAB ∴ S△CDE S△ABC ＝( CD CA )2，∴ 15 2 30 ＝(CD 10 )2 ∴CD＝5，∴D（3，0） 设直线 l′ 的解析式为 y＝3x＋b，把 D（3，0）代入，得 b＝－9 ∴直线 l′ 的解析式为 y＝3x－9 （3）由（2）可知，当 m＝5 时，点 C′ 正好落在 AB 上 ∴当 5≤m ＜10 时，点 C′ 在△ABC 内 ∴S＝S△C′DE ＝S△CDE ＝( CD CA )2·S△ABC ＝(10－m 10 )2×30＝ 3 10 (10－m)2 当 0＜m ＜5 时，点 C′ 在△ABC 外，设 C′D、C′E 分别交 AB 于点 F、G ∵AC＝BC＝10，∴△ABC 是等腰三角形 易知△DAF、△EBG、△CDE 都是与△CAB 相似的等腰三角形 ∴S△DAF ＝S△EBG ＝( m 10 )2·S△ABC ＝ 3 10 m2 ∴S＝30－2× 3 10 m2－ 3 10 (10－m)2＝6m－ 9 10 m2 综上可知，S 关于 m 的函数关系式如下： S＝ 6m－ 9 10 m2 （0＜m ＜5） 3 10 (10－m)2（5≤m ＜10） 显然，在 5≤m ＜10 范围内，当 m＝5 时，S 最大＝15 2 在 0＜m ＜5 范围内，S＝6m－ 9 10 m2＝－ 9 10 (m－10 3 )2＋10，当 m＝10 3 时，S 最大＝10 ∴当 m＝10 3 时，S 最大＝10 易知四边形 DCEC′ 是菱形，所以当 S 最大时 四边形 DCEC′ 的周长＝4×(10－m)＝4×(10－10 3 )＝80 3 76．（江苏模拟）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是 45°的位置（如图 1 中②的位置）．例如，图 2 是某巷子的俯视图，巷子路面宽 4m，转弯处为直角，车辆 的车身为矩形 ABCD，CD 与 DE、CE 的夹角都是 45°时，连接 EF，交 CD 于点 G，若 GF 的长度至少能 达到车身宽度，则车辆就能通过． （1）试说明长 8m，宽 3m 的消防车不能通过该直角转弯； （2）为了能使长 8m，宽 3m 的 消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（MM′ ︵ 和NN′ ︵ 分别是以 O 为 圆心，以 OM 和 ON 为半径的弧），具体方案如图 3，其中 OM⊥OM′，请你求出 ON 的最小值． E A B D C′ xO y l l′ C E A B D C′ G xO y l l′ C F 解：（1）作 FH⊥EC 于 H，则 FH＝EH＝4 ∴EF＝4 2．且∠GEC＝45° ∵GC＝ 1 2 DC＝4，∴GE＝GC＝4 ∴GF＝4 2－4＜3，即 GF 的长度未达到车身宽度 ∴消防车不能通过该直角转弯 （2）若 C、D 分别与 M′ 、M 重合，则△OGM 为等腰直角三角形 ∴OG＝4，OM＝4 2 ∴OF＝ON＝OM－MN＝4 2－4 ∴FG＝8－4 2＜3．∴C、D 在MM′ ︵ 上 连接 OC，设 ON＝x 在 Rt△OCG 中，OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4 由勾股定理得(x＋3)2＋4 2＝(x＋4)2 解得 x＝4.5 即 ON 的最小值为 4.5 米 77．（上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 O 为 AB 中点，以 O 为坐标原点，x 轴与 AC 平行， y 轴与 CB 平行，建立直角坐标系，AC 与 y 轴交于点 M，BC 与 x 轴交于点 N．将一把三角尺的直角顶点 放在坐标原点 O 处，绕点 O 旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线 CA、射线 BC 于点 P、Q． （1）证明：△OMP∽△ONQ； （2）若∠A＝60°，AB＝4，设点 P 的横坐标为 x，PQ 长为 y．当点 P 在边 AC 上运动时，求 y 关于 x 的函 数关系式及定义域； （3）若∠A＝60°，AB＝4，当△PQC 的面积为 3 2 时，求 CP 的长． （1）证明：由题意知∠POQ＝∠MON＝90° ∴∠PON＋∠QON＝90°，∠POM＋∠PON＝90° ∴∠QON＝∠POM ∵ON∥AC，OM∥BC，且∠C＝90°，∴∠OMP＝∠ONQ＝90° ∴△OMP∽△ONQ （2）解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4 图 2 D B A G C E F 图 3 N O M M′N′① ②③ 图 1 D B A G C E F H D B A E CN O M M′N′ G F A B P C xO M y Q N B xO y Q N ∴AC＝2，BC＝2 3 ∵O 是 AB 的中点，且 ON∥AC，OM∥BC ∴OM＝ 3，ON＝1 则 P（x，－ 3），CP＝1－x 由△OMP∽△ONQ，得 OM ON ＝ MP NQ ∴NQ＝ MP·ON OM ＝ |x| 3 ，CQ＝ x 3 ＋ 3 在 Rt△CPQ 中， y＝PQ＝ CP 2＋CQ 2 ＝ (1－x)2＋( x 3 ＋ 3)2 ＝ 2 3 3x2＋9 2 即 y 关于 x 的函数关系为 y＝ 2 3 3x2＋9 2 （－1≤x ≤1） （3）①当点 Q 在边 BC 上时 由（2）知，CP＝1－x，CQ＝ x 3 ＋ 3 ∴S△PQC ＝ 1 2 CP·CQ＝ 1 2 (1－x)( x 3 ＋ 3)＝ 3 2 解得 x1＝0，x2＝－2 ∴CP＝1 或 3 ②当点 Q 在 BC 延长线上时 易知，CP＝1－x，CQ＝－ x 3 － 3 ∴S△PQC ＝ 1 2 CP·CQ＝ 1 2 (1－x)(－ x 3 － 3)＝ 3 2 解得 x1＝－1－ 7，x2＝－1＋ 7 ∵－ x 3 － 3＞0，∴x ＜－3 ∴x＝－1＋ 7 不合题意，应舍去，∴x＝－1－ 7 ∴CP＝2＋ 7 综上所述，当△PQC 的面积为 3 2 时，CP 的长为 1 或 3 或 2＋ 7 78．（江苏模拟）如图，已知线段 AB 长为 12，点 C、D 在线段 AB 上，且 AC＝DB＝2．动点 P 从点 C 出 发沿线段 CD 向点 D 移动（移动到点 D 停止），分别以 AP、BP 为斜边在线段 AB 同侧作等腰 Rt△AEP 和 等腰 Rt△BFP，连接 EF，设 AP＝x． （1）求线段 EF 长的最小值； （2）当 x 为何值时，△EPF 的外接圆与 AB 相切； （3）求四边形 AEFB 的面积 y 与 x 的函数关系式； （4）设 EF 的中点为 G，直接写出整个运动过程中点 G 移动 的路径的长． 解：（1）作 EH⊥AB 于 H，FK⊥AB 于 K，EL⊥FK 于 L ∵AP＝x，∴PB＝12－x（2≤x ≤10） EH＝ 1 2 AP＝ 1 2 x，FK＝ 1 2 PB＝ 1 2 (12－x)＝6－ 1 2 x A B P C x O M y Q N E A BC F P D G E A BC F P D G H K L M N EL＝HK＝HP＋PK＝ 1 2 AP＋ 1 2 PB＝6 ∴FL＝FK－LK＝FK－EH＝6－ 1 2 x－ 1 2 x＝6－x ∴EF 2＝EL2＋FL2＝62＋(6－x)2 当 x＝6 时，EF 2 有最小值 36 ∴线段 EF 长的最小值是 6 （2）作 GM⊥AB 于 M，则 GM＝ 1 2 (EH＋FK)＝3 可见在点 P 由点 C 向点 D 移动过程中，点 G 到 AB 的距离始终为 3，而由（1）知线段 EF 的长随 x 的变化 而变化，当 x＝6，即点 P 运动到 AB 中点时，EF＝6＝2GM，而由题意可得∠EPF＝90°，△EPF 是直角三 角形，所以点 G 是△EPF 外接圆的圆心，只有此时△EPF 的外接圆才与 AB 相切 ∴当 x＝6 时，△EPF 的外接圆与 AB 相切 （3）延长 AE、BF 交于点 H 易知△ANB 是等腰直角三角形，四边形 PENF 是矩形 ∴S 四边形 AEFB ＝S△ANB － S△ENF ＝S△ANB － S△EPF ＝ 1 2 ×12×6－ 1 2 · 2 2 x· 2 2 (12－x) ＝ 1 4 x2－3x＋36 即 y＝ 1 4 x2－3x＋36 （4）由（2）知点 G 到 AB 的距离始终为 3，所以随着点 P 的移动，点 G 的移动路径是一条平行于 AB 的 线段 ∵AB＝12，AC＝DB＝2，∴AD＝10 ∵点 P 在线段 CD 上，∴2≤x ≤10 ∵AM＝AH＋HM＝ 1 2 AP＋ 1 2 HK＝ 1 2 x＋3 ∴当 x＝2 时，AM＝4；当 x＝10 时，AM＝8 ∴点 G 移动的路径长为 8－4＝4 79．（北京模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别为 CB、CA 延长线上的点，BE 与 AD 的交点为 P． （1）若 BD＝AC，AE＝CD，在图 1 中画出符合题意的图形，直接写出∠APE 的度数； （2）若 AC＝ 3BD，CD＝ 3AE，求∠APE 的度数（利用图 2 作答）． 解：（1）如图 1，∠APE＝45° （2）解法一：如图 2，将 AE 平移到 DF，连接 BF，EF 则四边形 AEFD 是平行四边形，∴AD∥EF，AD=EF ∵AC＝ 3BD，CD＝ 3AE ∴ AC BD ＝ 3， CD AE ＝ CD DF ＝ 3，∴ AC BD ＝ CD DF A B C 图 1 A B C 图 2 A P D C B E 图 1 ∵∠C＝90°，∴∠BDF＝180°－∠C＝90° ∴∠C＝∠BDF，∴△ACD∽△BDF ∴ AD BF ＝ AC BD ＝ 3，∠1＝∠2，∴ EF BF ＝ AD BF ＝ 3 ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴BF⊥AD，∴BF⊥EF ∴在 Rt△BEF 中，tan∠BEF＝ BF EF ＝ 3 3 ∴∠APE＝∠BEF＝30° 解法二：如图 3，将 CA 平移到 DF，连接 AF，BF，EF 则四边形 ACDF 是平行四边形 ∵∠C＝90°，∴四边形 ACDF 是矩形 ∴∠AFD＝∠CAF＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵在 Rt△AEF 中，tan∠3＝ AE AF ＝ AE CD ＝ 3 3 在 Rt△BDF 中，tan∠1＝ BD DF ＝ BD AC ＝ 3 3 ∴∠3＝∠1＝30° ∴∠3＋∠2＝∠1＋∠2＝90°，即∠EFB＝90° ∴∠AFD＝∠EFB 又∵ DF BF ＝ AF EF ＝cos30°＝ 3 2 ，∴△ADF∽△EBF ∴∠4＝∠5 ∵∠APE＋∠4＝∠3＋∠5，∴∠APE＝∠3＝30° 80．（上海模拟）如图 1，△ABC 和△DEF 是两张全等的三角形纸片，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝30°， BC＝EF，点 F 与 BC 边的中点 O 重合，且点 E、B、F、C 在同一条直线上．如图 2，将△DEF 绕点 O 顺 时针旋转，旋转过程中边 DF、EF 分别交边 AB 于点 G、H，设旋转角∠BOH＝α． （1）当α＝________°时，AG＝BH； （2）当线段 AG、GH、BH 之间满足 AG 2＋GH 2＝BH 2 关系时，求α的大小； （3）若 BC＝EF＝4，BH＝x，AG＝y，求 y 与 x 的函数关系式． 解：（1）30 （2）作点 A 关于 OD 的对称点 K，连接 KG、KH、KO、AO 则 KO＝AO，KG＝AG，∠KOG＝∠AOG ∵O 是 Rt△ABC 斜边 BC 的中点，∴BO＝AO＝KO ∴∠BAO＝∠B＝30°，∴∠AOB＝120° ∵∠EOD＝60°，∴∠KOG＝60°－∠KOH A P D C F B E 3 1 2 图 2 C A OB D (F) 图 1 E C A OB D (F) 图 2 E G H C A OB D (F) E G H K A P D C F B E 3 12 图 3 4 5 ∠AOG＝120°－(∠BOH＋60°)＝60°－∠BOH ∴∠KOH＝∠BOH 又 KO＝BO，OH＝OH，∴△KOH≌△BOH ∴KH＝BH ∵AG 2＋GH 2＝BH 2，∴KG 2＋GH 2＝KH 2 ∴∠KGH＝90°，∴∠AGK＝90°，∴∠KGD＝∠AGD＝45° ∴∠BGO＝45°，∴∠BOG＝105° ∴∠BOH＝45°，即α＝45° （3）过 O 作 OM⊥AB 于 M，过 H 作 HN⊥OD 于 N，交 OM 于 P 则 OM∥AC ∵O 是 BC 的中点，∴AM＝BM＝ 1 2 AB，OM＝ 1 2 AC 在 Rt△ABC 中，∠B＝30°，BC＝4，∴AB＝2 3，AC＝2 ∴BM＝ 3，OM＝1 ∵BH＝x，∴HM＝ 3－x ∵∠EOD＝60°，∴HN＝ 3ON ∵∠HNG＝∠ONP＝90°，∠GHN＝∠PON＝90°－∠HGN ∴△HNG∽△ONP，∴HG OP ＝ HN ON ＝ 3 ∴HG＝ 3OP，即( 3－x＋MG)＝ 3OP，∴OP＝ 3 3 ( 3－x＋MG) ∵∠HMP＝∠OMG＝90°，∠MHP＝∠MOG＝90°－∠HGN ∴△HMP∽△OMG，∴ HM OM ＝ MP MG 即 3－x 1 ＝ MP MG ，∴MP＝( 3－x)MG ∵MP＋OP＝OM，∴( 3－x)MG＋ 3 3 ( 3－x＋MG)＝1 ∴MG＝ x 4－ 3x ∵AM＝AG＋MG＝ 1 2 AB，∴y＋ x 4－ 3x ＝ 3 ∴y＝ 4 3－4x 4－ 3x （0≤x ≤ 3） 81．（上海模拟）已知△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D 是 AB 边上一点，以 CD 为斜边向右作等腰直 角三角形 CDE，M 是 CA 中点，连接 ME 交 AB 于点 N． （1）猜想线段 MN 与 BC 的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）若 BC＝AC＝4，BD＝x，△CDE 与△ABC 重合部分的面积为 y， 求 y 与 x 的函数关系式； （3）若 BC＝AC＝4，当△DNE 是等腰三角形时，求 BD 的长． 解：（1）MN∥BC，MN＝ 1 2 BC C A OB D (F) E G H M N P B D C AN M E 方法一：延长线 DE 到 F，使 EF＝DE，连接 CF、EA 则△CDF 为等腰直角三角形，∠F＝∠CAB＝45° ∴C、D、A、F 四点在以 DF 为直径的圆是，∴EC＝EA ∵M 是 CA 中点，∴EM⊥AC ∵∠BCA＝90°，∴MN∥BC ∴MN＝ 1 2 BC 方法二：延长线 DE 到 F，使 EF＝DE，连接 CF、AE、AF 则△CDF 为等腰直角三角形，∠DCF＝90°，CD＝CF ∵∠BCA＝90°，∴∠BCD＝∠ACF＝90°－∠DCA 又 CB＝CA，∴△BCD≌△ACF ∴∠CAF＝∠B＝45°，∴∠DAF＝90° ∴AE＝DE＝CE ∵M 是 CA 中点，∴EM⊥AC ∵∠BCA＝90°，∴MN∥BC ∴MN＝ 1 2 BC （2）在 Rt△ABC 中，BC＝AC＝4，∴AB＝4 2 ①当 0≤x≤2 2 时，D 在 B、N 之间，连接 CN 由（1）知 CN 是 AB 边上的中线 ∴CN⊥AB，BN＝CN＝ 1 2 AB＝2 2 ∴DN＝2 2－x 在 Rt△CDN 中，CD 2＝CN 2＋DN 2＝8＋(2 2－x)2＝x2－4 2x＋16 ∴y＝S△CDE ＝ 1 4 CD 2＝ 1 4 x2－ 2x＋4 ②当 2 2≤x≤4 2 时，D 在 A、N 之间 连接 CN、EM，则 DN＝x－2 2 在 Rt△CDN 中，CD 2＝CN 2＋DN 2＝8＋(x－2 2)2＝x2－4 2x＋16 ∴CE 2＝ 1 2 CD 2＝ 1 2 x2－2 2x＋8 S△CDE ＝ 1 4 CD 2＝ 1 4 x2－ 2x＋4 S△CDN ＝ 1 2 CN·DN＝ 1 2 ·2 2·(x－2 2)＝ 2x－4 设 DE 与 AC 交于点 F ∵∠E＝∠CND＝90°，∠ECF＝∠NCD＝45°－∠DCF ∴△CFE∽△CDN，∴ S△CEF S△CND ＝ CE 2 CN 2 ∴S△CEF ＝ CE 2 CN 2 ·S△CND ＝ 1 2 x2－2 2x＋8 8 ·( 2x－4)＝( 1 4 x2－ 2x＋4)( 2 4 x－1) ∴y＝S△CDE －S△CEF ＝( 1 4 x2－ 2x＋4)－( 1 4 x2－ 2x＋4)( 2 4 x－1)＝－ 2 16 x3＋x2－3 2x＋8 综上得 y 与 x 的函数关系式为： B D C AN M E F B D C AN M E F B D C AN M E B D C AN M E F y＝ 1 4 x2－ 2x＋4（0≤x≤2 2） － 2 16 x3＋x2－3 2x＋8（2 2≤x≤4 2） （3）①当 D 在 B、N 之间时，由于∠DNE＝135° 所以要使△DNE 是等腰三角形，只能 DN＝EN 过 D 作 DF⊥BC 于 F，过 E 作 EG⊥AB 于 G 则∠BDF＝∠CDE＝45°，∴∠CDF＋∠EDG＝90° ∵∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠EDG＝∠DCF 又∠DGE＝∠CFD＝90°，∴△DEG∽△CDF ∴ DF EG ＝ CD DE ＝ 2，∴DF＝ 2EG 又 EN＝ 2EG，∴DF＝EN＝DN ∴BD＝ 2DF＝ 2DN，即 DN＝ 2 2 BD＝ 2 2 x ∴x＋ 2 2 x＝2 2，解得 x＝4 2－4 ②当 D 在 A、N 之间时 ∵∠EDN＝∠CDE＋∠CDN＝45°＋∠CDN ≥90° ∴要使△DNE 是等腰三角形，只能 DN＝DE 由（2）得 DE 2＝ 1 2 x2－2 2x＋8，DN 2＝(x－2 2)2 ∴ 1 2 x2－2 2x＋8＝(x－2 2)2，解得 x1＝0，x2＝4 2 ∴当△DNE 是等腰三角形时，BD 的长为 4 2－4 或 4 2 82．（湖北模拟）已知△ABC 中，BC＝a，AC＝b，∠C 是大小可变的角． （1）如图 1，以 AB 为边向△ABC 外作等边△ABD，当 C、D 两点间的距离最大时，求∠C 的度数及 C、 D 两点的距离的最大值； （2）如图 2，以 AB 为边向△ABC 外作正方形 ABDE，当点 C 到正方形 ABDE 的中心 O 的距离最大时，求 ∠C 的度数及 C、O 两点的距离的最大值． 解：（1）如图 1，连接 DC，将△DBC 绕点 D 逆时针旋转 60°，得△DAE 连接 CE，则△DCE 是等边三角形 ∴CD＝CE，∠DCE＝∠DEC＝60° 当 C、A、E 三点共线时，CE 的值最大，即 CD 的值最大 此时∠ACB＝∠DCA＋∠DCB＝∠DCA＋∠DEA＝60°＋60°＝120° B D C AN M EF G D B C 图 1 A D B C 图 2 A E O D A B E C 图 1 CD 的最大值为 a＋b （2）如图 2，连接 OC，将△OBC 绕点 O 逆时针旋转 90°，得△OAF 连接 CF，则△OCF 是等腰直角三角形 ∴OC＝OF＝ 2 2 CF，∠OCF＝∠OFC＝45° 当 C、A、F 三点共线时，CF 的值最大，OC 的值也最大 此时∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝∠OCA＋∠OFA＝45°＋45°＝90° OC 的最大值为 2 2 (a＋b) 83．（江苏模拟）（1）在一个矩形纸片上按照图 1 的方式剪下△ABC，其中 BA＝BC，将△ABC 沿着直线 AC 的方向依次进行平移变换，每次均移动 AC 的长度，得到了△CDE、△EFG 和△GHI（如图 2），已知 AH＝AI，AC 长为 a．现以 AD、AF 和 AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于 15 15， 求 a 可能的最大整数值； （2）如图 3，已知 AA′＝BB′＝CC′＝2，∠AOB′＝∠BOC′＝∠COA′＝60°，请利用图形变换探究 S△AOB′ ＋S△ BOC′ ＋S△COA′ 与 3 的大小关系． 解：（1）分别取 CE、EG、GI 的中点 P、Q、R，连接 DP、FQ、HR、AD、AF、AH ∵△ABC 中，BA＝BC，由平移变换的性质知△CDE、△EFG 和△GHI 都是等腰三角形 ∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI 在 Rt△AHR 中，AH＝AI＝4a，AR＝ 7 2 a ∴HR 2＝AH 2－AR 2＝(4a)2－( 7 2 a)2＝15 4 a 2 ∴DP 2＝FQ 2＝HR 2＝15 4 a 2 ∴AD 2＝AP 2＋DP 2＝( 3 2 a)2＋15 4 a 2＝6a 2 AF 2＝AQ 2＋FQ 2＝( 5 2 a)2＋15 4 a 2＝10a 2 ∴新三角形三边长为 6a、 10a、4a ∵AH 2＝AD 2＋AF 2，∴新三角形为直角三角形 其面积为 1 2 × 6a× 10a＝ 15a 2 ∵ 15a 2＜15 15，∴a 2＜15 （或通过转换得新三角形三边就是 AD、DI、AI，即求△DAI 的面积，或利用△HAI 与△HGI 相似，求△ B A C A B C IE D G F H a 图 1 图 2 D B C 图 2 A E O F A C′ OB B′ C A′ 图 3 A C′ E F A B C IE D G F H a P Q R HAI 的面积也可） ∴a 的最大整数值为 3 （2）将△BOC′ 沿 BB′ 方向平移 2 个单位，得到△B′DE 将△COA′ 沿 A′A 方向平移 2 个单位，得到△EFA ∵OD＝OB′＋B′D＝OB′＋OB＝BB′＝2，OF＝OA＋AF＝OA＋OA′＝AA′＝2 又∠DOF＝60°，∴△DOF 是等边三角形 ∴DF＝OD＝OF＝2 ∵DE＋EF＝OC′＋OC，∴D、E、F 三点共线 ∴S△AOB′ ＋S△BOC′ ＋S△COA′ ＝S△AOB′ ＋S△B′DE ＋S△AEF ＜S△DOF ∵S△DOF ＝ 1 2 ×2×2×sin60°＝ 3 ∴S△AOB′ ＋S△BOC′ ＋S△COA′ ＜ 3 84．（浙江模拟）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D 是 AC 的中点，P 是线段 AB 上一动 点，连接 DP 并延长至点 E，使 EP＝DP，过 P 作 PF⊥AC，垂足为 F．设 AP＝m（0≤m≤5）． （1）求 DF 的长（用含 m 的代数式表示）； （2）当 AE∥BC 时，求 m 的值； （3）四边形 AEBC 的面积 S 会随 m 的变化而变 化吗？若不变，求出 S 的值；若变化，求出 S 与 m 的函数关系式 ； （4）作点 E 关于直线 AB 的对称点 E′，当△DE′F 是等腰三角形时，直接写出 m 的值． 解：（1）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5 ∴cos∠BAC＝ AC AB ＝ AF AP ＝ 4 5 ，∴AF＝ 4 5 m ∴当 0≤m≤2.5 时，DF＝2－ 4 5 m 当 2.5＜m≤5 时，DF＝ 4 5 m－2 （2）∵PF⊥AC，∠C＝90°，∴PF∥BC 当 AE∥BC 时，则 PF∥BC∥AE ∴△DPF∽△DEA，∴ DP DE ＝ DF DA ∵EP＝DP，∴ DF DA ＝ 1 2 ，即 DF＝ 1 2 DA＝1 ∴2－ 4 5 m＝11，解得 m＝ 5 4 （3）四边形 AEBC 的面积 S 不变，且 S＝9 理由如下： 分别过 D、E 作 DG⊥AB 于 G，EH⊥AB 于 H ∴∠DGP＝∠EHP＝90° 又∵∠GPD＝∠HPE，DP＝EP ∴△DGP≌△EHP，∴DG＝EH ∵sin∠BAC＝ BC AB ＝ DG AD ＝ 3 5 ，∴EH＝DG＝ 3 5 ×2＝ 6 5 B A E D P C F B A D C 备用图 B A E D P C F H G A E D E′ (P) (F) m1＝0 I O M ∴S＝S△ABC ＋ S△ABE ＝ 1 2 ×3×4＋ 1 2 ×5× 6 5 ＝9 （4）m1＝0，m2＝1，m3＝ 13 10 ，m4＝13 7 提示：过 D 作 DI⊥AB 于 I，则 DI＝ 6 5 ，AI＝ 8 5 ∵AP＝m，∴PI＝|AI－AP|＝| 8 5 －m| 设 EE′ 与 AB 交于点 O，则 EE′⊥AB，EO＝OE′ 又∵EP＝PD，∴DE′∥OP，DE′＝2OP ∴∠DE′E＝90°，∴四边形 DE′OI 是矩形 ∴DE′＝OI＝2OP＝2PI＝|16 5 －2m| 由（1）知 DF＝| 4 5 m－2| ①若 DF＝E′F 过 F 作 FM⊥DE′ 于 M，则 DM＝ 1 2 DE′＝PI＝| 8 5 －m| ∵DE′∥AB，∴∠ADM＝∠BAC ∴cos∠FDM＝cos∠BAC＝ 4 5 ，∴DM DF ＝ 4 5 ∴ | 8 5 －m| | 4 5 m－2| ＝ 4 5 ，解得 m1＝0 ②若 DE′＝DF 则|16 5 －2m|＝| 4 5 m－2|，解得 m2＝1，m3＝13 7 ③若 DE′＝FE′ 过 E′ 作 E′N⊥DF 于 N，则 DN＝ 1 2 DF＝| 2 5 m－1| ∴cos∠NDE′＝cos∠BAC＝ 4 5 ，∴ DN DE′ ＝ 4 5 ∴ | 2 5 m－1| |16 5 －2m| ＝ 4 5 ，解得 m4＝ 13 10 综上所述，当△DE′F 是等腰三角形时，m1＝0，m2＝1，m3＝ 13 10 ，m4＝13 7 85．（哈尔滨模拟）如图，在锐角△ABC 中，∠BAC＝45°，高线 CD 与 AE 相交于点 H，连接 DE．∠AEC 的平分线交 AC 于点 F，连接 DF 交 AE 于点 G． （1）求证：AE－CE＝ 2DE； （2）若 BD＝ 2CF，AE＝6，求 GH 的长． B A E D C F G H B AE D P C F E′m2＝1 I O B AE D P C F m4＝ 13 10 E′I O N B A E D P C Fm3＝13 7 E′ I O （1）证明：过点 D 作 DN⊥CD 交 AE 于点 N ∵CD⊥AD，∠BAC＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD ∵∠ADN＋∠NDC＝∠ADC＝90°＝∠NDC＋∠CDE ∴∠ADN＝∠CDE ∵∠DAH＋∠B＝90°，∠DCB＋∠B＝90°，∴∠DAH＝∠DCB ∴△ADN≌△CDE，∴AN＝CE，DN＝DE ∴∠DEN＝45°，EN＝ 2DE ∴AE－CE＝AE－AN＝EN＝ 2DE 即 AE－CE＝ 2DE （2）解：∵∠DEN＝45°，∴∠BED＝45° ∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90° ∵EF 平分∠AEC，∴∠CEF＝45° ∵∠BAC＝45°，∴∠B＝∠CFE ∴△DBE∽△CFE，∴ BD CF ＝ DE CE ∵BD＝ 2CF，∴DE＝ 2CE 设 CE＝x，则 DE＝ 2x ∵AE－CE＝ 2DE，AE＝6 ∴6－x＝2x，∴x＝2，∴DE＝2 2 过 D 作 DK⊥BC 于 K ∵∠DEB＝45°，∴DK＝EK＝ 2 2 DE＝2 ∴CE＝EK＝2，∴CK＝4 ∴AC＝ AE 2＋CE 2 ＝2 10，CD＝ CK 2＋DK 2 ＝2 5 EH＝1，tan∠DCK＝ DK CK ＝ 2 4 ＝ 1 2 ∴AH＝5，CH＝DH＝ 5，BD＝CD·tan∠DCK＝ 5 ∴CF＝ 2 2 BD＝ 10 2 ∵∠DAH＝∠DCB（已证），AD＝CD，∠ADH＝∠CDB＝90° ∴△ADH≌△CDB，∴DH＝BD＝ 5 过 F 作 FM∥AE 交 CD 于点 M，则△FMC∽△AHC ∴ FM AH ＝ MC HC ＝ FC AC ，即 FM 5 ＝ MC 5 ＝ 10 2 2 10 ∴FM＝ 5 4 ，CM＝ 5 4 ，∴MH＝CH－CM＝ 5－ 5 4 ＝ 3 5 4 ∴DM＝DH＋MH＝ 5＋ 3 5 4 ＝7 5 4 ∵GH∥FM，∴△DHG∽△DMF B A E D C F G H M K B A E D C F G H N ∴ GH FM ＝ DH DM ，即 GH 5 4 ＝ 5 7 5 4 ∴GH＝ 5 7 86．（上海模拟）如图 1，等腰三角形纸片 ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是 BC 中点，用剪刀沿 AD 剪 开． （1）将三角形纸片 ADC 沿 DB 平移，当 C′ 与 D 重合时（如图 2），则两纸片的公共部分的面积为__________； （2）在（1）的条件下，让纸片 A′D′C′ 绕点 D 顺时针旋转α度（0°＜α ＜90°）（如图 3），边 D′C′ 与边 AB 交于点 E，若两纸片公共部分的面积为 y，BE＝x，求 y 与 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （3）当△BED 为等腰三角形时，求公共部分的面积 y 的值； （4）在纸片 A′D′C′ 旋转过程中，当边 A′C′ 与边 AB 交于点 F 时，求线段 EF 长度的最小值． 解：（1）3 （2）过 E 作 EH⊥BD 于 H 由题意，BD＝ 1 2 BC＝4 ∵BE＝x，∴EH＝BE·sinB＝ 3 5 x，BH＝BE·cosB＝ 4 5 x ∴DE 2＝DH 2＋EH 2＝(4－ 4 5 x)2＋( 3 5 x)2＝x2－32 5 x＋16 S△BED ＝ 1 2 BD·EH＝ 1 2 ×4× 3 5 x＝ 6 5 x ①当 0＜x ≤16 5 时 ∵∠EDF＝∠DBF，∠DFE＝∠BFD ∴△DEF∽△BDF，∴ S△DEF S△BDF ＝ DE 2 BD 2 即 y 6 5 x＋y ＝ x2－32 5 x＋16 16 A B D C 图 1 A′ B D 图 2 A (D′) (C′) B D 图 3 A (C′) A′ D′ E F B D A (C′) A′ D′ E F H B D A (C′) A′ D′ E ∴y＝ 6 5 (x2－32 5 x＋16) 32 5 － x ＝30x2－192x＋480 160－25x ②当 16 5 ＜x ＜5 时 y＝S△ABD －S△BED ＝ 1 2 ×4×3－ 6 5 x＝6－ 6 5 x （3）∵∠BED＞∠A＞∠B，∴BD＞DE ①若 BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB ∴∠EDA＝∠A，∴AE＝DE ∴BE＝AE＝ 1 2 AB＝ 5 2 把 x＝ 5 2 代入 y＝ 6 5 (x2－32 5 x＋16) 32 5 － x ，得 y＝ 25 13 ②若 BE＝BD＝4 把 x＝4 代入 y＝6－ 6 5 x，得 y＝ 6 5 ∴当△BED 为等腰三角形时，公共部分的面积 y 的值为 25 13 或 6 5 （4）过 D 作 DG⊥EF 于 G，则 DG＝BD·sinB＝4× 3 5 ＝12 5 令 EF＝t，则 S△DEF ＝ 1 2 DG·t＝y ∴ 1 2 ×12 5 t＝30x2－192x＋480 160－25x 化简得 5x2＋(5t－32)x＋80－32t＝0 ∵x 为实数，∴△＝(5t－32)2－4×5×(80－32t)≥0 即 25t 2＋320t－576≥0，(5t－8)(5t＋72)≥0 解得 t≤－72 5 （舍去）或 t≥ 8 5 ∴线段 EF 长度的最小值为 8 5 87．（江苏模拟）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D 是 AB 中点，等腰直角三角板 DMN 的直角顶点落在点 D 上，使三角板绕点 D 旋转． （1）如图 1，当三角板两边分别交边 AC、BC 于 F、E 时，线段 EF 与 AF、BE 有怎样的关系，请说明理 由； （2）在（1）中，设 AF＝x，四边形 CEDF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取 值范围． （3）在旋转过程中，当三角板一边 DM 经过点 C 时，另一边 DN 交 CB 延长线于点 E，连接 AE 与 CD 延 长线交于点 G（如图 2），求 DG 的长． B D A (C′) A′ D′ E F G A BD M C(F) （1）EF 2＝AF 2＋BE 2 理由如下： 延长 ED 到 G，使 DG＝DE，连接 AG、FG（如图 1－1） ∵FD⊥GN，∴EF＝FG ∵D 是 AB 中点，∴AD＝BD ∵∠ADG＝∠BDE，∴△ADG≌△BDE ∴AG＝BE，∠GAD＝∠B ∴AG∥BC，∴∠GAF＝∠C＝90° ∴在 Rt△AGF 中，FG 2＝AF 2＋AG 2 ∴EF 2＝AF 2＋BE 2 （2）作 FG⊥AB 于 G，EH⊥AB 于 H（如图 1－2） 在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60° ∴EH＝ 3 2 BE 在 Rt△CFE 中，EF 2＝CF 2＋CE 2 由（1）知 EF 2＝AF 2＋BE 2，∴CF 2＋CE 2＝AF 2＋BE 2 ∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2 3，AD＝BD＝2 ∴CE＝2－BE ∵AF＝x，∴FG＝ 1 2 x，CF＝2 3－x ∴(2 3－x)2＋(2－BE)2＝x 2＋BE 2 ∴BE＝4－ 3x，∴EH＝2 3－ 3 2 x ∴y＝S△ABC － S△ADF － S△BDE ＝ 1 2 ·2·2 3－ 1 2 ·2· 1 2 x－ 1 2 ·2·(2 3－ 3 2 x) 即 y＝x 当点 E 与点 C 重合时，BE＝BC＝2 ∴4－ 3x＝2，∴x＝2 3 3 当点 E 与点 B 重合时，BE＝0 ∴4－ 3x＝0，∴x＝4 3 3 ∴x 的取值范围是 2 3 3 ≤x≤4 3 3 （3）过点 A 作 AH⊥MG（如图 2） ∵∠CAD＝30°，AD＝CD，∴∠ACD＝30°，∠DCE＝60° A N E BD F M C 图 1 A N E BD G M C 图 2 (F) H A N E BD F M C 图 1－1G A N E BD F M C 图 1－2 G H ∴AH＝ 1 2 AC＝ 3，DE＝ 3CD＝2 3，CE＝2CD＝4 ∵S△ACE ＝ S△ACG ＋ S△ECG ∴ 1 2 ·2 3·4＝ 1 2 ·CG· 3＋ 1 2 ·CG·2 3，∴CG＝ 8 3 ∴DG＝CG－CD＝ 8 3 －2＝ 2 3 88．（江苏模拟）已知正方形 ABCD 的边长是 2，边 BC 在 x 轴上，边 AB 在 y 轴上，将一把三角尺如图 1 放置，其中 M 为 AD 的中点，逆时针旋转三角尺． （1）当三角尺的一边经过 C 点时，此时三角尺的另一边与 AB 边交于点 E1（如图 2），求此时直线 PM 的 解析式； （2）继续旋转三角尺，三角尺的一边与 x 轴交于点 G，三角尺的另一边与 AB 交于点 E2（如图 3），PM 的 延长线与 CD 的延长线交于点 F．若△E2FG 的面积为 4，求此时直线 PM 的解析式； （3）当旋转到三角尺的一边经过点 B，另一直角边的延长线与 x 轴交于点 G（如图 4），求此时△OFG 的 面积． 解：（1）∵正方形 ABCD 的边长是 2，M 为 AD 的中点 ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，AM＝DM＝1 ∴M（1，2） A O D N E1 M C y (B)P 图 1 x N P A O D F N E2 G M C y (B) P 图 3 x A O D N M C y (B) P 图 4 xG F A O D N E1 M C y (B)P 图 2 x A O D E1 M y (B) x ∵∠PMN＝90°，∴∠AME1＋∠DMC＝90° ∵∠AME1＋∠AE1M＝90°，∴∠AE1M＝∠DMC 又∵∠E1AM＝∠D＝90°，∴△AE1M∽△DMC ∴ AE1 AM ＝ DM DC ，即 AE1 1 ＝ 1 2 ，∴AE1＝ 1 2 ∴OE1＝ 3 2 ，∴E1（0，3 2 ） 设直线 PM 的解析式为 y＝kx＋b，把 M、E1 两点的坐标代入，得 k＋b＝2 b＝ 3 2 解得 k＝ 1 2 b＝ 3 2 ∴直线 PM 的解析式为 y＝ 1 2 x＋ 3 2 （2）作 FH⊥AB 于 Q，MK⊥BC 于 K（如图 3） 则 FH＝MK ∵∠PMN＝90°，∴∠AME2＋∠DMG＝90° ∵∠KMG＋∠DMG＝90°，∴∠AME2＝∠KMG ∵HF∥AD，∴∠HFE2＝∠AME2 ∴∠KMG＝∠HFE2 又∵∠MKG＝∠FHE2＝90°，∴△MKG≌△FHE2 ∴MG＝E2F ∵S△E2FG ＝4，∴ 1 2 E2F·MG＝4，即 MG 2＝8 ∴MG＝2 2，∴∠KMG＝45°，∴∠AME2＝45° ∴AE2＝AM＝1，∴OE2＝1，∴E2（0，1） 设直线 PM 的解析式为 y＝mx＋n，把 M、E2 两点的坐标代入，得 m＋n＝2 n＝1 解得 m＝1 n＝1 ∴直线 PM 的解析式为 y＝x＋1 （3）易证△AOM≌△DFM，∴DF＝AO＝2 ∴CF＝4，OF 2＝OC 2＋CF 2＝22＋42＝20 由（2）知 S△OFG ＝ 1 2 OF 2＝10 89．（哈尔滨模拟）已知点 C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边 CB、CD 分别与射线 AM、AN 相交 于 B、D 两点，且∠BCD＋∠MAN＝180°．过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E． （1）当点 E 在线段 AB 上时（如图 1），求证：AB－AD＝2BE； （2）当点 E 在线段 AB 的延长线上时（如图 2），请直接写出线段 AB、AD 与 BE 之间的数量关系是 ________________； （3）如图 3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接 BD，作∠ABD 的平分线 BF 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，连接 DO 并延长交 AB 于点 G．若 BG＝1，DF＝2，求线段 AC 的长． A N E C D MB A B O D G E C F N MA N E CD MB A O D F N E2 G M C y (B) P 图 3 x H K （1）证明：过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F（如图 1） ∵AC 平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD ∴CE＝CF，AE＝AF，∠ECF＋∠MAN＝180° ∵∠BCD＋∠MAN＝180°，∴∠ECF＝∠BCD ∵∠BCE＝∠BCD－∠DCE，∠DCF＝∠ECF－∠DCE ∴∠BCE＝∠DCF 又∵∠BEC＝∠DFC＝90°，∴△BCE≌△DCF ∴BC＝DC，BE＝DF ∴AB－AD＝(AE＋BE)－(AF－DF)＝(AF＋BE)－(AF－BE)＝2BE 即 AB－AD＝2BE （2）AD－AB＝2BE 提示：方法同（1） （3）在 BD 上截取 BH＝BG，连接 OH（如图 3） 由题意知 O 是△ADB 的内心 ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB ∴△OBH≌△OBG，∴∠OHB＝∠OGB ∵∠OHB＝∠ODH＋∠DOH，∠OGB＝∠ODF＋∠DAB 又∵∠ODH＝∠ODF，∴∠DOH＝∠DAB＝60° ∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60° ∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF 又∵OD＝OD，∠ODH＝∠ODF，∴△ODH≌△ODF ∴DH＝DF，∴DB＝DH＋BH＝DF＋BG＝2＋1＝3 过点 G 作 GI⊥AD 于 I，GK⊥AD 于 K 则 GI＝GK ∵S△ADG ＝ 1 2 AD·GI，S△BDG ＝ 1 2 BD·GK，∴ S△ADG S△BDG ＝ AD BD 又∵ S△ADG S△BDG ＝ AG BG ，∴ AD BD ＝ AG BG 即 AF＋2 3 ＝ AG 1 ① 同理 AB BD ＝ AF DF 即 AG＋1 3 ＝ AF 2 ② 由①、②解得 AF＝10 7 ，AG＝ 8 7 于是 AD＝10 7 ＋2＝24 7 ，AB＝ 8 7 ＋1＝15 7 A N E CD 图 1 MB F 图 3 A B O D G E C F N M H I K P 由（2）知 AD－AB＝2BE，∴BE＝ 1 2 (AD－AB)＝ 1 2 (24 7 －15 7 )＝ 9 14 过点 C 作 CP⊥BD 于 P 由（2）知 BC＝DC ∵∠MAN＝60°，∠BCD＋∠MAN＝180°，∴∠BCD＝120° ∴∠PBC＝∠PDC＝30°，PB＝PD＝ 1 2 BD＝ 3 2 ∴BC＝ PB cos30° ＝ 3，∴CE＝ BC 2－BE 2 ＝ 13 14 3 ∴BC＝2CE＝13 7 3 90．（江苏模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在 Rt△ABC 内并排（不重叠）放入 边长为 1 的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在 AB 上，首尾两个正方形各有一个顶点分别在 AC、 BC 上，依次这样摆放上去 （1）求第一层最多能摆放多少个小正方形纸片； （2）求△ABC 内最多能摆放多少个小正方形纸片． 解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10 由△ADF∽△ABC，△BEG∽△BAC 得 AF＝ 3 4 ，BG＝ 4 3 ∴FG＝10－( 3 4 ＋ 4 3 )＝ 95 12 ＝7 11 12 ∴第一层最多能摆放 7 个小正方形纸片 （2）同理，第二层： 95 12 －( 3 4 ＋ 4 3 )＝35 6 ＝5 5 6 ∴第二层最多能摆放 5 个小正方形纸片 第三层： 70 12 －( 3 4 ＋ 4 3 )＝15 4 ＝3 3 4 ∴第三层最多能摆放 3 个小正方形纸片 第四层：15 4 －( 3 4 ＋ 4 3 )＝ 5 3 ＝1 2 3 ∴第四层最多能摆放 1 个小正方形纸片 第五层： 5 3 －( 3 4 ＋ 4 3 )＜0 ∴第五层不能再摆放小正方形纸片 故△ABC 内最多能摆放 1＋3＋5＋7＝16 个小正方形纸片 91．（湖北模拟）已知△ABC，以 AC 为边在△ABC 外作等腰△ACD，其中 AC＝AD． （1）如图 1，若 AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC＝_________； （2）如图 2，若∠ABC＝30°，△ACD 是等边三角形，AB＝3，BC＝4．求 BD 的长； B C A … B C A D E F G （3）如图 3，若∠ABC 为锐角，作 AH⊥BC 于 H，当 BD 2＝4AH 2＋BC 2 时，试判断∠DAC 与∠ABC 的数 量关系，并证明你的结论． 解：（1）120° 提示：∵∠DAC＝∠EAB，∴∠BAD＝∠EAC 又∵AB＝AE，AD＝AC，△ABD≌△AEC ∴∠ABD＝∠AEC ∴∠BFC＝∠BEF＋∠EBF＝∠AEB－∠AEC＋∠ABE＋∠ABD＝∠AEB＋∠ABE ∵∠EAB＝60°，∴∠AEB＋∠ABE＝120° ∴∠BFC＝120° （2）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 60°得△AEC，连接 BE 由（1）知△ABD≌△AEC，∴BD＝EC ∵AB＝AE＝3，∠EAB＝∠DAC＝60°，∴△ABE 是等边三角形 ∴EB＝AB＝3，∠ABE＝60° ∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90° 在 Rt△EBC 中，EC＝ EB 2＋BC 2 ＝ 32＋42 ＝5 ∴BD＝5 （3）∠DAC＝2∠ABC 证明：过点 B 作 EB⊥BC 于 B，使 EB＝2AH，连接 EA，EC 则 EC 2＝EB 2＋BC 2＝4AH 2＋BC 2 ∵BD 2＝4AH 2＋BC 2，∴BD＝EC 过点 A 作 AG⊥EB 于 G，则四边形 AGBH 为矩形 ∴GB＝AH ∵EB＝2AH，∴EB＝2GB，∴EG＝GB ∴AG 是 BE 的垂直平分线，∴AB＝AE 在△ABD 和△AEC 中 AB＝AE，AD＝AC，BD＝EC，∴△ABD≌△AEC ∴∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD－∠EAD＝∠EAC－∠EAD 即∠EAB＝∠DAC ∵∠EBC＝90°，∠ABC 为锐角，∴∠ABC＝90°－∠EBA ∵AB＝AE，∴∠EBA＝∠BEA ∴∠EAB＝180°－2∠EBA，∴∠EAB＝2∠ABC ∴∠DAC＝2∠ABC 92．（辽宁辽阳）已知：在△PAB 的边 PA、PB 上分别取点 C、D，连接 CD 使 CD∥AB．将△PCD 绕点 P 按逆时针方向旋转得到△PC′D′（∠APC′＜∠APB），连接 AC′、BD′． （1）如图 1，若∠APB＝90°，PA＝PB，求证：AC′＝BD′；AC′⊥BD′． （2）在图 1 中，连接 AD′、BC′，分别取 AB、AD′、C′D′、BC′ 的中点 E、F、G、H，顺次连接 E、F、G、 H 得到四边形 EFGH．请判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由． A B D C 图 2 A B D C E F 图 1 A B D C 图 3 H A B D C E A B D CH E G （3）①如图 2，若改变（1）∠APB 中的大小，使 0°＜∠APB＜90°，其他条件不变，重复（2）中操作， 请你直接判断四边形 EFGH 的形状． ②如图 3，若改变（1）中 PA、PB 的大小关系，使 PA＜PB，其他条件不变，重复（2）中操作，请 你直接判断四边形 EFGH 的形状． （1）证明：延长 AC′ 交 BD′ 于点 M，交 PB 于点 N ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA ∵CD∥AB，∴∠PCD＝∠PAB，∠PDC＝∠PBA ∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD 由旋转可知：PC′＝PC，PD′＝PD，∠C′PD′＝∠BPA ∴PC′＝PD′ ∵∠APC′＝∠APB－∠C′PD，∠BPD′＝∠C′PD′－∠C′PD ∴∠APC′＝∠BPD′，∴△PAC′≌PBD′ ∴AC′＝BD′，∠PAC′＝∠PBD′ 即∠PAN＝∠MBN ∵在△PAN 中，∠PAN＋∠ANP＋∠APN＝180° 在△BMN 中，∠MBN＋∠MNB＋∠BMN＝180° 又∠ANP＝∠MNB ∴∠BMN＝∠APN＝90°，∴AC′⊥BD′ （2）正方形 证明：由（1）可知：AC′＝BD′ ∵E、F、G、H 分别是 AB、AD′、C′D′、BC′ 的中点 ∴EF、FG、GH、HE 分别是△ABD′、△AC′D′、△BC′D′、△ABC′ 的中位线 ∴EF＝ 1 2 BD′，FG＝ 1 2 AC′，GH＝ 1 2 BD′，HE＝ 1 2 AC′ ∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形 EFGH 是菱形 ∵EF∥BD′，HE∥AC′，AC′⊥BD′，∴EF⊥HE ∴四边形 EFGH 是正方形 （3）①菱形，②矩形（不画图不扣分） 93．（江苏模拟）已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，将△ABC 绕点 C 旋转得到△A′B′C． （1）如图 1，当点 B 落在线段 A′B′ 上时，求 sin∠A′CA 的值； （2）如图 2，当点 A 落在直线 A′B′ 上时，求 AB′ 的长． A B DC P D′ C′ 图 1 A B DC P D′ C′ 图 2 A B DC P D′ C′ 图 3 A B DC P D′ C′ M N A B C B′ A B C A′ B′ 解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝ 5 作 BD⊥B′C 于 D，CE⊥BB′ 于 E 则△CB′E∽△A′B′C，得 BE＝ 5 5 ，CE＝ 2 5 5 ∵S△A′B′C ＝ 1 2 B′C·B′C·sin∠BCB′＝ 1 2 BB′·CE ∴sin∠A′CA＝sin∠BCB′＝BB′·CE B′C 2 ＝ 2 5 5× 2 5 5 12 ＝ 4 5 （2）作 CF⊥A′B′ 于 F 则 AF＝A′F＝ 4 5 5，B′F＝ 5 5 ∴AB′＝AF－B′F＝ 3 5 5 94．（江苏模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 是△ABC 内一点，AD＝6，BD＝7， CD＝11． （1）求∠ADB 的度数； （2）求 AB 2 的值． 解：（1）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ACE，连接 DE，作 CF⊥AE 交 AE 延长线于 F 则∠DAE＝90°，AD＝AE＝6，BD＝CE＝7，∠ADB＝∠AEC ∴△ADE 是等腰直角三角形 ∴DE＝6 2，∠ADE＝∠AED＝45° ∴DE 2＋CE 2＝(6 2)2＋72＝121 ∵CD 2＝112＝121，∴DE 2＋CE 2＝CD 2 ∴△DEC 是直角三角形，且∠DEC＝90° ∴∠AEC＝135°，∴∠ADB＝135° （2）∵∠AED＝45°，∠DEC＝90°，∴∠CEF＝45° ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝7 2 2 在 Rt△ACF 中，AF＝6＋ 7 2 2 ，CF＝7 2 2 ∴AC 2＝(6＋ 7 2 2 )2＋(7 2 2 )2＝85＋42 2 95．（安徽某校自主招生）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，分别以 AB、BC、CA 为边长向 B D A B C A′ B′ F A B C A′ B′ E D A B D C 6 7 11 A B D C E F6 7 11 6 7 △ABC 外作等边△ABD、等边△BCE、等边△CAF，连接 DF 交 AB 于 G． （1）求证：G 是 DF 的中点； （2）求△DEG 的面积． （1）证明：连接 EF ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2 ∴BC＝1，AC＝ 3，∠BAC＝30° ∵△ABD、△CAF 是等边三角形 ∴∠DAB＝∠DBA＝∠EBC＝∠ECB＝∠CAF＝∠ACF＝60° ∴∠GAF＝90°，∠DAF＝∠ECF＝150°，D、B、E 三点共线 ∴S△AFG ＝ 1 2 AF·AG＝ 1 2 AC·AG＝ 3 2 AG 而 S△ADG S△ADB ＝ AG AB ，∴S△ADG ＝AG 2 · 3 4 ·22＝ 3 2 AG＝S△AFG ∴DG＝FG，即 G 是 DF 的中点 （2）解：∵DG＝FG ∴S△DEG ＝ 1 2 S△DEF ＝ 1 2 (S△ABC＋S△ABD＋S△BCE＋S△CAF＋S△CEF－S△ADF) ＝ 1 2 ( 1 2 × 3×1＋ 3 4 ×22＋ 3 4 ×12＋ 3 4 ×3＋ 1 2 ×1× 3×sin30°－ 1 2 ×2× 3×sin30°) ＝9 3 8 96．（辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点 O 在坐标原点，边 OB 在 x 轴的正半轴上， OA＝5，OB＝4，AB＝ 17，AC⊥OB，垂足为 C，点 D 在 AC 上，OC ＝2DC，点 P 为 OB 边上的动点，连接 OD、PD． （1）求证：OD 平分∠AOB； （2）当△PDB 为等腰三角形时，求点 P 的坐标． （3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得以 A、B、D、Q 为顶点的四边形是 梯形？若存在，请直接写出直线 DQ 的解析式；若不存在，请说明理由． （1）证明：∵AC⊥OB，∴AC 2＝OA 2－OC 2＝AB 2－CB 2 ∴OC 2－CB 2＝OA 2－AB 2＝5 2－( 17)2＝8 ∴(OC＋CB)(OC－CB)＝8 ∵OC＋CB＝OB＝4，∴OC－CB＝2 ∴OC＝3，CB＝1，∴AC＝ AB 2－CB 2 ＝ 17－1 ＝4 O C A B x y P D B C F D A E G ∵OC＝2DC，∴DC＝ 3 2 ∴AD＝AC－DC＝4－ 3 2 ＝ 5 2 过 D 作 DE⊥OA 于 E，则 S△AOD ＝ 1 2 OA·DE＝ 1 2 AD·OC ∴DE＝ AD·OC OA ＝ 5 2 ×3 5 ＝ 3 2 ，∴DE＝DC ∴OD 平分∠AOB （2）解：若 DP＝DB，则 PC＝CB＝1 ∴OP＝2，∴P1（2，0） 若 PB＝DB ∵DC＝ 3 2 ，CB＝1，∴PB＝DB＝ DC 2＋CB 2 ＝ 13 2 ∴OP＝4－ 13 2 ，∴P2（4－ 13 2 ，0） 若 PB＝PD，过 P 作 PF⊥DB 于 F，则 BF＝ 1 2 DB＝ 13 4 由△PBF∽△DBC 得： PB BF ＝ DB BC ∴ PB 13 4 ＝ 13 2 1 ，∴PB＝ 13 8 ∴OP＝4－ 13 8 ＝19 8 ，∴P3（ 19 8 ，0） （3）存在．直线 DQ 的解析式为：y＝－4x＋ 27 2 或 y＝－ 9 16 x＋ 51 16 提示：如图 97．（湖北模拟）过△ABC 的顶点 A、B、C 作三条平行线，与过△ABC 的重心 O 的直线交于点 P、Q、R． （1）如图 1，当点 P、Q、R 在 BC 的同侧时，请你探索 AP、BQ、CR 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，当点 Q 与点 P、R 在 BC 的异侧时，你在（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由； 若不成立，请你写出新的结论并证明； （3）如图 3，若△ABC 是边长为 a 的等边三角形，请你直接写出 AP＋BQ＋CR 的最小值．（用含 a 的式子 表示） O C A B x y P D Q1 Q2 O C A B x y P D F O C A B x y P D E R B A P C Q D G 图 1 R B A P C Q D G 图 2 B A C Q G 图 3 （1）AP＝BQ＋CR 理由：连接 AG 并延长交 BC 于 D，过 D 作 DE∥AP 交 QR 于 E 则 DE 是梯形 BCRQ 的中位线，∴BQ＋CR＝2DE ∵DE∥AP，∴△APG∽△DEG，∴ AP DE ＝ AG DG ∵G 是△ABC 的重心，∴AG＝2DG ∴AP＝2DE，∴AP＝BQ＋CR （2）不成立，新的结论是：AP＝CR－BQ 证明：连接 AG 并延长交 BC 于 D，过 D 作 DE∥AP 交 QR 于 E 则△APG∽△DEG，∴ AP DE ＝ AG DG ∵G 是△ABC 的重心，∴AG＝2DG ∴AP＝2DE 连接 QD 并延长交 CR 于 F ∵G 是△ABC 的重心，∴BD＝CD ∵BQ∥CR，∴∠DBQ＝∠DCF 又∵∠BDQ＝∠CDF，∴△BDQ≌△CDF ∴QD＝DF，BQ＝CF ∴FR＝CR－CF＝CR－BQ ∵DE∥AP∥CR，∴DE 是△QFR 的中位线 ∴FR＝2DE，即 CR－BQ＝2DE ∴AP＝CR－BQ （3）a 98．（天津模拟）在平面直角坐标系中，已知点 A（－1，－4），点 B（1，－3），E、F 是直线 y＝x 上的两 动点，且 EF＝ 2，当四边形 ABEF 的周长最小时，求 E、F 两点坐标． 解：作点 A（－1，－4）关于直线 y＝x 的对称点 A′，过点 A′ 作直线 y＝x 的平行线 A′C，使点 C 在点 A′ 上 方，且 A′C＝EF＝ 2，连接 BC 交直线 y＝x 于点 E，在直线 y＝x 上、点 E 下方取点 F，使 EF＝ 2，连接 AF、BE，此时四边形 ABEF 的周长最小 （∵AB、EF 的长为定值，∴当 AF＋BE 最小时，四边形 ABEF 的周长最小 ∵A′C∥EF，A′C＝EF，∴四边形 A′CEF 是平行四边形 ∴CE∥A′F，CE＝A′F ∵点 A 和点 A′ 关于直线 y＝x 对称，∴AF＝A′F ∴AF＝CE ∴AF＋BE＝CE＋BE ∵此时 B、E、C 三点共线，∴CE＋BE 最小 ∴此时四边形 ABEF 的周长最小） ∵点 A′ 是点 A（－1，－4）关于直线 y＝x 的对称点 ∴A′（－4，－1） ∵A′C 是直线 y＝x 的平行线，点 C 在点 A′ 上方，且 A′C＝ 2 ∴C（－3，0） 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b，把 B（1，－3），C（－3，0）代入 R B A P C Q D G E 图 1 R B A P C Q D G E 图 2 F A B y O xE F A′ C 得 k＋b＝－3 －3k＋b＝0 解得 k＝－ 3 4 b＝－ 9 4 ∴y＝－ 3 4 x－ 9 4 联立 y＝－ 3 4 x－ 9 4 y＝x 解得 x＝－ 9 7 b＝－ 9 7 ∴E（－ 9 7 ，－ 9 7 ） ∵点 F 在直线 y＝x 上、且在点 E 下方，EF＝ 2 ∴F（－16 7 ，－16 7 ） 99．（北京模拟）两个等腰直角三角形 ABC、ADE 如图①摆放（点 E 在 AB 上），连接 BD，取 BD 的中点 P， 连接 PC、PE，则有 PC＝PE，PC⊥PE． （1）将△ADE 绕点 A 逆时针旋转，使 E 点落在 AC 上（如图②），上述结论是否仍成立？请证明你的判断； （2）如图③，当△ADE 绕点 A 逆时针旋转 30° 时，连接 DC，若 DC∥AB，求 AC AE 的值． （1）上述结论仍然成立 证法一：连接 AP，延长 PE 交 AD 于点 M ∵△ABC、△ADE 均为等腰直角三角形 ∴∠BAC＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90° ∵P 为 BD 中点，∴PA＝PB＝PD 又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△APC≌△BPC ∴∠ACP＝∠BCP＝ 1 2 ∠ACB＝45° 同理，△APE≌△DPE ∴∠APE＝∠DPE，∠PAE＝∠PDE ∴∠APE＋∠PAE＝∠DPE＋∠PDE 即∠AEM＝∠DEM＝ 1 2 ∠AED＝45° ∴∠CEP＝∠AEM＝45°，∴∠CPE＝90° ∴△CPE 为等腰直角三角形，∴PC＝PE，PC⊥PE 证法二：延长 DE 交 AB 于 F，易知 E 为 DF 中点 ∵P 是 DB 的中点，∴EP∥FB，EP＝ 1 2 FB ∴∠CEP＝∠CAB＝45° 图① P C A BE D 图② P C A B E D 图③ C A B E D P C A B E D M P C A B E D G F 分别延长 AD、BC 交于点 G，易知 C 为 BG 中点 可证得 PC∥DG，PC＝ 1 2 DG，∠PCE＝∠CAD＝45° ∴∠CPE＝90°，即 CP⊥PE ∵△ADF、△AGB 均为等腰直角三角形 ∴FB＝DG，∴PC＝PE （2）过点 D 作 DH⊥AC 于 H ∵DC∥AB，∴∠DCH＝∠CAB＝45°，∴DH＝CH 在 Rt△ADH 中，∠DAH＝30° 设 DH＝k，则 AD＝2k，AE＝ 2k，AH＝ 3k ∴AC＝AH＋CH＝ 3k＋k＝( 3＋1)k ∴ AC AE ＝( 3＋1)k 2k ＝ 6＋ 2 2 100．（湖北模拟）如图，已知 AB＝2 3，∠B＝60°，D 是线段 AB 上的动点，过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E， 四边形 DEFG 是正方形，点 F 在射线 BC 上，连接 AG 并延长交 BC 于点 H． （1）求 DE 的取值范围； （2）当 DE 在什么范围取值时，△ABH 为钝角三角形； （3）过 B、A、G 三点的圆与 BC 相交于点 K，过 K 作该圆的切线 KL 与 DG 的延长线相交于点 L．当点 K 与点 F 重合时，求 GL 的长． 解：（1）当点 D 与点 A 重合时 在 Rt△ABE 中，∠AEB＝90°，∠B＝60°，AB＝2 3 ∴AE＝AB·sin60°＝2 3× 3 2 ＝3 当点 D 与点 B 重合时，DE＝0 ∴DE 的取值范围是：0＜DE＜3 （2）设 BE＝x 在 Rt△BDE 中，∠B＝60°，则 BD＝2x，DE＝ 3x ①若∠A＝90° 在 Rt△ADG 中，∠ADG＝∠B＝60°，DG＝DE＝ 3x ∴AD＝ 3 2 x，又 AB＝AD＋BD＝2 3 ∴2x＋ 3 2 x＝2 3，∴x＝16 3－12 13 ∴DE＝ 3x＝48－12 3 13 ∴当 48－12 3 13 ＜DE＜3 时，△ABH 为钝角三角形 ②若∠AHB＝90°，则点 F 与点 H 重合 在 Rt△ADG 中，∠ADG＝∠B＝60°，DG＝DE＝ 3x C A B E D H A B C D HE F G A B H D CE F G A D G ∴AD＝2 3x，又 AB＝AD＋BD＝2 3 ∴2x＋2 3x＝2 3，x＝ 3－ 3 2 ∴DE＝ 3x＝ 3 3－3 2 ∴当 0＜DE＜ 3 3－3 2 时，△ABH 为钝角三角形 综上，当 48－12 3 13 ＜DE＜3 或 0＜DE＜ 3 3－3 2 时，△ABH 为钝角三角形 （3）当点 K 与点 F 重合时 ∵四边形 ABKG 内接于圆，∴∠A＋∠BKG＝180° ∵BKG＝90°，∴A＝90° ∴此时即为（2）中①的情形，仍然设 BE＝x 则 DE＝GK＝EK＝ 3x，∴BK＝BE＋EK＝( 3＋1)x 在（2）①中已求得 x＝16 3－12 13 连接 BG，∵KL 切圆于点 K，∴∠1＝∠2 又∵∠KGL＝∠BKG＝90°，∴△GKL∽△KBG ∴ GL GK ＝ GK BK ∴GL＝ GK 2 BK ＝ ( 3x)2 ( 3＋1)x ＝3 3－3 2 x＝3 3－3 2 ·16 3－12 13 ＝90－42 3 13 101．（上海模拟）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，E 是 AD 上一点，且 AB AC ＝ AD CE ，∠BAD＝∠ACE． （1）求证：AC 2＝BC·CD； （2）若 E 是△ABC 的重心，求 AC 2 AD 2 的值． （1）证明：∵ AB AC ＝ AD CE ，∠BAD＝∠ACE ∴△ABD∽△CAE，∴∠B＝∠EAC ∵∠BAC＝∠BAD＋∠EAC，∠ADC＝∠BAD＋∠B ∴∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC ∴ AC BC ＝ DC AC ，即 AC 2＝BC·CD （2）解：∵E 是△ABC 的重心，∴BD＝CD，AE＝2DE ∴S△ABD ＝S△ADC ，S△CAE ＝2S△CDE ∴S△CAE ＝ 2 3 S△ADC ＝ 2 3 S△ABD ，即 S△CAE S△ABD ＝ 2 3 ∵△ABD∽△CAE，∴ S△CAE S△ABD ＝ AE 2 BD 2 ＝ 2 3 A B H D CE F G 1 2 L (K) A B CD E ∴AE 2＝ 2 3 BD 2＝ 2 3 CD 2，即( 2 3 AD)2＝ 2 3 CD 2，∴AD 2＝ 3 2 CD 2 ∵AC 2＝BC·CD，BD＝CD，∴AC 2＝2CD 2 ∴ AC 2 AD 2 ＝ 4 3 102．（上海模拟）如图，在边长为 2 的等边三角形△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 BA 延长线上一动点， 连接 ED、EC，ED 交 AC 于点 F． （1）当 ED＝EC 时，求 AE 的长； （2）如果以 A 为圆心、AE 为半径的圆与以 C 为圆心、CF 为半径的圆相切，求 tan∠AEC 的值； （3）以 A、E、F 为顶点的三角形能否与△ACE 相似？如果能，求 AE 的长；如果不能，说明理由； 解：（1）延长 BC 到 G，使 CG＝BD，连接 EG ∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD ∴∠EDB＝∠ECG 在△BED 和△GEC 中 ED＝EC，∠EDB＝∠ECG，BD＝CG ∴△BED≌△GEC，∴∠B＝∠F ∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形 ∴AB＝BC＝2，∠B＝60° ∴∠G＝60°，∴△BEG 是等边三角形 ∴BE＝BG，∴AE＝CG，∴AE＝BD ∵D 是 BC 中点，∴BD＝1，∴AE＝1 （2）过 D 作 DG∥AC 交 AB 于 G ∵D 是 BC 中点，∴AG＝BG＝ 1 2 AB＝1 ∵DG∥AC，△EAF∽△EGD，∴ EA EG ＝ AF GD 设 EA＝x，则 x x＋1 ＝ AF 1 ，∴AF＝ x x＋1 ∴CF＝2－ x x＋1 ＝ x＋2 x＋1 若两圆外切，则 AE＋CF＝AC 即 x＋ x＋2 x＋1 ＝2，解得 x＝0（舍去） 若两圆内切，则 AE－CF＝AC C A DB F E C A DB F E G A FG CDB E 即 x－ x＋2 x＋1 ＝2，解得 x＝1－ 5（舍去）或 x＝1＋ 5 连接 CG，则 CG⊥AB，CG＝AG·tan60°＝ 3 EG＝EA＋AG＝1＋ 5＋1＝2＋ 5 ∴tan∠AEC＝ CG EG ＝ 3 2＋ 5 ＝ 15－2 3 （3）∵∠AEC＞∠AEF ∴若以 A、E、F 为顶点的三角形与△ACE 相似，只能∠AEF＝∠ACE 此时 AE AF ＝ AC AE ，即 AE 2＝AC·AF ∴x 2＝ 2x x＋1 ，解得 x＝－2（舍去）或 x＝1 ∴以 A、E、F 为顶点的三角形能与△ACE 相似，此时 AE 的长为 1 103．（上海模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD 是 AB 上的中线，点 E 是边 BC 上一动点（不与 B、C 重合），直线 DE 交直线 AC 于点 F． （1）当△CEF 是等腰三角形时，BE 的长为________________； （2）当 BE 为何值时，以 C、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （3）若 S△BED ＝ 1 4 S△AFD ，求直线 DE 与 AB 所夹锐角的正切值； （4）是否存在这样的点 E，使得以 A 为圆心、AF 为半径的圆与以 B 为圆心、BE 为半径的圆相切？若存 在，求出 BE 的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）1 或 7 过 D 作 DG⊥BC 于 G ①当点 F 在 AC 延长线上时 ∵∠ACB＝90°，∴DG∥AC ∵CD 是 AB 上的中线，∴AD＝BD ∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG＝ 1 2 AC＝3，BG＝ 1 2 BC＝4 ∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90° ∵△CEF 是等腰三角形，∴∠CEF＝45° ∴∠DEG＝45°，∴△CEF 是等腰直角三角形 ∴EG＝DG＝3 ∴BE＝BG＋EG＝4＋3＝7 ②当点 F 在 CA 延长线上时 ∵∠ACB＝90°，△CEF 是等腰三角形，∴∠CEF＝45° ∴EG＝DG＝3 ∴BE＝BG－EG＝4－3＝1 ∴BE 的长为 1 或 7 （2）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10 ∵CD 是 AB 上的中线，∴AD＝BD＝5 ①当点 F 在 AC 延长线上时 A B C D A B C D E F G A B C D E F G C A DB F E 若∠CEF＝∠B，则∠BED＝∠CEF＝∠B， ∵CD 是斜边 AB 上的中线，∴∠BCD＝∠B ∴点 E 与点 C 重合，此时△CEF 不存在 若∠F＝∠B，∵∠ECF＝∠ACB＝90° ∴△EFC∽△ABC 在△AFD 和△ABC 中，∵∠F＝∠B，∠A＝∠A ∴∠ADF＝∠ACB＝90° ∴BE＝ BD cosB ＝ 5 8 10 ＝25 4 ②当点 F 在 CA 延长线上时 ∵∠CAB＞∠F，∴当∠F＝∠B 时，△EFC∽△ABC 过 D 作 DH⊥AC 于 H 则 AH＝CH＝ 1 2 AC＝3，DH＝ 1 2 BC＝4 ∴HF＝DH·cotF＝DH·cotB＝4× 8 6 ＝16 3 ∴CF＝CH＋HF＝3＋16 3 ＝25 3 ∴CE＝CF·tanF＝CF·tanB＝25 3 × 6 8 ＝25 4 ∴BE＝BC－CE＝8－ 25 4 ＝ 7 4 （3）分别过 E、F 作 AB 的垂线，垂足为 M、N ①当点 F 在 AC 延长线上时 ∵AD＝BD，∴ S△BED S△AFD ＝ EM FN ∵S△BED ＝ 1 4 S△AFD ，∴ EM FN ＝ 1 4 ，∴ DE DF ＝ 1 4 ，∴ DE EF ＝ 1 3 过 D 作 DG⊥BC 于 G，则△EDG∽△EFC ∴ EG CE ＝ DE EF ＝ 1 3 ，∴EG＝ 1 3 CE＝ 1 4 CG＝ 1 4 ×4＝1 ∴BE＝BG＋EG＝4＋1＝5，∴EM＝BE·sinB＝5× 6 10 ＝3 BM＝BE·cosB＝5× 8 10 ＝4，DM＝BD－BM＝5－4＝1 ∴tan∠EDB＝ EM DM ＝3 ②当点 F 在 CA 延长线上时 ∵AD＝BD，∴ S△BED S△AFD ＝ EM FN ＝ 1 4 ，∴ DE DF ＝ 1 4 ，∴ DF EF ＝ 4 5 过 D 作 DH⊥AC 于 H，则△DFH∽△EFC ∴ DH CE ＝ DF EF ＝ 4 5 ，∴CE＝ 5 4 DH＝ 5 4 ×4＝5 ∴BE＝BC－CE＝8－5＝3 ，∴EM＝BE·sinB＝3× 6 10 ＝ 9 5 A B C D E F A B C D E F H M N A B C D E F H A B C D E F G M N BM＝BE·cosB＝3× 8 10 ＝12 5 ，DM＝BD－BM＝5－ 12 5 ＝13 5 ∴tan∠EDB＝ EM DM ＝ 9 13 （4）①当点 F 在 AC 延长线上时 过 D 作 DG⊥BC 于 G，则△EDG∽△EFC ∴ DG CF ＝ EG CE ，∴ 3 CF ＝ x－4 8－x ，∴CF＝ 24－3x x－4 ∴AF＝AC＋CF＝6＋ 24－3x x－4 ＝ 3x x－4 若两圆内切，则 3x x－4 －x＝10，解得 x1＝－8（舍去），x2＝5 若两圆外切，则 3x x－4 ＋x＝10，方程无实数解 ②当点 F 在 CA 延长线上时 过 D 作 DH⊥AC 于 H，则△DFH∽△EFC ∴ HF CF ＝ DH CE ，∴ 3＋AF 6＋AF ＝ 4 8－x ，∴AF＝ 3x 4－x 若两圆内切，则 3x 4－x －x＝10，解得 x1＝－9－ 241 2 （舍去），x1＝－9＋ 241 2 若两圆外切，则 3x 4－x ＋x＝10，解得 x1＝17＋ 129 2 （舍去），x2＝17－ 129 2 综上所述，存在满足条件的点 E，BE 的长为 5 或 241－9 2 或 17－ 129 2 104．（上海模拟）如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，sinB＝ 1 3 ，D 为 BC 边上一点．将△ADC 绕点 A 逆时针旋转α角，α＝∠CAB，点 C 落在点 E 处，点 D 落在点 F 处，BE＝6．DF 与 AB 交于点 G，直线 CE 与 DF 交于点 H． （1）当点 D 在什么位置时，∠CHD＝60°？ （2）当 D、E、F 三点在同一直线上时，求 CD 的长； （3）如果 DF⊥BC，①证明四边形 ACHF 是平行四边形；②求 CD 的长； （4）是否存在点 D 使△AFG 为等腰三角形？若存在，直接写出 CD 的长；若不存在，请说明理由． A B C D E F G A B C D EH F A B C D E F H A C D E B F G H 解；（1）如图 1，∵α＝∠CAB，∴点 E 落在 AB 上 ∵∠ACB＝90°，sinB＝ 1 3 ，AC＝AE，BE＝6 ∴ AC AC＋6 ＝ 1 3 ，解得 AC＝3 ∴AE＝3，AB＝9，BC＝ 92－32 ＝6 2 ∵∠CAD＝∠EAF，∴∠CAE＝∠DAF 又∵AC＝AE，AD＝AF ∴∠ACE＝∠AEC＝∠ADF＝∠AFD ∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝∠CHD＝60° ∴CD＝AC·cot60°＝3 3 （2）如图 2，∵∠AEF＝∠ACD＝90° ∴当 D、E、F 三点在同一直线上时，AE⊥DF 又∵AD＝AF，∴DE＝EF ∵CD＝EF，∴DE＝CD ∵S△ABC ＝ 1 2 AC·CD＋ 1 2 AB·DE＝ 1 2 AC·BC ∴3CD＋9CD＝3×6 2，∴CD＝ 3 2 2 （3）①如图 3，∵DF⊥BC，AC⊥BC，∴DF∥AC ∴∠CAH＝∠FHA 又∵∠ACH＝∠AFH，∴△ACH≌△AFH ∴AC＝FH，∴四边形 ACHF 是平行四边形 ②∵四边形 ACHF 是平行四边形 ∴AF＝CH，∴AD＝CH 由（1）知∠CAD＝∠CHD，又∠ACD＝∠HDC＝90° ∴△ACD≌△HDC，∴AC＝HD ∴FH＝HD＝AC＝3，∴AH⊥DF ∴四边形 ACDH 是矩形，∴AH∥BC，AH＝CD ∵∠FEG＝∠BDG＝90°，∠FGE＝∠BGD ∴△FEG∽△BDG，∴∠EFG＝∠B ∴sin∠EFG＝sinB，∴ EG FG ＝ 1 3 ，∴FG＝3EG ∵DF∥AC，△GHE∽△ACE ∵AC＝AE，∴GH＝GE ∴FG＝3GH，∴FH＝2GH ∴DH＝2GH，∴GH＝GD 易证△AGH≌△BGD，∴BD＝AH ∴CD＝BD，∴CD＝ 1 2 BC＝3 2 A C D E B F 图 3 G H A C D E B F 图 2 A C D E B F G H 图 1 1 2 （4）存在．CD＝3 2 或 3 2 ( 6＋ 2) 提示：∵∠AGF＞∠ADF＝∠AFG，∴AF≠AG ①若 AG＝FG，则∠AFG＝∠FAG，∴∠CAD＝∠ACE 由（3）知，此时 CD＝3 2 ②若 AF＝FG，如图 4，设 AD 与 CH 交于点 O 则由△ACO∽△AFG，得 AC＝OC＝3 分别过 O、E 作 BC 的垂线，垂足为 M、N ∵BE＝6，AB＝6，∴由△BEN∽△BAG 得 BN＝ 2 3 BC＝4 2，EN＝ 2 3 AC＝2，∴CN＝2 2 ∴CE＝ CN 2＋EN 2 ＝2 3 ∵△COM∽△CEN，∴OM EN ＝ CM CN ＝ CO CE ∴ OM 2 ＝ CM 2 2 ＝ 3 2 3 ，∴OM＝ 3，CM＝ 6 ∵△DOM∽△DAC，∴ DM CD ＝ OM AC ∴ CD－ 6 CD ＝ 3 3 ，∴CD＝ 3 2 ( 6＋ 2) 105．（上海模拟）已知△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，点 D 在 BC 边上移动，连接 AD，将△ADC 沿直 线 AD 翻折，点 C 的对应点为 C1． （1）当 AC1⊥BC 时，CD 的长是多少？ （2）设 CD＝x，△AC1D 与△ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）在点 D 移动的过程中，是否存在△BC1D 为直角三角形的情形？若存在，直接写出 CD 的长；若不存 在，请说明理由． 解：（1）当 AC1⊥BC 时，如图 1 设 AC1 与 BC 交于点 E ∵△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8 ∴∠B＝∠C，BE＝CE＝4，AE＝ 52－42 ＝3 ∴EC1＝AC1－AE＝AC－AE＝5－3＝2 ∵∠DEC1＝∠AEC＝90°，∠C1＝∠C ∴△DEC1∽△AEC，∴ C1D AC ＝ C1E CE ∴ C1D 5 ＝ 2 4 ，∴C1D＝ 5 2 ，∴CD＝C1D＝ 5 2 （2）①当 0＜x ≤4 时，如图 2 ∵∠B＝∠C，∠C1＝∠C，∴∠B＝∠C1 A C D E B F 图 4 G H O M N A B CD C1 A B C 备用图 A B CD C1 E 图 1 又∵∠AEB＝∠DEC1，∴△ABE∽△DC1E ∴ AB C1D ＝ BE C1E ＝ AE DE ，∴ 5 x ＝ BE C1E ＝ 5－C1E 8－BE－x ∴C1E＝ x 5 BE，代入 5 x ＝ 5－C1E 8－BE－x ，得 BE＝ 50x－200 x2－25 ∴DE＝8－ 50x－200 x2－25 －x ＝ －x3＋8x2－25x x2－25 ∴y＝S△ADE ＝ 1 2 · －x3＋8x2－25x x2－25 ·3 即 y＝ －3x3＋24x2－75x 2x2－50 （0＜x ≤4） ②当 4＜x ≤8 时，如图 3 设 C1D 与 AB 交于点 F ∵∠C1＝∠B，∠AFC1＝∠DFB，∴△AFC1∽△DFB ∴ AC1 BD ＝ AF DF ＝ C1F BF ，∴ 5 8－x ＝ AF DF ＝ x－DF 5－AF ∴DF＝ 8－x 5 AF，代入 5 8－x ＝ x－DF 5－AF ，得 AF＝ 5x2－40x＋125 －x2＋16x－39 ∴y＝S△ADF ＝ 1 2 ·5x2－40x＋125 －x2＋16x－39 · 3 5 (8－x) 即 y＝ 3x3－48x2＋267x－600 2x2－32x＋78 （4＜x ≤8） （3）存在．CD＝1 或 7 4 或 25 4 或 7 提示：①当 0＜x ≤4 时 由（2）知△ABE∽△DC1E，∴ AE DE ＝ BE C1E 又∵∠AED＝∠BEC1，∴△ADE∽△BC1E ∴∠C1BD＝∠DAC1＝∠DAC＜90° ∴若△BC1D 为直角三角形，只能∠BDC1＝90°或∠BC1D＝90° 若∠BDC1＝90°，如图 4，作 AG⊥BC 于 G 则∠CDC1＝90°，∴∠ADC1＝∠ADC＝135° ∴∠ADG＝45°，∴DG＝AG＝3 ∴CD＝CG－DG＝4－3＝1 若∠BC1D＝90°，如图 5，作 DH⊥AC 于 H 则△ADH∽△BDC1，∴ AH DH ＝ BC1 DC1 ∵AH＝5－ 4 5 x，DH＝ 3 5 x，DC1＝x BC1＝ BD 2－C1D 2 ＝ (8－x)2－x2 ＝ 64－16x ∴ 5－ 4 5 x 3 5 x ＝ 64－16x x ，整理得 16x2－56x＋49＝0 即(4x－7)2＝0，∴x＝ 7 4 ，即 CD＝ 7 4 A B CD C1 E 图 2 A B CD C1 F 图 3 A B C D C1 图 4 EG A B C C1图 5 DE H A C1 F ②当 4＜x ≤8 时 由（2）知△AFC1∽△DFB，∴ AF DF ＝ C1F BF 又∵∠AFD＝∠C1FB，∴△ADF∽△C1BF ∴∠BC1D＝∠BAD＜90° ∴若△BC1D 为直角三角形，只能∠C1BD＝90°或∠BDC1＝90° 若∠C1BD＝90°，如图 6 ∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝∠AC1D＋∠BC1D＝∠AC1B ∠ADB＋∠ADC＝180° ∴∠ADB＋∠AC1B＝180°，∠C1AD＋∠C1BD＝180° ∴∠C1AD＝90°，∴∠CAD＝∠C1AD＝90° ∴C、A、C1 三点在同一直线上 又 CA＝C1A，AG∥C1B，∴AG 是△CC1B 的中位线 ∴C1B＝2AG＝6 在 Rt△C1BD 中，BD 2＋C1B 2＝C1D 2 ∴(8－x)2＋62＝x2，解得 x＝25 4 ，即 CD＝25 4 若∠BDC1＝90°，如图 7，则∠CDC1＝90° ∴∠ADC＝∠ADC1＝45°，∴DG＝AG＝3 ∴CD＝CG＋DG＝4＋3＝7 106．（上海模拟）已知△ABC 中，AB＝AC＝6，cosB＝ 1 3 ，点 D 在 AB 边上（点 D 与点 A、B 不重合）， 过点 D 作 DE∥AC，交 BC 边于点 E，过点 E 作 EF⊥AC，垂足为 F，连接 DF． （1）设 AD＝x，CF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）若△DEF 和△CEF 相似，求 AD 长 （3）是否存在点 D，使△ADF 为等腰三角形？若存在，直接写出 AD 的长；若不存在，请说明理由． 解：（1）过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H ∵AB＝AC＝6，∴BH＝CH ∵cosB＝ 1 3 ，∴ BH AB ＝ 1 3 ，∴BH＝ 1 3 AB＝2 ∴BC＝2BH＝4 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C ∴∠B＝∠DEB，∴DE＝DB＝6－x ∵DE∥AC，∴ DE AC ＝ BE BC ∴ 6－x 6 ＝ BE 4 ，∴BE＝4－ 2 3 x A B CD C1 图 7 G F A B D CE F A B D CE F H ∴CE＝4－(4－ 2 3 x)＝ 2 3 x 在 Rt△EFC 中，cosC＝cosB＝ 1 3 ，∴ y 2 3 x ＝ 1 3 ∴y＝ 2 9 x（0＜x ＜6） （2）∵AC＝6，CH＝2，∴AH＝ 62－22 ＝4 2 ∴tanC＝ AH CH ＝ 4 2 2 ＝2 2 ∴EF＝CF·tanC＝ 2 9 x·2 2＝4 2 9 x 当∠EDF＝∠C 时，△DFE∽△CEF 此时∠DFE＝∠CEF，∴DF∥BC ∴BD＝CF，∴6－x＝ 2 9 x，∴x＝ 54 11 当∠DFE＝∠C 时，△FDE∽△CEF 此时 DE EF ＝ 1 3 ，即 6－x 4 2 9 x ＝2 2 ，∴x＝ 54 25 （3）存在．AD＝27 8 或 54 11 107．（上海模拟）如图，等边△ABC 中，D、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 CD＝BF，以 AD 为边向左 作等边△ADE，连接 CF、EF，设 BD DC ＝k． （1）求证；四边形 CDEF 是平行四边形； （2）当∠DEF＝45°时，求 k 的值； （3）是否存在实数 k，使 S□CDEF ＝ 1 2 S△ABC ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由． （1）证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴AC＝CB，∠ACD＝∠B 又 CD＝BF，∴△ACD≌△CBF ∴∠ADC＝∠CFB，AD＝CF ∵△ADE 是等边三角形，∴AD＝DE ∴CF＝DE ∵△ACD≌△CBF，∴∠DAC＝∠FCB ∴∠BAD＝∠ACF ∵∠EDB＝180°－∠ADE－∠ADC＝120°－∠ADC ∠FCB＝180°－∠B－∠CFB＝120°－∠CFB ∴∠EDB＝∠FCB，∴CF∥DE ∴四边形 CDEF 是平行四边形 A B D C E F A B D C E F （2）解：过 F 作 FG⊥BC 于 G ∵四边形 CDEF 是平行四边形，∠DEF＝45° ∴∠FCB＝∠DEF＝45°，∴FG＝CG 设 BG＝x，则 CG＝FG＝BG·tan60°＝ 3x CD＝BF＝ BG cos60° ＝2x ∴BC＝BG＋CG＝(1＋ 3)x BD＝BC－CD＝(1＋ 3)x－2x＝( 3－1)x ∴k＝ BD DC ＝ ( 3－1)x 2x ＝ 3－1 2 （3）∵ BD DC ＝k，∴BD＝kDC，BC＝(k＋1)DC ∴DC＝ 1 k＋1 BC 作 FG⊥BC 于 G，AH⊥BC 于 H 则△BFG≌△BAH，∴ FG AH ＝ BF BA ∴FG＝ BF BA ·AH＝ CD BC ·AH＝ 1 k＋1 AH ∵S□CDEF ＝ 1 2 S△ABC ，∴CD·FG＝ 1 2 BC·AH ∴ 1 k＋1 BC· 1 k＋1 AH＝ 1 2 BC·AH，∴ 1 (k＋1)2 ＝ 1 2 ∴(k＋1)2＝2，解得 k＝ 2－1 ∴存在实数 k＝ 2－1，使 S□CDEF ＝ 1 2 S△ABC 108．（上海模拟）已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点 P 在射线 AC 上，点 Q 在 CB 的延长线上， 且 AP＝BQ，连接 PQ 交直线 AB 于 D，过 P 作 PE⊥AB 于 E． （1）求证：DP＝DQ； （2）设 AP＝x，BD＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当△DEP∽△QCP 时，求 AP 的长． （1）证明：①当点 P 在线段 AC 上时 过 P 作 PF⊥AC，交 AB 于 F 则 PF∥BQ，∴∠DPF＝∠DQB ∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45° ∴△PAF 是等腰直角三角形，∴AP＝FP ∵AP＝BQ，∴FP＝BQ 又∠FDP＝∠BDQ，∴△DPF≌△DQB ∴DP＝DQ ②当点 P 在 AC 延长线上时 过 P 作 PF⊥AC，交 AD 延长线于 F 同理可证 DP＝DQ （2）解：①当点 P 在线段 AC 上时 A B D C E F G A B D C E F G H A B C 备用图 A B CP E Q D A B CP E Q D F Q F ∵△DPF≌△DQB，∴DF＝BD ∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2 2 ∵△PAF 是等腰直角三角形，∴AF＝ 2AP＝ 2x ∴BD＝ 1 2 BF＝ 1 2 (2 2－ 2x)＝－ 2 2 x＋ 2 即 y＝－ 2 2 x＋ 2（0＜x ＜2） ②当点 P 在 AC 延长线上时 ∵△PAF 是等腰直角三角形，∴AF＝ 2AP＝ 2x ∴BD＝ 1 2 BF＝ 1 2 ( 2x－2 2)＝ 2 2 x－ 2 即 y＝ 2 2 x－ 2（x ＞2） （3）①当点 P 在线段 AC 上时 ∵∠DPE＞∠DPF＝∠DQB ∴当△DEP∽△QCP 时，只能∠PDE＝∠DQB ∵∠PDE＝∠QDB，∴∠DQB＝∠QDB ∴BD＝BQ，∴－ 2 2 x＋ 2＝x 解得 x＝2 2－2 ②当点 P 在 AC 延长线上时 ∵∠PDE＞∠PQC ∴当△PED∽△QCP 时，只能∠DPE＝∠PQC ∴ PC DE ＝ PQ DP ＝2，∴PC＝2DE＝2(EF－DF)＝2(EF－BD) ∴x－2＝2[ 2 2 x－( 2 2 x－ 2)] 解得 x＝2 2＋2 综上所述，当△DEP∽△QCP 时，AP 的长为 2 2－2 或 2 2＋2 109．（浙江模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 都是等边三角形，顶点 B、D 与原点 O 重合，边 BC 在 x 轴的正半轴上，边 AB 与 DE 在一条直线上．已知 AB＝6，DE＝2 3． （1）将△DEF 绕点 O 逆时针方向旋转 90°（如图 2），连接 CE、CF．试判断四边形 DECF 的形状，并说 明理由； （2）将△DEF 绕点 O 旋转，连接 AF．在旋转过程中，当△ABF 是直角三角形时，求点 F 的坐标； （3）将△DEF 沿直线 AB 上下平移，连接 AF、BF．在平移过程中，△ABF 能否成为等腰三角形？如果能， 直接写出点 D 的坐标；如果不能，请说明理由． A y xC E F O (B) (D) 图 1 A y xC E F O (B) (D) 图 2 A y xCO (B) 备用图 （1）四边形 DECF 是菱形 设 DC、EF 交于点 M 由题意知，∠ADE＝90°，又∠ABC＝60° ∴∠CDE＝30°，∴∠CDF＝30° ∴∠CDE＝∠CDF，∴DC 垂直平分 EF 在 Rt△DME 中，DM＝DE·cos30°＝2 3× 3 2 ＝3＝ 1 2 DC ∴EF 垂直平分 DC，∴四边形 DECF 是菱形 （2）由题意知，A（3，3 3），B（0，0），AB 2＝62＝36 设 F（a，b），则 AF 2＝(a－3)2＋(b－3 3)2，BF 2＝a2＋b 2＝(2 3)2＝12 ∵AB＝6＞2 3＝BF，∴∠BAF≠90° ①若∠ABF＝90°，则 AB 2＋BF 2＝AF 2 即 36＋a 2＋b2＝(a－3)2＋(b－3 3)2，得 a＝－ 3b 代入 a 2＋b2＝12，得 3b2＋b 2＝12，解得 b＝± 3 ∴F1（3，－ 3），F2（－3，3） ②若∠AFB＝90°，则 AF 2＋BF 2＝AB 2 即(a－3)2＋(b－3 3)2＋12＝36，又 a2＋b 2＝12， 得 a＝4－ 3b，代入 a2＋b 2＝12 得(4－ 3b)2＋b2＝12，解得 b＝ 3± 2 ∴F3（ 3＋ 2，1－ 6），F4（ 3－ 2，1＋ 6） （3）能． D1（3＋2 3，6＋3 3），D2（3－ 3，3 3－3）， D3（2 3，6），D4（－ 3，－3），D5（3＋ 3 2 ，3＋3 3 2 ） 提示：过 F 作 FH⊥AB 于 H 则 DH＝DF·cos60°＝2 3× 1 2 ＝ 3 FH＝DF·sin60°＝2 3× 3 2 ＝3 ①若 AF＝AB，则 AF＝6 AH＝ AF 2－FH 2 ＝ 62－32 ＝3 3 当点 D 在 BA 延长线上时 BD＝AB＋AH＋DH＝6＋3 3＋ 3＝6＋4 3 ∴D1（3＋2 3，6＋3 3） 当点 D 在线段 AB 上时 BD＝AB－AH＋DH＝6－3 3＋ 3＝6－2 3 ∴D2（3－ 3，3 3－3） ②若 BF＝BA，则 BF＝6，BH＝3 3 当点 D 在 BA 延长线上时 BD＝BH＋DH＝3 3＋ 3＝4 3 ∴D3（2 3，6） 当点 D 在 AB 延长线上时 A y xC E F O (B) (D) M A y xC E F O (B) D H BF＝BA 点 D 在 BA 延长线上 A y xC H FO (B) D E AF＝AB 点 D 在线段 AB 上 A xC E F O (B) D H AF＝AB 点 D 在 BA 延长线上 y A y xC E F O (B) D H BF＝BA 点 D 在 AB 延长线上 BD＝BH－DH＝3 3－ 3＝2 3 ∴D4（－ 3，－3） ③若 AF＝BF，则 BH＝ 1 2 AB＝3 BD＝BH＋DH＝3＋ 3 ∴D5（3＋ 3 2 ，3＋3 3 2 ） 110．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边中点，∠EDF＝∠B，DE 与射线 BA 相交于点 E，DF 与边 AC 相交于点 F，连接 EF． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）若 DF＝EF，求证：DF∥AB （3）在（2）的条件下，当 DE⊥AC 时，求∠BAC 的度数； （4）若 AB＝AC＝5，sinB＝ 3 5 ．设 BE＝x，△DEF 的面积为 y． ①求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； ②当△AEF 是等腰三角形时，直接写出 x 的值． （1）证明：∵∠EDF＝∠B，∴∠BDE＋∠CDF＝∠BDE＋∠BED ∴∠BED＝∠CDF ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∴△BDE∽△CFD （2）∵△BDE∽△CFD，∴ BE CD ＝ DE DF ∵BD＝CD，∴ BE BD ＝ DE DF 又∵∠B＝∠EDF，∴△BED∽△DEF ∴∠BED＝∠DEF ∵DF＝EF，∴∠DEF＝∠EDF ∴∠BED＝∠EDF，∴DF∥AB （3）设 AF、DE 相交于点 O，连接 AD ∵DF＝EF，DE⊥AF，∴OD＝OE ∵DF∥AE，∴ OA OF ＝ OE OD ＝1，∴OA＝OF ∴AF、DE 互相垂直平分 ∴四边形 ADFE 是菱形，∴AD＝DF A y xC E F O (B) D H AF＝BF A B E CD F A B CD 备用图 A B CD 备用图 A B E CD F A B E CD F O ∵BD＝CD，DF∥AB，∴DF＝ 1 2 AB＝ 1 2 AC ∴AD＝ 1 2 AC ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC ∴∠C＝30°，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝120° （4）①连接 AD，则 AD⊥BC 在 Rt△ABD 中，AC＝5，sinB＝ 3 5 ∴AD＝AB·sinB＝5× 3 5 ＝3，BD＝ 52－32 ＝4 ∴cosB＝ BD AB ＝ 4 5 作 EG⊥BC 于 G 则 BG＝BE·cosB＝ 4 5 x，EG＝BE·sinB＝ 3 5 x ∴DG＝|4－ 4 5 x|，∴DE 2＝DG 2＋EG 2＝x2－32 5 x＋16 S△BED ＝ 1 2 BD·EG＝ 1 2 ·4· 3 5 x＝ 6 5 x ∵△BED∽△DEF，∴ S△DEF S△BED ＝ DE 2 BE 2 ∴S△DEF ＝ DE 2 BE 2 ·S△BED ＝ x2－32 5 x＋16 x2 · 6 5 x＝ 30x2－192x＋480 25x ∵△BDE∽△CFD，∴ BE CD ＝ BD CF ∴ x 4 ＝ 4 CF ，∴CF＝ 16 x ，AF＝5－ 16 x 当点 F 与 A 重合时，CF＝5，即 16 x ＝5，∴x＝16 5 ∴y＝ 30x2－192x＋480 25x （x≥16 5 ） ②x＝4 或 x＝32 5 或 x＝8 或 x＝80 7 提示： i）当点 E 在线段 AB 上时 ∵∠BAC 为钝角，∴AE≠EF，AF≠EF 若 AE＝AF，则 BE＝CF，即 x＝ 16 x ，∴x＝4 ii）当点 E 在 BA 延长线上时 若 AF＝EF，则∠AEF＝∠EAF ∵∠B＝∠C，∴∠EAF＝2∠B ∴△BED∽△DEF，∴∠BED＝∠DEF ∴∠AEF＝2∠BED ∴∠B＝∠BED，∴BD＝DE A B E CD F G H A B E CD F A B E CD FG 作 DG⊥BE 于 G，则 BE＝2BG ∵BG＝BD·cosB＝4× 4 5 ＝16 5 ，∴x＝32 5 若 AE＝AF 则 x－5＝5－ 16 x ，解得 x1＝2（舍去），x2＝8 若 AE＝EF，设 DE 交 AC 于点 G ∵∠BED＝∠DEF，∴DE⊥AF，AG＝FG 连接 AD 在 Rt△ADG 中，AG＝AD·cos∠DAC＝3× 3 5 ＝ 9 5 ∴CF＝AC－2AG＝5－2× 9 5 ＝ 7 5 ∵CF＝ 16 x ，∴ 7 5 ＝ 16 x ，∴x＝80 7 综上所述，当 x＝4 或 x＝32 5 或 x＝8 或 x＝80 7 时， △AEF 是等腰三角形 111．（四川某校自主招生） （1）如图 1，点 C 是线段 BD 上一点，分别以 BC、CD 为斜边在 BC 同侧作等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ECD， 连接 AD、BE 交于点 O，连接 CO 并延长，交 AE 于点 F，求证：CF⊥AE； （2）将△ECD 绕点 C 逆时针旋转α角（0°＜α ＜90°）（如图 2），（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）将△ECD 绕点 C 旋转任意角度（如图 3），（1）中的结论是否仍然成立，直接写出结论． （1）证明：如图 1，补全正方形 ABGC、正方形 ECID 和矩形 CGHI A B E CD F G A B E CD F 图 2 A B C O D EF A B C O D EF 图 1 A B C D E O F 图 3 连接 AH、CH、EH 则 CG＝AB＝AC，GH＝CI＝CE，∠CGH＝∠ACE＝90° ∴△CGH≌△ACE，∴CH＝AE，∠GCH＝∠CAE 设直线 CH 与 AE 交于点 F′ ∵∠ACG＝90°，∴∠GCH＋∠ACF′＝90° ∴∠CAE＋∠ACF′＝90°，∴∠AF′H＝90° ∴HF′⊥AE ∵∠GCH＝∠CAE，∠ACG＝∠BAC＝90° ∴∠ACH＝∠BAE 又 CA＝AB，CH＝AE，∴△ACH≌△BAE ∴∠1＝∠2 ∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90° ∴BE⊥AH 同理，AD⊥EH ∴O 为△AHE 的垂心，∴F′ 与 F 重合 ∴CF⊥AE （2）仍然成立 理由：如图 2，补全正方形 ABGC、正方形 ECID 和平行四边形 CGHI 连接 AH、CH、EH 同（1）可证 （3）仍然成立 A B C O D EF 图 1 G H I 1 2 3 图 2 A B C O D EF G H I